高中数学 压轴小题3：平面向量

【挑战满分】压轴小题3：平面向量

一、单选题

1.设向量a，b'c满足"=W=1，ab=――,＜a—c,b—c＞=60°,则卜|的最大值等于（）

A.1B.V2C.73D.2

2.已如平面向量£、b'c＞满足忖=3JJ,忖=2,卜|=2,b-c=2'则

.（a-c）—的最大值为（）

A.1926B.192C.48D.46

3.已知直线P=x+1上有两点4（a”4）,8（出也）,且%＞。2.已知也满足2|的2+姑21

=击；+牙.也；+6；,若14sl=26，则这样的点A个数为（）

A.1B.2C.3D.4

4.己知P是函数〃x）=e、图象上的动点，点Z（2,l）,5（1,-1）,O为坐标原点，若存在

实数，，〃使得前:=4而+M历成立，则4一〃的最小值是（）

5.-42-e_2(2-e)

A.1D.----7=-C.JJ.------

2-Je1+e1+e

5.在平面内，定点N,B,C,。满足%|=|砺|=|0心|,OAOB=OBOC=OCOA=-2>动

点尸，。满足|万|=1,PQ=QC＞则4皿2—37的最大值是（）.

A.12B.6C.673D.2也

6.如图梯形NBC。，4B〃CD且AB=5,4D=2DC=4,E在线段上，就.丽=0，则

在•诙的最小值为

9515

B.C.15D.

131313

.若||||IIab0()()，则||的取值范围是()

A.[0,272+2]B.[0,2]

C.[272-2,272+2]D.[272-2,2]

8.己知平面向量生(％=1,2,...,6)满足：卜，=左(左=1,2,...,6),且%+%+...+&=弓，则

()()

A.9B.10C.12D.14

9.已知C,。是半径为1的圆。上的动点，线段Z6是圆。的直径，则就•丽的取值范围是（）

C.一可D.[-4,0]

10.已知平面向量b>C>对任意实数X，y都有卜一了,2卜一N，,一/1,卜一c|成立.若忖=2,

则"（c-a）的最大值是（）

।/y

A.-B.V5-V3C.—D.V3-1

22

11.在A/8C中，AB=2,AC=3,5C=4,若点〃为边8c所在直线上的一个动点，则

卜访+3砺+2就J的最小值为（

37249_3V15

A.3遍B.6A/6--------------U.

82

乃

12.梯形/BCD中平行于C0,Z8=2,C0=l,NZ）/8=—,尸为腰所在直线上任意一点，则

4

+的最小值是（)

4G4723*1

13.已知耳、鸟是椭圆!+弓1=1的左、右焦点，点尸是椭圆上任意一点，以尸耳为直径作圆N,直线

ON与圆N交于点。（点。不在椭圆内部），则。片96=

A.273B.4C.3D.1

14.如图，在等腰梯形〃88中，BC=3,NC=45。，高为〃，E为/。的中点，尸为折线段

C-上的动点，设靛.丽的最小值为/（。），若关于。的方程1有两不等实根，则实

数上的取值范围是（）

D.(V13,+oo)

15.已知双曲线T一二=l（a>0,b>o）的左、右焦点分别为吊，F2，过出且斜率为?的直线与双曲

a~b~7

线在第一象限的交点为4若（即+•疝=0,则此双曲线的标准方程可能为（）

2

B.匕=1

34

16.已知单位向量B满足忸一回=2,若存在向量己，使得修一2。仁一5）=0,则同的取值范围

是（）

A.悖"+1]B.悖一因c悖一谬+1]D.[V6-1,V6+1]

17.记max{a,6}=,，在A/OB中，/4。8=90°,尸为斜边48上一动点.设

b.a＜b.

----------—\AP\

M=max{OP-OA,OP-OB},则当M取最小值时，三蒲)

2

\OA\\OA\Q|、3

A.B四C.D.

\OB\\OB\[\OB\\OB\)

18.已知单位向量[4且＞5=0,若E£[O,1],则

12

13

A.曙B.—C.V2D.I

12

19.在AZBC中，a,b,c分别为4民。的对边，。为AZBC的外心，且有/8+8。=毡ZC，

3

sinC(cos/—VJ)+cosCsin/=0,AO=xAB+yAC>x,yeR,贝!|*一V=

A.-2B.2C.GD.-V3

20.已知向量A,B满足|，|=2,展*=4,且对任意的X/0，|5-4|的最小值为1，向量才满足

团一6|=1,记《=a-c,I2=b-c,则下列说法正确的是（）.

