2023年高三数学高考模拟试卷附参考答案五

2023年高三数学高考模拟试卷（五）

一、单选题

1.设集合M={x\x<1或%>3},N={x|log2x<1},则集合MnN=（）

A.（—oo,1]B.（0,1]C.[1,2]D.（—8,0]

2.在复平面内，复数Z对应的点的坐标是（1,-2）,贝以+:的共辗复数为（）

A.l+4iB.l-4iC.4+iD.4-i

3.利用独立性检验来考查两个分类变量X和丫是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和丫有关系”的

可信度.如果k>5.024,那么就有把握认为“X和丫有关系”的百分比为（）

P(K2>ko)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.25%B.75%C.2.5%D.97.5%

4.日光射入海水后，一部分被海水吸收（变为热能），同时，另一部分被海水中的有机物和无机物

有选择性地吸收与散射.因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用勿=/oe-KD表示其总衰

减规律，其中K是平均消光系数（也称衰减系数），D（单位：米）是海水深度，lD（单位：坎德

拉）和/（）（单位：坎德拉）分别表示在深度。处和海面的光强.已知某海区10米深处的光强是海面

光强的30%,则该海区消光系数K的值约为（)(参考数据：ln2«0.7,ln3«1.1,InS«1.6)

A.0.12B.0.11C.0.07D.0.01

5.一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如图所示，则这个正三棱柱的外接球的表面

积为（

彳则视图

207r

B.67rCr~3~D.7n

6.智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜

面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图，从双曲线右焦点尸2发出的光线

通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点尸1.已知入射光线F2P斜率为-6,且

F2P和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线的离心率为（）

B.V2C.2+V3D.1+V3

7.在等比数列｛an｝中，a4和由2是方程/+3x+l=0的两根，则。8=（

D.±1

8.△ABC的内角力，B,C所对的边分别为a,b,c.已知9SE2B=4s出24cosC=则。=

D.照

9.将函数/（久）=sinQx+看）（3>0）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移装个单

位长度，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（%）为奇函数，则（o的最小值为（）

10.某高校组织大学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，分别是“中华古诗词”“社会主义核心价值

观，，，，科学实践观，，，，中国近代史，，及，，创新发展能力，，.某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能

力''版块被该队选中的概率为（）

11.在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1,水平放置的正方体容器中注入了一定量的

水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA,DB,DC三条棱与水平面所成角均相

等，此时水平面为HJK,如图2所示.若在图2中需=|,则在图1中嚣=（）

D

图2

8

A2D・班_Z_QD.

A.gbC.27

12.已知Q=b=e001,c=1+则（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

二、填空题

13.在Q-3)(x4-1)5的展开式中好的系数为.

14.若向量N,b满足向=2,|b|=3,\a-b\=4，则五,b=-

15.已知函数y=/(x)是定义域为R的偶函数，当x20时，/(%)=(2)，若关于x

x

Uog16x,-z

的方程[/(x)]2+a/(x)+b=0(a,beR)有且仅有7个不同实数根，则a+b=.

16.比利时数学家丹德林发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧

面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适

用，如图所示，在一个高为16,底面半径为3的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及侧面均相切.若

一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率

为.

三、解答题

17.成都是全国闻名的旅游城市，有许多很有特色的旅游景区.某景区为了提升服务品质，对过去

100天每天的游客数进行了统计分析，发现这100天每天的游客数都没有超出八千人，统计结果见下

面的频率分布直方图：

八频率/组距

2

I

1

1

O

O

O

012345678每天人数/千人

为了研究每天的游客数是否和当天的最高气温有关，从这一百天中随机抽取了5天，统计出这5天

的游客数(千人)分别为0.8、3.7、5.1、5.6、6.8,已知这5天的最高气温(久)依次为8、18、22、24、

28.

参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是‘八其中：b='[%(修]刃=

y=bx+a”(xz-x)

£nx^yi—nxyA

xf-nx2，a=y-bx'

本题参考数据：2i=i(U-元)(％-9)=70,若=1(阳一幻2=232.

(1)根据以上数据，求游客数y关于当天最高气温％的线性回归方程(系数保留一位小数)；

(2)根据(1)中的回归方程，估计该景区这100天中最高气温在20久〜26久内的天数(保留整数

)

18.已知数列｛an｝的前n项和为S”，且又+1=S“+an+2,.请在①+。8=26；②%,a3,

。9成等比数列；③520=420,这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.

(1)求数列｛出｝的通项公式；

(2)若"竽记数歹端｝的前几项和为〃，求证：Tn<2.

