新高考数学小题必练 计数原理与概率

小题必练10计数原理与概率

老县讹碣

1.掌握古典概率的基本特征，解决简单的概率实际问题，借助古典概型初步认识有限样本空间、随机事件，

以及随机事件的概率.

2.能够根据实际问题的需求，选择恰当的抽样方法获取样本数据，重点提升数据分析、数学建模、逻辑推理

和数学运算素养.

3.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义，利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，能用

多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

考星遷就

1.【2020全国新高考I卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1

名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()

A.120种B.90种C.60种D.30种

【答案】C

【解析】C：C；C；=60.

【点睛】本题主要考查计数原理的相关知识，考查数学运算.

2.12020全国H卷理科】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的

配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日

积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天完成50份订单的

配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者()

A.10名B.18名C.24名I).32名

【答案】B

【解析】由题意知超市第二天能完成1200份订单的配货,

如果没有志愿者帮忙，则超市第二天共会积压超过500+(1600-1200)=900份订单的概率为0.05,

因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,

至少需要志愿者则=18(名)，故选B.

50

【点睛】本题主要考查概率知识在生活中的应用，考查数学运算和数据分析.

考员庭破

一、单选题.

1.某电视台一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法

共有。

A.192种B.216种C.240种D.288种

【答案】B

【解析】最前排甲，共有A；=120种，

最前只排乙，最后不能排甲，有A1A：=96种，

根据加法原理可得，共有120+96=216种，故选B.

2.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加.当甲乙同时参

加时，他们两人的发言不能相邻.那么不同的发言顺序的和数为()

A.360B.520C.600D.720

【答案】C

【解析】根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C；・C；•C：=480种情况；

若甲乙两人都参加，有C；・C；•A：=240种情况，其中甲乙相邻的有C；・C；・A；•A；=120种情况，

则不同的发言顺序种数为480+240-120=600^,故选C.

3.某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，

且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有()

A.120种B.156种C.188种D.240种

【答案】A

【解析】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：

①甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则丁、丙相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况,

将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A；=6种安排方法，

则此时有4x2x6=48种编排方法；

②甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则丁、丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况,

将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A；=6安排方法，

则此时有3x2x6=36种编排方法；

③甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则丁、丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况,

将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A；=6种安排方法，

则此时有3x2x6=36种编排方法，

则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种，故选A.

4.若二项式(2x+@y的展开式中二的系数是84,则实数a=()

XJT

A.2B.A/?C.1D.----

4

【答案】C

【解析】二项式(2x+q)7的展开式，即(q+2x)7的展开式中厂3项的系数为84,

xx

所以&i=C（2切（q尸=C2Z7-4-7+2r,令一7+2r=-3,解得r=2,

X

代入得c）522=84,解得。=1,故选C.

5.（x+@）（2x-丄了展开式中，各项系数之和为3,则展开式中的常数项为（）

XX

A.-120B.-80C.80D.120

【答案】D

【解析】（x+8）（2x—丄门展开式中，各项系数之和为3,

XX

x=1时，1+a=3,,\a=29

.ci..1.<.2...1.<

（x4—）（2%—）=（X4—）（2x—）?

XXXX

•••展开式中x的一项为80x,x的-1此项为-40x-',

展开式中的常数项为160—40=120,故选D.

6.“暑假”期间，三个家庭（每家均为一对夫妇和一个孩子）去“沈阳世博园”游玩，在某一景区前合影留念,

要求前排站三个小孩，后排为三对夫妇，则每对夫妇均相邻，且小孩恰与自家父母排列的顺序一致的概率是（）

1„1八11

A.—B.—C.----D.-----

1590180360

【答案】B

【解析】前排站三个小孩，后排为三对夫妇的排列为A；A：种，

前排站三个小孩，后排为三对夫妇，则每对夫妇均相邻，且小孩恰与自家父母排列的顺序一致，

故有A；A；A；A：=48种，

481

故每对夫妇均相邻，且小孩恰与自家父母排列的顺序一致的概率尸=一"7=一，故选B.

A〉A：90

7.己知集合A={1,2,3,4,5,6},若从集合A中任取3个不同的数，则这三个数可以作为三角形三边长的概率

为()

37113

A.—B.—C.-D.—

1020220

【答案】B

【解析】不妨设取出的三个数为a,b,c,且a<8<c,若a,b,c,能够成三角形,

则有以下几种情况；

当c=6时，(。力)=(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)；

当c=5时，(a,份=(2,4),(3,4)；

当c=4时，(。/)=(2,3)一共有7组，

77

所求的概率为P=F=—.

