2023年全国甲卷高考理科数学试题解读及答案详解

2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷理科）

适用省份：

四川、广西、贵州、西藏

二］试卷总评

高考数学全国卷全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据

分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维,

发挥数学学科在人才选拔中的重要作用。

一、基础学科的考查重点

高考数学是基础性学科，2023年高考数学全国卷充分发挥基础学科的作用，突出素养

和能力考查，甄别思维品质、展现思维过程，给考生搭建展示的舞台和发挥的空间，致力于

服务人才自主培养质量提升和现代化建设人才选拔。

一是重点考查逻辑推理素养。如第7题，以三角函数为材料考查充要条件的推证，要求

考生判别充分性和必要性，然后分别进行证明，解决问题的关键是利用三角函数同角公式中

的平方关系进行推理论证。

二是深入考查直观想象素养。如第15题，要求通过想象与简单计算，确定球面与正方

体棱的公共点的个数。

三是扎实考查数学运算素养。试题要求考生理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思

路，求得运算结果。如第12题，可用椭圆的定义和余弦定理，求|P用，归闾,「用，归国之，

再用中线的向量公式求OP。

四是加强关键能力考查，增强试题的选拔性。试题通过设置综合性的问题和较为复杂的

情境，加强关键能力的考查。如第21题重视基于数学素养的关键能力的考查，将函数、导

数、三角函数与不等式等知识有机结合，考查学生灵活应用函数、不等式思想解决复杂问题

的能力，对直观想象能力和逻辑推理能力也有较高的要求。在数学知识、数学能力和创新思

维层面都有所体现，具有较好的选拔功能。

二、高考试卷的命题探究

高考数学全国卷在命制情境化试题过程中，在剪裁素材方面，注意控制文字数量和阅读

理解难度；在抽象数学问题方面，设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题方面，通过

设置合适的运算过程和运算量，力求使情境化试题达到试题要求层次与考生认知水平的契合

与贴切。

一是创设现实生活情境。数学试题情境取材于学生生活中的真实问题，贴近学生实际，

具有现实意义，具备研究价值。如第6题，取材于滑冰和滑雪两项典型的冰雪运动，具有时

代气息，贴近考生，贴近生活，意在引导学生积极参加体育活动，健体强身，全面发展。又

如第9题，以志愿者报名参加公益活动的情境考查排列组合内容，引导学生重视社会责任感,

培养学生的创新精神和实践能力。

二是设置科学研究情境。科学研究情境的设置不仅考查数学的必备知识和关键能力，而

且引导考生树立理想信念，热爱科学，为我国社会主义事业的建设作出贡献。如第19题，

研究臭氧环境对小白鼠生长的影响，将小白鼠随机分配到试验组和对照组，利用成对数据制

成列联表，进行独立性检验。

三、高考复习的目标导向

高考数学全国卷在反套路、反机械刷题上下功夫，突出强调对基础知识和基本概念的深

入理解和灵活掌握，注重考查学科知识的综合应用能力，落实中国高考评价体系中“四翼”

的考查要求。同时，合理控制试题难度，科学引导中学教学，力图促进高中教学与义务教育

阶段学习的有效衔接，促进考教衔接，引导学生提高在校学习效率，避免机械、无效的学习。

一是突出基础性要求。各套试卷在选择题和填空题部分均设置多个知识点，全面考查集

合、复数、平面向量、排列组合、三角函数的图像和性质、几何体的体积、直线和圆等内容，

实现对基础知识的全方位覆盖。同时，在解答题部分深入考查基础，考查考生对基础知识、

基本方法的深刻理解和融会贯通的应用。如第17题，全面考查等比数列、等差数列的概念

与性质，以主干知识考查理性思维素养和运算求解能力.

