八下期中复习（三角形专题）

八下期中复习（三角形专题）一、选择题1．如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=32，则ΔDEBA．9cm B．32cm C．62 第1题图 第2题图2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=10cm，BD=6cm，那么点D到直线AB的距离是（）A．10cm B．6cm C．16cm D．4cm3．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数是（）A．128° B．118° C．108° D．98° 第3题图 第4题图4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF，将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数（）A．90° B．92° C．95° D．98°5．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，请观察尺规作图的痕迹（D，E，F分别是连线与△ABC边的交点），则∠DAE的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若AC=5，BC=12，则A．5：13 B．12：13 C．12：5 D．13：5 第6题图 第7题图7．如图，BD是△ABC的角平分线，DE是BC的垂直平分线，CE=4，△ABD的周长为12，则A．16 B．12+43 C．20 D．8．在△ABC中，它的三边分别为a，b，c，下列条件：①∠A=12∠B=13∠C，②∠A=∠B-∠C，③∠A：∠B：∠C=3：4：5，④a：b：c=2：3：A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③9．已知下列命题，其中原命题与逆命题均为真命题的有（）①若a>b，则ac>bc；②两直线平行，内错角相等；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的周长相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A=∠B+∠C B．a：b：c=5：12：I3C．a2=(b+c)(b-c) D．∠A：∠B：∠C=3：4：511．在△ABC中，若∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．(a+b)(a−b)=c2 C．a=5，b=12，c=1312．如图，在等边△ABC中，AD是它的角平分线，DE⊥AB于E，若AC=8，则BE=（） A．1 B．2 C．3 D．413．下列条件中，不能得到等边三角形的是（）A．有两个内角是60°的三角形 B．三条边都相等的三角形C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形14．如图的网格中，点A、B在格点上，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C共有（）A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 第14题图 第15题图15．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，A，B在两个格点上，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的C点的个数为（）A．10个. B．8个. C．6个. D．4个.16．在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使△ABP为等腰三角形，则点P有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个17．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B在格点（网格线的交点）上，在其余14个点上任取一个点C，使△ABC成为以AB为腰的等腰三角形的概率是（）A．17 B．27 C．31418．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形(AB是其中一腰)，则图中符合条件的格点有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第16题图 第17题图 第18题图二、填空题19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC角平分线，DE⊥AB于点E，AC=6，BC=8，则DB的值为．三、作图题20．如图，在△ABC中，D是AB边上一点，且BC＝BD．按下列要求完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法，请标明字母）．⑴作∠ABC的角平分线交CD于点E；⑵作线段AD的垂直平分线交AD于点F；⑶连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．四、解答题类型21．如图，DE⊥AB交AB延长线于E，DF⊥AC于F，BD=CD，BE=CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的数量关系．22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在边BC，AC上，DE=DB，∠DEC=∠B．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）写出AE+AB与AC的数量关系，并说明理由．23．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，延长BC至点E，使得∠DAE=∠BAC，延长AD至点F，使得AF=AE.（1）求证：△ABF≌△ACE；（2）若AD⊥BC，DF=15，BC=16，求CE的长.24．在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的角平分线（1）如图1，当∠A=36°时，求证：AD=BC；（2）如图2，若∠A=90°，且AB=1，求AD的长；（3）如图3，当∠A=100°时，求证：AD+BD=BC.25．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且（1）求证：△BDF≅△ADC；（2）已知AC=103，DF=626．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．27．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=43x+8分别与x轴、y轴相交于点A、B，OC是∠AOB的角平分线，交直线AB（1）求点C的坐标；（2）如图2，AH是∠BAO的角平分线，过点B作AH的垂线交AH于点D，交x轴于点E求直线BD的解析式；（3）在x轴上寻找点F使得△ABF为等腰三角形，请直接写出点F的坐标．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=ADDC=DE∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，∵AC＝BC，∴AE＝BC，∴△DEB的周长＝DE＋DB＋BE＝DC＋DB＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB＝32cm．故答案为：B．

