2022-2023学年河北省唐山市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省唐山市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.复数z=l-i,贝!]z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知t=（l,7n）,b=（2,4）>若，〃石，则加为（）

A.—3B.—2C.0D.2

3.某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为1,2,3,4的四种添加剂

可供选用，则选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为（）

A.—B.-C.TD.-

2345

4.在正三棱柱—4B1G中，4B=44i=2,E为棱4:的中点，则异面直线4位与BC所

成角的余弦值为（）

5.为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了10株，测量数据如下（单位cm）：60,61,

62,63,65,65,66,67,69,70,则第40百分位数是（）

A.62B.63C.64D.65

6.若圆锥的底面半径为一?,高为1,过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（）

A.2B.<3C.27rD.2<3兀

7.从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对

立的是（）

A.“至少有1名女生”与“都是女生”

B.“至少有1名女生”与“至少有1名男生”

C.“恰有1名女生”与“恰有2名女生”

D.“至少有1名女生”与“至多有1名男生”

8.在44BC中，角4,B,C的对边分别是a,b,c,已知4=a=2.若（sinA-sinB^asinA+

加沆B)-(a-b)sin2c=0,则△4BC的面积为()

A.CB.C或殍C.空ID.1或2

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知一组数据3,5,6,9,9,10的平均数为久，方差为s2,在这组数据中加入一个数据

7后得到一组新数据，其平均数为9,方差为s'2,则下列判断正确的是（）

A.x=x'B.x<x'C.s2=s'2D.s2>s'2

10.在△ABC中，下列结论正确的是（）

A.若A>B,贝！jsinA>sinBB.若sinA>sinB,则4>B

C.若4>B,贝!]s讥24>sin2BD.若C为钝角，则sin/l<cosB

11.若Zi，Z2是关于x的方程/-2x+2=0的两个虚根，则（）

2

A.=z2B.zf+Z2>0C.（zj+z2）>0D.z：♦z/>0

12.如图，在菱形4BC0中，ABAD=60°,延长边CD至点E,使得DE=CD.动点P从点4出

发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到A点，若押=4卷+”近，则（）

A.满足2+〃=1的点P有且只有一个B.满足4+〃=2的点P有两个

c.a+“存在最小值D.4+〃不存在最大值

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若复数Zi=-2+i,z2=1-3i,贝|%—22|=.

14.甲、乙两人参加驾考科目一的考试，两人考试是否通过相互独立，甲通过的概率为0.6,

乙通过的概率为0.5,则至少一人通过考试的概率为.

15.若△ABC的面积为S,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且4S=1。九4（炉+c2-5）,

则a=.

16.在正六棱台4BC0EF-4'B'C'D'E'F'中，AB=4,A'B'=3,A'A=设侧棱延长线

交于点P,几何体P-4'B'C'D'E'F'的外接球半径为％,正六棱台48CDEF-AB'C'D'E'F'的外

接球半径为此，则此正六棱台的体积为，.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知平面向量日与族的夹角为60。，且同=1,|瓦=2.

⑴求|2日一山;

(2)若,+另与2五一k8垂直，求k的值.

18.(本小题12.0分)

近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BM/来衡量人体胖瘦程度.其计算

公式是：BMI=体吗.以纵成年人的BM/数值标准是：BMI<18.5为偏瘦；18.5<BMI<

身高(单位:m2)

24为正常；24WBM/<28为偏胖；228为肥胖.某公司随机抽取了100个员工的体检数

据，将其BM/值分成以下五组：[12,16),[16,20),[20,24),[24,28),[28,32],得到相应的

频率分布直方图.

(1)求a的值，并估计该公司员工BM/的样本数据的众数与中位数(精确到0.1)；

(2)该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工数值正常的人数.

19.(本小题12.0分)

在△ABC中，内角4B,C的对边分别是a,b,c,已知2ccosC+acosB+bcosA=0.

(1)求角C的大小；

(2)若c=3,AB边上的中线CD=1,求△力BC的周长.

20.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥B-4CED中，AD//CE,40_L平面ABC,AD=2,CE=1,△4BC是边长为

2的等边三角形，F为棱BD的中点.

