新高考数学复习 函数的存在与恒成立问题（教师版）

专题32函数的存在与恒成立问题

一、题型选讲

题型一、函数的存在问题

函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离

法，可遵循以下两点原则：

①玉则只需要g(a)〈/(x)1rax=M

BxeD,g(a)<f(x),则只需要g(a)</(x)n1ax=M

②HxeO,g(a)i/(x),则只需要8⑷之"。〃=m

Bx^D,g(a)>f(x),则只需要8(。)>/(力5=m

2

例1、【2019年高考浙江】已知aeR,函数/(x)=o?-x,若存在feR,使得|/«+2)—/(。区§,

则实数。的最大值是.

4

【答案】-

3

2

【解析】存在IER,使得I/Q+2)—/«)区

22

即限］|ci(t+2)3—(f+2)—Q尸+/区q,化为12〃(3广+6/+4)—2区飞，

可得一■142a(3『+6f+4)-2wg,即g4a(3产+6f+4)4g,

44

由3/+6f+4=3(f+l)2+lZl,可得0<aW§.则实数。的最大值是

例2、(2016泰州期末)若命题“存在xdR,ay+4x+aW0”为假命题，则实数a的取值范围是.

【答案】(2,+8)

【解析】“存在*eR,af+dx+aWO"为假命题,则其否定“对任意xeR,aV+dx+a>。”为真命题，当

a>0,

a=0,4x>0不恒成立，故不成立；当aWO时，/=i6_4a°<0,解得a>2,所以实数a的取值范围是(2,

+°0).

易错警示转为真命题来处理，二次项系数为参数的不等式恒成立问题，要注意讨论二次项系数为0时能否

成立

例3、(2016苏锡常镇调研)已知函数/■(x)=」*一a|,若存在*©［1,2］，使得以⑼a，则实数a的取

值范围是

【答案】.(-1,5)

【解析】解法1当xW[l,2]时，F(x)〈2,等价于1「一ax|〈2,即—•ZV/—•aKZ,即x-2<ax<x+2,得到

x-\<a<x+^,即WavQ'+jax,得到一l<a<5.

解法2原问题可转化为先求：对任意xW[l,2],使得f(x)》2时，实数a的取值范围.

2

则有a|22,即|a—

22

(1)当a24时，@》*+了22‘+2=5,得到a25.

222

(2)当aWl时，X，-aex，有aWx'—xWl—[=-1,得到aW—1.

2

(3)当l<a〈4时，|a-x\>0,与;〉0矛盾.

那么有aW-l或a25,故原题答案为一l<a<5.

题型二、函数的恒成立问题

函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变

分离法，可遵循以下两点原则：

(1)已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离

法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。

(2)要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值(或临界值)，若解析式过于复杂而无法

求出最值(或临界值)，则也无法用参变分离法解决问题。(可参见”恒成立问题一一最值分析法“中的相

关题目)

参变分离后会出现的情况及处理方法：(假设尤为自变量，其范围设为。，/(x)为函数；。为参数，g(a)

为其表达式)⑴若“X)的值域为

①Vxe£>,g(a)W/(x),则只需要g(a)而“=加

VxeD,g(x)<-f(x),则只需要8(。)</(肛向=加

②Vxe0,g(a)之/(x),则只需要g(a)»/(耳厕

VxeD,g(a)>f(x),则只需要g(a)>/(x)1rax=M

例4、(2020届山东省泰安市高三上期末)设函数/(X)在定义域(0,+8)上是单调函数，

Vxe(0,+oo),/[/(x)-e'+x]=e,若不等式/(x)+.f'(x)2ox对xe(0,+»)恒成立，则实数a的取

值范围是.

【答案】(fo,2e-l]

【解析】由题意可设/(x)—e*+x=f,^\f(x)=ex-x+t,

,：/[/(x)-ev+x]-e,：./⑺=d-t+t=e'-e,

：.t=\,：.f(x)=ex-x+1,/./,(x)=ejr-l,

由/(力+/'(力*优得，一1+1+/-12依,

：.a<---1对xe(0,+8)恒成立，

X

4,g(x)=———1,XG(0,-f-oo),则g，(x)=2e(:_Q,

XX

由g'(x)=0得x=l,g(x)在(0,1)上单调递减，在。,物)单调递增，

Ag(x)>g(l)=2e-l,.\a<2e-l,

故答案为：(yq,2e-1].

x—2ax+2a.x<1,

变式5、【2019年高考天津理数】已知aeR,设函数/(x)={若关于x的不等式

x-a\x\x,x>1.

