人教版初中数学中考一轮复习 轴对称（含解析）

相对称

知识梳理

作业完成啃况

,典典1保究,

k

例1.如图，四边形。I隙是面积为4的正方形，函数y=—(x>0)的图象经过点8.

x

(1)求人的值；

(2)将正方形力回分别沿直线AB,酸翻折，得到正方形MABC和NA'BC.设线段MC',

v

m'分别与函数y=+(x>0)的图象交于点尸，E.求线段3所在直线的解析式.

例2.(1)观察发现

如题26(a)图，若点A,B在直线同侧，在直线上找一点P,使AP+BP的值最小.

做法如下：作点B关于直线的对称点8',连接A5',与直线的交点就是所求的点P

再如题26(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2,点E是AB的中点，AD是高，在AD上找

一点P,使BP+PE的值最小.

做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合,连接CE交AD于一点，则这

点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为____.

AQ

一A

BBDC

题26(a)图题26(b)图

⑵实践运用

如题26(c)图，已知。。的直径CD为4,AD的度数为60°,点B是AO的中点，在直

径CD上找一点P,使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.

题26(c)图题26(d)图

(3)拓展延伸

如题26(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P,使NAPB=NAPD.保留

作图痕迹，不必写出作法.

例3.将边长0A=8,0C=10的矩形0ABC放在平面直角坐标系中，顶点0为原点，顶点C、A

分别在x轴和y轴上.在0A、OC边上选取适当的点E、F,连接EF,将aEOF沿EF折叠，使

点0落在AB边上的点D处.

图1图2

(1)如图1,当点F与点C重合时，求0E的长度.

(2)如图2,当点F与点C不重合时，过点D作DG〃y轴交EF于点T,交0C于点G,

求证：EO=DT.

例4.已知一个直角三角形纸片(MB,其中NAO8=90°,04=2,OB=4.如图，将

该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边0B交于点C,与边AB交于点D.

(1)若折叠后使点8与点A重合，求点。的坐标；

(2)若折叠后点8落在边Q4上的点为设OB'=x,OC=y,试写出y关于x的

函数解析式，并确定y的取值范围；

(3)若折叠后点8落在边上的点为8',且使3'。〃03,求此时点。的坐标.

演媒方阵

A组

1.京剧是我国的国粹，剪纸是流传已久的民间艺术，这两者的结合无疑是最能代表中国特色

的艺术形式之一.图中京剧脸谱剪纸中是轴对称图形的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.把长为8cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯

形，剪掉部分的面积为6cm2,则打开后梯形的周长是（）

A.(10+2JTJ)cmB.(10+VFJ)cm

C.22cmD.18cm

3.将图⑴的正方形色纸沿其中一条对角线对折后，再沿原正方形的另一条对角线对折，

如图⑵所示。最后将图⑵的色纸剪下一纸片，如图⑶所示。若下列有一图形为图⑶

的展开图，则此图为何？

图(1)3(2)3(3)

iC\

4.下列图形中，△A，BC与AABC关于直线MN成轴对称的是)

5.如图，正六边形ABCDEF关于直线1的轴对称图形是六边形A'B'C'D'E'F'.下列判断专苜

送的是（）。

A.AB=A'8'B.BC//B'C

C.直线21BB'D.ZA'=120

6.如图，由4个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点.在田字

格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包

含△A3C本身）共有个.

7.将三角形纸片ABC沿过点A的直线折叠，使得4C落在45边上，折痕为AD,展

平纸片（如图1）；再次折叠该三角形的纸片，使得点/与点〃重合，折痕为即再次展平

后连接庞、加'(如图2),

8.如图，镜子中号码的实际号码是一

■JI>-

9.小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是()

10.当你看到镜子中的你在用右手往左梳理你的头发时，实际上你是()

A.右手往左梳B.右手往右梳

C.左手往左梳D.左手往右梳

B组

11.如图，在直角坐标系中，A(—1,5),B(-3,0),C(-4,3).