(1)证明：EF〃平面ABC；

(2)求4E与平面BCE所成角的正弦值.

21.(本小题12.0分)

某工厂为加强安全管理，进行安全生产知识竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮

从4类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B类的4个

问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分,若两轮总得分不低于40分，则晋

级复赛.甲和乙同时参赛，已知甲每个问题答对的概率都为0.6,在4类的5个问题中，乙只能

答对4个问题，在B类的4个问题中，乙答对的概率都为0.4,甲、乙回答任一问题正确与否互

不影响.

(1)求乙在第一轮比赛中得20分的概率；

(2)以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？

22.(本小题12.0分)

如图1,在直角梯形4BCO中，AB//CD,ADLAB,CD=2AB=2AD=2y/~2,“是CD的中

点，BD与AM交于0点、,将AADM沿向上折起，得到图2的四棱锥D'-ABCM.

(1)证明：BC1平面D'OB；

(2)若。'8=1,求二面角D'-MC-8的正切值.

图1图2

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：复数z=l-i,

则z(l,-1)对应的点位于第四象限.

故选：D.

根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：因为汁=(l,7n),b=(2,4).a//b，

所以lx4-2m=0,得m=2.

故选：D.

根据平面向量平行的坐标表示可得结果.

本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量共线的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算

能力，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：根据题意，从芳香度为1,2,3,4的四种添加剂中随机抽取两种添加剂，

其可能结果有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6个，

其中选用的两种添加剂芳香度之和为5的结果有(1,4),(2,3)共2个，

则所求概率为P=O=3

故选:B.

根据题意，利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式即可得解.

本题考查古典概型的计算，注意列举法的应用，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：记AB的中点为F,连接EF,ArF,如图,

因为E为棱4C的中点，尸为的中点，所以EF〃8C,

所以N&EF为异面直线&E与BC的所成角（或补角），

因为在正三棱柱48。一为&口中，AB=AAt=2,

所以&E=J4/+AE2=屋,AiF=仁，EF=\BC=1,

AE2+EF2-AF2_5+1-5_AT5

所以在A&EF中,cosZ-A^EF=AA

2A1E-EF=2x73x1=而'

所以异面直线为E与BC所成角的余弦值为唱.

故选：A.

先利用线线平行确定异面直线4E与BC所成角，再利用勾股定理求得&E,4F,从而利用余弦定

理即可得解.

本题考查了正三棱柱的定义、异面直线所成角的定义及求法、余弦定理，考查了计算能力，属于

基础题.

5.【答案】C

【解析】解：因为10x40%=4为整数，

所以第40百分位数是誓=64.

故选：C.

根据求百分位数的定义求解可得结果.

本题考查百分位数的定义，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：依题意，设圆锥的母线长为I,

,・•圆锥的底面半径为^"豆，高为1,,•・I=V34-1=2、

设圆锥的轴截面的两母线夹角为仇则cos。=22+22-(2甘=

2x2x22

V0<0<7T,:.9=手

则过该圆锥的顶点作截面，截面上的两母线夹角设为a,ae(O,y],

故截面的面积为S=；x2x2xsinaS2,当且仅当a=援时，等号成立，

故截面的面积的最大值为2.

故选：A.

依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解.

本题考查圆锥的结构特征，考查圆锥截面面积最值的求法，是基础题.

7.【答案】C

【解析】解：“至少有1名女生”与“都是女生”，能够同时发生，如3人都是女生，所以不是互

斥事件，4错；

“至少有1名女生”与“至少有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，B错；

“至少有1名女生”与“至多有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，。错；

“恰有1名女生”与“恰有2名女生”不能同时发生，所以是互斥事件，

又因为“恰有1名女生”与“恰有2名女生”之外，还可能有“没有女生”与“恰有3名女生”两

种情况发生，

即“恰有1名女生”与“恰有2名女生”可以同时不发生，所以不是对立事件，C正确.

故选：C.

根据互斥事件的定义判断4BD都不是互斥事件，再结合对立事件的定义判断C.

