2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评四十八

核心素养测评四十八

空间直角坐标系、空间向量及其运算

巩固提升练(25分钟50分)

一、选择题(每小题5分，共35分)

1.已矢口a=(2,3,-4),b=(-4,—3,—2),b」x-2a,贝Ix等于()

A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)

C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)

【解析】选B.由b=丄x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).

2.在空间直角坐标系中，已知A(l,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足

丨同1=1加，则P点坐标为()

A.(3,0,0)B.(0,3,0)

C.(0,0,3)D.(0,0,-3)

【解析】选C.设P(0,0,z),

则有J(l-0)2+(一2-0)2+(l-z)2

二J(2-0尸+(2-0)2+(2-2产解得z=3.

3.若非零向量a,b满足|a零向I,(2a+b)-b=0,则a与b的夹角0为

)

-1-

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解析】选C.因为（2a+b）•b=0,所以2a•b+b2=0,

所以21a||b|cos0+|b|2=0,又因为|a|=|b|#=0,

所以cose=-丄，所以e=i20°.

4.已知点A,B,C不共线,对平面ABC外一点0,在下列条件下，点P与A,B,C共面

的是（）

A.而=2福-2丽京

B.7）P-~OA+-~OB+-~OC

K1

C.而+而=3而岳

D.而+痔453+赤

【解析】选C.C项可变形为而」5N+丄话+丄坑，因为丄+丄+丄=1,所以点P,A,B,C

qaaaaa

共面；其他项不可以.

5.在空间四边形ABCD中，丽•丽+就•而+而•而二（）

A.-1B.0C.1D.不确定

【解析】选B.如图，令jR=a,^C=b，775=c,

贝I丽・'CD+AC,府+丽・RC

-2-

=a•(c-b)+b,(a-c)+c,(b-a)

=a-c-a,b+b•a-b•c+c•b-c,a=0.

【秒杀绝招】选B.如亂在空间四边形ABCD中，连接对角线AC,BD,得三棱锥

A-BCD,不妨令其各棱长都相等,即为正四面体，因为正四面体的对棱互相垂直,

所以而.而二0，記.万戸=0，而・前=。.

所以而•而+无•丽+而•前二0.

6.已知而=(1,5,-2),前=(3,1,z),若丽丄前，后F=(x—1,y,—3),且BP丄平面

ABC,则实数x,y,z分别为()

A.3-竺,4B.X,-竺,4

7777

C.—,-2,4D.4,—,-15

77

【解析】选B.因为说丄近,所以说•前二0,

即3+5-2z=0,得z=4.

又因为BP丄平面ABC,所以BP丄AB,BP丄BC,瓦＞(3,1,4),则

40

“，

(y-—二

-3-

7.已知｛a,b,c｝是空间的一个基底，｛a+b,ab,c｝是空间的另一个基底，一向量p

在基底｛a,b,c｝下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底｛a+b,ab,c｝下的坐标是

()

A.(4,0,3)B.(3,1,3)

C.(1,2,3)D.(2,1,3)

【解析】选B.设p在基底｛a+b,ab,c｝下的坐标为x,y,z.则p=x(a+b)+y(a-b)+zc

=(x+y)a+(x-y)b+zc,①

因为p在｛a,b,c｝下的坐标为(4,2,3)

所以p=4a+2b+3c,②

卜+y=4,俨=3,

由①②得］x-y=2,所以y=1,

即p在｛a+b,a~b,c｝下的坐标为(3,1,3).

二、填空题(每小题5分，共15分)

8.已知a=(x,4,1),b=(—2,y,-1),c=(3,-2,z),a//b,b±c,贝!Jc=.

【解析】因为a〃b,所以三=七二土，

-2y-1

解得x=2,y=-4,

此时a=(2,4,l),b=(-2,-4,-1),

又因为b±c,所以b•c=0,

即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).

答案：(3,-2,2)

-4-

9.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中

点,cos〈丽，症》三士若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐

标系，则点E的坐标为

【解析】设PD=a,则A(2,0,0),B(2,2,0),

P(0,0,a),E(l,1,H).

所以痴=（0,0,a）,航=（T,1a）.

由cos<fyp,~A^>^-,所以里=a（2+—沮,所以a=2,所以E的坐标为（1,1,1）.

22743

答案：（1,1,1）

10.如图，已知在一个60°的二面角的棱上，有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二

面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,则CD的长

.n

【解析】设丽=2通力，而=c,

由已知条件|a|=8,|b|=4,|c|=6,

<a,b>=90°,<b,c>=90°,<a,c>=60°,

-5-

2=

Ol\'CA+AB+BD12=l-c+b+aI2

=az+b2+c2+2a•b-2a•c-2b•c=68,

则I而I=2日.

答案cm

综合运用练（15分钟35分）

1.（5分）已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则

而%一荏+而等于（）

A.-PBB.3而％C.3CMD.2而

7

【解析］选B.就一丽+而丄丽一（四一丽）二三丽=3祝.

77

2.（5分）已知非零向量而与标满足（三+匹）•前=0且三•至-=1,则

\AB\1/lCl\AB\I/4CI?

△ABC为（）

A.三边均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰非等边三角形D.等边三角形

【解析】选D.由（纟-•前二0知：NA的平分线垂直于BC,所以4ABC为

I丽I\AC\

等腰三角形；由空«坐-丄知NA=60°,所以4ABC为等边三角形.

\AB\Ucl?

3.（5分）如图，已知在直三棱柱ABC-ABC中，有下列三个条件:①AB丄AC@AB

1111I1

丄BC;③BC=AC.试利用①、②、③构造出一个正确的命题________.

11111

-6-

【解析】设G4=a,。&=b，前=c,由AB±AC«ATB,幅=°=

(b-a+c)(-c-a)=0,

所以a•b=|a12-1c12,①

由A1B丄己•瓦d=0Q(b-a+c)(c-b)=0,所以a•b=|b)2-|c12,②

由BC=AC得|a|2=|b[2,③

1111

由①②③不难看出①②"③;①③=②;②③=①.

答案:①②"③(或①③"②;②③=①)

4.(10分)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点

E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算：

⑴酢•瓦5.⑵而'DC-

(3)EG的长.

⑷异面直线AG与CE所成角的余弦值.

【解析】设通=a,而=b，丽=c

则Ia|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,

-7-

屈丄前丄L%BA=-a,方岸b-c,

79?

(1)EF•ff2=(-c--a)•(—a)丄a24a•c=i

29774

(2)而•(c-a)•(b-c)=-(b•c-a•b-C2+a•c)

224

(3标与+前+而号a+b-a+片b

=-ia+ib+^c,|EC12=-aa+ib2+ic2-la・b+ib•c--c・a=i,则I肅I*

22244422227

⑷砂打C行而+應-b+|a,

cos。。，c

IAGIICEIR

由于异面直线所成角的范围是(0「］,

2

所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为L

a

5.(10分)如图，在棱长为a的正方体OABC-0ABC中,E,F分别是棱AB,BC上的动

1111

点，且AE=BF=x,其中OWxWa,以0为原点建立空间直角坐标系0-xyz.

(1)写出点E,F的坐标.

⑵求证:AF丄CE.

11

⑶若A」E,F,Q四点共面,求证:市弓&cj市.