2021年广东省春季高考数学模拟试卷八（解析版）

2021年广东春季高考数学模拟试卷(8)

解析版

注：本卷共22小题，满分150分。

一、单选题(本大题共15小题，每小题6分，满分90分)

1.已知集合"={1,2,3,4,5},且G“A={3},则集合A的真子集个数是。

A.15B.8C.7D.16

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据条件求出集合A,然后再求集合A的真子集个数.

【详解】

集合M={1,2,3,4,5},且C”A={3}，则A={1,2,4,5}

所以集合A的真子集个数是24-1=15个

故选：A

【点睛】

本题考集合的补集运算，和集合的真子集的个数，属于基础题.

2.如图所示的图形中，可以表示以M={x|O〈x〈l}为定义域，以'={叫0＜丁＜1}为值域的函

数的图象是()

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数的定义可判断.

【详解】

解：A选项，函数定义域为M，但值域不是N；B选项，函数定义域不是Af，值域为N；D选项，

集合M中存在x与集合N中的两个＞对应，不构成映射关系，故也不构成函数关系.故选：C.

【点睛】

本题主要考查了函数的概念及表示方法，是基础题.

3.若函数/(幻=优(a＞0且在［―2,1］上的最大值为4,最小值为如实数，〃的值为。

【答案】D

【解析】

【分析】

分类讨论。＞1分别对应单调减函数、单调增函数，结合已知最值情况即可求m的值;

【详解】

函数/。)=/在［-2,1］上：

当0＜。＜1时，/(X)单调递减：最大值为/(-2)=a-2=4,最小值/(1)=。=相，即有机=g；

当时，f(x)单调递增：最大值为f⑴=。=4,最小值/(—2)=。-2=根，即有"=七；

综上，有加='或〃?=，•；

216

故选：D

【点睛】

本题考查了指数函数的性质，根据指数函数的单调性，结合已知最值求参数值，属于简单题.

4.已知角a的终边经过点(3,-4),则cos[]+a)=()

4334

A.----B.-C.-D.-

5555

【答案】D

【解析】

【分析】

利用诱导公式可得cos怎+a=-sina,再利用三角函数的定义求解即可.

【详解】

4

因为角a的终边经过点(3,T),所以sine=二=

5,

(71.4

所以cos[]+a=-sina--

5

故选D.

【点睛】

本题考查三角函数的定义和诱导公式，是一道基础题，解题时要注意符号.

5.将函数/(x)=2sin2x-。的图象向左平移。(0＜。＜2万)个单位后得到的图象关于直线

TT

X=一对称，则9的最大值为()

12

1\TI5n23万4万

A.-----B.—C.-------D.-----

63123

【答案】A

【解析】

【分析】

平移后所得三角函数为/(x+9)=2sin(2x-q+28),又因为关于平移后图像关于对称,

jrKJT

所以e=—+—(ZeZ),再根据。的取值范围，即可得解.

32

【详解】

f(x+(p)=2sin12尤-y+2o),

jrTTTC

2x---+2^?=y+k兀*eZ),

.7Ck7C..

一。=§+万(％")'

：o<e<2%,

1\n

故选：A.

【点睛】

本题考查了三角函数的平移变换，考查了三角函数的最值问题，有一定的计算量，属于基础题.

6.周长为9的三角形三边长”，b,c长度依次相差1,最大内角和最小内角分别记为a,(3,则

cos(a+〃)=()

【答案】c

【解析】

【分析】

计算出a,b,c长度，找到最大角和最小角，利用余弦定理解决.

【详解】

山题意得：a+b+c=91

a+a+l+a+2=9>即a=2,b-3,c=4,

a=C,B=A,

a2+c2-b24+16-911

..cos(a+0)=cos(A+C)=-cosB=—

故选：C.

【点睛】

此题考余弦定理的应用，属于简单题.

7.已知。4=(2,3),OB=(-3,y),若。4,05,则|A例等于()

A.2B.V26C-572D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据J.08求出y和AB的坐标，即得IA81.

【详解】

因为。W_L08，所以2*(—3)+3丁=0,，丁=2.

所以08=(-3,2),AB=(-5,-1),AB\=7(-5)2+(-1)2=726.

故选：B

【点睛】

本题主要考查向量垂直的坐标表示，考查向量的坐标计算和模的计算，意在考查学生对这些知识的

理解掌握水平.

