《多边形的内角和》教学设计

第十一章三角形11.3多边形及其内角和《多边形的内角和》教学设计一、教学目标1.掌握多边形的内角和公式及外角和．2.运用多边形的内角和公式及外角和解决问题．二、教学重点及难点重点：多边形内角和公式及外角和公式.难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形．三、教学用具电脑、多媒体、课件、直尺四、相关资源《多边形外角和》动画、《多边形的内角和与外角和》微课五、教学过程（一）情境导入在一次数学基础知识抢答赛上，王老师出了这么一个问题：某个多边形所有的角加起来等于它的外角和，那么该多边形是几边形？（四边形）小敏同学仅用几秒钟就解决了问题，你能吗？设计意图：这样一开始就利用抢答赛问题来提问设疑，学生很容易发问：这个多边形是几边形呢？从而可调动学生的学习兴趣和注意力，创设了恰当的教学情境．（二）探究新知1．（1）长方形、正方形的内角和等于多少度？任意一个四边形的内角和又是多少呢？（360°，360°）（2）你能利用三角形内角和定理证明你的结论吗？证明：连接AC，∠BAD＋∠B＋∠BCD＋∠D＝（∠BAC＋∠BCA＋∠B）＋（∠DAC＋∠DCA＋∠D），＝180°＋180°＝360°．设计意图：感受对角线在探究四边形内角和中的作用，体会化归思想．2．四边形从一个顶点出发能引几条对角线？它们把四边形分割成几个三角形？五边形、六边形、……、n边形呢？（1）从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，它们将四边形分为2个三角形，四边形的内角和等于180°×2＝360°．（2）从五边形的一个顶点出发，可以引条2对角线，它们将五边形分为3个三角形，五边形的内角和等于180°×3＝540°．（3）从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，它们将六边形分为4个三角形，六边形的内角和等于180°×4＝720°．（4）从n边形的一个顶点出发，可以引（n－3）条对角线，它们将n边形分为（n－2）个三角形，n边形的内角和等于180°×（n－2）．多边形的内角和计算公式：多边形的内角和等于（n－2）×180°．设计意图：经历从四边形、五边形、六边形内角和到一般多边形内角和的探究过程，得出多边形内角和公式，体会从特殊到一般的探究问题的方法；把多边形问题转化为熟悉的三角形问题，再次体会化归思想的作用．3．把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？有新的分法，能得出多边形内角和公式吗？方法1：如图，在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA，OB，OC，OD，OE，则得五个三角形．∴五边形的内角和为5×180°－360°＝（5－2）×180°＝540°．方法2：如图，在边AB上取一点O，连OE，OD，OC，则可得（5－1）个三角形．∴五边形的内角和为（5－1）×180°－180°＝（5－2）×180°．如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形的内角和公式：（n－2）×180°．设计意图：尝试用不同的方法分割多边形，把多边形问题转化为熟悉的三角形问题，再次体会化归思想的作用，进一步加深对多边形内角和公式推理过程的理解．（三）例题解析【例1】如果一个四边形的一组对角互补，那么另外一组对角有什么关系呢？解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°．∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝（4－2）×180°＝360°，∴∠B＋∠D＝360°－（∠A＋∠C）＝360°－180°＝180°．如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．设计意图：让学生理解文字语言，并会将文字语言转化为图形语言和符号语言，进一步巩固多边形的内角和公式，利用公式解决具体问题．【例2】在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少呢？如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的值．分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的内角和是多少度？解：∵∠1＋∠BAF＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°，∠5＋∠DEF＝180°，∠6＋∠EFA＝180°，∴∠1＋∠BAF＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEF＋∠6＋∠EFA＝6×180°．又∠BAF＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEF＋∠EFA＝(6－2)×180°,∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝6×180°－(6－2)×180°＝360°．这就是说，六边形的外角和为360°．如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果：因为n边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它们的和是180°，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，又因为n边形的内角和为（n－2）×180°所以，n边形的外角和为：n·180°－（n－2）·180°＝360°．多边形的外角和等于360°．我们也可以这样理解多边形外角和等于360°．如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向．在行程中转过的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转过的各个角的和等于一个周角，所以多边形外角和等于360°．设计意图：经历求六边形的外角和再到一般n边形的外角和的探究过程，得出n边形的外角和360°，有效地锻炼了学生分析问题和解决问题的能力．（四）课堂练习1．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）．A．4B．5C．6D．72．若一个多边形的边数为8条，则这个多边形的内角和是（）．A．900°B．540°C．1080°D．360°3．若一个多边形增加一条边，那么它的内角和（）．A．增加180°B．增加360°C．减少360°D．不变．4．多边形每一个内角都等于150°，则该多边形的边数是（）．A．10B．11C．12D．13学生独立完成．答案：1．C．2．C．3．A．4．C．设计意图：为学生提供演练机会，加强对多边形内角和公式及外角和的理解及掌握．六、课堂小结（1）多边形的内角和公式（n－2）×180°．（2）多边形的外角和等于360°．设