A.存在使得，=0B.存在己，使得人=八

C.对任意的恒有，＜AD.对任意的恒有，＞，2

21.已知A/8C中，4B=3,AC=4,NBAC=三,/是乙B/C的平分线上一点，且=.若

——1—•

△NBC内（不包含边界）的一点。满足〃）=x/3+—4C,则实数x的取值范围是

2

1_±!_1

A.3，-12B.2，-6C.D.

.定义域为［,］的函数y/()的图象的两个端点为、(/)/()的图象上任意一点,

其中x=Xa+(l—(2e［0,l］),向量丽=4方+(1—4)砺，若不等式蚀创W左恒成立，则称函

数/(x)在［a,可上“左阶线性近似”.若函数y=x-工在［1,2］

上“左阶线性近似”，则实数左的取值范围为

X

A.,+℃B.—+V2,+00C.[0,+O0D.[l,+oo

2

—■3—■

上的点，且满足力£=—NC,

4

/

--2AB_JC"BDsinBADcosB

AF=-AB,AD=A：---------F—.1.—

,DF=NI\BD\\AD\

3|AB|cosB|^C|cosC?7

__________________ml后

DEDA=DEDC，则南1=()

12也D.交

A.-B.一c.

23T2

--1

24.已知B是非零向量，若对任意的实数有16+应6+5G,则()

A.\a\>\a+b\B.\a\<\a+b\C.\b\>\a-b\D.\b\<\a-b\

25.设圆/，圆N的半径分别为1,2,且两圆外切于点夕，点A,4分别是圆圆N上的两动点,

则互彳•方的取值范围是()

-8sB.-叱

A.

C.[-8,1]D.[-16,1]

|2（，）（，）（卜存在ab，对于任意实数

”,不等式«-4+忸-"之7恒成立，则实数7的取值范围为

A.（-8,V5+B.[V^++8）c.（—00,5/3—V2JD.V^,+8）

27.在三角形0/8中，M、N分别是边04、08的中点，点R在线段A/N上（不含端点），且

OR04OB,则代数式1+的最大值为（）

e2ee〜

A.2--B.1--C.--1D.——2

2e22

ULUULIU

28.在中,已知/B./C=9,sin8=cos/sinC,S^ABC=6,。为线段上的一点，且

CACB11

CP^x则一+一的最小值为

.同”同xy

A.2+立4D.上+3

B.12c.一

1233124

29.已知单位向量向量，（i=1,2）,满足愤―可=己石，且/+西=G,其中x+y=l,当|百—

取到最小时，后•%=

A.0B.1C.V2D.-1

30.已知M是函数〃x）=lnx图象上的一点，过河作圆12+歹2-2卜=0的两条切线，切点分别为46,

则以•施的最小值为（）

F）

A.25/2-3B.-1C.0D.-s-3

2

31.下列说法正确的是（)

/___、

AB~AC—.ABAC1

A.若非零向量•BC=0,且尸=[•尸=[5,则a/BC为等边三角形

扃*同.\AB\\AC\

B.已知0^=5,砺=反皮=己历=屋且四边形/8C。为平行四边形，^]a+b-c-d=0

C.已知正三角形N5C的边长为2百，圆。是该三角形的内切圆，尸是圆。上的任意一点，则苏・丽

的最大值为1

D.已知向量08=（2,0），元=（2,2）,。=（、汇cos。,、历sina）,则厉与为夹角的范围是

32.在AO/B中,04^40C>方=2历，AD.

AC.BD于E、尸两点，若诙=几方，赤=〃砺（4〃>0）,则4+4的不可能取到的值为（）

3+6C3+2百口4+2百

DK.-----

A・苧7"7

33.如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点。且三组对边分别平行，点48是“六芒

ULUUU

星'’（如图）的两个顶点,动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若OP=xO/+yO8，则x+y的取值

X0

图1六芒星图2

A.—6B.1C.5D.9

C

AB

A.|jc|2^ACABB.|fic|2-A4-5C

（就•珂x®.

C.|J5|2=JC-CD12

D.

三、填空题

35.半径为2的圆。上有三点A、B、。满足厉+方+衣=6，点尸是圆内一点，则

莎・丽+方・正的取值范围为

36.已知|宓|=|赤|=1,若存在加,〃eR,使得加荏+厉与〃方+为夹角为60°，且

（〃?在+万）—（〃方+砺）=5，则|在|的最小值为.