19.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面ABC。J_平面

ABEF,AD//BC,AF//BE,AD1AB,AB1AF,AD=AB=2BC=2BE=2.

(1)已知点G为AF上一点，且AG=1,求证：BG〃平面DCE；

(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为络，求平面DCE与平面BDF所成锐二面角的

余弦值.

20.已知椭圆C：圣+:=1(。>6>0),离心率为:，必分别为椭圆C的左、右顶点，过焦点

且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)当直线m过椭圆C的左焦点片以及上顶点P时，直线m与椭圆C交于另一点Q,求此时的弦长

\PQ\-

(3)设直线2过点4,且与％轴垂直，M,N为直线I上关于X轴对称的两点，直线42M与椭圆C相

交于异于42的点。，直线DN与x轴的交点为E,当△M&N与AMEN的面积之差取得最大值时，求直

线A2M的方程.

21.已知函数/(%)=axe'—?2一%.

(1)讨论/(x)在(0,+8)上的单调性；

2XlX2

(2)若a>0时，方程/(%)=Inx-有两个不等实根工］,x2,求证：x1%2>e~~.

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线J的参数方程为(a为参数).以。为极点，x轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为pcos(。+$=m.

(1)求Ci的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)若J与交于相异两点A,B,且|4B|=2百，求m的值.

23.已知函数/(%)=|x—1|一|x-2|,,g(x)=\2x-1|.

(1)求函数/(%)的值域；

11

(2)若a>0,b>0,且彦+庐=1，不等式4/(%)工彳+不恒成立，求实数十的取值范围.

“2b

参考答案

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】B

12.【答案】D

13.【答案】-25

14.【答案】一|

15.【答案】-1

16.【答案】1

17.【答案】⑴解：由题意知，计算元=黄(8+18+22+24+28)=20,

y=gX(0.8+3.7+5.1+5.6+6.8)=4.4,

又£=1(阳一元)(%一刃=70,笈=1(Xi-x)2=232,

所以」⑺一如⑵/=需。0.3,

小(勺一元)

a=y—bx=4.4—0.3x20=-1.6'

所以y关于"的线性回归方程是#=0.3%-1.6；

(2)解：当最高气温在20汽〜26久内时，

根据9=0.3%-1.6,得游客数在4.4〜6.2内；

频率分布直方图中这个范围内的条形图面积为(5-4.4)x0.18+0.14+(6.2-6)x0.07=0.262,

所以天数为0.262X100=26.2,

所以这100天中最局气温在20久〜26。(：内的天数约为27天.

18.【答案】(1)解：由已知Sn+i=Sn+即+2,所以Cln+i—即=2

所以数列｛%｝是等差数列，公差d=2,

若选①

又因为=26,所以2al+lid=26,

解得=2,所以即=%+(?1—l)d=2n.

若选②

又因为由，。3,成等比数列，所以。32=即仪9

所以(%+4)2=ai(cii+16)，解得劭=2

所以。„=cij+(n-l)d=2n.

若选③

又因为S2o=420,所以20al+190x2=420

解得即=2,所以an=%+(n-l)d=2n

(2)证明：因为勾=竽，由(1)知，an=2n,所以勾

—

111—

1++++<1++

一

笳

所以*=马，所以〃=---而

49储+n-(n—1)

所以<1+(1—2)+&-4)+…+(万zy—力=2一五

又因为2-，<2,所以B<2

19.【答案】(1)证明：连接AE,交BG于点。，取DE的中点H,连接HO,HC,GE,

vAG//BE,AG=BE,二四边形ABEG为平行四边形，

•••。为AE的中点，0H〃4D,OH

又BC//AD,BC=^AD,OH//BC,OH=BC,

二四边形BCHO为平行四边形，.•.”C〃OB,

•••HCu平面CCE,OB,平面DCE,

OB〃平面DCE,即BG〃平面DCE.

(2)解：•••平面4BCD1平面ABEF,平面ABC。Cl平面ABEF=AB,AD1AB，u平面ABCD,

ADI平面ABEF,

以A为原点，以AF,AB,AD所在直线为％,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

设4尸=a(a>0且a#1),则F(a,0,0),B(0,2,0),D(0,0，2),E(l,2,0),C(0,2,1)，

DC=(0,2,-1),DE=(1,2,-2),~BF=(a,-2,0),BD=(0,-2,2),

设平面DCE的法向量为元=(%,y,z),则朽变=°,即

<n-DE=01%+Zy-Zz-0

令y=l,则％=z=2,An=(2,1,2),

••・直线BF与平面DCE所成角的正弦值为冬

\BF-n\|2a-2|75

|cos<BF,=

化简得Ila2-40a-16=0,解得a=4或-白(舍),

BF=(4,-2,0)