8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日

脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378

里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地

则此人第4天走了()

A.6()里B.48里C.36里D.24里

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可知，每天走的里数构成以g■为公比的等比数列，由纵=378求出首项，再由等比数列通项

公式可求得结果

【详解】

解：记每天走的路程里数为｛4｝，可知｛4,｝是以公比g=；的等比数列，

因为§6=378,所以——4=378,解得％=192,

1-

2

所以a=192x/=24,

故选：D

【点睛】

此题考查函数模型的选择及等比数列的通项公式、等比数列的前〃项和公式的应用

9.已知“<(),则下列结论正确的是()

A.a>abB.a>ab2C.ab<ab2D.ab>ab2

【答案】C

【解析】

【分析】

对每组式子作差判断大小.

【详解】

a-ab=a(^[-b)<0,:.a<ab，故A错误；

22

a-ab=：,a<ab<故B错误；

ab—ab2=ab(1—/>)<0,ab<ab2,故C正确，D错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式性质的应用，考查作差法判断大小，属于基础题.

10.如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积

为()

A.3万B.&C.—^-D.3万

22

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，该几何体为从底面直角顶点出发的三条棱两两垂直的三棱锥，可将其补成一个边长为1

的正方体，该几何体的外接球就是补成的正方体的外接球求解

【详解】

•.•该几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，

...该几何体为从底面直角顶点出发的三条棱两两垂直的三棱锥，可将其补成•个边长为1的正方体,

如图所示：

则该几何体的外接球就是补成的正方体的外接球，

•••补成的正方体的对角线长/=Vl2+12+12=73为其外接球的直径d,

，外接球的表面积s=乃储=3乃，

即该几何体的外接球的表面积为3万，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查三视图还原几何体以及几何体的外接球问题，还考查了转化化归的思想和空间想象的

能力，属于基础题.

11.若直线/过点（2,6），倾斜角为120。，则点到直线/的距离为O

A.—B.73C.至D.—

222

【答案】C

【解析】

【分析】

利用点斜式写出直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】

由倾斜角为120。得直线的斜率为Y,

求得直线/的方程为y=-瓜+373,

则点(1,一6)到直线I的距离d=I」-；-3啊=竽.

故选：C.

【点睛】

本题考查了点斜式方程、点到直线的距离公式，需熟记公式，属于基础题.

12.已知直线x+y+2=0与圆.F+y2+2x—2y+a=0没有公共点，则实数。的取值范围为。

A.(-^,0]B.[0,+oo)c.(O,2)D.(-oo,2)

【答案】C

【解析】

【分析】

首先得出圆的圆心和半径，然后由圆心到直线的距离大于半径建立不等式求解.

【详解】

圆f+2x—2)，+a=0UP为(x++(y—1)"=2—a.

所以圆心为(—1,1),半径为JT工

因为直线x+y+2=0与圆f+y2+2x—2y+a=0没有公共点，

所以直线与圆相离

所以1~万~~'->y/2-a>0,解得0<a<2.

实数〃的取值范围为(0,2)

故选：C

【点睛】

设圆的半径为r,圆心到直线的距高为d,当直线与圆相离时有d>r,当直线与圆相切时有d=r,

当直线与圆相交时有d<r.

13.某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三〃人

中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为3（）人，那么高三被抽取的人数为。

A.20B.25C.30D.35

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用分层抽样的比例关系得到答案.

【详解】

根据分层抽样的比例关系：高二抽取人数为空四/30=25人，

2400

则高三抽取90—30—25=35人.

故选：D.

【点睛】

本题考查了分层抽样，属于简单题.

14.若向边长为2的正方形ABC。区域内投一粒不计大小的种子（种子落入正方形ABC。区域内）,

则种子到点A的距离小于1的概率是（）

H7t7171

A.-B.—C.-D.—

416832

【答案】B

【解析】

【分析】

根据儿何概型模型，利用面积比可求得结果.

【详解】

正方形面积为2x2=4,种子落点形成的区域的面积为二乂万乂/=：

44

所以所求事件的概率为a=2.

7-16

故选：B.

【点睛】

本题考查了几何概率模型，属于基础题.

15.函数f(x)定义域为R+,对任意都有/(盯)=/(x)+/(y),又/(8)=3,则/(0)

=()

11r-

A.—B.1C.——D.J2

22

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数的性质可得/(8)=6/(夜)，即可得解.

【详解】

函数“X)对任意X,)'€我+都有/(盯)=/(%)+/(、)，

・•."8)="2)+"4)=/(2)+〃2)+"2)=3〃2)=6/(五)=3,

故选：A.

