高考数学一轮复习精练必备 第4练 函数及其性质（教师版）

第4练函数及其性质

学校姓名—班级

一、单选题

2A-l,x<0,

1.已知函数/(力=1若/(⑹=3,则勿的值为()

R,x>0,

A.V3B.2C.9D.2或9

【答案】C

【详解】

2x-l,x<0

•.,函数={।，/(m)=3,

x^,x>0

26—1=3-mJ?

：.\八或产-3,

〔加40[加>()

解得m=9.

故选：C.

/、[x+2,x<-1/、

2.已知函数/(x)=2।,关于函数“X)的结论正确的是()

A./(O)=2B./(X)的值域为(9,4)

C.〃x)<l的解集为(T1)D.若〃x)=3,则x的值是1或6

【答案】B

【详解】

/、fx+2,x<-l

解：因为〃x)={21°,函数图象如下所示：

x,-1<x<2

由图可知"0)=0,故A错误；

/(x)的值域为(—,4),故B正确;

由/(耳<1解得(—，-1)(T1),故C错误；

/(%)=3,即二3,解得x=JL故D错误；

[-1<x<2

故选：B

3.定义在R上的函数满足〃2-力=2-〃力.若/(x)的图象关于直线x=3对称，则

下列选项中一定成立的是()

A./(-3)=1B./(0)=0C./(3)=2D./(5)=-1

【答案】A

【详解】

函数f(x)的图象关于直线x=3对称，则必有/(3-尤)=/*+3),所以，/(0)=/(6),

/(1)=/(5),/(2)=/(4),又因为“X)满足/(2-x)=2-/(x),取x=l,所以，/(1)=2-/(1),

/(1)=1,则/。)=八5)=1,取x=5,则f(-3)=2-/(5)=l,A对;

故选：A

4.若專函数〃x)=x"(«eR)满足(a+l)〃x)=/㈣,则下列关于函数〃x)的判断正确

的是()

A.〃x)是周期函数B./(力是单调函数

c./(X)关于点(0,1)对称D./(X)关于原点对称

【答案】C

【详解】

由题意得(。+1)丁=(敬)"，即故e“—a—1=0,

令g(x)=e*-x-l,则g[x)=e'-l,当xe(-8,0)时，g[x)<0,则g(x)单调递减；当

xw(0,*o)时，g.x)>0,则g(x)单调递增；所以8(项而=g(x)=。，因此方程e-&-1=0

有唯一解，解为a=0,因此/(X)=X°=1(XH0),所以不是周期函数，不是单调函数，关

于点(0,1)对称，

故选：C.

5.已知“X)=log,,9/+1-依)是奇函数,若1混+咐+/(⑪+〃)<0恒成立，则实数b

的取值范围是()

A.(-3,3)B.(-9,3)C.(-3,9)D.(-9,9)

【答案】B

【详解】

/(X)是奇函数，•,J(-x)=-f(x)n〃x)+〃-x)=0恒成立,

即log.(四+1-ax)+log.(J9(r)?+1-«(-%)]=0恒成立，

化简得，log“(9犬+l-a2x2)=0,即9小+1-a2x2=1=(9一/=0,

则9—/=(),解得a=±3,又a>0且。:.a=3,

则/(x)=I°g3(的小+1-3x),所以"X)=log3(j9x2+1-3x)=log3721-3，

由复合函数的单调性判断得，函数/(x)在[0,+“)上单调递减，又/(x)为奇函数，

所以“X)在R上单调递减；由/(泼+法)+/(奴+。)<0恒成立得，

/(3X2+ZM)<-f(3x+3)=>/(3x2+bx)</(-3x-3)恒成立，

贝Ij3/+fcr>-3x-3=3/+e+3)x+3>0恒成立，

所以△=(。+3『_4x3x3<0恒成立，解得一9cb<3.

故选：B.

6.已知函数y=/(x-1)是定义在R上的偶函数，且/⑴在(-8,-1)单调递减，/(0)=0,

则/(x)/(2x+l)<0的解集为()

A.2)U(0,+QO)B.(-2,0)

【答案】C

【详解】

因为函数y=f(x-l)是定义在R上的偶函数，所以y=f(x)的图象关于直线x=-1“X)在

(F,-l)上单调递减，所以在上单调递增.

因为f(o)=o,所以〃-2)=〃0)=0.

所以当xe(Y>,—2)50,+oo)时，/(x)>0；当xw(-2,0)时,/(x)<0.

