2023-2024学年河北省唐山市高二年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年河北省唐山市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.若直线x+"7-l=0的倾斜角为30。,则实数m的值为（）

A.-√3B.6C.D.显

33

【正确答案】A

【详解】分析：由直线的一般式方程求得直线的斜率，由斜率等于倾斜角的正切值列式求得

a的值.

详解：直线x+机）=1=0的倾斜角为30,

.,.tan30°=---,

m

m=-∖∣3.

故选A.

点晴：本题考查了直线的倾斜角，考查了直线倾斜角与斜率的关系，是基础题.

2.已知圆f+y2=4与圆（χ-4+（y-3）2=9外切，贝1」直线依-2丫+3=0与圆/+丁=4的

位置关系是（）

A.相切B.相离C.相交D.相交或相离

【正确答案】C

【分析】根据两圆外切求出α值，再借助点到直线的距离判断作答.

【详解】圆f+V=4的圆心坐标为（0,0）,半径为2,圆（X-0f+（y-3）2=9的圆心坐标为

（。,3）,半径为3,

因为两圆外切，于是得J（α-O）~+（3-O）?=2+3,解得/=16,

3

圆χ2+y2=4的圆心(o,o)到直线-2y+3=0的距离4=

ar击?+(-2『

所以直线2y+3=0与圆/+）产=4相交.

故选：C

3.如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCO-A8心。中，M是AC与BO的交点，若

→→TT

,AA=c9则下列向量中与B]M相等的向量是()

AB=aΛlDi=b，1

B.匕+［整

22

D.

【正确答案】A

【分析】结合图形，根据空间向量的加法、减法、数乘运算，即可得解.

【详解】B1M+=c+-BD=c+-(AD-AB)=--a+-b+c.

2222

故选：A

4.己知点A,F分别为双曲线cJJ=l(α>O,"O)的右顶点和右焦点，记点F到渐近线

的距离为d,若4=2∣4F∣,则双曲线C的离心率为()

A.-B.-C.-D.-

2343

【正确答案】D

【分析】设出双曲线方程，求出双曲线的一个焦点和一条渐近线方程，运用点到直线的距离

公式及条件，可得结果.

2

【详解】不妨设双曲线5=1的一个焦点设为(c,0),c>0,

a

一条渐近线的方程设为云-冲=0,b>0,

由题意可得告

又d=2∣AF∣,

：,b=2{c-a),即。2=c2-a2=4(c-0J,

.∖c+α=4(c-Q),

.5

・,e=一.

3

故选：D

5.已知数列｛q,｝是等比数列，公比为4,前”项和为S“，则下列说法错误的是（）

A.为等比数列B.｛%｝也可能为等差数列

C.若4>1,则｛4｝为递增数列D.若S"=3"”+乙则r=-g

【正确答案】C

【分析】对于A,根据等比数列的定义可以判断正误;对于B,非零常数列满足条;对于C,举出

一个反例即可判断;对于D,根据等比数列的前〃项和求出数列｛6,｝的前3项，再用等比中项

求出结果进行判断即可.

【详解】对于A,因为数列｛¾｝是等比数列,公比为4,所以为h=g,设H=L,则

1

R='L='=L是常数,所以A正确；

bn-L4+1q

an

对于B,若q=1,即为等比数列也是等差数列,所以B正确；

n+l

对于C,若an=-τ,q=莽=玉=2>1,a,l^-an=2-2"=-2"<O,则数列｛4｝为递减数

列,所以C错误；

对于D,因为5n=3"τ+r,所以q=r+1,见=邑一。=2,%=邑-邑=6,由数列｛《,｝是等比数列,

得见2=4%,即4=6（厂+1）,解得厂=-（所以D正确.

故选:C.

6.已知点片，心为椭圆看+£=1的左右焦点，过点E与X轴垂直的直线与椭圆交于A,B

42

两点，则三角形AB鸟的内切圆的半径为（）

6

A.2B.1C.—D.√2

2

【正确答案】C

【分析】根据题意得g的周长为4a=8,∣4J∣=2,进而等面积法求解即可.

