辽宁省锦州市2023-2024学年高一年级上册期末考试数学试卷（含解析）

2023〜2024学年度第一学期期末考试高一数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合4=卜，'屋3},5={-1,0,1,3,5}则AB=（）

A.{1,3}B.{0,1,3}C.{-1,0,1,3}D.{x|x<3}

【答案】B

【详解】A={xeN|x<3}={0,l,2,3},3={-1,0,1,3,5},

A3={0,1,3}.

故选：B.

2.命题“Vx>l,无—l>lnx”的否定为（）

A.V%<l,x-l<lnxB.Vx>l,x-l<lnx

C.3x<l,x-l<\nxD.3x>l,x-l<h\x

【答案】D

【详解】全称量词命题否定是存在量词命题，

因为命题“Vx>1,x—1>Inx”是全称量词的命题，

则“\/%>1,%—1>111%”的否定为“3x>l,x-l<lnx,,,

故选：D.

3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A="第一枚硬币正面朝上"，事件8="第二枚硬币反面朝上”，则下

列对事件A,3的表述正确的是（）

A.A与8互为对立事件B.A与8互斥

C.A与2相互独立D.P（AB）=1

【答案】C

【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

事件A包含的结果有：（正，正），（正，反），

事件3包含的结果有：（正，反），（反，反），事件A3包含的结果有：（正，反）,

所以A与8不互斥，且不对立，故A、B错误;

又尸（A）=；,P（3）=g,P（AB）=：,所以P（A3）=P（3）P（A）,所以A与B相互独立，故C正确，D

错误.

故选：C.

4.已知己>5>0,下列不等式中正确的是（）

A.ab<b2B.—a2<—ab

cc11

C.->—D.--------<-------

aba-1b-1

【答案】B

【详解】因a>b>0,可得〃2，〃人〉/>o，则_/<_"人，故A错误，B正确;

例如c=o,可得£=f=o,故c错误；

ab

例如。=2力=工，可得二一=L，=—2,即‘〉'，故D错误；

2a-1b-1a-1b-1

故选：B.

5.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视

力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据

为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（啊m1.259）

A.0.8B.0.9C.1.2D.1.3

【答案】A

【详解】因为L=5+lgV,

所以V=1055,

代入数据可得1-=右=击=+。。.8，

故选：A.

6.已知函数/（九）是定义域为R的偶函数，且在（-。,0）单调递增，则（）

(1、

>f3-5

\7

【答案】D

【详解】因为函数/（%）是定义域为R的偶函数，则

/卜g21^=/(log23),

又因为"％）在（-。,0）内单调递增，则〃可在（0,+8）内单调递减,

由y=3"在R内单调递增,则3一：<34；

-

由y=%3在（0,+8）内单调递减，则2-3<2~3<「§=］；

由y=log2x在（0,+oo）内单调递增，贝ij1=10g22<log,3；

C2A(_1A

综上所述:--所以/>f2^>

32<23<log23)

k7k7

故选：D.

7.如图，在梯形ABCD中AB=2DC,直线AC交5。于点P,Q为3c中点，设A3=&,A。b则尸Q=

()

A.—aB.—ciH—bC.-abD.—ab

43234126

【答案】D

DCDP1

【详解】因为钙=2DC,所以一=——=一，

ABBP2

111m111ratlm

uunuun22uunxiuun2

所以AP=AB+—3。=AB+—AD—AB=—AB+—AD,

33、'33

又因为。为3C中点，所以

uumiuunuumiuuniuumuuuiuuni<uumiuunA3uun1uum

AQ=-{zAB+AC\x^-AB+-z\AD+DC\x=-AB+-\AD+-ABU-A5+-AD,

2\>22\>22(2J42

uuuuuiuuuu3uun1uumAf1uun7皿吟5uun1uum5r1r

所以PQ=AQ—AP=-AB+-AD--AB+-AD\=-AB--AD^—a--b.

42J133J126126

故选：D.

8.设xeR,用国表示不超过x的最大整数，例如：[—2.1]=—3,[2』=2,,则＞=国称为高斯函数.

己知函数〃x)=g—上三，则函数》=[/(4)]+[/(—X)]的值域是()

A.{-1,0}B.{0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

【答案】A

【详解】由题意可知xeR,且〃x)」」+e'T二」+

')2l+eA2l+ex

〃一上「±7"=-〃力

所以/(%)为奇函数，

—e(O,l),」＜」+」--,

又因为e*e(0,+oo),所以〃%)的值域为

l+erv7221+e*2(I

根据国表示不超过X的最大整数可知当；,o]时，”f)《0,3

[/(x)]+[/(-x)]=-l+0=-l.