(1)在右图中作出AABC关于y轴的轴对称图形AA'B'C'；

(2)如果△ABC中任意一点M的坐标为(x,y),那么它的对应点N的坐标是

12.有如图匚・□■的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行

和每一列中，同色的小正方形仅为2个，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格

中画出你拼出的图案.(画出的两个图案不能全等)

(1)(2)

12.己知图中的图形都是轴对称图形，请你画出它们的对称轴.

14.下列图形中对称轴最多的是()

(A)圆(B)正方形

(C)等腰三角形(D)线段

15.如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片46曲做折纸游戏，他将纸片沿

斯折叠后，D、C两点分别落在。',C'的位置，并利用量角器量得/板=65°,

则N4切'等于度.

16.如图，在RtZUBC中，/C=90°,4C=8,BC=6,按图中所示方法将△式。沿劭折叠,

使点，落在边四上的点C处，则折痕加的长为.

17.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张/MBC纸片，点。、E分别是边AB、AC

上，将ZVIBC沿着DE折叠压平，A与4重合，若NA=70°,则Nl+N2=()

A.140°B.130°

C.110°D.70°

c

18.如图1,在梯形46（力中，AD//BC,ZABC=60°,DB平■分4ABC,4分2,翻折梯形力比®

使点6与点〃重合.画出翻折图形，并求出折痕的长.

19.如图，在笫中，AB^AC,是比1边上的高，点反尸是4〃的三等分点，若△4比1的

面积为12c诡则图中阴影部分的面积是cnf.

20.如图，正方形纸片/腼的边长为8,将其沿）折叠，则图中①②③④四个三角形的周

长之和为.

21.小明尝试着将矩形纸片/啦（如图①，AD>CD）沿过1点的直线折叠，使得8点落在

边上的点尸处，折痕为46（如图②）；再沿过。点的直线折叠，使得C点落在以边上

的点N处，£点落在边上的点M处，折痕为加（如图③）.如果第二次折叠后，材

点正好在/知法的平分线上，那么矩形465长与宽的比值为

22.如图，将正方形纸片ABC。折叠，使点8落在。。边上一点E（不与点C,。重合），

1

压平后得到折痕MN.设AB=2,当C*E=士时，则A与M巴=

CD2BN--------------

若C匕E=上1（〃为整数），则A3M巴=.（用含〃的式子表示）

CDnBN

23.如图4,正方形纸片ABCD的边长为1,M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿

过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A',折痕交AD于点E.

①若M、N分别是AD、BC边的中点，求A'N.

②若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（〃22,且n为整数），求A'N

（“N2,且”为整数）（用含有n的式子表示）.

成民足迹

爆后检测

轴对称

翼我探究

例1.如图，四边形的a1是面积为4的正方形，函数y=K(x>0)

x

的图象经过点区

(1)求火的值；

(2)将正方形力a'分别沿直线46,a'翻折，得到正方形胡宏

k

和NA'8C设线段MC',NA'分别与函数y=—(X>0)的图象交于

x

点八E.求线段用所在直线的解析式.

解：

解:(1)•:B(2,2),

k=4...............................1分

(2)由翻折可知，"(4,0)及(0,4)

可求得产(4,1),£(1,4)...............3分

设直线'的解析式为y=kx+b,

可求得

k=-1,b=5....................................................—............................................................................................•••..4

分

所以，线段跖所在直线的解析式为y=-x+5............................................................................5分

例2.(1)观察发现

如题26(a)图，若点A,B在直线同侧，在直线上找一点P,使AP+BP的值最小.

做法如下：作点B关于直线的对称点5',连接A3',与直线的交点就是所求的点P

再如题26(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2,点E是AB的中点，AD是高，在AD上找

一点P,使BP+PE的值最小.

做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这

点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为.

题26(a)图题26(b)图

⑵实践运用

如题26(c)图，已知。0的直径CD为4,AD的度数为60°,点B是A。的中点，在直

(3)拓展延伸

如题26(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P,使NAPB=NAPD.保留

作图痕迹，不必写出作法.