【分析】先利用“HL”证出Rt△ACD≌Rt△AED，可得AC=AE，再利用三角形的周长公式及等量代换求出△DEB的周长即可。2．【答案】D【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E∵∠C=90°，AD平分∠BAC∴DE=DC∵BC=10cm，BD=6cm∴CD=BC−BD=10−6=4cm∴点D到AB的距离是4cm故答案为：D.【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得DE=CD，然后根据CD=BC-BD进行计算.3．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=12∠BAC=1又∵AB=AC，∴∠ABC=12（180°-∠BAC）=1∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=27°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上，又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心，∴∠OCB=∠OBC=36°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE，∴∠COE=∠OCB=36°，在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，故答案为：C.【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.4．【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC．∵∠BAC=46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，∴∠OAB=∠OAC=∠ABO=1∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=1∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=44°．在△AOB和△AOC中，AB=AC∠OAB=∠OAC∴△AOB≅△AOC(∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=44°．由题意将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE，∴∠EOC=∠ECO=44°，∴∠OEC=180°−∠EOC−∠ECO=92°．故答案为：B．【分析】连接OB、OC，根据角平分线及中垂线的性质可得∠OAB=∠OAC=∠ABO=23°，根据等腰三角形的性质可求出∠ABC=∠ACB=12(180°−∠BAC)5．【答案】C【解析】【解答】解：观察尺规作图的痕迹可得，DF垂直平分AB，AE平分∠CAD，

∵DF垂直平分AB，

∴BD=AD，

∴∠B=∠BAD，

∵∠B=30°，∠C=50°，

∴∠BAD=30°，∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，

∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=70°，

∵AE平分∠CAD，

∴∠DAE=12∠CAD=35°，

故答案为：C.

【分析】观察尺规作图的痕迹可得DF是垂直平分线，AE是角平分线，先利用垂直平分线的性质证得等腰三角形进而得到∠BAD的度数，再通过三角形内角和求得∠BAC6．【答案】A【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵AC=5，BC=12，∠C=90°，

∴AB=AC2+BC2=52+122=13，

过点D作DE⊥AB于点E，如图，

∵7．【答案】C【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分行，

∴CD=BD，CE=BE，

∵△ABD的周长为12，即AB+BD+AD=12，

∴AB+CD+AD=12，

∵△ABC=AB+AD+CD+CE+BE

∴△ABC=12+CE+BE，

∵CE=BE=4，

∴△ABC=12+4+4=20，

故答案为：C.

【分析】根据DE是BC的垂直平分行，可得CD=BD，CE=BE；由△ABD的周长为12，即AB+BD+AD=12，等量代换得△ABC=12+CE+BE，由CE=BE=4，得△ABC=12+4+4=20。8．【答案】C【解析】【解答】解：因三角形内角和等于180°，所以∠A+∠B+∠C=180°，

①∠A=13∠C，∠B=23∠C，代入∠A+∠B+∠C=180°得13∠C+23∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，△ABC是直角三角形；

②把∠A=∠B-∠C代入∠A+∠B+∠C=180°得∠B-∠C+∠B+∠C=180°，化简得2∠B=180°，∠B=90°，△ABC是直角三角形；

③3+4+5=12，180°平均分为12份，∠A=180×312=45°，∠B=180×412=60°，∠C=180×512=75°，排除；

④a：b：c=2：3：5，a2：b故答案为：①②④，选C.

【分析】①②均可用等量代换的方法将三角形的内角大小求出，根据角的大小判断；③根据比例关系求出各个角的大小判断；④可用直角三角形三边长度满足勾股定理判断.9．【答案】B【解析】【解答】解：①若a>b，只有当c>0时ac>bc，所以原命题是假命题；②根据平行的性质得出“两直线平行，内错角相等”正确，再得出逆命题是“内错角相等，两直线平行”正确，所以其原命题与逆命题均为真命题；③根据直角三角形的性质得出“直角三角形的两锐角互余”正确，再得出逆命题是“若一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形”正确，所以其原命题与逆命题均为真命题；④根据全等三角形的性质得出“全等三角形的周长相等”正确，是真命题，再得出逆命题“周长相等的三角形是全等三角形”错误，是假命题

∴原命题与逆命题均为真命题的有两个，故答案为：B【分析】根据原命题和逆命题结合不等式的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质对选项逐一分析即可求解。10．【答案】D【解析】【解答】解：A、三角形的内角和是180°，∠A+∠B+∠C=180°，当∠A=∠B+∠C时，2∠A=180°，所以∠A=90°，△ABC是直角三角形，A不符合题意；