【详解】解：根据题意得α=2,b=c=√Σ,Z卜夜,0）,

因为过点K与X轴垂直的直线与椭圆交于A,B两点

所以A卜正,1),B(-√Σ,-1),∣AB∣=2

根据椭圆定义得XABF,的周长为4〃=8,

不妨设三角形AB乙的内切圆的半径为『，

所以根据等面积法得S足%=l×4α∙∕-=¼B∣∣^F2∣,代入数据得r=变

222

故选：C

7.在平行六面体ABeQ-ABe2中，AB=ΛD=AAl=4,ZBAO=90",

ZBM=NOA4∣=60°,则异面直线44与BG所成角的余弦值是（）

A.立B.IC.BD.-

3361

【正确答案】B

【详解】AD1BG,在Δf>∣AB∣中，AB1=AD1=4√3,βlDt=4√2,

故选B.

311

8.已知数列｛q｝的前〃项和s,=i"2-彳〃，设H=——，η,为数列｛4｝的前”项和，若对

22anan+∖

任意的"∈N*,不等式2(<9〃+3恒成立，则实数4的取值范围为()

A.(-∞,48)B.(-∞,36)C.(-∞,16)D.(16,÷∞)

【正确答案】A

求出｛%｝、电｝的通项公式，代入肛<9〃+3,可得;I的取值范围.

【详解】由数列0｝的前〃项和SZI=]〃2一;〃，

3131

2

可得4+I=SZJ+1=-(A∕÷1)--(M+1)-(^√-∙^H)=3A2+1,故4=3〃-2,

,111z11、

乂〃anan^(3H-2)(3H+1)33〃-23〃+1'

MTI八11111、1八1、〃

故W=—(1—I--------F...H-----------1---------)=~(1----------)=--------,

“34473〃-23H+133H+13n+l

不等式2(<9"+3恒成立，即2<3⑶，+D-恒成立，

n

即4<39/2+6+—,由〃∈N*,可得9〃+—≥10,（当〃=1时等号成立）,

n

所以2<48,故选：A.

本题主要考查数列的通项公式、数列前”项和的求法、基本不等式的应用.

二、多选题

9.下列说法不正确的是()

A.若α,人是两个空间向量，”,b则不一定共面

B.直线/的方向向量”=(1,0,-1),A(2,l,-3)为直线/上一点，点P(TO,-2)为直线/外一

点,则点P到直线/的距离为百

C.若P在线段4B上，则AP=fA3(0≤t≤l)

D.在空间直角坐标系OWZ中，点A。,2,3)关于坐标平面X。)，的对称点为N(T-2,3)

【正确答案】AD

【分析】根据共面向量、空间向量点到线距离公式、共线向量的性质，结合点关于面对称点

的特征逐一判断即可.

【详解】因为任意空间两个向量总是共面的，所以选项A说法不正确；

因为A(2,l,-3)为直线/上一点，点P(To2)为直线/外一点，

所以有P4=(3,1,T),∣cos<PA(n)∣=鼎=焉*爷，

Sin〈尸A,〃〉=JI-CoS2〈PA,”〉==,

所以点P到直线/的距离为Sin〈P4,〃〉.Pd=淬x√^XT工T=√3,

所以选项B说法正确；

因为若P在线段AB上，所以AP=fAB(0≤f≤l),因此选项C说法正确；

因为在空间直角坐标系OQZ中，点A(l,2,3)关于坐标平面Xo)，的对称点为H(1,2,-3),所以

选项D说法不正确，

故选：AD

10.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F,则下列结论正确的有()

A.抛物线C上一点M到焦点厂的距离为4,则点M的横坐标为3

B.过焦点尸的直线被抛物线所截的弦长最短为4

C.过点（O,2）与抛物线C有且只有一个公共点的直线有2条

D.过点（2,0）的直线1与抛物线C交于不同的两点4（xι,yι）,B（X2,”），则y/”=

-8

【正确答案】ABD

【分析】利用抛物线的定义判断选项A,由焦点弦中最短的为通径，即可判断选项B,由直

线与抛物线的位置关系判断选项C,由直线与抛物线联立，由韦达定理即可判断选项D.