设平面BDF的法向量为万=",y',z')，则但亘=°,即［丫,一2'=°

、/'(m-BD=0(-2y+2z=0

令%'=1,则y'=z'=2,,1.rn=(1,2,2),

一1m-n88

cos<m'…而同=踞=可

故平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为导

20.【答案】⑴解：由椭圆的离心率为最所以e♦另，①

22

又Q2—b=C②

设过左焦点且垂直于％轴的直线为：x=-c,

代入C：今+4=1（。＞人＞0）中，结合化简得:

ab

所以过左焦点同垂直于％轴的直线被椭圆C截得的线段长为:

笠=3，③

a

联立①②③解得：a2=4,b2=3,

所以椭圆C的标准方程为：¥+^=1.

4□

（2）解：由（1）知FK—1,0）,P（0,V3）

所以直线m的方程为：

y=V3(x+l),代入4+*=1中消去y得:

5x2+8x=0,解得：x=0或％=—

当％=0时，y=遮为P点、,

所以Q（_|,一挈）,

所以|PQ|=］（一|—0）2+（_等_遍/=

⑶解:由⑴知4式一2,0）,&（2，0），如图所示:

连接ME,A2N,

E/F^O

因为直线2过点①，且与x轴垂直,

所以直线I方程为：x=-2

由题意得直线42M的斜率存在且不为0,

设直线42M的方程为：x=my+2（m*0）,

联立仔=my+2(m*0)得：

点M(-2,-2)，又M,N为直线2上关于％轴对称的两点,

所以N(—2,3),

x=my+2(m00)

x2y2_,消去工整理得：

IT+T=1

(3m2+4)y2+12my=0,解得：

y=0或y=-3尊;4,由点。异于点人2，

所以将y=-3^^4代入"=my+2(7n*0)中得:

—6m2+8日口八/一6m2+812m、

"不再“即"F再_获力

所以直线DN的方程为：

(一3一3(%+2)一(^^+2)(、-3二0,

—6m2+4

令y=0,x

E3m2+2'

—662+41262

所以&EI=|2-x|=

£37n2+237n2+2’

由图可知：△M&N与△MEN的面积之差为:

S〉MA?N~S^MEN=2s△M&E，

因为2SAM&E=2x机|&EI况I=播^I-AI=箫整

一--3阳1§+高-一<2而4居8一_4痛而

当且仅当3|刑==m2=|=>m=±,时取等号，

所以当△M&N与AMEN的面积之差取得最大值时，

直线的方程为：x=i~^y4-21

即：3%+V6y—6=0或3%—V6y-6=0.

21•【答案】(1)解：由题意得f(%)=a(x4-l)ex—%—1=(x+1)-(aex—1).

因为x>0,所以％+l>0.

当a40时，aex-1<0,/(x)<0，所以/(%)在(0,+8)上单调递减.

当a>0时，令ae*—1=0,则％=—Ina.

①若a21,则x=-InaWO,当x>0时，/(x)>0，所以/'(%)在(0,+8)上单调递增；

②若0<a<l,则X=-Ina>0,当xe(0,-Ina)时，/(x)<0>所以/(%)在(0,—Ina)上单调

递减；当x€(―Ina,+8)时，/(x)>0>所以/(%)在(—Ina,+8)上单调递增.

综上，

当aWO时，/(%)在(0,+8)上单调递减；

当a21时，/(%)在(0,+8)上单调递增;

当0<a<l时，/(%)在(0,-Ina)上单调递减，在(-Ina,+8)上单调递增.

(2)证明：方程/(%)=In%—4%2,即axe*—In%—x=0,

因为axe*—(Inx+x)=0,则axe工—ln(xex)=0,

令t=>0),f=(%+l)e">0,所以函数「=在(0,+8)上单调递增,

因为方程axe*-(Inx+x)=0有两个实根处，x2,令。=%2e%则关于t的方程at-

Int=0也有两个实根打，t2,且

2

要证》62>e2TL"2,即证》送勺-x2^>即证《1垃>/，即证Inti+\nt2>2,

Qtl=1g

由已知,

at2=lnt2

a(ti—t2)=Inti—lnt2

所以f

a(G+《2)=InG+\nt2

整理可得士空=蚂!!吟

不妨设口>t2>0,

即证In"+\nt=lnJ>2,

2tFl-t/2f2

即证ln?>华声=军2,

f2h+t24+1

与

令s=?,即证1ns>以苧，其中s>l,

「2S+1

2

构造函数g