当0，；时，/H)4-pOL[/(x)]+[/(-x)]=0-l=-l,

当〃x)=0时，/(-x)=0,[/(x)]+[/(-x)]=0+0=0,

综上)=[/(尤)]+[/(-％)]的值域为{-1,0}.

故选：A

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某公司为了解用户对其一款产品的满意度，随机调查了10名用户的满意度评分，满意度最低为。分，最

高为10分，分数越高表示满意度越高.这10名用户对产品的满意度评分如下：5,7,8,9,7,5,10,8,4,7.则下

列说法正确的是()

A.这组数据众数为7

B.这组数据的80%分位数为8

C.这组数据的极差为6

D.这组数据的方差为3.2

【答案】ACD

【详解】这组数从小到大排列为4,5,5,7,7,7,8,8,9,10.

对于A,众数为7,故A正确;

8+9

对于B,因为10x80%=8,所以80%分位数为第8个数据和第9个数据的平均数，即——=8.5,故B

2

错误;

对于C,极差为10—4=6,故C正确;

这组数据的平均数为&(4+5+5+7+7+7+8+8+9+10)=7,

对于D,

则方差S2=![(4—7)2+(5—7)2义2+0+(8—7)2义2+(9—7)2+00—7)2]=3.2,故口正确.

故选：ACD.

10.若函数/（%）=%3+依2+公+。有三个零点一1」,朝，且不式2,3）,则下列说法正确的有（）

A.b—\B.〃+c=0C.ce(2,3)D.4Q+2Z?+C<—8

【答案】BCD

【详解】T和1是函数/（%）=炉+依2+乐+。的零点,

/(-l)=-l+a-Z?+c=0

，解得6=-l,a+c=0,故A错误，B正确;

/(l)=l+a+Z?+c=0

/(x)=-ex2—X+C=J3(X-C)-(X-C)=(X+1)(X-1)(X-C),

令/'（尤）=0，得X=_］或兀=1或兀=0,

由题知，Xo=c,即cw（2,3）,故C正确；

/（2）=8-4c-2+c=6-3c<0,

即/（2）=8+4a+2Zj+c<0,4a+2b+c<-S,故D正确.

故选：BCD.

11.已知函数/（尤）=111卜2_陵_0+1）,则下列说法正确的有（）

A.当人=0时，函数/（%）的定义域为R

B.当人=0时，函数〃无)的值域为R

C.函数有最小值的充要条件为02+助—4<0

D.若/(%)在区间［1,+8)上单调递增，则实数力的取值范围是(-8,2］

【答案】AC

【详解】当6=0时，/(x)=ln(x2+l),

%2+1>0对任意xeR恒成立，所以/(%)的定义域为R,

又因为V+/1，所以ln(%2+i"lnl=0,〃％)的值域为［0,+。)，故A正确，B错误.

2

“工「人2,7.(沙丫b+4b-4mil/+46—4

对于C,=X2-bx-b+l=\X——-------------------，贝hmin=-----------------------------，

I2J44

A2+4A-4/\

当:〉0时,“%)有最小值，反之也成立，故C正确；

对于D,令/=工2—Z?x—Z?+l=(x—~->贝ijy=lnf，

纥1

当4X)在区间［1,收)上单调递增时，\2,解得b<l,故D错误.

^(l)=l-Z?-Z?+l>0

故选：AC.

12.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离

是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O,G,H

分别为三角形ABC的外心、重心、垂心，且取为3c的中点，则()

A.AH=3OMB.GA+GB+GC=0

C.|OA|=|OB|=|OC|D.AG^-AO+-AH

33

【答案】BCD

【详解】

因为G是A3C的重心，。是A3C的外心，H是A3C的垂心，

且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以GO=!"G,

2

对于选项A：AH=AG-HG=2GM-2GO=2OM>故选项A不正确；

对于选项B：因为G是A3C的重心，M为的中点，所以AG=2GM，

又因为G8+GC=2GM，则G3+GC=AG，

即GA+GB+GC=O，故选项B正确；

对于选项C：设点0是一A3C的外心，所以点0到三个顶点距离相等，

即网=|词=|砌,故选项C正确;

2uum1uuir2z100uumiuur711111121111m]iw

对于选项D：-AO+-AH=-（AG+GO]x+-AH=-AG+-GO+-AH

333、>3333

2uum1uuir1umr9u™1uumuum

=-AG+-HG+-AH=-AG+-AG=AG,故选项D正确；

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.幕函数〃%）="-1卜"小在（0,+8）上单调递减，则加=.

【答案】一历

m2—1=1—

【详解】由题意可得<,解得m=—后,

m+1<0

故答案为：7〃=-J5

14.已知甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.7,0.5,0.4,若甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响）,

则至少有一人命中的概率为.