37.已知A/BC是边长为2的正三角形，平面上两动点。、尸满足而=4夕+4砺+4灰

（4+4+4=1且4、4、420）.若口尸1=1,则03砺的最大值为.

38.在A/8C中，45=2,AC=3册，NB4c=135°,"是AZBC所在平面上的动点，则

卬=疯•应乃+而瓦碇+碇•痂的最小值为•

39.已知q,6是平面内两个夹角为飞■的单位向量，若。=2加［+（2-2。4。£尺），则

|^i+—24+2,一司的最小值为.

A

40.已知三点T,P,Q到点。（1,0）的距离都是它到直线I：-3的距离的y-倍且

方=2而+2〃丽（4〃eH）,当直线。尸与O0的斜率之积为一］（其中。为坐标原点）时，则点

N（X,〃）与点G-y-,0,H5-,0的距离之和NG+N”的值为

若对满足条件的任意之，12-8的最小值恰

为|d-。'设d=xa+歹石，则x+2y的最大值为.

42.已知平面向量b>c>2满足,卜忖=卜|=1

s=xa+yb(x,y>0xy=1),则卜+2c|+卜一，的最小值是.

__uuiriimmuun

43.已知非零向量而、而不共线，设OM=——OP+——OQ,定义点集

加+1m+\

,FPFMFQ-FM\

!m若对于任意的m>3当片、鸟£力且不在直线尸。上时，不等式

I1可训阕恒成立，则实数上的取值范围为.

44.圆M的方程为（x—2-5cos6y+（y—5sin8）2=l（6eR）,圆C的方程为（x-2『+「=4,过圆

M上任意一点尸作圆。的两条切线PE、PF,切点分别为E、F,则而.而的最小值为.

45.在平面凸四边形48C。中，4B=2,点、M,N分别是边8c的中点，且MN=1,若,

W.（AD-5C）=|,则方.5的值为.

若a>b>0,c<0f则一<—；

ab

②如果bwd且仇d都不为0,则d〃+d〃-%+d〃-2〃+…+——^―,〃£N*；

d-b

③若4，&是夹角为600的两个单位向量，则）=24+瓦，B=-3召+2a的夹角为60"；

④在A/BC中，三内角48,C所对的边分别为a,b,c,贝!|c（acos8-bcos"）=a2-b2；

其中正确结论的序号为.

47.在A48C中，。是8C的中点，4是/。的中点，过点”作一直线分别与边ZB,4c交于

M,N,若与7=》方，丽=y就，其中x/wR,则x+4y的最小值是

48.如图，在△NBC中，晶＞=；8々，点E在线段上移动（不含端点），若我=4几+〃/"，

A1

则彳+一的取值范围是.

2卜i

49.在平面内，定点48,C满足网卜何卜忸方彳.丽=丽.反=成.方=一2,动点P，M满

足同卜1两=MC则|两『的最大值为.

50.在△ZBC中，RD=­DC,彳豆=丽，点厂为△4QC内（包括边界）任意一点，若

市=力丽+〃丽，则2-2〃的取值范围为

【挑战满分】压轴小题3：平面向量

答案解析

1.D

【分析】

JTT—•—•—»—•77"

由题设知a,E的夹角为一［，又<a-c,b-c>=—,若0A=a、OB=b,OC=c,则0,4c8

四点共圆或4C,8在以。为圆心的圆上，求两种情况下出的最值，再确定其最大值即可.

【解析】

—»—»I__2JT—♦—•—•—*JT

由。年=一不，知：,B的夹角为丁，又<a-c,b-c>=r

Na'J

___________27c

」.若OA=a,OB=h,OC=c,即/-AOB=--,Z.

3

>'如上图，当。,4C3四点共圆，而।前|=历—句=*_£)2=后—2%++/=G，

设圆的半径为七则2火=」"L=2,即火=1

sinZ4c6

,当且仅当OC为圆的直径口寸，有最大值I双|二F|=2R=2.

2、如上图，当4c,3在以。为圆心的圆上，此时|反|=6|=1,

综上：口的最大值为2.

故选：D.

【小结】

2TT—*—•—•—►JT

将平面向量转化为点共圆，根据£,B的夹角为三，又<a-c,b-c〉=£,讨论位置关系,

进而应用圆的性质确定H的最大值.

2.B

【分析】

作方=Z，OB=h>反=*取8c的中点,连接。。，分析出OC为等边三角

形，可求得|而计算得出（2—5『..一"『—［卜—9（a—cj=（2S△襁,），利用圆的

几何性质求出A/8C面积的最大值，即可得出结果.