B、三角形三条边设为5x，12x和13x，(5x)2+(12x)2=（13x)2，根据勾股定理的逆向证明△ABC是直角三角形，B不符合题意；

C、a2=(b+c)(b-c)⇒a2=b2-c2⇒b2=a2+11．【答案】C【解析】【解答】解：

A：(a+b)(a−b)=a2+b2=c2，符合勾股定理逆定理，是直角三角形

B：∠C-∠B=∠A，则∠C=∠A+∠B，根据等式性质∠C+∠C=∠A+∠B+∠C=180°=2∠C，所以∠C=90°，是直角三角形

C：a=5，b=12，c=13，则a2=5，b2=12，c2=13，不符合勾股定理逆定理，不是直角三角形

故答案为：C【分析】根据直角三角形定义或勾股定理逆定理来判定是否为直角三角形。12．【答案】B【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，AD是它的角平分线，∴BD=12BC=∵DE⊥AB于E，∴∠BDE=30°，∴BE=1故答案为：B

【分析】根据等边三角形的性质可得BD=12BC=12×8=4，∠B=60°．再根据DE⊥AB于E，可得13．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵三角形的另外一个角=180°-2×60°=60°，∴是等边三角形，不符合题意；

B、三条边都相等的三角形是等边三角形，不符合题意；

C、有一个角是60°的等腰直角三角形，则其他两个角也等于60°，是等边三角形，不符合题意；

D、∵所有的等腰三角形都有两个外角相等，则其不一定是等边三角形，符合题意；

故答案为：D.

【分析】根据三角形的内角和定理可以确定有两个内角是60°的三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；根据三角形的内角和定理可以确定有一个角是60°的等腰三角形；由于所有的等腰三角形都有两个外角相等，但等腰三角形不一定是等边三角形.14．【答案】C【解析】【解答】解：∵AB=22∴①若BA=AC，则符合要求的有：C1，C2共2个点；②若CB=AC，则符合要求的有：C3，C4共2个点；③若CA=CB，则符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6个点，这样的C点有10个．故答案为：C．【分析】先求出AB=2215．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的C点的个数为8个，

故答案为：B.【分析】根据等腰三角形的判定方法结合图形求解即可。16．【答案】C【解析】【解答】解：如图：共有8个点P可以使△ABP为等腰三角形.

（1）分别以A、B为圆心，以AB长为半径画圆，得到以AB为腰的等腰三角形；

（2）作线段AB的垂直平分线，得到以AB为底边的等腰三角形；

故答案为：C.

【分析】当△ABC是等腰三角形，分顶点为∠A为顶角，AB为腰；∠B为顶角，AB为腰；∠C为顶角，AB为底边三种情况分别讨论即可。理论依据：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.17．【答案】B【解析】【解答】解：C点落在如图所示网格中的4个格点时，△ABC是以AB为腰的等腰三角形，∴在其余14个点上任取一个点C，使△ABC成为以AB为腰的等腰三角形的概率是414故答案为：B.【分析】根据等腰三角形两腰相等，结合方格纸的特点分别找出以AB为腰点A为顶点及以AB为腰点B为顶点的格点C，进而用符合条件的点C的个数除以14即可.18．【答案】D【解析】【解答】解：由勾股定理得：AB＝12+22＝5，

如图所示，

①若AB＝BC，则符合要求的有：C1，C2，C3共3个点；

②若AB＝AC，则符合要求的有：C4，C5共2个点；

③若AC＝BC，则不存在这样格点．

∴【分析】先由勾股定理可求得AB的长，然后分三种情况，即AB＝BC，AB＝AC，AC＝BC，讨论求解即可.19．【答案】5【解析】【解答】解：∵AC=6，BC=8，∠C=90°，

∴AB=62+82=10，

∵AD是∠CAB的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，

∴DE=DC，

在直角三角形AED和ACD中有，DE=CD，AD=AD

∴Rt△AED≅Rt△ACD(HL)

∴AE=AC=6

∴BE=4，

设BD=x，则CD=DE=8-x，

∴8-x220．【答案】解：⑴如图，射线BE即为所求作．⑵如图，直线MN即为所求作．⑶结论：EF∥AC，EF＝12理由：∵BC＝BD，BE平分∠ABC，∴DE＝EC，∵MN垂直平分线段AD，∴AF＝DF，∴EF∥AC，EF＝＝12【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图的方法进行作图即可；