二是彰显综合性要求。如第10题，是集合、三角函数的综合题，深入考查集合的概念、

三角函数的周期性，既可以通过三角函数的周期性求解，也可以用数形结合的方法求解。

三是体现创新性要求。如第10题，将三角函数的图像和直线方程相结合，考查两者交

点的个数，展示函数图象在解决问题过程中的重要作用。

2023年高考数学全国卷全面贯彻党的二十大报告精神，落实高考内容改革的要求，严

格依据高中课程标准，深化基础性和综合性，聚焦学科核心素养，精选试题情境，加强关键

能力考查，促进学生提升科学素养，引导全面发展，助推高中育人方式改革。

考情分析

题号分值题型考查内容考查点

15单选题集合对整数形式的无限集合的理解，求并集，求补集

25单选题复数复数的代数乘法运算，复数相等

2

35单选题算法与程序框图程序框图的运算

45单选题平面向量平面向量线性运算，等腰三角形的判断，三角形

重心的运用，求向量的夹角

55单选题等比数列等比数列前n项和计算，需注意其中条件“正项”

65单选题概率条件概率的计算，用古典概型来做的话，可以用

Venn图来表示

75单选题常用的逻辑关系用三角函数同角公式中的平方关系来判断充分性

和必要性，可举反例来判断

85单选题圆锥曲线用双曲线的离心率求渐近线，渐近线与圆相交，

求弦长

95单选题计数原理和排列组分类加法、分布乘法计数原理以及特殊条件下的

合组合问题

105单选题三角函数三角函数图像的平移问题，三角函数与一次函数

交点个数判断，可采用图像法，特值法

115单选题立体几何四棱锥，通过三角形全等的方法证明PB=PA,再

通过余弦定理计算PA,再计算面积

125单选题圆锥曲线可通过椭圆的焦点三角形的面积公式以及等面积

法求出P的坐标；可用椭圆的定义和余弦定理，

求|尸耳,归矶|P6『+户闾2,再用中线的向量公

式求OP

135填空题函数与三角函数偶函数+偶函数=偶函数，三角函数为偶，通过二

次函数一次项为0时是偶函数得出结果

145填空题线性规划根据约束条件作出可行域，根据线性规划求目标

函数的最值

155填空题立体几何根据正方体的对称性，可知球心到各棱的距离相

等，即可求解

165填空题三角函数根据余弦定理求出AC,再用等面积法求出AD

1712解答题数列(1)公式法求通项公式；

(2)用错位相减法求前n项和.

1812解答题立体几何(1)通过线面、面面垂直的判定与性质定理可得

AQ_L平面BCG4，由勾股定理得0为中点，

3

即可得证；

(2)利用直角三角形求出AB】的长及A到面的

距离，根据线面角定义直接可得正弦值.

1912解答题概率与统计(1)利用超几何分布的知识即可求分布列和期

望；

(2)(i)根据中位数的定义即可求的加=23.4,

从而列出列联表；

(ii)根据独立性检验的方法即可求解；

2012解答题圆锥曲线(1)利用直线与抛物线的位置关系，联立直线与

抛物线方程求出弦长，即可求出p；

(2)设直线为x=wty+〃，"(X],y]),N(电,y)2，

再利用而•而=(),找到根，〃的关系，求出

尸的面积表达式，结合二次函数的性质求出

最小值.

2112解答题函数与导数(1)求导化简，通过/=cos2x换元，转化为二

次函数判断导函数的正负，即可判断单调性；

(2)构造g(x)=/(x)-sin2x,计算g'(x)的最

大值，然后与0比较大小，得出a的分界点，讨

论即可.

2210选做题极坐标与参数方程(1)根据直线的几何意义即可求出；

(2)在直角坐标系下求出直线的普通方程，再转

化为极坐标方程.

2310选做题不等式(1)分类讨论：xWa或x〉a去掉绝对值，即

可求解；

(2)将绝对值函数写成分段函数，画草图，写出

面积表达式，即可求出.