91

【答案】0.91##—

100

【详解】甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.7,0.5，0.4,

甲、乙、丙各投篮一次，则他们都没有命中的概率为(1—0.7)0—0.5)0—04)=0.09,

则至少有一人命中的概率为1-0.09=0.91.

故答案为：0.91.

15.已知实数a为w(0,+8),2aZ?+3=Z?,则，+2b的最小值为.

【答案】8+46

【详解】因为。力€(0,+8),2。匕+3=5,

3

所以2。H—=1,

b

所以(工+2点2。+3］=2+』+4必+628+2/工4必=8+4百，

yaJvb)abvab

当且仅当4他=上时即6=3+百,。=避」时，取等号.

ab4

故答案为：8+46.

-X?-2x,x<0

16.已知函数/'(%)=<1，若方程/(X)-Z=O有4个不同的实数根%,%2，%3，%4且

-|log3x|,x)0

再<尤2<%3<%4，则上的取值范围为；玉+%+%3+%4的取值范围为.

64

【答案】®.(0,1)②.(0,—)

【详解】函数丁=一九2一2%的图象对称轴是x=—1,当尤40时，函数/(元)=-尤2-2尤在(F,—l］上单调

递增，

函数值集合为(-8,1］,在上单调递减，函数值集合为［0,1］,

当x>0时，函数/'(x)=；|log3x|在(0/］上单调递减，函数值集合为［0,+8),

在口依)上单调递增，函数值集合为［0,+8),

由了(%)—左=0,得/(%)=k,因此方程/(%)—左=0的根即为直线y=左与函数y=/(%)图象交点的横坐

标，

在同一坐标系内作出直线)=左与函数y=f(尤)的图象，如图,

观察图象知，当0<左<1时，直线丫=左与函数y=/(x)的图象有4个交点，

因此方程，(x)-左=0有4个不同的实数根，化的取值范围是(0,1)；

显然%+%2=-2,当;|1083工|=1时，X=1■或无=9,于是g<%3<1<》4<9，

11,11

由-|log3A：31=-Ilog3x4I,得X3X4=1,即X3=—,则+%4=—+%,

22%4%4

1c18282

显然函数一+%4在(1,9)上单调递增，从而2<一+X<—,即2<七+%4<一，

%X449349

6464

贝!]0<X]+%+演+/<W>所以X]+%2+%3+%4的取值范围是(0,W).

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.平面内给定两个向量a=(1,2),0=(—3,2).

(1)若(@+2可//(22-4孙求实数左；

(2)若向量c为单位向量，且卜一可=2通，求c的坐标.

【答案】⑴k=-l

⑵口1,0)或TW)

(1)

妨+2。=(左一6,2左+4),2a—4b=(14,"),

因为(版+2人)//(2a-4b),

所以(左一6)x(T)—(2左+4)x14=。，解得上=—1；

(2)

设向量C=(x,y),因为向量C为单位向量，所以问=+y2=]①,

又因为c-0=(x+3,y-2),

所以卜J(x+3)2+(y_2『=2^/5②,

X=1

由①②解得1八或〈5

y=012，

13

所以c=(L。)或

rsr\(.

18.在①A=<x———<1>,@A=^||x-l|<21<③A={x卜=log2(—x2+2x+3)}这三个条件中任选

一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.

设全集U=R，,3=+x+a—a?<0].

(1)若a=l,求

(2)若“xeA”是“尤的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【答案】(1)Bo(8bA)={x|x<0^cc>3}

(2)(-<®,-3]U[4,+3O)

(1)

什一2x_22x—2

右选①：------<1,­*--------1<0,

x+1x+1

即一<0,等价于(％—3)(x+l)v0,解得—

/.A=|x|-l<x<3},

因为a=l,所以3=卜产+九vo}=同一1<x<01,

"A=1x|x<_国&>3},

/.5u(gA)={X%vO^x>3}；

若选②：|x-l|<2,A-2<x-l<2,解得一1<%<3,A={H-lvxv3},

因为a=l,所以3={犬,2+%vo}={引一1<0},

gA=1x|x<>3},

/.5①曲4)=何％<0或x23}；

若选③：—/+21+3>0，解得一1<%<3,A={x|—lvxv3},

因为a=l,所以3=—+%vo}=同一1<x<01,

gA=1x|x<>3},

/.@A)={x|xvO或x23}；

(2)

由(1)知A={x|—lvx<3},

B={x,2+%+〃_〃2<0}=卜卜+〃)[%+(1_〃)]<o],

因为“xeA”是“xeB”的充分不必要条件，所以A是3的真子集.