【答案】解:

(2)如图:

作点B关于CD的对称点E,则点E正好在圆周上，连接0A、OB、OE,连接AE交CD与

一点P,AP+BP最短，因为AD的度数为60°,点B是的中点,

所以NAEB=15°,

因为B关于CD的对称点E,

所以NB0E=60°,

所以AOBE为等边三角形，

所以N0EB=60°,

所以N0EA=45°,

又因为OA=OE,

所以AOAE为等腰直角三角形，

所以AE=2次.

（3）找B关于AC对称点E,连DE延长交AC于P即可,

例3.将边长0A=8,OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点0为原点，顶点C、A

分别在x轴和y轴上.在OA、0C边上选取适当的点E、F,连接EF,将AEOF沿EF折叠，使

点0落在AB边上的点D处.

图1图2图2T

(1)如图1,当点F与点C重合时，求0E的长度.

(2)如图2,当点F与点C不重合时，过点D作DG〃y轴交EF于点T,交0C于点G,

求证：EO=DT.

解（1）如图1,设0E为x,则AE为8-x.

；AEDF是由△EFO折叠得到的,

OE=DE=x,OC=DC=10.

•.•在直角ABCD中由勾股定理知BD=6,则AD=4,

，在直角AADE（8-X）2+16=X2,则x=5.

.•.0E的长为5.

证明：（2）如图2-1,

VAEDF是由△EFO折叠得到的，

.".DE=EO,Z1=Z2.

又，.以〃丫轴，

.\Z1=Z3.

AZ2=Z3.

.\DE=DT.

.\EO=DT.

例4.已知一个直角三角形纸片OAB,其中NAQB=90°,。4=2,03=4.如图，将该

纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边0B交于点C,与边A3交于点。.

（1）若折叠后使点8与点A重合，求点。的坐标；

（2）若折叠后点8落在边04上的点为8',设O6'=x,OC=y,试写出y关于x的

函数解析式，并确定y的取值范围；

（3）若折叠后点8落在边04上的点为5',且使求此时点。的坐标.

答案：（1）如图①，折叠后点8与点A重合,

则△ACD四△BCD

设点。的坐标为（0,加）（〃z>0）.

则BC=OB—OC=4-m

于是AC=BC^4-m.

在RtA^AOC中，由勾股定理，得AC?=。。2+”42,

3

即（4—〃。9-=m2+22,解得加=；.

.••点C的坐标为

（2）如图②，折叠后点8落在0A边上的点为5',

则△B'CQgABCD

由题设OB'=x,OC=y,

则B'C=BC=OB-OC=4-y,

在RtZXB'OC中，由勾股定理，得8'。2=0。2+03'2.

•••（4-J）2=/+X2,

即”——2+2

8X

由点6'在边。4上，有0WxW2,

解析式y=—（0WxW2）为所求.

当0W%W2时，y随x的增大而减小，

的取值范围为］WyW2.

（3）如图③，折叠后点8落在。4边上的点为8",且*O〃0B.

则NOCB"=NCB"D.

又/CBD=/CB"D,/OCB"=/CBD,有CB"〃BA.

Rt^COB"sRtABOA.

右OB"OC,„SR.

有----=---->得OnCr-2OB.

OAOB

在RtZJTOC中，

设03"=%（x>0）,则0C=2x0.

由（2）的结论，得2x（）=—r。+2,

解得％=-8±4石./>0,=-8+46.

.・•点C的坐标为（0,8后-16）.

图①图②图③

演臻方阵

A组

了解图形的轴对称

1.京剧是我国的国粹，剪纸是流传已久的民间艺术，这两者的结合无疑是最能代表中国特色

的艺术形式之一.图中京剧脸谱剪纸中是轴对称图形的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】：C

2.把长为8cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯

形，剪掉部分的面积为6cmI则打开后梯形的周长是（）

A.（10+2713）cmB.（10+V13）cmC.22cmD.18cm

【答案】A

3.将图（六）的正方形色纸沿其中一条对角线对折后，再沿原正方形的另一条对角线对折，

如图（七）所示。最后将图（七）的色纸剪下一纸片，如图（八）所示。若下列有一图形为图

（八）的展开图，则此图为何？

(A)(B)(0(D)

理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质;

4.下列图形中，与aABC关于直线MN成轴对称的是)

5.如图，正六边形ABCDEF关于直线1的轴对称图形是六边形4'3'。'。'石'尸'.下列判断塔

考的是（）。

A.AB=A'B'B.BC//B'CC.直线CBB'D.ZA'^120

【答案】B

6.如图，由4个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点.在田字

格上画与△A8C成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包

含△A3C本身）共有_______个.