2

【详解】解：抛物线Cy=4x的焦点为尸（1,0）,准线方程为x=-l,

对于A,设例的横坐标为Xo,则由抛物线的定义可得，MF=X0+]^4,解得刈=3,故选项

A正确；

对于B,过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为通径长，又通径长为2p=4,故选项B

正确；

对于C,当直线的斜率不存在时，直线为X=0,与抛物线有一个公共点；

当直线与抛物线的对称轴平行，即直线为y=2时，与抛物线有一个公共点；

当直线斜率存在且不为O时，设直线的方程为y=fcv+2,

fy=fcv+2

联立方程组，，，可得R/+4（八1）χ+4=0,

[y=4x

则△=16（⅛-1）2-16⅛2=0,解得⅛=ɪ,

此时直线方程为y=gχ+2,与抛物线有一个公共点.

综上所述，过点（0,2）与抛物线C有且只有一个公共点的直线有3条，故选项C错误；

对于D,设过点（2,0）的直线方程为x=∕wy+2,

,、、fx=∕wy÷2

联立方程组\,可得γ2-4my-8=0,

[/2=4x

则y∣y2=-8,故选项D正确.

故选：ABD.

11.已知等差数列｛4｝的公差4HO,前〃项和为s“，若$6=5。，则下列说法正确的是（）

A.⅝=θB.S[6=0

C.若4>0,则％+⅛,>0D.若d<0,则同<|%|

【正确答案】BCD

【分析】根据&=S”得到％+为=O，然后逐项判断.

【详解】由$6=Eo,得出+α,=0.

若4=0，则％=0，不满足dwθ,故A错；

由S∣<⅛=竺=8(αli+“J=。，故B正确；

当d>0时，且4+%=0,则∕<0,⅜>0.所以％+4(>=2%>。，故C正确；

当d<0时，且“lf+α>=0,贝!]∕>0,¾<0,所以α∣o=%+d<0,所以％+4?=2%<0,

则同<∣0∣2∣,故D正确.

故选：BCD.

12.已知双曲线C：—-^=1,P是该双曲线上任意一点，[、F?是其左、右焦点，则下

45

列说法正确的()

A.该双曲线的渐近线方程为y=±日X

B.若附|=8,则IP用=4或12

C.若△4P舄是直角三角形，则满足条件的尸点共4个

D.若点P在双曲线的左支上，则以PK为直径的圆与以实轴为直径的圆外切

【正确答案】ABD

【分析】由双曲线方程求得。，b,C的值，然后逐一分析四个选项得答案.

【详解】解：因为双曲线C：—-^=1,所以双曲线的渐近线为y=±且X,故A正确；

452

又α=2,b2=5>所以C=Ja2+从=3，则c-4=l,c+a=5,

因为IlwHP以=2a=4,∣P段=8,所以|尸制=4或仍用=12,故B正确；

当PG或尸鸟与X轴垂直时，直角三角形耳尸工有N个，以百名为直径的圆与双曲线有4个交

点，

直角三角形EP鸟有4个，则若△耳P鸟是直角三角形，则满足条件的P点共8个，故C错误;

22

设P(Xo,%)(Λ0≤-2),耳(一3,0),则工一2_=1,

45

PE的中点为。’(亨，/)求得|。。1=(审j+(/j=i_?与，

IPOI+α=J("2j+仔J+2=T%,可得IoOl=IPoI+α,即以W为直径的圆与以实轴为

直径的圆外切，故D正确.

故选：ABD

三、填空题

13.已知直线(a—l)x+3y+7=0与直线2x+y—3=0互相平行，贝IJa=.

【正确答案】7

【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，解得即可.

【详解】解：因为直线(aT)x+3y+7=0与直线2x+y-3=0互相平行，

所以等解得a=7∙

故7

14.数列｛%｝的通项公式为为=(-l)"T(4"-3),则它的前IOO项之和SKw等于.

【正确答案】-200

【分析】根据并项求和得出答案.

【详解】

SK)O=(4xl-3)-(4x2-3)+(4x3-3)------(4×l∞-3)=4×[(l-2)+(3-4)+∙∙∙+(99-100)]

=4×(-50)=-2(X)

故-200

15.在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖膈.已知

在鳖嚅产一ABC中，PA_L平面ABC,PA=AB=BC=2.M为PC的中点，则点尸到平面

MAB的距离为.

R

V

C

【正确答案】√2

【分析】利用等体积法求得P到平面MAB的距离.