本题考查互斥事件、对立事件等基础知识，是基础题.

8.【答案】B

【解析】解：因为(sinA—sinB^asinA+bsinB)—(a—b)sin2C=0,

所以利用正弦定理得(a-b)(a24-b2)-(a-Z?)c2=0,

得a=b或a2+fa2=c2,

若a=b,

因为a=2,

所以b=c=2,

可得S-BC=呜=gx2x2x?=

若M+b2=c2,

则三角形/BC为直角三角形，C=^,

因为4=a=2,

所以b=亨，

可得SMBC=4ab=3x2x亨=亨.

综上所述：△4BC的面积或亨.

故选：B.

根据正弦定理角化边可得a=b或a?+b2=c2,分两种情况解三角形可得结果.

本题考查了正弦定理以及三角形的面积公式的应用，考查了转化思想和分类讨论思想的应用，属

于基础题.

9.【答案】AD

【解析】解：对于4B,%=1x(3+54-6+9+9+10)=7,

所以£=A正确，8错误；

对于CD，s'qx[(3—》+(5-加+(6—加+(9—7/+(9-加+(10-7声=导

s，2Mx[(3-7)2+(5-7)2+(6-7)2+(9—7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2]=y,

所以s2>s'2,C错误，。正确.

故选：AD.

根据平均数和方差的计算公式求解，即可判断各选项.

本题主要考查统计的知识，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：对于4由大角对大边知，若4>8,则a>b,

所以由正弦定理得sinA>sinB,故A正确；

对于B,若sinA>sinB,则由正弦定理得a>b,

所以由大边对大角A>B,故B正确；

对于C,取4=120°,B=30°,则s讥24=s讥240°<0,sin2B=sin600>0,

所以sin2A>sin28不成立，故C错误；

对于D,若C为钝角，则4+8<果0<4<[0<8<务所以0<A<J—

因为y=s讥x在(0,方上单调递增，所以s出A(sin©-B)=cosB,故。正确.

故选：ABD.

对于4B,利用大角对大边与正弦定理的边角变换即可判断；对于C,举反例排除即可)对于D,

利用正弦函数的单调性即可判断.

本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.

11.【答案】ACD

【解析】解：因为/一2x+2=0,所以/=(—2)2-4X1X2=—4,

根据求根公式可得x=笔三=1±i，

又Z1，Z2是关于％的方程,一2%+2=0的两个虚根，不妨令Z]=l+i,Z2=l-i.

对于4Zi=Z2，A正确；

对于B,+z/=(1+i)2+(1—i)2=2i-2i=0,B错误;

22

对于C,(Zi4-z2)=2=4>0,C正确；

对于。，zf-=(1+02•(1-02=2i-(-2i)=4>0,。正确.

故选：ACD.

解方程可得x=笔三=l±i，不妨令Zi=l+i,z2=1-i,分别计算各选项即可判断.

本题主要考查复数的运算，属于基础题.

12.【答案】BC

【解析】解：建立直角坐标系，如右图所示：

设菱形4BCD的边长为2,则4(0,0),B(2,0),

C(3,<3),。(1,气，

设P(x,y),则由於=AAB+n同可得：(x,y)=

即£二篇:整理得一+〃=中，

当P在力B上时，有｛氏产2,故久+〃6[0,1],

当P在BC上时，有f故4+〃6口，3]，

当P在CD上时，有,Gil故4+〃6[2,3],

当P在4D上时，有*八，故％+〃6[0,2],

由此可知：

当4+〃=1时，点P可位于8点或4。中点处，故A错误；

当；I+4=2时，点P可位于BC中点或点。处，故8正确；

综上可知044+〃43,故;1+〃有最小值0,最大值3,故C正确，力错误.

故选：BC.

首先建立平面直角坐标系，进一步利用点P的四种位置进行分类讨论，最后确定结果.

本题考查建立平面直角坐标系进行向量的线性运算和坐标运算，考查学生的运算能力和转换能力

及思维能力，属中档题.

13.【答案】5

【解析】解：•••Zi=-2+i,z2=1-31,

|Z1-Z2I=|(-2+i)-(l-3i)|=I-3+4i|="9+16=5.