【解析】

如下图所不，作04=Q/OB=b，0C=c，取8。的中点。,连接。Q,

以点。为圆心，,为半径作圆。，

—♦—•b,c1

cosZBOC-cos<b,c>=㈠1=-：0<ABOC<7r,ZBOC=-

W-H23

所以，ABOC为等边三角形,

Q。为8c的中点，ODABC,所以，△3OC的底边8C上的高为口4=2sin（=0,

IIuuuuuuu_____________

a-h=OA-OB=BA，a-c=OA-OC=CA，

所以，(£一3卜(工—B=豆=在.就=|善HX|COSN8/C,

所以，(”乎(力丫一[R一叶R一]=|可・四2一(阿.国cosN创C『

=(网园sin㈤C『=(2S”BJ，

由圆的几何性质可知，当AO。三点共线且。为线段/。上的点时，

△N8C的面积取得最大值，此时，A/8C的底边BC上的高力取最大值，即

爆=|画+1历|=45则(S△诙)皿=；x2x46=4百，

因此，(a—B)(a—c)—[(a—•(<?-c)]的最大值为=192.

故选：B.

【小结】

结论小结：已知圆心C到直线/的距离为"，且圆。的半径为r，则圆。上一点到直线/距

离的最大值为d+r.

3.D

【分析】

jr771

根据题设中的等式可得NAOB=一或ZAOB=—，所以AOAB外接圆C的半径R=2,

33

故A的个数记为圆心C(加,〃)的个数，根据。到直线y=x+l的距离可判断出圆

X2+/=4上存在4个不同的点到直线y=x+1的距离为1,故可得正确答案.

【解析】

因为21a凸+她1=荷+环-击；+片,故21次.砺|=|为卜|砺|,

故|coszL4O8|=(,故COS//O6=±L,

而ZJO8e(07),故ZAOB=三或N4OB=旦.

,33

因为|/8|=26，故A045外接圆的半径H满足73，故R=2.

T

故AO/8外接圆的圆心在圆/+/=4,

设外接圆的圆心为C(%"),

则48为直线y=x+l与圆C：(x-mp+(y-〃)"=4的两个交点，

故A的个数即为圆心C(加,〃)的个数.

V-()的距离d-J4-3=1，

因为O到直线y=x+i的距离为［=注，而2—注＞1,

22

故圆/+/=4上存在4个不同的点到直线y=x+l的距离为1,

故这样的点A个数为4个.

关键小结：根据向量数量积的坐标形式构建向量的等式关系，从而计算出三角形的外接圆的

半径，再根据定弦长把点的存在性问题归结为外接圆的圆心的存在性问题.

4.D

【分析】

设P(xj),由a=/1而+〃历把几,〃用x表示出来，则得出力―〃关于x的函数，再

利用导数的知识求得其最小值.

【解析】

/二—^―

2=Ax+Ux+e*

解析：设P（x,y），由刀=/1而+〃丽得＜解得

3e'.

〃=----7T

x+e

"好与"+1，圮〃（上芈"+1，则〃（力芯六。，所以〃⑴单

调递减，

所以（2一〃）疝=从1）二七富•

故选：D.

【小结】

本题考查向量共线的坐标表示，考查用导数求函数的最值.解题关键是由向量线性运算把

4—〃表示为X的函数.

5.A

【分析】

可证明点。是△N8C的垂心，又点。是△N8C的外心，可知△ZBC是正三角形，则

NAOB=NBOC=NAOC=12。，进而建立直角坐标系，可求得

《苑『―37=12sin（e+T），进而可求出最大值.

【解析】

OAOB-OBOC=0'即砺•（方-1）=砺后=0，所以赤，委,

i上A・LJLUI

同理可得OC_L/8，OA1.BC＞所以点。是△48。的垂心.

又|（方|=|砺|=|碇所以点。是△ABC的外心,

MABC是正三角形，且ZAOB=ZBOC=ZAOC=120°，

建立如图所示的直角坐标系，0405=|O4||081cos1200=-2,

所以|西=|西=|无|=2,则/(0,2),5(-V3,-l),C(G，T，

设P(x,y),由卜尸卜1,可设x=cos8,y=2+sin。,0e[0,2n),

因为画=0心，所以。为PC的中点，所以0（2，2）

则BQ=（3石+cose,3+sin。，瓯（=（373+cos+

所以4|苑[=(3G+cose)2+(3+sinO)2=37+12sin(6+g),

TTTT

所以当d=上时，12sin(6+2)取得最大值12,

即4而2-37=小旗『-37=12sin）的最大值为12.

