数学建模习题及数理统计习题 数理统计练习题

数理统计第6页（共16页）数学建模与数学实验课程练习练习集锦1简述数学建模的一般过程及建模过程中需要注意的问题。2简述数学模型及数学建模的特点。3简述数学建模的常用分类方法。4求方程的模最大的根的近似值（精确到小数点后两位）。5在抢渡长江模型中，如果水流速度为常数，人的游泳速度为常数，江面宽度为，终点位置在起点下游处的条件，确定游泳者的最佳游泳路径及最短游泳时间。6沿江的某一侧区域将建两个水厂，在江边建一个取水口。现需要设计最优的管线铺设方案，通过管线从取水口向水厂送水。水厂与江岸的位置见右图。如果不用共用管线，城区单位建设费用是郊区的2倍。对于最优方案，用表示。求最优取水口位置。7在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P是成对比较矩阵，（1）确定矩阵P的未知元素。（2）求P模最大特征值。（3）分析矩阵P的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取0.6）。8在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P是三阶成对比较矩阵，（1）将矩阵P元素补全。（2）求P模最大特征值。（3）分析矩阵P的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取0.6）。9考虑下表数据x02468y0.802.055.2413.4234.36(1)用曲改直的思想确定经验公式形式。（2）用最小二乘法确定经验公式系数。10考虑微分方程（1）在像平面上解此微分方程组。（2）计算时的周期平均值。（3）计算时，的周期平均值占总量的周期平均值的比例变化了多少？(2.8%)11考虑种群增长模型（1）解此微分方程。（2）根据下表数据估计参数k值。(0.31)t02468X(t)23431340550390212假设容积为100000的某湖泊已经受到某种物质污染，污染物在湖中分布均匀，若环保部门及时发现并从某时刻起切断污染源，并更新湖水（此处更新指用新鲜水替换污染水），设湖水更新速率是。试建立湖中污染物浓度随时间下降的数学模型？求出污染物浓度降为控制前的所需要的时间。（8.32h）13假如保险公司请你帮他们设计一个险种:35岁起保,每月交费400元,60岁开始领取养老金,每月养老金标准为３６００元，请估算该保险费月利率为多少（保留3位有效数字）？（0.0066）14某校共有学生40000人，平时均在学生食堂就餐。该校共有3个学生食堂。经过近一年的统计观测发现：A食堂分别有10%，25%的学生经常去B，C食堂就餐，B食堂经常分别有15%，25%的同学去A，C食堂就餐，C食堂分别有20%，20%的同学去A，B食堂就餐。（1）建立该问题的数学模型。（2）确定该校3个食堂的大致就餐人数。15已知一阶差分方程。（1）求该差分方程平衡点。（2）求表达式。16某种群至多只能活3岁，且按年观测的矩阵（1）该种群稳定后年增长率为多少，稳定的年龄结构是什么？（2）在稳定的条件下，如果想只通过改变3龄组生育率来保持该种群数量上的稳定，请问该龄组生育率应该是多少？（0.71）17.某人决定用10万元投资A、B、C、D四支股票，已知购买时四支股票股价分别为每股10元，15元，30元，95元，股市交易要求购买的每支股票数量以手为单位,至少为1手（1手=100股），四只股票的预期收益率分别为30%,20%,50%和15%，如果希望持有股票数量不超过80手，为了使得收益达到最大，请为他的投资建立合适的数学模型，并判断该数学模型的类型。不需要求出具体数值结果。18小李夫妇曾经准备申请商业贷款20万元用于购房，每月还款880.66元，25年还清。此时，房产商介绍的一家金融机构提出：贷款20万元，每半月还款1761.32元，22年还清，但贷款时，应先预付8000元，以后每次按半月还款。小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少3年还款期意味减少还款近3万2千元，而且每月多跑一趟，也不算什么，这家机构的条件还是优惠的。（1）商业贷款的利率是多少？（2）分析金融机构的条件是否优惠。19.一家油运公司每天具有5000吨的运力，由于油轮货舱容积的限制，公司每天只能运输50000的货物，每天可供运输的货物数量如下：货物重量（吨）体积（/吨）每吨收费（元）1300010220215002025032500151504100018200请建立该问题利润最大的优化模型（不需求解）考虑下图所描述的最短路问题。（1）给出下图从点1到点7的邻接矩阵。（2）建立该问题最短路的优化模型。（3）给出该问题的最优结果。10795310795385797485797461261226826821考虑下图所描述的最短路问题。（1）写出从位置1到位置9的最短路的数学模型。（2）给出从位置1经过位置5到位置9的最短路。