故答案为：5.

先根据复数减法法则计算Zi-Z2,再根据复数模的计算公式，即可得出结果.

本题主要考查复数模公式，属于基础题.

14.【答案】0.8

【解析】解：因为两人考试相互独立，

所以两人都未通过的概率为(1-0.6)x(l-0.5)=0.2,

故两人至少有一人通过的概率为1-0.2=0.8.

故答案为：0.8.

先求两人都未通过的概率，再根据对立事件的概率和为1求解两人至少有一人通过的概率即可.

本题考查相互独立事件的概率公式，属于基础题.

15.【答案】V-5

【解析】解:因为4S=tcnM(b2+c2—5),

所以4x士bcsinA=包4(^2+c2—5),

因为0<4<兀，且2R会所以sinA>0,

则2bc=-^―(b2+c2—5),W?2bccosA=b2+c2—5,

所以2bcx生F-=人2+©2_5,则/+c2-a2=f)2+c2-5,即=5,

2bc

所以a=5(负值舍去).

故答案为：>/~5-

利用三角形面积公式与余弦定理的边角变换，结合切化弦得到关于a的方程，解之即可得解.

本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题.

16.【答案】竽|

【解析】解：依题意，正六棱台ABCDEF-AB'C'D'E'F'中，AB=4,A'B'=3,A'A=y/'l

则其上底面是由六个边长为3的正三角形组成，则其面积为S1=6X白x32=小，

其下底面是由六个边长为4的正三角形组成，则其面积为S1=6x&x42=24/3，

其高为八=J(，N)2—(4一3尸=1，

所以该正六棱台的体积为v=1x(浮+J27pX24<3+2415)x1=号.

设上底面中心为。1，下底面中心为0',连接。1。'，AO',则。1。'垂直于上下底面，如图,

连接0遇1，。2,则。1&=3,。'4=4,

由题意可得。1。'=八=1,

作&G140'垂足为G,则&G=1,AG=1,

连接Ai。，O'D,则&。=J1+（8-=5/7，

故4遇2+一人。2=2+50-64<0,则4力乙。为钝角，

AID2

又由于正六棱台外接球球心位于平面24。上，

故设正六棱台外接球球心为0,则。在。1。'的延长线上，

因为外接球半径为&，故为=O'A2+0'02,Rl=4i0_l,

即形=16+。，。2,瞄=9+（0，。+1）2,解得。'。=3,膨=25,则/?2=5,

连接P。1，如图，易得P,。「。’三点共线，且4。1〃4。'，

P

易知&。1=B101=C101=D101=E101=F101=3,

所以01是几何体P-A'B'C'D'E'F'的外接球的球心，则％=3,

所呜H

故答案为：手；

第一空，利用棱台的体积公式，结合正六边形的性质即可得解；

第二空，先分析正六棱台4BCDEF-AB'C'D'E'F'的外接球的球心所在位置，再利用勾股定理列出

关于&的方程组，从而求得氏2；再利用平行线分线段成比例求得P。］，从而确定了几何体P-

dB'C'0'E'F’的外接球的球心所在位置，进而求得由此得解.

本题考查几何体的外接球问题，化归转化思想，属难题.

17.【答案】解：(1)|2五一石|=J(2a-b)2=J4|a|2+\b\2-4a-b=

J4\a\2+\b\2-4\a\-\b\-cos60°

=J4+4-4xlx2x1=2-

(2)因为江+坂与2日一k3垂直，所以(五+石)•(2五一kB)=0，

所以2|五『―刈石『+(2一人)五不=o，

所以2—4/c+(2—k)x1x2义六0,解得k=/

【解析】(1)化为平面向量的数量积可求出结果；

(2)根据0+3).(2a-kb)=0可求出结果.