【答案】3个

7.将三角形纸片ABC（AS>AG沿过点A的直线折叠，使得〃'落在四边上，折痕为AD,展

平纸片（如图1）；再次折叠该三角形的纸片，使得点4与点，重合，折痕为勿再次展平

后连接班'、所（如图2）,证明：四边形4的'是菱形。

A

A

【答案】证明：•••三角形纸片［a'TQ/O沿过点/的直线折叠，使得然落在四边

上，折痕为

：.ZBAD=ZCA£>

又•.•点4与点。重合，折痕为跖，设跖和助交点为材，

：.AD±EF,MD=MA

：.NAME=N4监'=90°

在和△//汹中，4BAD=4CAD,ZAME=ZAMF=90°

AM=AM,

/\AEM^/\AFM

：.ME^MF

又,：ADLEF,MD=MA

...四边形4的'是菱形。

了解物体的镜面对称

8.如图，镜子中号码的实际号码是_______.“己日苦方

【答案】：3265---------------

9.小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（）

【答案】：D

10.当你看到镜子中的你在用右手往左梳理你的头发时，实际上你是（

A.右手往左梳B.右手往右梳C.左手往左梳D.左手往

右梳

【答案】：D

B组

能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；

11.如图，在直角坐标系x0中，A（—1,5）,B（-3,0）,C（一4,3）.

（1）在右图中作出AABC关于y轴的轴对称图形△△'B'C'；

（2）如果△ABC中任意一点M的坐标为（x,y）,那么它的对应点N的坐标

是_________

【答案】（1）略（2）（-x,y）

12.有如图■的8张纸条,用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行

和每一列中，同色的小正方形仅为2个，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格

中画出你拼出的图案.（画出的两个图案不能全等）

(1)(2)

(1)(2)

掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；

12.已知图中的图形都是轴对称图形，请你画出它们的对称轴.

14.下列图形中对称轴最多的是（）

（A）圆（B）正方形（C）等腰三角形（D）线段

【答案】A

15.如图，小章利用一张左、右两边己经破损的长方形纸片/99做折纸游戏，他将纸片沿

厮折叠后，D、C两点分别落在〃'.C的位置，并利用量角器量得/板=65°,

则切'等于▲度.

【答案】50

16.如图，在RtzMa'中，NC=90°,"=8,BC=6,按图中所示方法将△式。沿面折叠,

使点C落在边防上的点C'处，则折痕切的长为.

【答案】375

17.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张"BC纸片，点。、£分别是边A3、AC

上，将AABC沿着DE折叠压平,A与A重合，若NA=70°,则Nl+N2=()

A.1纵)°B.130°C.110°D.70°

【答案】A

18.如图1,在梯形/腼中，AD//BC,//aW0°,DB平级匕ABC,AD=2,翻折梯形/腼

使点6与点。重合.画出翻折图形，并求出折痕的长.

图1-1

解：如图IT,作AE_LBD,交BC于E,连结DE.

在梯形/阅9中，'：AD//BC,DB4令4ABC,

：.NABD=4DBE=NAIB

：.AB=AD.

当把梯形4?切翻折使8点与点〃重合,

则折痕过点A.

'.•AEJ_BD,交BC于E.

/.AB=BE.

VZABE=60°,

AABE是等边二角形.

二折痕4后AB=4/2.

掌握基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关

性质

19.如图，在△49C中，AB=AC,也是8C边上的高，点从F是AD

的三等分点，若△4?。的面积为12c/则图中阴影部分的面积是

【答案】6

20.如图，正方形纸片/腼的边长为8,将其沿〃折