/(x)20在R上恒成立，则。的取值范围为

A.[0,1]B.[0,2]

C.[0,e]I).[l,e]

【答案】C

【解析】当x=l时，/(1)=1-2。+2a=1>0恒成立：

v-2

当x<l时，/(%)=x2-2ax+2a>0o2a>—一•恒成立，

X-1

令g(x)=

X—1

x2(1—x—l)~(1—x)~—2(1—x)+1

则g(x)=

1—X1—X1—X

+占小修3廿2卜0,

当l—x=」一,即尤=0时取等号，

1-X

：.2a>g(x)max=0,则a〉0.

x

当时，f(x)=x-a1nx>0,即—恒成立,

Inx

Xlnx-1

令力。)=—，则h\x)=

\nx(Inx)2

当x>e时，/(x)>0,函数〃(x)单调递增，

当0<%<6时，"(x)<0,函数4(x)单调递减,

则x=e时，h(x)取得最小值/z(e)=e,

力(x)min=e，

综上可知，”的取值范围是[0,e].

故选C.

例6、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知函数/(x)=ae*-x-l(aeR),g(x)=x2

当a=l,x20时，不等式/(x)N丘恒成立，求实数攵的取值范围.

【解析】当。=1时，f(x)^ex-x-\,问题等价于不等式

ex-x-\>kxln^x+\),当x20时恒成立.

设〃(x)=e*—x—1—hc/〃(x+l)(x»O),〃(0)=(),

又设〃2(x)=»(x)="-l-k/«(x+l)+——(x>0)

1+X

则〃?'3="一左-^—+-~二

1+X(1+X)-

而m*(0)=l-2Z:.

(i)当1—2ZN0时，即左(工时，

2

由于xN0,e*21，k——+-~--r-~~--r41

1+x(l+x)-J2[l+x(1+x)-

此时R(x)NO,/n(x)在[0,+8)w(x)>m(O)=O

即〃(x)“，所以〃(无)在［0,+8)上单调递增所以〃(x)N〃(O)=(),

即ex-X-1-^T/H(X+1)>0,故&4；适合题意.

(ii)当女〉;时，m'(0)<0,

由于加(》)=/一“+--1―T在［0,+8)上单调递增，

11

令x=/〃(2Z)>0,则"f(/〃2k)=2k-k------------>-2-k---2k-=0.

1+In2x0+ln2x)'

故在(0,In2人)上存在唯一无。,使m'(%)=0,

因此当xe(O,x(J时，加(x)<0,〃?(x)单调递减，所以加(％)<以0)=0,

即〃'(x)V0,//(x)在((),％)上单调递减，故秋x)<〃(0)=0,

亦即-/tr/n(x+l)<0,故时不适合题意，

综匕所求k的取值范围为1-8,；.

题型三、函数的存在与恒成立的综合问题

多变量恒成立与存在问题：对于含两个以上字母(通常为3个)的恒成立不等式，先观察好哪些字母

的范围已知(作为变量)，那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理

(1)选择一个己知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值(同

时消去一元)，进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。

(2)将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变

量表达式的最值即可。

例7、（2019苏州期末）设函数f（x）=7-ax2,若对任意xp（—8,0）,总存在X2e[2,y»]）使得

/（天）4/（为），则实数a的范围

【答案】OWaWl

【解析】思路分析考察函数f（x）在区间（—8,0）和上的最小值或下确界.特别注意到，当a¥0时，当

a时，x—ax2=0.

①当a=0时，£々）=而在（-8,0）上的值域为（0,+8）,在，满足要求;

'2

②当a<0时，f(xi)f=0,而f（xJ>0恒成立，所以不可能有f（X?）Wf（X）；

③当(KaWW时，f(x2)”,”=0,而f（x）20恒成立，满足要求;

2ax52

④当@天时，设g（x）=《一ax'则g'（x）=一7一2ax=一

(11

易得g（x）在上递增，在力上递减，在⑵+8）单调递减

所以4a—143指角军得上<。41

综上：OWaWl

-x+4x,0W1K4,

例8、（2017苏锡常镇一调）已知函数f（x）=[iog,（*_2）+2,4Wx<6,若存在为，必昼匕当

0WxK4WxzW6时，f（xi）—f（x2）>则（用）的取值范围是.

【答案】（3,药）

【解析】思路分析因为为六热）=为『（为）=-4+4星是关于小的函数，所以关键是先确定汨的范围.而由

定曲线尸fN）与动直线尸发的位置关系，可确定为的范围.