C20

8.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极

致的数学美和丰富的传统文化信息.现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正

方形的两邻边.若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为()

A.生217T

B.-

26

【答案】A

【解析】分析题意可知，阴影部分刚好可以拼凑成一个圆形,

设圆的半径为R,该正方形的边长为/,则对于正方形的对角线而言，可以分为三个部分，第一个部分为正方

形的对角线上的顶点到圆心的距离，两圆的圆心距，对角线上顶点到圆心的距离，

故(2R+R)-2=B，解得/=(夜+2)R,

(3-272)71

故概率P=故选A.

(e+2)2R2

二、多选题.

9.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设

“礼”“乐”“射”“御,，“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则()

A.某学生从中选3门，共有30种选法

B.课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法

C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法

D.课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法

【答案】CD

【解析】6门中选3门共有C：=20种，故A错误；

课程“射”“御”排在不相邻两周，共有A：A；=480种排法，故B错误；

课程“礼”，，书”“数”排在相邻三周，共有A；A：=144种排法，故C正确；

课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有厶；+仁(2厶：=5()4种排法，故D正确.

10.已知二项式(2x—-%)”(〃eN*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5,则下列说法正确

的是()

A.所有项的系数之和为1B.所有项的系数之和为-1

C.含*3的项的系数为240D.含d的项的系数为-240

【答案】AC

ii2〃-3r

【解析】二项式(2%--7=)"(〃6^)展开式通项为：J；』=c:(2x)"，(一,)'=(—l)'2iC"了

7xyjx

因为展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5,所以C：:C；=2:5,解得〃=6；

则该二项式为(2x-J=)6,令％=1,则所有项的系数之和为(2-1)6=1,故A正确，B错误；

yJX

12-3r

则展开式的通项公式为4+1=(-1)'26-'匸：》丁，

令1―=3,则r=2,因此含V的项的系数为(一1)224或=240,故C正确，D错误.

3

11.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是：；

on

②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为——；③现从中不放回的取球2次，每

243

2

次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为一；④从中有放回的取球3次，每次任取

一球，则至少有一次取到红球的概率为型.则其中正确命题的序号是()

27

A.①B.②C.③D.④

【答案】ABD

【解析】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，

C2cl3

①从中任取3球，恰有一个白球的概率是〃=^^=:，故正确；

C65

②从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为“=2=丄,

63

21go

则恰好有两次白球的概率为P=《(§)4(?2=赤，故正确;

CC3

③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为不请=三,

故错误；

42

④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为〃=三=；,

63

则至少有一次取到红球的概率为P=1-C；g)3=||,故正确.

12.如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣分别为A、B、C、D、E.箱中所示数值表示通电时保险丝

被切断的概率，下列结论正确的是()

A.A5所在线路畅通的概率为丄B.A8C所在线路畅通的概率为*

66

C.OE所在线路畅通的概率为丄29

D.当开关合上时，整个电路畅通的概率为一

3036

【答案】BD

【解析】由题意知，A、6、C、。、E保险闸被切断的概率分别为P(A)=1,P(B)=1,P(C)=1,P(D)=1,

所以A、8两个盒子畅通的概率为丄乂2=丄，因此A错误;

233

iii29

D、E两个盒子并联后畅通的概率为1一一x-=l一一=一，因此C错误;

563030

2115

A、B、C三个盘子混联后畅通的概率为1-一x-=l一一=一，B正确;

3466

29529

根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为一x—=一,D正确.

30636

三、填空题.

13.（北京市海淀区2018年高三一模）社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成

一排，小红必须与2位老人都相邻，且两位老人不排在两端，则不同的排法种数是.（用数字作答）

【答案】24

【解析】首先小红必须与2位老人都相邻有2种排法，将三人看成一个整体，从剩下的3名志愿者中选出两人

排在两端有A；种，剩下的一名志愿者与小红等三人可乱排有A；种，

根据分步计数原理可得不同的排法种数2xA；xA；=24种.

20l5

14.（广东省东莞市2018届高三上学期期末数学试卷）（1—2x）235=%+4九++a20I5x（xeR）,

则5+2+3++號的值为

2222322015

【答案】-1

【解析】由题意得%=C屛5（—2）'，取x=O,代入二式项得4=1,

:+寸+寸++^201f-C2OI5+C2015-C2OI5++C煞一C紀

:C2015-C2015+C2015-C2015++C2015~C2OI5=QT产,，

aCl

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