（3）给出从位置1到位置9的最短路。22某零件寿命X（单位：月）的分布函数为。零件损坏时更换和预防性更换费用分别为3万元和2万元。（1）请建立数学模型，讨论是否存在最佳预防性更换策略。（2）如果存在，求出最佳更换时间和单位时间最小损失(要求算出具体数值结果)。如果不存在，请说明理由。23某零件寿命X为服从均匀分布的随机变量，假设零件最大使用寿命为6个月。零件损坏时更换和预防性更换费用分别为5万元和1万元。（1）请建立数学模型，讨论是否存在最佳预防性更换策略。（2）如果存在，求出最佳更换时间和单位时间最小损失(要求算出具体数值结果)。如果不存在，请说明理由。24已知泛函，给出该泛函极值的必要条件。25.在抢渡长江模型，如果假设流速沿离岸边距离的分布为试用变分法推出人的游泳速度u（常数）、流速、起游偏角及游泳偏角所满足的欧拉方程。数理统计一、填空题1．设为母体X的一个子样，如果，则称为统计量。2．设母体已知，则在求均值的区间估计时，使用的随机变量为3．设母体X服从方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X的数学期望的置信水平为95%的置信区间为。4．假设检验的统计思想是。小概率事件在一次试验中不会发生5．某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%，此问题的原假设为。6．某地区的年降雨量，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为：(单位：mm)587672701640650，则的矩估计值为。7．设两个相互独立的子样与分别取自正态母体与，分别是两个子样的方差，令，已知，则。8．假设随机变量，则服从分布。9．假设随机变量已知，则。10．设子样来自标准正态分布母体，为子样均值，而，则11．假设子样来自正态母体，令，则的分布12．设子样来自标准正态分布母体，与分别是子样均值和子样方差，令，若已知，则。13．如果都是母体未知参数的估计量，称比有效，则满足。14．假设子样来自正态母体，是的一个无偏估计量，则。15．假设子样来自正态母体，测得子样均值，则的置信度是的置信区间为。16．假设子样来自正态母体，与未知，测得子样均值，子样方差，则的置信度是的置信区间为。17．假设子样来自正态母体，与未知，则原假设：的检验选用的统计量为。18．正交设计中中S的选择原则是。19．一元线性回归分析中，对随机误差的要求是。20．一元线性回归分析中中，对：的检验所用的统计量为二、选择题1．下列结论不正确的是()①设随机变量都服从标准正态分布，且相互独立，则②独立，③来自母体的子样，是子样均值，则④与均来自母体的子样，并且相互独立，分别为子样均值，则2．设是参数的两个估计量，正面正确的是()①，则称为比有效的估计量②，则称为比有效的估计量③是参数的两个无偏估计量，，则称为比有效的估计量④是参数的两个无偏估计量，，则称为比有效的估计量3．设是参数的估计量，且，则有（）①不是的无偏估计②是的无偏估计③不一定是的无偏估计④不是的估计量4．下面不正确的是（）①②③④5．母体均值的区间估计中，正确的是（）置信度一定时，子样容量增加，则置信区间长度变长；置信度一定时，子样容量增加，则置信区间长度变短；置信度增大，则置信区间长度变短；置信度减少，则置信区间长度变短。6．对于给定的正数，，设是标准正态分布的上侧分位数，则有（）①②③④7．某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布为已知，现从某日生产的一批产品中随机抽取16缕进行支数测量，求得子样均值和子样方差，要检验细纱支数的均匀度是否变劣，则应提出假设（）①：：②：：③：：④：：8．设子样抽自母体，来自母体，，则的分布为①②③④9．设为来自的子样观察值，未知，则的极大似然估计值为（）①②③④10．子样来自母体，，则下列结论正确的是（）①②③④11．假设随机变量是来自的子样，为子样均值。已知，则下列成立的是（）①②③④12．设子样来自正态母体，与分别是子样均值和子样方差，则下面结论不成立的是（）①与相互独立②与相互独立③与相互独立④与相互独立13．子样取自正态母体，已知，未知。则下列随机变量中不能作为统计量的是（）①②③④14．设子样来自正态母体，与分别是子样均值和子样方差，则下面结论成立的是（）①②③④15．设子样来自母体，则下列估计量中不是母体均值的无偏估计量的是（）。①②③④16．假设子样来自正态母体。母体数学期望已知，则下列估计量中是母体方差的无偏估计是（）①②③④17．假设母体的数学期望的置信度是，置信区间上下限分别为子样函数与，则该区间的意义是（）①②③④18．假设母体服从区间上的均匀分布，子样来自母体。则未知参数的极大似然估计量为（）②①②③④不存在19．在假设检验中，记为原假设，则犯第一类错误的概率是（）①成立而接受②成立而拒绝③不成立而接受④不成立而拒绝20．