设Ax.）=/U）=%由定曲线尸/U）与动直线y=A的位置关系，可得Ad[3,4],从而易得[1,3],

所以X/（X2）=X1F（X1）=-x：+4#,设g（t）=-1+4巴则/（力=—31+8-=一

88

3tt—3»令g'（f）=0,得t=§.

列表如下:

888

t13

L333,3

g'(t)+0—

256

g(t)3药9

256

由上表可知，函数g(t)的值域为(3,行.)

二、达标训练

1、(2017泰州期末)若命题“存在xGR,a*+4x+aW0”为假命题，则实数a的取值范围是.

【答案】(2,+8)

【解析】“存在xCR,af+4x+aW0”为假命题，则其否定“对任意x^R,a*+4x+a>0”为真命题，当

k>0,

a=0,4x>0不恒成立，故不成立；当3士。时，(4=16.44<0,解得公2,所以实数a的取值范围是(2,

+0°).

2、(2017苏北四市摸底)已知函数/"(x)=e'T+x-2(e为自然对数的底数)，g(x)=*—ax—a+3,若存在

实数及，使得/■(xJ=g(X2)=0,且除一如W1,则实数a的取值范围是.

【答案】.[2,3]

【解析】易知函数/'(x)=ei+x—2为单调递增函数，且f(l)=e°+l-2=0,从而汨=1.因为|为一知W1,

产+3

所以|1一及1<1,所以0WX2X£[0,2],使得V-ax-a+3=0成立，即存在实数[0,2],使得H=K■成

(£—1)?+34/44

立.令£=x+l(2£[1,3]),则g[t)—[=1+工-2N2't-7—2=2,当且仅当1=7，即t=2,

4

x=l时取等号.又因为g(Z*x=max{g(l),g(3)}=3,所以函数g(»=1+]—2的值域为[2,3],从而实数

a的取值范围是[2,3].

3、(2020届山东省济宁市高三上期末)已知函数/(x)=lnx+(l-a)x+a(a>0),若有且只有两个整数

使得/&)>0,且〃々)>0,则。的取值范围是()

3+ln33+ln34Q21n2+43+ln3)

B.(0,2+In2)---,2+ln2ID.

A.u,~C.~~52J

【答案】C

[解析]/(x)=lnx+(l-a)x+a(Q>0),=—,/(1)=Inl+(l-«)+<2=1

时，函数单调递增，不成立;

当。>1时，函数在(0,a)上单调递增，在(£,+8)上单调递增;

有且只有两个整数不，々使得〃看)>0,且〃々)>0,故/(2)>0且/⑶W0

即ln2+2-2a+a>0,，a<ln2+2；In3+3-3a+a<0,/.«>ln^+^

2

故选：C.

4、【2020年高考天津】已知函数/(x)=x3+8nx/eR),/'(x)为/(x)的导函数.

,

r,y(x.)+f(xAf(xA

当左2-3时，求证：对任意的G[1,+8),且玉>X,,有J,"J\J'"J'

2X]一%2

♦k

证明：由/(x)=%3+女]nx,得/'(不)=3%2+—.

X

对任意的X1,%2e[l,+8)，且X|>%2，令'=/(’>1)，则

工2

，

(^-A2)(/(jq)+.f(A2))-2(/(x,)-/(A2))

(kk\(X\

3

=(x1-x2)3%；H-----2xj-%2+^ln—

l再X2)Ix2)

J

=x：­x；—3X^X2+3X%2+k---—2kIn―-

=£(广—3〃+3f—1)+女,一；一2ln,.①

令/?(*)=无一2-2仙_1,尤6[1,+00).当％>1时，〃'(x)=1+4■—2=。_工]〉0，由此可得/z(x)在

XXX\X)

[1,+8)单调递增，所以当/>1时，/?(f)>/?(l),即，—工一21n，〉0.

t

因为々21，/-3*+3/—1=«—Ip>0,左之一3,

所以，E(/—3/+3r—1)+%，-----21nZ>(r—3/+3/—1)—3。----2In/

=/一3广+61n，4----1.②

t

ao3

可知，当时，g«)>g⑴，即£一3厂+61n1+—>l,

t

3

故-一3*+6山1+—―l>0.(3)

t

由①②③可得(七一W乂.尸(药)+/(%2))一2(/(%)一/(9))>。.所以，当八一3时'对任意的

xxe[l+oo)||…[/'』)+/'(/)；/(%)一/(%)

人],人1UI,，十,日一多，