故选：A.

【小结】

本题考查平面向量数量积的基本运算，考查平面向量在解决几何问题中的运用，考查学生的

计算求解能力，属于难题.

6.B

【分析】

先建系解得O,c坐标，再设E坐标，根据向量数量积列函数关系式，最后根据二次函数性

质求最值.

【解析】

以Z为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设

D(m,n),C(m+2,〃),(m>0,«>0),

,m2-^n2=16,w2+n2=16m=2

因此{-,*{22,{厂，

(加+2,〃)・(〃2—5,〃)=0m+w2-3777-10=0n=243

因此BC:y=-(x-5),y=-2限x-5)，设E(x,-2拒(x-5)),4<x<5,

4-5

V『2也)

=(x,-2V3(x-5)).(x-2,-20(x-5)-273)=13x2-110x+240

5595

当x=e[4,5]时，旅•瓦最小值为石.选B.

【小结】

以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综

合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一

般方法.

7.D

【解析】

如图所示：OA=a>OB=6>OC=c>OD=a+6

.♦.点C在劣弧AB上运动，

B+B-W表示c、D两点间的距离|CD|.

|CD|的最大值是|BD|=2,|CD|最小值为|OD|-2=2&-2.

故选D

8.C

【分析】

设4=<7]+。2也=%+%也=%+4，仄<3,b2<7,<11,且a+4+a=o,构造图

形如图所示，根据数量积的运算化简可得结果.

【解析】

TT—>—»TT—>—>

<7,同《11,且彳+K+K=d，如图所

设6]=%+&2也=a3+a4,bj=牝+%，443,b2

小：

—>—>—>—>->

则/+电-%+06=4也44•

到.

故选：C.

【小结】

本题考查几何法解决向量的运算，考查数量积的运算，考查数形结合的能力，属于难题.

9.C

【分析】

建立直角坐标系，设出C,。坐标，求出就，而，然后化简，利用三角函数知识即可求解

出它的范围.

【解析】

解：如图建立平面直角坐标系.

设。（cos。,sin。），一万<0<7iZ.CAB=a.AC=(。/),一］<a<^,则tana

a

a=2cos2a,/?=2cosasina.

UUUUUUI-------------

力C.AD=(a,b)・(cose—l,sine)=QCOs6+bsine-a=Jo?+〃sin(e+0)-a,其中

a1,冗冗［冗、、▼3乃八.3%

tan(pz——=------,:.a+。=—,-----<°<一,从而-----v9+0<—.

htana22222

uuuuuui---------------------------

J/+62sin(e+0)—Q的最大值为：狂6_q,最小值为：

-\la2+b2-a.

da2+犷-a=Jacos2a)+(2cosasina『-2cos2a=2cosa-2cos2a=-2^cos6Z--^j+g

711

当a=H时，取最大值了.

-\la2+Z?2-a=-2cosa-2cos2a=-2(cosa+；)+；，当a=0时，取最小值-4.

故就•丽的取值范围是为-4,g

故选：C.

【小结】

本题考查向量数量积的应用，考查转化思想和运算能力，建立直角坐标系，利用坐标运算时

解答本题的关键，属于中档题.

10.A

【分析】

设£=刀，b=OB,c=OC＞由题意可得点瓦C在以。4为直径的圆周上，设圆心为E,

作出图形，过E作///C,交OC于点D，交圆于点N,向量而在刀上的投影的长等

于向量砺在丽上的投影的长.所以向量历在丽上的投影的长的最大值为|ON|（当

8,N重合时取最大值.），设Z_AOC=氏则=2sin6,RE|=sin6,|DN|=1-sin。,

（）2，可得答案.

【解析】

设a=OA,b-OB,c=OCa—b—BA，a—c=CA

对任意实数x,y都有,一》.2卜一耳，卜一丁42卜一4成立

即对任意实数x—都有口—x束网，］£一丁|

即84J.。6,C40C.所以点良。在以CM为直径的圆周上.设圆心为E.

鼠伍—£）=砺.就=国川词.cos（%,赤）

|赤|•cos（就，砺）为向量历在就上的投影的长.

过E作皮＞//ZC,交0C于点D，交圆于点N，如图，由OC1AC,则OD1EN

所以向量方在就上的投影的长等于向量方在丽上的投影.