【点睛】

本题考查了抽象函数性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

二、填空题

16.圆柱的底面半径为3,侧面积为12万，则圆柱的体积为.

【答案】181

【解析】

【分析】

根据底面半径为3,侧面积为12万，求得高，再代入体积公式求解.

【详解】

由已知圆柱的底面半径厂=3,设高为〃，

侧面枳为S=2兀rh=12»，所以〃=2,

所以圆柱的体积为丫=Sh=;rr2h=18乃.

故答案为：18万

【点睛】

本题主要考查圆柱的侧面积和体积，属于基础题.

”3

17.若变量（羽丁）满足氐勺束条件无《4,则z=上的最小值为.

x+y-5>0A

【答案】v

4

【解析】

【分析】

根据约束条件得到可行域，并结合z=上的含义知z表示直线的斜率h根据可行域求得直线>=丘

x

的最小斜率即为Z的最小值

【详解】

由己知约束条件可得可行域，且z=2表示直线），=丘的斜率左=Z,如下图示

X

当宜线y=日过(4.1)时Z有最小值，过(2,3)时k有最大值

131

可知：％G［了已］即Zmin=Knin=

故答案为：一

4

【点睛】

本题考查了线性规划，利用己知约束条件所得到的可行域求目标函数的最值

18.已知向量4=(1,〃?)，Z?=(3,-2),且(a+Z?)_L。，贝!|加=.

【答案】8

【解析】

【分析】

根据向量坐标运算和向量数量积运算(。+可,6,则(。+6)2=0有。电+7=0,得到，即可求

解.

【详解】

由题意，(a+@！•)即(。+〃”=0,则。2+7=().

.2

a-b=3-2m,6=13

所以=3-2"?+13=0，所以加=8

故答案为：8

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标运算，根据向量垂直其数量积为0,着重考查了运算与求解能力，属于

基础题.

cihsinxcos2x

19.规定：行列式7=ad-bc,则函数产,」的最小正周期是.

ca1cosx

【答案】兀

【解析】

【分析】

利用二阶行列式的运算可得y=sinxcosx-cos?%，根据二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式

将函数化为y=sinxcosx—co$2x=^^sin—g■，由7=5=%即可求解.

【详解】

,.2sin2xcos2x1V2.f_乃、1

由题尽可得y=smxcosx-cosx=----------------------=——sin2x——，

2222L4j2

所以7=4=万.

2

故答案为：乃

【点睛】

本题考查了二阶行列式、二倍角的正弦、余弦公式、辅助角公式以及三角函数的最小正周期的计算

公式，属于基础题.

三、解答题

20.已知等差数列｛4｝中4=-12,%=-8,

(1)求数列｛q｝的通项公式生

(2)当n取何值时，数列｛《,｝的前”项和S“取得最值，并求出最值.

【答案】⑴。“=2〃-14⑵当n=6或7时，S,,取最小值，最小值为T2

【解析】

【分析】

(1)根据等差数列定义及4,4的值，代入即可求得公差，即可得通项公式.

（2）根据等差数列的前n项和公式，求得S.=〃2一13〃，利用配方法得关于n的二次函数，即可判

断最值，注意n取正整数.

【详解】

...当n=6或〃=7时，S”取最小值，最小值为-42

【点睛】

本题考查了等差数列通项公式的求法，等差数列前n项和公式的简单应用，属于基础题.

21.如图，在三棱锥中，PA1.AB,PA1.BC,AB±BC,PA=AB=BC=2,£）为线段AC

的中点，E为线段PC上一点.

⑴求证：PALBDx

⑵求证：平面BDEJL平面PAC；

（3）当R1〃平面BOE时，求三棱锥E-8CO的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）-

3

【解析】

试题分析：（I）要证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直；（II）要证明面面垂直，一般转化为

证明线面垂直、线线垂直；（III）由V=；XSB°XDE即可求解.

试题解析：（I）因为P4_LAB，PA1BC,所以Q4L平面A8C,

乂因为BDu平面A8C，所以

（II）因为AB=8C，。为AC中点，所以BOJ.AC，

由（I）知，PALBD，所以BD_L平面P4C.

所以平面平面PAC.

（III）因为平面89E，平面PACc平面8DE=Z）E，

所以24DE.

因为。为AC的中点，所以。E=(PA=1,BD=DC=y[2

由(I)知，抬平面ABC，所以。£_1_平面己4。.

所以三棱锥E—3C。的体积丫

63

【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重:点内容，而其中证明线面垂直