4

备考指津

1、强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握，引导学生提高在校学习效率，

避免机械、无效的学习。

2、学生应认识到低效的学习方式只会带来无效的压力和负担，讲究备考复习时效性，

不断巩固阶段性复习成果。

3、合理控制试题难度，科学引导中学教学，力图促进高中教学与义务教育阶段学习的

有效衔接。

4、不管命题方向趋势如何，重视对基础概念的理解和掌握永远是最重要的。不论题型、

题量、难度如何，透彻、全面地理解基础概念，能够用最基础、朴素的方式使用基础概念分

析解决问题是一切的基础，是能做对所有送分的基础题的基础，是能着手分析难题的基础，

也是未来学习大学的专业知识和高等知识的基础。

5、不管命题方向趋势如何，逻辑分析推理能力也是非常重要的。现在的难题几乎根本

不会出现非常套路化、模板化的陈年旧题，总是在想方设法地推陈出新。就算有旧题型，往

往也都是简单的题目，不需要什么特殊的方法也能做出来。

等b真题解读

2023年高考全国甲卷数学(理)真题

一、选择题

1.设全集U=Z，集合M={xlx=3k+l,keZ},N={x|x=3k+2,keZ},金(MuN)=()

A.{x|x=3&,ZeZ}B.{x|x=3k-l,keZ}

C.{xlx=3k-2,keZ)D.0

【命题意图】

本题考察对整数形式的无限集合的理解，求并集，求补集，难度：容易

【答案】A

【详解】因为整数集Z={x|x=3Z,%eZ}{X|X=3/+1«€Z}.{x\x=3k+2,k,U=Z,

所以，Cu(AuB)={x\x=3k,kGZ}.

【知识链接】

1、集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图等；

2、集合的类型：有限集、无限集；

3、根据元素的特征判断集合所表示的含义；

5

4、应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系及Venn图.

2.设4£1<(〃+1)(1—5)=2,,则()

A.-1B.0C.1D.2

【命题意图】

本题考察复数的代数乘法运算，复数相等求解，难度：容易

【答案】C

【详解】因为(a+i)(l—出)=。-。匕+1+。=2。+(1—〃2]=2,

(2a=2

所以।2八，解得：。=1・

[\-a=0

【知识链接】

1、复数的四则运算

设zi=a+bi,Z2=c+di(〃,b,c,d£R),我们规定:

zi+Z2=(〃+历)+(c+di)=(a+c)+(b+J)i;

Z2・zi=(c+di)・(a+0i)=(c・a)+(d・〃)i.

zi・Z2=(4+8i)(c+di)=(ac-/%O+Sc+z/)i;

z1_a+bi_(a+bi)(c-di)_ac+bdbc-ad..

22

z2c+di(c+di)(c-di)c+d

2、复数相等的充要条件

两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别对应相等、那么我们就说这两个复数相

(a=c,

等也就是若。力,c,dWR厕〃+0i=c+di=|b4特别地,。+历=。=〃=人=0.

3.执行下面的程序框图，输出的6=()

A.21B.34C.55D.89

【命题意图】

本题考察程序框图模拟运行，难度：容易

6

【答案】B

【详解】当”=1时，判断框条件满足，第一次执行循环体，A=l+2=3,B=3+2=5,

“=1+1=2；

当〃=2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，A=3+5=8,8=8+5=13,〃=2+1=3；

当〃=3时，判断框条件满足,第三次执行循环体，4=8+13=21,3=21+13=34,”=3+1=4；

当〃=4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出8=34.

【知识链接】

I、程序框图基本概念：

程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、

直观地表示算法的图形。

2、构成程序框的图形符号及其作用

程序框名称功能

/、表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不

起止框

可少的。

表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法

输入、输出框

LU中任何需要输入、输出的位置。

赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公

—

处理框式等分别写在不同的用以处理数据的处理框

内。

判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明

判断框

O“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。

3、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构

4.已知向量满足同=|司=1,同=应，且a+6+c=0，则cos〈a-c,6-c)=()

【命题意图】

本题考察平面向量线性运算，向量的加、减法、数量集运算，三角形重心的运用，求向量的

夹角，难度：一般

【答案】D

【详解】因为a+0+c=0，所以a+各=-c，即a?+Z?2+2。/=c"，

即1+1+2々$=2,所以=0-如图，设O4=a,OB="OC=c.

