重庆渔泉中学2023-2024学年高三数学理上学期模拟测试含解析

重庆渔泉中学2023年高三数学理上学期模拟测试含解

析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知集合,4="2,间，6=（利，4|84123,4）则刑=（）

A.OB.3C.4D.3或4

参考答案：

D

»；=3或4

2,"a>b"是"log3a>log26"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件0.既不充分也不必要条件

参考答案：

B

略

3.如图,某三棱锥的三视图都是直角边为、后的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面

积中最大的是

C.2D.入2

参考答案:

B

4.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）

工

A.一2B.2C.-1D.2

参考答案:

C

略

h、X-5（Xi6）

7（X）-<

5.已知‘’-）则f⑶为（）

A2B3C4

D5

参考答案：

A

6.已知等差数列｛aj的前10项和为165,a4=12,则（）

A.14B.18C.21D.24

参考答案：

C

【考点】85：等差数列的前n项和.

【分析】由等差数列｛4｝性质可得：ai+aio=a4+a7,再利用等差数列的前n项和公式即可得

出.

【解答】解：由等差数列显｝性质可得：ai+ai°=a"7,

ajaio

-

-.S1o=lO?2=5(a4+a7)=5(12+a?)=165,

解得a7=21,

故选：C.

7.等差数列中，已知力=-6,4=0,公差4WN*,则的最大值为

()

A.7B.6C.5D.8

参考答案：

B

略

8.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机有放回的抽取2张，则取出

的2张卡片上的数字之差的绝对值为奇数的概率为()

1122

A.3B.2C.3D.4

参考答案：

C

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式.

【分析】4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件

总数n=04=6,取出的2张卡片上的数字之差的绝对值为奇数的事件个数m,由此能求出

取出的2张卡片上的数字之差的绝对值为奇数的概率.

【解答】解：4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张，

基本事件总数n=04=6,

取出的2张卡片上的数字之差的绝对值为奇数的基本事件个数m=c!c；=4,

12

取出的2张卡片上的数字之差的绝对值为奇数的概率为了=瓦

故选：C.

9.设函数,式2”/,将y=/（»的图像向右平移«3>0）个单位，使得

到的图像关于原点对称，则二的最小值

为

“3““3万

A.8B.8C.4D.4

参考答案：

A

j-2an|---］（0<x<9）

10.函数！。的最大值与最小值之和为（）

(A)2・6(B)O(C)-1(D)-1-J5

参考答案：

A

c"力一3"力■"力'x兀，3兀nnjxn.In

当04x49时，62,36323,即3—636,所以

7TXX大八,^7TJX

—一—=——2x（--）=-V3—--=一

当63时，函数有最小值，当632时，函数有最大

值2,所以最大值和最小值之和为2-3，选A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.为了得到函数y=sin(2x-T)的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点至少

向右平行移动一个单位长度.

参考答案：

兀

T

【考点】函数y=Asin(«x+<t>)的图象变换.

【分析】由条件根据函数丫=人5皿(3X+巾)的图象变换规律，可得结论.

n

【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数丫=$52(x-

冗JT

6)=sin(2x-3)的图象，

故答案为：T.

【点评】本题主要考查函数y=Asin(3x+@)的图象变换规律，属于基础题.

生1.电

12.方程169的曲线即为函数的图像，对于函数P=/(D,有如下结

论：①/⑶在R上单调递减；②函数尸(x)=4〃x)+3x不存在零点；③函数2=/(幻的

值域是R；④若函数片(幻和/(X)的图像关于原点对称，则函数，"鼠x)的图像就是方程

小L生IT

169确定的曲线.其中所有正确的命题序号是.

参考答案：

【知识点】函数的图像与性质B9

生1-电|一・1

D根据题意画出方程169的曲线即为函数=的图象，如图所示.轨迹是

两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形

从图形中可以看出，关于y二/（力函数的有下列说法:

①>=/⑴在R上单调递减；正确.