*/(x)/(2x+l)<0,得｛_；甕髓或蓝;i〉。.解得"《々野鸟'。).

故选：C

|lOgHx|,0<X<7l

7.函数=[1,若/(a)=/S)=,f(c),a<b<c,则必(c-兀)的范围是

------(x-it),x>n

[2022

()

A.(0,2022)B.IO,2O22JC.(1,2022)D.[1,2022]

【答案】A

【详解】

|lOgnx|,0<X<7t

依题意f(x)=(1,/(a)=F3)=/(c)且a<b<c,

------(x-n),x>n

thQ<a<l<b<n,f(a)=|logza|=-logxa,f(&)=|logHb\=log,,b,

-log"=log*b,log-=logb,-=b,ab=\.

naxa

Rog小=1,

在[兀,”)上递增,^^(X-7I)=0=X=TI,5満(x-兀)=lnx=7t+2022,

所以兀<c<7t+2022,0<c—兀<2022,

所以ab(c-兀)的范围是(0,2022).

故选：A.

8.已知函数/(*)=一生一,则不等式/(x)>e*的解集为()

1+lnx

【答案】B

【详解】

AV2er2e"1nxex

函数f(x)=―-——,贝U/(x)>er0-------->eA<=>--------->一，

1+lnx1+lnx1+lnxx

因x>0,则不等式/(x)>e"成立必有l+lnx>0,BPx>-,

e

令g(x)=2,x>丄，求导得g'(x)=£亠，当丄<x<l时，g'(x)<o,当X>lfl寸，g'(x)>0,

xe『e

因此，函数g(x)在(丄,1)上单调递减，在(1,R)上单调递增，又〃x)>e'=g(l+lnx)>g(x),

e

当x>l时，lnx+1>1,于是得1+Inx>x,即1+lnx—x>0,令/?(x)=1+lnx-x,

当时，//(X)=--1<0,函数力(%)在(l,xo)上单调递减，Vx>l,A(x)</z(l)=O,因此,

X

l+lnx>x无解，

当丄<x<l时，0<lnx+l<l,于是得1+lnxvx,即1+lnx-xvO,此时〃(x)=丄-1>0,

ex

函数飯X)在(丄,1)上单调递增，Vxe(l,l),人。)<〃⑴=0,不等式l+lnx<x解集为(丄,1),

eee

所以不等式/«>er的解集为(-,1).

e

故选：B

二、多选题

9.已知“X)是R上的奇函数，〃x+2)是R上的偶函数，且当xe［0,2］时，f(x)=x2+2x,

则下列说法正确的是()

A./(力最小正周期为4B./(-3)=-3

C.”2020)=0D./(2021)=-3

【答案】BCD

【详解】

因为/(x+2)是偶函数，所以/(x+2)=/(—x+2),

又因为〃x)是奇函数，所以/(-x+2)=_/(x-2),所以/(x+2)=-f(x-2),

所以f(x+4)=-/(x),

所以“x+8)=-/(x+4)=/(x),所以f(x)的周期为8,故A错误;

又当x«0,2］时，f(x)=x2+2x,

所以/(-3)=/(5)=_/(1)=_3,选项B正确；

7(2020)=/(4+252x8)=/(4)=-/(0)=0,选项C正确；

/(2021)=/(5+252x8)=/(5)=-/(I)=-3,选项|)正确.

故选:BCD.

10.已知函数〃x)对任意xeR都有/(x+2)=—/(x),若函数y=/(x—1)的图象关于x=l

对称，且对任意的西,马«0,2),且x产马,都有"%}/(◎)>0,若/(-2)=0,则下列

X\~X2

结论正确的是()

A.〃x)是偶函数B.42022)=0

C./(x)的图象关于点(1,0)对称D.,/(-2)>/(-1)

【答案】ABCD

【详解】

对于选项A：由函数f(x+l)的图像关于x=-l对称，根据函数的图象变换，

可得函数/(x)的图象关于x=0对称，所以函数/(x)为偶函数，所以A正确；

对于选项B：

由函数fW对任意xeR都有/U+2)=-/(x),可得/(x+4)=一/(》+2)=/(x),

所以函数/(x)是周期为4的周期函数，

因为/(-2)=0,可得/(2)=0,

则/(2022)=/(505x4+2)=/(2)=0,所以B正确；

又因为函数/(X)为偶函数,即/(—x)=/(x),所以f(X+2)n—为x)=-f(—X),

可得J(x+2)+/(-x)=0,所以函数/(X)关于(1,0)中心对称,所以C正确;

由对任意的西,々€(0,2),且x产当，都有/(“)一”“)>0,

X\~X2

可得函数fM在区冋(0,2)上为单调递增函数，

又因为函数为偶函数，故函数f(x)在区间(-2,0)上为单调递减函数，故/(-2)>/(-1),所

以D正确.