7

c

由题知,0A=OB=VOC=五"OAB是等腰直角三角形，

AB边上的高8=①,AD=^，所以。。=（70+0。=&+也=逑,

2222

tanZACD=cosZ.ACD=-1=

CD3x/10

cos(a-c,b-c)=cosZ.ACB=cos2Z.ACD=2cos2Z.ACD-X

【知识链接】

1、向量的线性运算

向量

定义法则（或几何意义）运算律

运算

交换律：

求两个向量和三角形法则a+b-b+a<

加法

的运算结合律：

［a+b\+c=a+^b-\-c

平行四边形法则

求a与B的相

减法反向量的a—h=a+\—b

和的运算

求实数几与向2・〃=|斗〃，当;I>0时。与［口而

数乘量［的积的运的方向相同；当九<0时/ll与［的（/L+"&=之。+4a

算方向相反；当；1=0时,丸"=0A\a+b）^Aa+Ab

2、向量线性运算常见的结论

8

1

(1)若P为线段AB的中点,0为平面内任一点，则而=-(耐+而).

2

(2)ISAABC中，丙+而+玩=0=P为AABC的重心.

(3)若G是AABC的重心，则瓦+而+诧=0,南=/费+而).

3、平面向量的数量积

(1)定义:已知两个非零向量々与石，它们的夹角为8,则数量Wfl-cos6叫作々与了的

数量积(或内积)，记作££,即73=R♦W•COS6.规定零向量与任一向量的数量积为0,即

6-^=0/4

(2)向量的夹角

0~~bB

①定义:已知两个非零向量［和g，如右图，作”=10B=«，则/A0B=。

——CI•/?

(0。《6080。)叫作Z与1的夹角，记作<々石cosd-cos<a,b>-LIT

>\a\-\b\

②当0=0。时，£与石同向；当0=180。时，々与3反向；当0=90。时，［与3垂直

5.设等比数列｛《,｝的各项均为正数，前〃项和S,,,若卬=1,$5=553-4,则邑=()

A.—B.—C.15D.40

88

【命题意图】

本题考察等比数列的前n项和的计算，列出关于q的方程，计算出4,即可求出其,难度：较

易

【答案】C

【详解】由题知l+4+/+q3+/=5(l+q+q2)_4,即g3+q，=4q+4q2,

即/+q2-4q-4=0,即(q-2)(q+l)(q+2)=0.由题知4>0,所以q=2.

所以S4=1+2+4+8=15.

【知识链接】

1、等比数列的有关概念

一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫作

等比数列.这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q(qrO)表示，定义的表达式为

dn

2、等比数列的有关公式

(1).通项公式

9

(nai,q=l,

(2).前n项和公式:Sn={a[“一q%_aaq

(l-q1-q(qri).

6.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或

爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰

的概率为()

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

【命题意图】

本题考察条件概率，先算出报名两个俱乐部的人数，从而得出某人报足球俱乐部的概率和报

两个俱乐部的概率,利用条件概率的知识求解，难度：较易

【答案】A

【详解】报名两个俱乐部的人数为50+60-70=40,

记“某人报足球俱乐部”为事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件8,

4

贝IJP(A)=^=9,P(AB)="=9,所以尸(剧A)=>^^=K=O.8.

707707P(A)5

7

【知识链接】

1、条件概率

一般地，设A,B为两个随机事件，且P(A)>0,我们称P(B\A)=m冬为在事件A发生的条件下，

P(4)

事件B发生的条件概率，简称条件概率.