②由于4/（x）+3x=。即〃耳-一彳，从而图形上看，函数,=」（”的图象与直线

_3K

彳没有交点，故函数尸（x）=U（x）+3x不存在零点；正确.③函数，=/（］）的值

域是R；正确.

③函数=的值域是R；正确.

④根据曲线关于原点对称的曲线方程的公式，可得若函数8（力和J（x）的图象关于原点对

称，则一立・尸用分别代替x、九可得一了=/（-力就是,=g（x）表达式，可得

MNx|x|

g（x）=-/（-x）,则y=g（x）的图象对应的方程是16,9,说明④错误

其中正确的个数是3.

生1一阳__】

【思路点拨】根据题意画出方程169的曲线即为函数>=/"）的图象，如图

所示.轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形.从图形中可以看出，

关于函数”的结论的正确性.

X’-4M1（6＞0）i,,O、21

13.若双曲线小的一条渐近线与圆x+（y-^j=1至多有一个公共点，则

双曲线离心率的取值范围是.

参考答案：

（1,2]

略

14.

在等差数列｛%）中，已知%=7,43+4=24,则SJ的前力项的和.

参考答案：

答案："2+4”

sma-cosa-^且0£€（0二），则一事?，

2I2）的口

15.已知14）的值为

参考答案：

姮

~~2~

16.函数-*x）=l+logM（。＞0.°工1）的图像恒过定点A,若点A在直线

1+1

冽x+^y-2=0上，其中树＞0.则惬〃的最小值为.

参考答案：

2+唐

nn1

17.在区间I2'2_|上随机取一个数x,贝ijcosx的值介于o到5的概率为

参考答案：

3

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.设M部分为正整数组成的集合，数列(%)的首项的=1,前n项和为工，已知对

任意整数kCM,当整数以>西节能+1=2(S.+S*)都成立

(1)设”=(D•叫=Z&j的值;

(2)设〃={3<).求数列SJ的通项公式

参考答案：

解：(1)由题设知，当"N的耳“-$7=2(品+4),

即⑸.「£)■⑸-Si)=25，

从而/”-a,==2.又叼=2.故当力>树.a*=%+2("-2)=2»-2.

所以工的值为8。

(2)由题设知，当土€Af=(3.4),且4>的,\~+Si=区+温

吟idi-L温+温，

两式相减得+Q»*Wl=*».1•即。»♦)♦*-=勺*1-&“4

所以当耳之曲，3a成等差数列，且/«./-”40.乌・“也成等差

数列

从而当外28时，2a*+册-3=a“6+°尸6，(*)

且k+*=嗫+a田所以当心时况=/.2+喂，

即—4=与一%-r于是当丹2卯本“》-3*/~卜。“卜。》»3成等差数列，

从而4.3+口*一3二口.♦1+4-1,

故由（*）式知2%•即％=4-&1

当用29时，设d=乙-。”1

当20摘S时,5+628,从而由（*）式知况“=%+外,匕

故"*.7=4«.1+^w«13

从而2（。7_/“）=Ami_%+（J.13-%.12）,于是a*,i-q=2d_d=d

因此，对任意为之2都成立，又由+=温0€{3.4））

可知（S.-卬-⑸-S-）=2%故期=2W且IM=2S,,

a.=一4从而a,=—d.a-,=—

解得22212

因此，数列为等差数列，由4=痴3=2.

所以数列凡I的通项公式为%=2-1.

19.已知点"（QD,点W"）（”°）为曲线c上的动点，过A作x轴的垂线，垂足为

"满足网=网好

（1）求曲线C的方程；

（2）直线/与曲线C交于两不同点尸，Q（非原点）,过P,。两点分别作曲线C的切

线，两切线的交点为环设线段P。的中点为N,若1皿1=网，求直线/的斜率.

参考答案：

⑴，=41y⑵k=4l

【分析】

（1）将同=必1坐标化，化简求得结果.