【详解】因为PAJ■平面48C,BCu平面A8C,所以BClB4,

依题意可知BC±AB,BC1PA,ABoPA=A,AB,P4u平面RW,

所以BC1平面PA8,

由于M是尸C的中点，所以M到平面PAB的距离是C到平面PAB的距离的一半，

即M到平面∕¾β的距离是1.

AC=PB=2&PC=«2宿+2?=2√3,

所以AW=BM=百，

由于AB=2>所以SMAB=5*2*J(6)-I2=>/2,

SI.ΛB=^×2×2=2,

设P到平面MAB的距离为h,则VM.PAB=VP^ΛB,

BPi×2×l=i×√2×∕z^A=√2.

33

故夜

16.已知点j和抛物线C：V=2x,过C的焦点且斜率为&的直线与C交于A,B

两点.若ZAMB=90°,则X=.

【正确答案】1

【分析】设直线4B的方程为与抛物线方程联立“八卜F，根据

9=2x

ZAMB=90。,由物.MB=0求解.

【详解】因为抛物线C:y?=2x的焦点为

设直线AB的方程为y=k

.(∩

X——

与抛物线方程联立V=KI2),⅛ιtV-(⅛2+2)x+^2=0,

y2=Ix

设Aa,χ),B(j⅛,%),

F+21

则πillX+X_ɔ,Xi,X-)——，

i2-K-4

所以y+%=a(玉+*2-ι)=j%∙%=%2(玉

所以MA=卜I+；,%-11,MB=[z+g,M-l

因为NAMe=90。，

所以M4∙Λ∕B=X++Λ⅛)+:+X，必_(>1+%)+l，

2

1k+21,2,λ

42k24k

即42-2左+1=0,

解得k=1.

故1

四、解答题

17.已知递增的等比数列｛%｝满足4+%+4=28,且%+2是%和«4的等差中项.数列出｝

是等差数列，且耳=q也=/+%+%.

(1)求数列｛%｝,｛〃｝的通项公式；

(2)设cn=an+bn,求数歹!)｛%｝的前"项和5„.

【正确答案】(l)α,,=2",bn=6π-4.

n+2

(2)Sn=2'+3n-n-2.

【分析】(！)设等比数列｛““｝首项为6，公比为4,列方程组求出q,q即得解.求出等差数列

的公差"即得数列也｝的通项公式;

(2)利用分组求和法即可得出.

【详解】(1)解：设等比数列｛",J首项为4,公比为4.

由已知得2(%+2)=%+%代入生+%+4=28可得%=8.

于是见+%=20.

故国+叱=20,解得卜=2卜；

%-％q-8[al-2q=32

[(7=2

又数列｛《,｝为递增数列，故.，

[q=2

-∙a,>=2"•

设等差数列也,｝首项为〃=q=2,公差为d.

所以么=2+4+8=14=2+2",;.d=6,.'.bll=2+(n-l)×6=6n-4.

所以2=6"-4.

(2)解：由题得%=4+々=2"+6〃—4.

所以数列｛ς,｝的前”项和5„=2(1：)+](2+6〃-4)=2"”+3/-〃-2.

18.已知圆C与),轴相切，圆心在X轴下方并且与X轴交于A(l,0),3(9,0)两点.

⑴求圆C的方程；

(2)若直线/过点A(LO)且被圆C所截弦长为6,求直线/的方程.

【正确答案】(I)(X-5y+(x+3)2=25；

(2)x=l,或7x-24y-7=0.

【分析】(1)根据已知条件及弦长、半径、弦心距三者的关系，结合圆的标准方程即可求解;

(2)根据(1)的结论及直线的点斜式方程，再利用弦长、半径、弦心距三者的关系及点到

直线的距离公式即可求解.

【详解】(1)由题意可知，r=5,设圆心坐标为(5,3S<0),则

9-l=2√25-⅛2>解得b=3或匕=一3,

因为/?<(),所以人=-3,

所以圆C的方程为(X-5f+(x+3)2=25.