（2）根据线段垂直平分线的尺规作图作出线段AD的垂直平分线MN，交AD于点F即可；

（3）根据尺规作图可知点E和点F分别是CD，AD的中点，进而得出三角形的中位线，利用三角形中位线性质：三角形中位线平行于第三边并等于第三边的一半进行求解即可.21．【答案】（1）解：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△BED和Rt△CFD中，BD=CDBE=CF∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：AB+AC=2AE．理由如下：由（1）知AD平分∠BAC，∴DE=DF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE=DFAD=AD∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE=AF，∵BE=CF，∴AB+AC=AE−BE+AF+CF=2AE．【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠E=∠DFC=90°，利用HL证明△BED≌△CFD，得到DE=DF，据此证明；

（2）根据（1）可得DE=DF，利用HL证明△ADE≌△ADF，得到AE=AF，然后根据AB+AC=AE-BE+AF+CF进行解答.22．【答案】（1）证明：如图，过点D作DF⊥AB于点F，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DFB=∠ACB．在△DCE和△DFB中，∠DCE=∠DFB∠DEC=∠B∴△DCE≌△DFB(AAS)，∴DC=DF，∵DF⊥AB，DC⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD平分∠BAC；（2）解：AE+AB=2AC，理由如下：由（1）知，AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAF．在△ACD和△AFD中，∠ACD=∠AFD=90°∠DAC=∠DAF∴△ACD≌△AFD(AAS)，∴AC=AF．由（1）知，△DCE≌△DFB，∴CE=FB，∴AE+AB=AE+FB+AF=AE+CE+AF=AC+AF=2AC．【解析】【分析】（1）如图，过点D作DF⊥AB于点F，根据AAS可证明△DCE≌△DFB，从而得出DC=DF，结合DF⊥AB，DC⊥AC，即可得出AD平分∠BAC；

（2）AE+AB=2AC，首先根据AAS证明△ACD≌△AFD，可得AC=AF，由（1）知，△DCE≌△DFB，可得CE=BF，即可得出AE+AB=2AC．23．【答案】（1）证明：∵∠DAE=∠BAC∴∠CAE=∠BAF∵在△ABF与△ACEAF=AE∴△ABF≌△ACE(SAS)（2）解：∵AD⊥BC，AB=AC，BC=16∴BD=∵AD⊥BC，∴BF=∵△ABF≌△ACE∴BF=CE=17∴CE=17【解析】【分析】（1）根据等式的性质易得∠CAE=∠BAF，从而用SAS判断出△ABF≌△ACE；

（2）根据等腰三角形的三线合一得BD=1224．【答案】（1）证明：∵∠A=36°，AB=AC∴∠C=∠ABC=∵BD是△ABC的角平分线∴∠ABD=∠CBD=∴∠A=∠ABD=36°∴AD=BD∴AD=BC（2）解：过D作DE⊥BC于E∵∠A=90°，AB=AC∴∠C=45°∴∠C=∠CDE=45°∴CD=∵BD是△ABC的角平分线∴AD=DE∴CD=∵AB=1=AC=AD+CD∴1=AD+∴AD=（3）证明：以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，连接A'A延长交BC于H，∵A'B=A'C，AB=AC，∴A'H是BC垂直平分线，∠D'A'A=30°，∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠ACA′=∠ABD=20°，在△ABD和△ACD'中，AB＝AC∠ABD＝∠ACD′∴△ABD≌△ACD'（SAS），∴AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，∴∠AD′C=60°，连接AA′，∴∠D'A'A=∠A'AD'=30°，∴A'D'=AD'，∴BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD，即BC=BD+AD.【解析】【分析】（1）根据∠A=36°，结合等腰三角形的性质可得∠C=∠ABC=12(180°−∠A)=72°，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°，从而得∠A=∠CBD，∠BDC=∠C=72°，进而得AD=BD，BD=BC，即可证明AD=BC；

（2）过D作DE⊥BC于E，由等腰三角形性质得∠C=∠CDE=45°，从而得CD=25．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADC=∠ADB=90°，在Rt△BDF与Rt△ADC中，∵DF=DCBF=AC∴Rt△BDF≅Rt△ADC（2）解：∵△BDF≅△ADC，∴BF=AC=103在Rt△BDF中，BD=B∴AD=BD=83∴AF=AD−DF=83【解析】【分析】（1）先根据垂直的定义即可得到∠ADC=∠ADB=90°，进而根据三角形全等的判定（HL）即可求解；

（2）先根据三角形全等的性质即可得到BF=AC=10326．【答案】（1）证明：过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外