⑴若一4〈一(1一〃)，即此时6={尤卜1〈尤V—(1一叫，

—1>—(2

所以八等号不同时取得，解得・

[3K-(1-a)Va»4

3)若—a=—(1—a),即a=g,则3=0,不合题意舍去；

(iii)若一a>-(l-a),即a<；,此时3={%卜(1-“)<%<-。},

所以〈I),等号不同时取得，解得“V—3.

3<-a

综上所述，。的取值范围是(-8,-3]u[4，a).

19.已知/(2x+l)=3ax+i—4(a>0且aw1).

(1)求函数y=/(x)的解析式，并写出函数y=/(x)图象恒过的定点;

(2)若。>1,求证：—4.

a2

x+1

【答案】⑴=3«2-4,(T—1)

(2)证明见解析

(1)

Z+1

令2x+l=f,得x=—,则/⑺=3々3+1—4=3,

k-4，

X+1

所以〃x)=3a〒—4

11

令r受=0,得无=—1,且/(—l)=3a°—4=—1,

因此，函数y=/(x)图象恒过的定点坐标为(—L—1)

(2)

/x(1a(1\

%+4♦

「3、3」3

证明：因为/［彳―％)-—^--4=3a2—4—+4=3a2-a2

2J2

a\J

121L+1Y

又因为上^_(_不］=*+"+4=12)〉。,当且仅当％=-工时等号成立,

2<2J-222

2

所以3X+2］_Y二

22

1

又由。>1,可得邙-《，

a2>a2

2

'X+lx)o

所以3a2-a2>0,即/(x)----4>0

3J

即/(%"三一4

a2

20.某高中为了解本校高一年级学尘的综合素养情况，从高年级的学生中随机抽取了〃名学生作为样本，进

行了“综合素养测评”，根据测评结果绘制了测评分数的频率分布直方图和频数分布表，如下图.

[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

X4101284

(1)求〃M，x的值;

(2)由频率分布直方图分别估计该校高一年级学生综合素养成绩的中位数(精确到0.01)、平均数(同一

组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(3)在选取的样本中，从低于60分的学生中随机抽取两人，求抽取的两名学生成绩属于同一组的概率.

【答案】(1)“=40,x=2,a=0.010

(2)平均数73,中位数为73.33

(3)—

15

(1)

由图知第三组的频率为0.25,又由第三组的频数为10,所以“=至=40,

0.25

所以x=40x0.05=2,a=4+40+10=0.010.

(2)

由(1)可知：每组的频率依次为0.05,0.1,0.25,0.3,0.2,0.1,

平均数元=45x0.05+55x0.1+65x0.25+75x0.3+85x0.2+95x0.1=73,

设中位数为b,且0。5+0.1+0.25=0.4,0.05+0.1+0.25+0.3=0.7,可知be[70,80),

所以0.05+0.1+0.25+{b—70)x0.030=0.5,解的Z?a73.33.

(3)

记事件E：从低于60分的学生中随机抽取两人成绩属于同一组,

由（1）知样本中位于［40,50）内的有两人，分别记为A5；

位于［50,60）内的有四人，分别记为仇c,d；

从低于60分的学生中随机抽取两人的样本空间

Q={AB,Aa.Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,Bd,ab,ac.ad.be,bd,cd},

共包含15个样本点，

所以£=［AB,ab.ac,ad.bc.bd.cd］共包含7个样本点，

77

所以P（E）=百，即从低于60分的学生中随机抽取两人成绩属于同一组的概率为百.

21.某高校为举办百年校庆，需要40L氨气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务.社

团已有的设备每天最多可制备氯气8L,按计划社团必须在30天内制备完毕.社团成员接到任务后，立即

以每天xL的速度制备氮气.已知每制备1L氨气所需的原料成本为1百元.若氯气日产量不足4L,日均额

外成本为叱=4^+16（百元）；若氢气日产量大于等于4L,日均额外成本为暝=17x+-—3（百元）.制

备成本由原料成本和额外成本两部分组成.

（1）写出总成本W（百元）关于日产量x（L）的关系式

（2）当社团每天制备多少升氢气时，总成本最少？并求出最低成本.

4x+一+1,-<x<4

【答案】（1）W

40|-^--+18,4<x<8

XX

（2）当社团每天制备2L氮气时，总成本最少，最低成本为680百元

40404

若每天生产也氮气，则需生产一天，.•.一《30,则；

若氧气日产量不足4L,贝也L氢气的平均成本为小+l=4x+电+1百元;

若氨气日产量大于等于4L,贝U1L氨气的平均成本为翌+1=斗-』+18百元;

XXX

43

40|4x+—+1,-<x<4

：.w=\!,>3

4of-^--+U

,4<x<8

(2)

当&Wx<4时，4x+—>2J4x--=16(当且仅当4x=",即x=2时取等号),

3xvxx

・・・当