2023年初升高数学暑假衔接-幂函数（学生版）

第2.5章根本初等函数

2.5.1幕函数

度］溪理要求了iw求心中有修

1了解某函数的概念;

后J中要求2结合函数)/=%,y=x2,y=X3,y=x~1,y=X2的图象，了解它们的变化情

况

口△基础知识夯实基・，・立完赛知识体聚

1塞函数的定义

一般地，形如y=x"的函数称为幕函数，其中％是自变量，a为常数.

注注意嘉函数中xa的系数是1,底数是变量居指数a是常数；

2正数的正分数指数幕的意义

(1)正数的正分数指数幕的意义，规定：aT=y®(a>o,m,neN)Eln>l)

巧记"子内母外"(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)

(2)正数的正分数指数哥的意义：a>O,m,nG/V*，且ri>1)

Egy/x=x2,x-2=?x-2=—=^.

(3)0的正分数指数事等于0,0的负分数指数累没有意义.

3零函数图像及其性质

1

(1)幕函数y=X,y=x2,y=x3,y-x2,y=%一1的图象.

(2)幕函数y-x,y-x2,y-x3,y-x2,y=的性质

1

3_1

y=xy=x2y=xy=%'y=x

w

厂

图象U

TT、

定义域RRR[0,+00)%。0

值域R[0,+00)R[0,+oo)x=^=0

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数

在(-8,0］上递减在［0,+oo)在(-8,0)上递减

单调性在R上递增在R上递增

在(0,+8)上递增上递增在(0,+8)上递减

定点(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(L1)

⑶性质

①全部的幕函数在(0,+8)都有定义，并且图象都过点(1,1)；

②a>0时，嘉函数的图象通过原点，并且在［0,+8)上是增函数.

特别地，当a>l时，幕函数变化快，图象下凹：当0<a<l时，累函数变化慢，图象上凸.

1

Egy=%2图象上凸，y=/图象下凹，在［0,+8)上是增函数.

③a<0时，基函数的图象在(0,+8)上是减函数.在第—象限内，当无从右边趋向原点时，图象在y轴右

方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+8时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

.11

Ecgy=x1=",

卷经典例题

从典例中见n■能力

（题型1）幕函数的概念

（典题1）已知函数/（乃=（/+2?71-2）”2-吟1是塞函数，则加=

变式练习

1.已知/（x）=ax2a+1-b+1是基函数，则a+b=.

2.幕函数f（x）的图象过点（2勺，则/'（3）=.

（题型2）幕函数的图象及其性质

（典题1）基函数y=xa,y=xb,y=x5y=/在第一象限的图象如下图，贝ija,b,c,d的大小关系是（）

A.a>b>c>dB.d>b>c>aC.d>c>b>aD.b>c>d>a

）71

（典题2）己知基函数〃功=尤2-21„-3（小€2）的图象关于原点对称，且在（0,+8）上是减函数，则m

(典题3)已知点(",2)在幕函数f(x)的图象上，点(-2,：)在幕函数g(x)的图象上.

(1)求函数/(x),g(x)的解析式；

(2)推断函数g(x)的单调性并用定义证明；

(3)问x为何值时有f(x)<g(x).

变式练习

1.任意两个幕函数图象的交点个数是()

A.最少一个，最多三个B.最少一个，最多二个

C.最少0个，最多三个D.最少0个，最多二个

11

2.函数丫=刀22=%-1)=必)=%二在第—象限内的图象依次是图中的曲线()

A.C2，C\,C3,C4B.C4,Cj,C3,gC.C3,Q，。1，。4D..Cj,C4,C*2，C3

3.基函数y=/(x)经过点(3,、后)，则/0)是()

A.偶函数，且在(0,+8)上是增函数B.偶函数，且在(0,+8)上是减函数

C.奇函数，且在(0,+8)是减函数D.非奇非偶函数，且在(0,+8)上是增函数

m

4.如下图是函数y=x7m、n€N*且互质)的图象，则()

A.m、n是奇数且?<1B.m是偶数，联是奇数，且

C.m是偶数，般是奇数，且?<1D.m、n是偶数，且三>1

5.已知塞函数/(x)=(m-1)2尤m-3m+2在(0,+8)上单调递增，则/。)的解析式是.

6.已知a€{-2,假设塞函数/'(x)=#为奇函数，且在(0,+8)上递减，则&=

7.已知事函数/(X)=x/-m-2sleZ)是偶函数，且在(0,+8)上是减函数，求函数/(X)的解析式.

8.已知塞函数/0)=解+“-#

(1)假设f(x)为偶函数，且在(0,+8)上是增函数，求f(x)的解析式;

(2)假设/(%)在(0,+8)上是减函数，求k的取值范围.

(题型3)募函数的应用

(典题1)比拟以下各组数的大小.

(1)32和3.12；(2)-8s和-目；

变式练习

✓25\25

1.已知a=(五),6=1.0250,c=1.01i0°,则()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

2.已知f(x)=(n2-3n+3)xn+i为基函数，且f(x)为奇函数.

⑴求函数/(x)的解析式；(2)解不等式/(x+1)+/(3-2x)>0.

',轻松训练通皿习，讯国筋力

1.图中曲线是基函数y=%n在第—象限的图象，已知n取±2,土;四个值，则相应于曲线C1，。2，。3，。4的

n依次为()

11111111

A.-2,-2»2»2B.2,2,-2,-2C.-2/-2,2,^D.2,,,-5,-2

2.假设三个基函数y=x°,y=x",y=x，在同一坐标系中的图象如下图，贝ija,瓦c的大小关系是（）

a>b>cD.a>c>b

3.以下命题中：

①幕函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；

②幕函数的图象不可能在第四象限；

③当n=0时，基函数y="的图象是一条直线；

④当n>0时，基函数y=x”是增函数；

⑤当n<0时，幕函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小.

其中正确的选项是()

A.①和④B.④和⑤C.②和③D.②和⑤

3

5.已知函数/(x)=(a-1)非2T是基函数，则/"(2)的值为.

6.已知事函数/(x)=/的图象经过点(2,乎)，则/(4)的值为.

7.已知幕函数f(x)过点(2,苧)，则f(无)的解析