所以向量方在丽上的投影的长的最大值为|DN|（当6,N重合时取最大值.）.

则=砺.就=|研画.os国闻4国.国

设Z.AOC=。,则=2sin2|。同=sin6,\DN\=1一sin。，

贝=2sin6（l-sine）=-2sin29+2sin6

当$足6=；时，|太,丽|有最大值:

所以限伍一£）的最大值以为;

故选：A

B

【小结】

本题考查向量的数量积的最值问题，考查向量的几何意义，考查向量的投影的计算，属于难

题.

11.D

【分析】

以8为原点，8c所在直线为x轴，建立坐标系.由余弦定理可求出cosN/8C=U,

16

结合同角三角函数的基本关系可求出《11a480=尊^从而可求出8(0,0),C(4,0),

A——，设A/(x,0),用x表示向量4而+3砺+2砒的坐标，从而可求出

14必+3砺+2^q的表达式，进而可求出最小值.

【解析】

11

解:由余弦定理可知cosN/BC="+'0-"=2一+.-3-

2ABBC2x2x416

3V15

所以sinNABC=Vl-cos2ZABC

16

如图，以8为原点，8C所在直线为x轴，建立坐标系，则6(0,0),C(4,0),设

M（x,0）,

因为Z8-cosNZBC=2x[=?,AB.SmZABC=2x^l=^l

168168

则/，所以血MS=(-x,0)A7C=(4-x,0),

11%)+3(-可+2(4一》)=孑一98，4x3y+3x0+2x0=

因为4

2

，因为［卫一9x|>0,

2

3〉3小

当x=3时等号成立，所以+3MB+

22

【小结】

本题考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了向量的线性坐标运算，考查

了向量模的坐标表示.本题的关键是通过建立坐标系，用一个未知数表示所求模长.

12.B

【分析】

利用建系的方法，假设4D=l,4P=m,分别计算方,定以及3万+2定，然后令

左=，丞—土加，最后根据二次函数的性质可得结果.

2

【解析】

依据题意，建立如图所示平面直角坐标系

设AD=Z,AP=m,

71

由N£M8=—,

4

一、JV2V21（42।…

所以尸,D,C+,5（2,0）

\/\/\/

-fV26、_（&6五五\

则尸B=2----m,----m.PC=——t-----阳+1,——t-----tn

222222

\/\7

__.（cFjsJi、

所以308+2PC=8+"—一~m,y/2t一一—m

I22J

令人=伤一乎〃？，贝”3而+2定=（8+%,左）

所以13而+2PC\=&8+行+H=，2公+16左+64=回比+W+32

当后=_4时，有13万+2定|=4A/2

IImin

故选：B

【小结】

本题考查利用建系的方法解决向量的问题，本题关键在于采用建系，用坐标表示向量，几何

问题代数化，便于计算，属难题.

13.C

【分析】

利用向量的数量积运算可得斯•班=（前『—（函『，利用|0O|=|0M+|NO|,进一

步利用椭圆的定义可转化为/一02,进而得解.

【解析】

连接。鸟,设椭圆的基本量为凡仇c,

西•函=（函+西）•（函+函）=（函）2-（西）1

=（例+陷）2-2/回+收1]一。2=/

_c2=b2=3

本题考查椭圆的定义与平面向量的数量积的运算，属中档题，关键是利用向量的数量积运算

进行转化，并结合椭圆的定义计算.

14.A

【分析】

先以8为坐标原点，8C为X轴，建立直角坐标系，设P的横坐标为X,将丽.而用X表

示分段表示出来，再求最小值/（。），再对/（。）=h-1有两不等实根变形，可转化为两

函数有两个交点，数形结合，求出a的取值范围.

【解析】

解：以8为坐标原点，8C为x轴，建立直角坐标系如图所示：

设尸的横坐标为X,则“4x43

3

当a4x<3-a时，P在40上动，P(x,a),则否云.而+

3

当x=a时，砺.而的最小值/⑷=/+y：

当3-aWxW3,时，尸在C。上动，则尸(x,3-x),

.——3_、3-2a-

则BE.BP=一%+(z3-工)。=------x+3a,

39

当x=3-a时，丽.丽的最小值/(〃)=Q2一万白+万

339Q

又(Q-4--ci)—(Q~―,Q+­)=3tz——<0,

故/(〃)=矿+万〃，Cl€

3

又/(a)=总-1有两不等实根，则/+万。=

2

133

则氏=Q4---1■不在(0,不)有两不等实根，

a22