2、概率的乘法公式

由条件概率的定义，对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A).我们称上式为概

率的乘法公式.

7.设甲：sin2a+sin2/7=l,乙：sina+cos尸=0,则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【命题意图】

本题考察同角三角函数的平方关系，以及充分条件、必要条件的概念，难度：较易

【答案】B

JT

【详解】当sin2a+siM/=l时，例如。=万,夕=0但sina+cos/?w0,

即sira+sin?/?：1推不出sina+cos〃=0；当§由。+851=0时，

10

sin2a+sin2/3=(-cos/3)2+sin2=1,即sina+cos£=0能推出sin?a+sin2尸=1.

综上可知，sin2a+sin2/?=1是sinc+cos/=0成立的必要不充分条件.

【知识链接】

1、同角三角函数的基本关系

(1).平方关系:siMa+cos2a=1.

(2).商数关系:四丝=tana(a力/CTT+3keZ).

cosa'2'/

2、充分条件、必要条件与充要条件的概念

若pnq,则p是.q的充分条件,g是p的必要条件

p=q且g=/pp是q的充分不必要条件

P=/q且q=Pp是q的必要不充分条件

poqp是q的充要条件

P=/q且q=/pp是q的既不充分也不必要条件

8.已知双曲线C:£-y=l(a>01>0)的离心率为石，C的一条渐近线与圆

ah-

(x-2)2+(y-3)2=l交于A,B两点,则|AB|=()

Ay/5R2石「3石n4x/5

5555

【命题意图】

本题考察双曲线的离心率与渐近线的关系，圆心到直线的距离及圆半径，求弦长，难度：一

般

【答案】D

【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.

【详解】由6=不，则:•=竺二=1+4=5,解得2=2,所以双曲线的一条渐近线不妨

a~a~a~a

取y=2x,则圆心(2,3)到渐近线的距离d=9：2-31=好,

所以弦长|AB|=2,产一/=2，1=竽.

【知识链接】

1、圆的定义和圆的方程

定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

标准方程(x-<7)2+(j-Z?)2=r2(r>0)圆心:(a力),半径:r

x2+V+Dr+E)：+/=0,

一般圆心:(-对)

方程即(x+2)+(y+2)=4(D+E--4F>0)半径，D2+E2-4F

2、直线被圆截得的弦长

11

弦心距，弦长/的一半，及圆的半径，•构成一直角三角形,且有户=《+（；/）2.

3、双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

图形

范围或旧z

对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点

顶点A(aO)A(a,O)4(0,/),A2(0a)

ba

渐近线y=±-x

•Q

性

质离心率,eC(l,+oo)，其中c=7$+Z)2

线段44叫作双曲线的实轴,它的长14A2l=2a;线段8|&叫作双曲线的虚轴，它

轴

的长网民|=2b叫作双曲线的实半轴长力叫作双曲线的虚半轴长

a,b,c

/=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

的关系

9.现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人

中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

【命题意图】

本题考察分类相加、分布相乘计数原理，组合问题，难度：一般

【答案】B

【详解】不妨记五名志愿者为“，〃，c，d，e,假设。连续参加了两天社区服务，再从剩余的4

人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A；=12种方法，同理：bed,e连续参

加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数

有5x12=60种.

【知识链接】

I、计数原理

分类加法计数原虱分步乘法计数原理一

相同点用来计算完成一件事的方法种数

分类、相加分步、相乘

不同点每类方案中的每一种方法都能独立完成每步依次完成才算完成这件事情（每步中的

这件事每一种方法不能独立完成这件事）

注意点类类独立，不重不漏步步相依，缺一不可

2、排列与组合

名称定义

12

排列。〃小僧］并按照一定的顺序排成一列，叫作从〃个元素中取出，〃个元素

系中取出,

m（m<n）个元的一个排列

“0素作为二组,叫作从〃个不同元素中取出，〃个元素的一个组合

①从〃个不同元素中取出〃?（"区〃）个元素的所有不同排列的个数,叫作从n个不同元素中取出

m个元素的排列数,用符号A4表示.