(2)因为直线/过点A(M))且被圆C所截弦长为6,

所以圆心到直线/的距离为d=J52-^J=4，

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=l,

所以圆心(5,—3)到直线》=1的距离为4=|5-1|=4,符合题意；

当直线/的斜率存在时，直线/的方程为y=∕(x-l),即fcr-y-k=O,

因为圆心到直线的距离为4,

玲/刊=4,解得％=2，

√F7l24

所以直线/的方程为7X-24),-7=(),

故所求线/的方程为x=l,或7x-24y-7=0.

19.已知数列｛%｝、｛bn｝满足ala2a3«„=妥,若数列｛%｝是等比数列，且q=3,⅛=4+⅛3.

⑴求数列｛4｝、｛2｝的通项公式；

Ibn

⑵令%=，求｛的前“项和为s.

(π+ι)tfqJn

【正确答案】(1)%=3",〃,=也尹

【分析】(1)由条件解出｛《,｝的公比后求通项公式，由指数幕的运算性质求2；

(2)写出｛0｝的通项公式，由错位相减法求和.

【详解】(1)当"=1时,4=3'=3,.∙∙4=1

当〃22时，4=3"-如，.・.%=3%飞=3",又见=《小,∙S=3

是以3为首项，3为公比的等比数列，∙∙.(=3∙3"τ=3"

二当“≥2H寸，b,,-b,ɪ=n

由累加法可得："=1+2+3++”=地罗，

又当〃=1时，4=1也适合上式，，2=及刊

2

2"("+1)

⑵C-2b,_.2J

n(n+l)⅛(n+l)∙3n3"

∙^∙s,,=lxg+2x/+3x/+…+("-l)χ击+〃x"①

，：S”=Ix/+2χ/++(〃-I)X'+"X击②

①-②得:|5„11111y,J112π÷31

332333"3n+',13,'+1263"

1------

3

32n+31

・•・S,×一

443n

20.如图甲，在ABC中，ABlBCfAB=6,BC=3,D,E分别在AC,上，且满

∆pAn

足把=方=2,将VADE沿Z）E折到△尸。E位置，得到四棱锥P-BCDE,如图乙.

BEDC

（1）已知/，N为PB,PE上的动点，求证：MN1DE；

（2）在翻折过程中，当二面角P-E。-B为60。时，求直线CE与平面PCQ所成角的正弦值.

【正确答案】（1）证明见解析；（2）叵.

13

（1）通过DE_LBE和。E_LPE证明QEl平面尸8E即可得出用N_LOE；

（2）以点B为坐标原点，分别以BE,BC,BP为X,N,Z轴正方向建立坐标系，利用向

量法求解.

【详解】（1）证明：在图甲中,

..AEAD

・==L,：.DEHBC,

BEDC

又工3C,Z)E"L3E'且DEj_AE,

即在图乙中，DE1.BE,DEA.PE,又BECPE=E,

故有DE工平面产BE,

而MNU平面尸BE,故有MN_L£)E；

⑵解：VDEYBE,DEYPE,

所以NPEB为二面角P-ED-B的平面角，则NPEB=60。，

在APBE中，BE=2,PE=4,ZPEB=60°,

由余弦定理，可知PB=2√L)⅛ÆPβ2+BE2=Pf2,则有P3"L3E,

由(1)知，BC人平面PBE,则PB_L8C,

如图，以点B为坐标原点，分别以BE,BC,BP为X,y,Z轴正方向建立坐标系,

则E(2,0,0),P(θ,θ,2√3),C(0,3,0),θ(2,2,θ),

则PC=(0,3,—2。)，8=(2,-1,0),C£=(2,-3,0),

设平面PCD的法向量为A=(X,yz),

ApC.n=3y-2^=0

z,取〃=(1,2,6),

CDn=2x-y=0

ICET4后

所以直线CE与平面Pe。所成角8满足Sine=

∣CE∣∙∣n∣-√13∙2^-13

本题考查线线垂直的证明，考查向量法求线面角，属于中档题.

-)2

21.已知椭圆E:/+方=l(4>6>0)上任意一点到其左右焦点耳、乙的距离之和均为4,

且椭圆的中心。到直线版+αy-H=0的距离为拽.

3

(1)求椭圆E的方程；

(2)已知以椭圆右顶点A为直角顶点的动直角三角形斜边端点8、C落在椭圆E上，求动

直角ABe面积的最大值.

【正确答案】