（2）设直线？的方程为：/=辰.b，与抛物线方程联立得/一4**一曲-0,由韦达定

理求得中点N的坐标，由导数的几何意义可求得过RQ点的切线方程，联立求得交点

”的坐标，得到匕=巧》，所以MN中点纵坐标为1,即,占b=2,进而求得k.

【详解】（1）由向1=）划+1得：次♦（，D

化简得曲线c的方程为/=4jr.

（2）由题意可知直线1的斜率存在，

设直线［的方程为：，=h♦电联立f=4y得：f_4faL4&=0

设。（丐为）,则玉./=4上书=48

设N（»〃），则""丁

/X

又曲线c的方程为3=4孔即y=4,y="

...过/点的切线斜率为2,切线方程为y--2、r，，即y=24r

互_12

同理，过0点的切线方程为y=2"彳「，

♦巧_或_］工工_4

联立两切线可得交点”的坐标为--~2~■，%-彳不一

所以又因为1喇=网，所以MN中点纵坐标为1,即-

i2=】,k=2l,故直线，的斜率为卜=±1

【点睛】本题考查了曲线方程的求法，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考

查了整体运算思想方法，是较难题.

20.（本小题满分12分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产X千件，需另

投入成本为当年产量不足80千件时，3（万元）.当年产量不小于

C（x）=Six+12^-1450

80千件时，X（万元）.每件商品售价为0.05万元.通过市场分

析，该厂生产的商品能全部售完.

（1）写出年利润口X）（万元）关于年产量X（千件）的函数解析式；

(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

参考答案：

付更解析「「因生4件福品得位为万兀,0/+'牛商品伯鲁粉为005・100C，x万兀.依

题意得：

L(x)-(005x1000x)」P-IOx-250

当0<x<80时，2'’3

--lx2+40x-250

3.2分

£(*)=(0.05*1000*)-51«1-0^0-0-0-+1450-250

当x±80时，x

(I。。。。

1200-'x+--------

Ix4分

-1x'+40x-250(0<x<80)I

""=12。。4+蹙卜即.

航UI、xJ6分

nonW=-1(x-60)J+950

(2)当°vxv80时.3

此时,当x=60时，取得最大值〃6。)・950万元8分

10000/J0000

L(X)■120(Mx+-------)51200-2Jx>---------1200-200■1000

当xN80时,XX

10000

当X时，即x=100时〃M取得•大值1000万元.11分

V950<1000

所以当产■为100千件时,谈厂在这一商品中所获利润♦大,配之利润为woo万元.12

分

21.(本小题满分13分)

己知数歹的前n项和为其，且“5(+’对一切正整数n成立

⑴证明：数列H+aJ是等比数列.并求出数列｛」)的通项公式；

(II)设4■声,求数列㈤的前n项和外

(III)数列SJ中是否存在构成等差数列的四项？若存在求出一组；否则说明理由.

参考答案：

【解】(I)由已知得Sn=2dr3n,

............2分

产2dni-3(n+l).两式相减并整拜得；“产2On+3

所以3*。田=2(3*On).又6・SI«2OI3。产3可知3>QI«6WQ.

迸而可知Cn+3,0

所以与&L=2,故数列｛3P0是首项力6.公比为2的等比数列，……4

3+4

分

所以AOn=6L',即On=3(2--IJ............5分

(I)6,=»(2*-l)»n2"-n----------6分

设7>lx2+2x2'+3x2'+…+”x20...........8分⑴

27；-!x21+2x2,+—+(n-l)r+nx2"'(2)

由(2)-(D»7；=-(2+2,+2,+-.+2*)+/i2-'

22**1

==2+g-i)L

•-5.=7；-(1+2+3+•+n)»2+(n-l)r,,-^y^..........“10分

<»)攸设数列｛On｝中存在构成等船散列的四项依次为：

Omi*Om2*Qm3»Om4・(n)1<m2<m3<m4>.......分

M3(2^-1H3(2w--1)-3(2^-1)*3(

即2，=2f