②从n个不同元素中取出〃?（〃E〃）个元素的所有不同组合的个数,叫作从n个不同元素中取出

m个元素的组合数,用符号Ch表示.

cos,+今）的图象向左平移看个单位长度得到，则

10.函数y=/（x）的图象由函数y=

y=/（x）的图象与直线y=gx-g的交点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【命题意图】

本题考察三角函数平移的性质求得〃X）=-Sin2x,再作出了（X）与y=的部分大致图

像，考虑特殊点处/（可与丫=3犬-；的大小关系，从而精确图像，难度：较难

【答案】C

（详解】因为>=cos（2x+都句左平移.个单位所得函数为

y=cos所以/(x)=-sin2x,

而y显然过（o，-g）与（1，0）两点，

作出，（x）与j=的部分大致图像如下，

考虑2X=T，2X*2X=?,即

222

37137t7/1.,\,11,,..

x=__/，X==：-处r与尸尸）的大小

44422

当X=与时,/闺…吟口13n1^<1

y=—X------

242

山7兀“I/7兀).77117兀1771-4

当工二二时，/_=-sm—=1尸—x---------->1;

4I4)22428

所以由图可知，/（X）与y=的交点个数为3.

13

【知识链接】

函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin（3x+<p）（A>0,3>0）的图象的步骤如下:

11.已知四棱锥P—ABC。的底面是边长为4的正方形，PC=PD=3,ZPCA=45°,.PBC

的面积为（）

A.272B.3yliC.4后D.60

【命题意图】

本题考察再立体几何中，先在△R4C中利用余弦定理求得「4=后，cos/PCB=；,从而

求得2Vpe=-3，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于的方程组,

从而求得尸8=，万，由此在」PBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解，难度：较难

【答案】C

在AR4c中，PC=3,NPCA=45°,

贝!）由余弦定理可得PA?=AC2+PC2-2AC-PCcosNPCA=32+9-2x4夜x3x注=17,故

2

PA=y/n,

17+9—32

所以cosZAPC=

IPAPC2x717x3

PAPC=\PA|I阂cosZAPC=-3,不妨记PB=m,NBPD=®,

14

因为尸O=L(PA+PC)=L(PB+P£)),所以(P4+PC)2=(PB+PO)2,

即PA2+PC2+2PA-PC=PB+PD2+2PB-PD，

则17+9+2x(—3)=m~+9+2x3x/ncos0,整理得m2+6mcos0-11=01D»

又在△PBZ)中，BD2=PB2+PD2-2PB-PDCOSZBPD.即32=〃』+9-6%cos。，则

/n2—6〃?cos<9-23=0②，两式相力口得2m2-34=0，故PB=m=历,

故在.PBC中，PC=3,PB=>/n,BC=4,

PC2+BC2-PB29+16-17_1

所以cosNPCB=

2PCBC2x3x4-3,

又0<NPCB<n,所以sinZPCB=^1-cos2Z.PCB=—

3

所以.PBC的面积为5=’尸。8。$出//＞圆=1*3、4*述=4忘.

223

【知识链接】

I、简单多面体的结构特征

名称棱台

D'

图形

R

底面互相平行且全等互相平行且相似

相交于一点但不一延长线交于

侧棱平行且相等

定相等一点

侧面

平行四边形三角形梯形

形状

2、正弦定理、余弦定理

在4ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为AABC外接圆的半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2hccosA;

.abc

内谷----=----=——=27?kr=(?+CZ2-2C6/COSB;

sinAsinBsinC/=4+户2而cosC

(1)a=2RsinA,/?=2/?sinB,c=2/?sinC\b2+c2-a2

cosA-,;

abc2bc

(2)sinA=—,sinB--,sinC--;