假设子样来自正态母体，为子样均值，记则服从自由度为的分布的随机变量是（）①②③④三、计算题1．设母体，抽取容量为5的子样，求子样均值大于13的概率；子样的最小值小于10的概率；子样最大值大于15的概率。2．假设母体，是来自的一个子样，是子样均值，求。3．母体，是来自的子样，是子样均值，若，试确定的值。4．设来自正态母体，是子样均值，满足，试确定子样容量的大小。5．假设母体服从正态母体，子样来自母体,计算6．假设新生儿体重，现测得10名新生儿的体重，得数据如下：3100348025203700252032002800380030203260（1）求参数和的矩估计；（2）求参数的一个无偏估计。7．设随机变量的概率密度函数为，设来自母体的一个子样，求的矩估计和极大似然估计。8．在测量反应时间中，一位心理学家估计的标准差是秒，为了以的置信度使平均反应时间的估计误差不超过秒，那么测量的子样容量最小应取多少9．设随机变量，是来自的10个观察值，要在的水平下检验：，：取拒绝域（1）（2）若已知是否可以据此推断成立？（3）如果以检验：的拒绝域，试求该检验的检验水平。10．假设按某种工艺生产的金属纤维的长度（单位mm）服从正态分布，现在随机抽出15根纤维，测得它们的平均长度，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的金属纤维的长度仍为11．某地九月份气温，观察九天，得，，求（1）此地九月份平均气温的置信区间；（置信度95%）（2）能否据此子样认为该地区九月份平均气温为（检验水平（3）从（1）与（2）可以得到什么结论？12．正常成年人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测得脉搏为54686577706469726271，假设人的脉搏次数，试就检验水平下检验患者脉搏与正常成年人的脉搏有无显著差异？13．设随机变量均未知，与相互独立。现有5个的观察值，子样均值，子样方差为，有4个的观察值，子样均值，子样方差为，（1）检验与的方差是否相等？在（1）的基础上检验与的均值是否相等。（）14．假设某厂生产的缆绳，其抗拉强度X服从正态分布，现在从改进工艺后生产的缆绳中随机抽取10根，测量其抗拉强度，子样方差。当显著水平为时，能否据此认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性是否有变化？15．某种导线的电阻，现从新生产的一批导线中抽取9根，得。（1）对于，能否据此认为新生产的一批导线的稳定性无变化？（2）求母体方差的95%的置信区间16、某厂用自动包装机包装糖，每包糖的重量，某日开工后，测得9包糖的重量如下：99.398.7100.5101.298.399.7102.1100.599.5(单位：千克)试求母体均值的置信区间，给定置信水平为。17、设有甲、乙两种安眠药，现在比较它们的治疗效果，表示失眠患者服用甲药后睡眠时间的延长时数，表示失眠患者服用乙药后睡眠时间的延长时数，随机地选取20人，10人服用甲药，10人服用乙药，经计算得，设；求的置信度为95%的置信区间。18、研究由机器A和B生产的钢管的内径，随机地抽取机器A生产的管子18根，测得子样方差，抽取机器B生产的管子13根，测得子样方差，设两子样独立，且由机器A和B生产的钢管的内径服从正态分布，试求母体方差比的置信度为90%的置信区间。19、设某种材料的强度，未知，现从中抽取20件进行强度测试，以kg/cm为强度单位，由20件子样得子样方差，求和的置信度为90%的置信区间。20、设自一大批产品中随机抽取100个样品，得一级品50个，求这批产品的一级中率的置信度为95%的置信区间。21、一家广告公司想估计某类商店去年所花的平均广告费有多少。经验表明，母体方差约为1800000，如果置信度为95%，并要使估计值处在母体均值附近500元的范围内，这家广告公司应取多大的子样？22、设电视机的首次故障时间服从指数分布，，试导出的极大似然估计量和矩估计。23、为了比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位银行职员随机地安排了10个顾客，并记录下为每位顾客办理账单所需的时间（单位：分钟）相应的子样均值和方差为：。假设每位职员为顾客办理账单所需的时间服从正态分布，且方差相等，求母体平均值差的置信度为95%的区间估计。24、某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较，他们从两个城市中分别随机地调查了1000个成年人，其中看过该广告的比例分别为0.18和0.14，试求两个城市成年人中看过该广告的比例之差的置信度为95%的置信区间。25、电视机显像管批量生产的质量标准为平均寿命1200小时，标准差为300小时。某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取100件为子样，测得其平均寿命为1245小时。