本题考查的知识要点：向量的数量积，向量垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能

力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)因为4(0.01+0.04+0.09+a+0.03)=1,

解得a=0.08,

易知面积最大的矩形条所在区间为［20,24),

所以该公司员工8”/的样本数据的众数为22,

因为区间［12,20)内的频率为4(0.01+0.04)=0.2<0.5,区间［12,24)内的频率为4(0.01+0.04+

0.09)=0.56>0.5,

所以该公司员工BM/的样本数据的中位数在区间［20,24)内，

不妨设该公司员工的样本数据的中位数为x,

此时0.2+(%-20)X0.09=0.5,

解得x«23.3,

则该公司员工BM/的样本数据的中位数约为23.3；

(2)因为成年人的BM/数值18.5<BMI<24为正常，

所以该公司员工BM/数值正常的概率为0.04x(20-18.5)+0.09x(24-20)=0.42,

若该公司共有1200名员工，

则该公司员工BM/数值正常的人数为1200x0.42=504.

【解析】(1)由题意，根据频率之和为1,列出等式即可求出a的值，根据众数和中位数的定义以及

计算方法，列出等式进行求解即可；

(2)先求出可求得该公司员工BM/数值正常的概率，进而即可求解.

本题考查频率分布直方图以及中位数和众数的应用，考查了逻辑推理和运算能力.

19.【答案】解：(1)由正弦定理得：2sinCcosC+sinAcosB+sinBcosA=0,

BP2sinCcosC+sin(4+B)=0,即2sinCcosC+sinC=0.

因为sinCHO,所以cosC=T因为0<C<7t,所以C=等

(2)已知c—3,CD—1,

在△ABC中，由余弦定理得：9=a2+b2+ab@,

由CD为△ABC的中线，得2而=而+讨，

两边平方得4=a2+b2-ab@>

联立①②得ab=|,a2+h2=y,

所以△ABC的周长为a+b+c=Va2+b2+2ab+3=+3.

【解析】(1)根据正弦定理边化角，再结合和角正弦公式、诱导公式，可得cosC=-g,从而可求

解；

(2)根据余弦定理可得9=a2+/+ab,再根据中线向量公式可得4=a?+/-ab,从而求得

ab=|,a2+b2=y,进而求得周长.

本题考查了解三角形问题，涉及到正余弦定理的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)证明：取4B中点M,连接FM,CM,

•••F为棱BC的中点，

B

1

AMF//AD,MF=^AD.

X---AD//CE,CE=^AD,

：.MF//CES.MF=CE,

.,•四边形MCEF是平行四边形，EF〃CM,

又CMu平面ABC,EFC平面ABC,

EF〃平面4BC；

(2)取BC中点N,连接AN,EN,

•••△48(7是边长为2的等边三角形，；.47_1.8。且AN=C，

•••ADJ"平面ABC,ADIRE,

■.CE_L平面ABC,XvANu平面ABC,CEJ.AN,

XvANIBC,且CEnBC=C,AN_L平面BCE,

•••44EN即为ZE与平面BCE所成的角，

在RtZiEAC中，AC=2,CE=1,AE=y/~5,

在RtAAEN中，则sinZTlEN=桨=g

AEV55

所以AE与平面BCE所成角的正弦值为

【解析】(1)取AB中点M,连接FM,CM,证明EF〃/CM,利用线面平行的判定定理即可证明；

(2)取BC中点N,连接4N,EN,可得44EN即为4E与平面BCE所成的角，求解即可.

本题考查线面平行以及线面角，属于中档题.

21.【答案】解：(1)对4类的5个问题进行编号：a,b,c,d,e,

设乙能答对的4个问题的编号为a,b,c,d,

第一轮从4类的5个问题中任选两题作答，可用。1，%2)表示选题结果，其中勺，犯为所选题目的编

号，样本空间为：

0={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},共10个样本点，

设“乙在第一轮得20分”事件为E,

则5={(。,6),(a,c),(a,d),(瓦c),(b,d),(c,d)},共6个样本点,

则乙在第一轮得20分的概率为P=指=0.6；

(2)甲晋级复赛分两种情况:

①甲第一轮得(20分)且第二轮至少得(20分)的概率为：0.62x(l-0.42)=0.3024,

②甲第一轮得0分且第二轮得4(0分)的概率为：(1-0.62)x0.62=0.2304,

所以甲晋级的概率Pi=0