期形2R2R2R'c2+a2-b2

：：：cos8一;

/(3)a:bc=sinAsin8sinC;2ac

(4)asinB=bsin/A,bsinC=csinB,a2+b2-c2

AsinC=csinAcosC-

2ab

3、三角形的面积公式

S=^aha=^bhb=^chc(haJib,hc分别表示a,b,c边上的高)；

S=-abs\nC=-«csinB=-bcsinA;

222

15

S=;(〃+力+c)«r为△ABC内切圆的半径)；

S二黑R为AABC外接圆的半径)；

4R

S=Jp(p-Q)(p-b)(p-c),其中〃W(〃+%+c),

r223

12.设O为坐标原点，耳，行为椭圆C：1的两个焦点，点产在。上，cos/^PE=g,

则|OP|=()

A.9B.画C.*D.遮

5252

【命题意图】

本题考察椭圆的定义，用余弦定理求州尸周|尸周,|3『+|刊4，结合中线的向量公式以及数

量积即可求出，难度：一般

【答案】B

因为|咫|+忸闻=2a=6①，归耳『+归国2"归耳疗用/甲第=忸球,

即|P/>|2+|PF,|2-||P/<||P^|=12(2),联立①②，

[5)->

解得：归耳疗用=》,|咽+\PF2\=21,

而尸O=；(/Y；+PK),所以|OP卜卜。卜g,耳+P/",

叫尸。层附+叫=外产用?+2尸耳•皮+|呵=3+2亭畀亭.

【知识链接】

1、椭圆的标准方程和几何性质

标

准

x2y2y2x2

方

程11,■■1-l（fl>/j>0）

azb22

y

A.A2

图形

叫OlB2X

4

范围-a<x<a^b<y<b-b<x<bra<y<a

对称性对称轴:坐标和柒对称中心:原点

顶点

4（・。,0）42（。,0）,4（0,・。）42。4）,

坐

标

B《0,-b）,B2（0,b）助（也0）%,0）

性

4A22a;

质长轴的长为

轴

短轴BB的长为2b

焦距IQBI=2c

c

离心率-0,1）

a

a,b,c«2=/?2+c2

16

的关系

2、与椭圆的焦点三角形相关的结论(含焦半径公式)

椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形的问题常利用椭圆

的定义、正弦定理和余弦定理.

22

在以椭圆J+J=l(a泌＞0)上一点")()*))和焦点F(c,0),F2(c,0)为顶点的中，

a2b2

若/尸十危=仇则

⑴|PFi|=a+exo,|PB|=a-eo((焦半径公式,e为椭圆的离心率).|PQ|+|=2"；

(2)4(2=|PQF+1尸B12-21尸川•|P臼-cos优

⑶也习所肥尸2卜sin0=c|/|=ZAan*当I)，o|=4即P为短轴端点时久已马取得最大值.最

大值为怔

(4)焦点三角形的周长为2(a+c).

1

3、中线的向量公式：若P为线段AB的中点,O为平面内任一点，则诃=-(画+而).

2

二、填空题

13.若〃x)=(x-l)2+ar+sin(x+5)为偶函数，贝lja=.

【命题意图】

本题考察函数的奇偶性判断，三角函数的奇偶性，难度：容易

【答案】2

【详解】因为＞=/(司=(》-1)2+办+$皿(1+]]=(_1-1)2+41+8$*为偶函数，定义域为R,

所以(升佃，即卜下)g+cos罔=(川+3+c吟

则兀〃=(5+1]一(]—1)=2兀，故4=2,

此时f=+2X+COSX=X2+I+COSX,

所以/(-x)=(-x)2+l+cos(-x)=x2+1+COSX=/(x)，

又定义域为R，故"X)为偶函数，

所以4=2.

故答案为：2.

【知识链接】

1、函数的奇偶性

17

奇偶性定义图象特点

如果对于函数的定义域内任意一个x,都有