能否据此认为该厂的显像管质量大大高于规定标准？26、某机器制造出的肥皂厚度为，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块为子样，测得其平均厚度为，标准差为，试分别以0.05和0.01的显著水平检验机器性能是否良好？（假设肥皂厚度服从正态分布）27、有两种方法可用于制造某种以抗拉强度为重要特征的产品。根据以往的资料得知，第一种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为8kg，第二种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为10kg。从两种方法生产的产品各抽取一个子样，子样容量分别为32和40，测得。问这两种方法生产的产品的平均抗拉强度是否有显著差别28、一个车间研究用两种不同的工艺组装产品所用的时间是否相同，让一个组的10名工人用第一种工艺组装产品，平均所需的时间为26.1分钟，子样标准差为12分钟；另一组的8名工人用第二种工艺组装产品，平均所需的时间为17.6分钟，子样标准差为10.5分钟，已知用两种工艺组装产品所需的时间服从正态分布，且方差相等，问能否认为用第二种工艺组装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短？29、某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg，其标准差为30kg。现用一种化肥进行试验，从25个小区抽样结果为平均产量为270kg。问这种化肥是否使小麦明显增产？30、某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于250kg。今从一批该食品中任意抽取50袋，发现有6袋低于250kg。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂，该批食品能否出厂？31、某种电子元件的寿命服从正态分布。现测得16只元件的寿命如下：159280101212224379179264222362168250149260485170，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时。32、某电器经销公司在6个城市设有经销处，公司发现彩电销售量与该城市居民户数多少有很大关系，并希望通过居民户数多少来预测其彩电销售量。下表是有关彩电销售量与城市居民户数的统计数据：城市编号销售量户数(万户)123456542563196827774383658916189193197202206209要求：(1)计算彩电销售量与城市居民户数之间的线性相关系数；（2）拟合彩电销售量对城居民户数的回归直线；(3)计算判定系数(4)对回归方程的线性关系和回归系数进行显著性检验()，并对结果作简要分析。33、在每种温度下各做三次试验，测得其得率(%)如下：温度得率868583868887908892848388检验温度对该化工产品的得率是否有显著影响。34、测量9对做父子的身高，所得数据如下(单位：英父亲身高x606264666768707274儿子身高y63.665.26666.967.167.868.370.170(1)试建立了儿子身高关于父亲身高的回归直线方程(2)检验儿子身高关于父亲身高的回归直线方程是否显著成立？（3）父亲身高为70，试对儿子身高进行置信度为95%的区间预测35、某商店采用四种不同的方式推销商品。为检验不同的方式推销商品的效果是否有显著差异随机抽取子样，得到如下数据：（）方式1方式2方式3方式47786808884959282918972776882758084797082计算统计量，并以的显著水平作出统计决策。四、证明题1．设来自正态母体，母体的数学期望及方差均存在，求证：均是母体的数学期望的无偏估计。其中2．假设随机变量服从分布时，求证：3．设来自正态母体，母体的方差存在，为子样方差，求证：为的无偏估计。4．假设母体的数学期望和方差均存在，来自母体，求证：与都是母体期望的无偏估计，且。其中，5．已知，证明6．设母体的阶矩存在，来自母体,证明子样阶矩为母体的阶矩的无偏估计。7．设母体的密度函数为试证是的无偏估计8．设母体，证明均是的无偏估计（来自母体的子样）9．假设随机变量服从分布时，求证：附加:5－1从正态母体中抽取容量为的子样，如果要求其子样均值位于区间内的概率不小于0.95，问子样容量至少应取多大？附表：标准正态分布表1.281.6451.962.330.9000.9500.9750.9905－2设母体服从正态分布，从该母体中抽取简单随机子样，其子样均值为，求统计量的数学期望。5－3设随机变量，则(A).(B).(C).(D). []5－4设随机变量独立同分布，且其方差为，令，则[]（）.().().().5－5设为来自母体的简单随机子