故选：ABCD

11.己知幕函数/(x)的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有().

A.函数/(x)的定义域为R

B.函数f(x)为非奇非偶函数

c.过点p(o,g)且与“X)图象相切的直线方程为y

D.若…卩。，则/叫小2)>/(哈

【答案】BC

【详解】

设〃X)=/,将点(4,2)代入〃x)=xa,

得2=4"，则a=万，即y(x)=#，

对于A：“X)的定义域为［0,M),即选项A错误;

对于B：因为〃x)的定义域为［0,钻)，

所以/(x)不具有奇偶性，即选项B正确；

对于C：因为〃x)=%，所以(。)=4，

设切点坐标为匹爲)，则切线斜率为k=/'伍卜盅,

切线方程为"扁=又因为切线过点P(0；),

所以;一直於(。』),解得…

即切线方程为=即尸gx+g,

即选项c正确；

对于D：当0＜玉＜九2时，

J(%)+/(%)]2,2(均+工2、_(+办+工2

[21~~r

_X]+工2+2”[工2X}+X2_2yjx}x2-x}-x2_(衣-7^")

-4T~~4-4

即"%)+〃*2)＜/(三士上)成立，即选项D错误.

故选：BC.

12.已知函数/(刈=牛1，则()

A./(x)的定义域为7?B./(x)是奇函数

C./(同在仅,+^上单调递减D.7(x)有两个零点

【答案】BC

【详解】

对A：『(%)的定义域为{x|"Q},A错误;

对B：/(—)=上空=-号=-/(力，且定义域关于原点对称，故〃x)是奇函数，B正

确；

r+11

对C：当x>0时，，f(x)=-----=1-1—,单调递减，C正确；

XX

对D：因为x*0,W+l>0,所以f(x)=o无解，即f(x)没有零点，D错误.

故选：BC.

三、填空题

13.已知函数〃x)=3「零3'("0)为奇函数，则。=.

【答案】2或-1

【详解】

函数f(x)=3,-零3,(ax0)为奇函数，其定义域为R

由/(0)=1-华=0,解得a=2或a=—l

当a=2时，/(x)=3'-3-\则/(—x)=37—3'=-/(x),满足条件.

当a=—1时，/(同=3、-3一*,则“―x)=3—-3，=一〃力，满足条件.

故答案为：2或-1

14.已知f(x)是定义在R上的偶函数，当xNO时，/(x)=(x—加户+2a。4.若/(X)的图

象与“轴恰有三个交点，则实数a的值为.

【答案】2

【详解】

由偶函数的对称性知：f(x)在(7,0)、(0,20)上各有一个零点且/(0)=0,

所以/(0)=2(a+l)(a-2)=0,则a=—1或a=2,

当a=T时,在(。,+℃)上/(x)=(x+2)e*-2,则/'(x)=(x+3)e*>0,

所以/⑺在(0,+8)上递增，/(x)>/(0)=0,故无零点，不合要求：

当a=2时,在(0,+»)上f(x)=(x-4)e'+4,则/'")=(工-3把，，

所以f(x)在(0,3)上递减,在以内)上递增,

HO/(x)>/(3)=4-e3<0K/(O)=0,/(4)=4,故(0,内)上有一个零点，符合要求;

综上，4=2.

故答案为：2

15.写出一个同时具有下列性质①②③的函数/(x)=.①/(x)是定义域为R的

奇函数；@/(l+x)=/(l-x)；③/(1)=2.

TTY

【答案】2siny(答案不唯一)

【详解】

由条件①②③可知函数对称轴为x=l,定义域为R的奇函数，可写出满足条件的函数

f(x)=2sin^x.

故答案为：2sin^x(答案不唯一)

16.已知函数y=/(x)是R上的奇函数，对任意xeR,都有"2-x)=/(x)+/(2)成立,

当阳，々e［0』］,且x户土时，都有‘°')一"上)>()，有下列命题：

X)-x2

①42)+/⑶+…+”2022)=0；

②点(2022,0)是函数y=/(x)图象的一个对称中心；

③函数y=〃x)在［-2022,2022］上