《点和圆、直线和圆的位置关系》第4课时 教学设计【初中数学人教版九年级上册】

6/6第二十四章圆点和圆、直线和圆的位置关系教学设计第4课时教材分析教材分析直线和圆相切是直线和圆的位置关系中的一种特殊并且重要的位置关系，圆的切线是连接直线与圆的重要桥梁，是研究三角形内切圆、切线长定理和正多边形与圆的关系的基础．切线的判定定理与性质定理揭示了直线和圆的半径的特殊位置关系，即过半径外端并与这条半径垂直．两个定理互为逆命题．切线判定定理的探究过程体现了由一般到特殊的研究方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：切线的判定定理与性质定理．

教学目标教学目标【知识与能力目标】1．理解切线的判定定理与性质定理．2．会用切线的判定定理与性质定理解决问题．【过程与方法目标】学生经历观察、发现，最后总结出切线的判定定理的过程，并通过交换定理的条件和结论，进一步得出切线的性质定理，培养学生观察、比较、概括的逻辑思维能力．【情感态度价值观目标】

通过本节知识的操作、实验、发现、确认等数学活动，体会量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感．教学重难点教学重难点【教学重点】1．理解切线判定定理中的两个要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径．2．理解切线性质定理的两个条件：一是半径；二是过切点．【教学难点】1．能够分清每个定理的条件和结论，并能解决简单问题．2．明确运用定理时常用的添加辅助线的方法．课前准备课前准备多媒体课件、教具、动画资源等．教学过程教学过程一、知识回顾问题（1）直线和圆有哪些位置关系？（2）如何判断直线和圆相切？师生活动：教师提出问题，学生回顾前面所学的知识进行回答．（1）直线和圆的位置关系有相切、相离、相交；（2）根据直线和圆只有一个公共点、d=r（d为圆心到直线的距离，r为圆半径）判断直线和圆相切．二、探索新知问题如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？师生活动：学生思考后得到，圆心O到直线l的距离是OA，也就是⊙O的半径，利用数量关系d=r，判断出直线l是⊙O的切线．教师再次引导学生思考点A和直线l的位置，从而得到切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．追问1如图，图中的直线l与⊙O相切吗？师生活动：学生利用切线的判定定理进行判断：（1）直线l经过半径外端，但不与半径垂直．（2）直线l与半径垂直，但不经过半径外端．学生结合以上两个反例可以发现切线的判定定理中的两个条件“经过半径外端”“垂直于半径”缺一不可．注：此图片是动画缩略图，如需使用此资源，请使用动画“切线的判定定理”．生活中的实例师生活动：启发学生从生活实例中找到切线，让学生感受切线与现实有着密切的联系．追问2（1）已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？（2）怎样利用三角尺过圆上一点画圆的切线？师生活动：组织学生进行讨论，鼓励学生画图尝试，引导学生总结画圆切线的准确方法：应过半径的外端作垂直于这条半径的直线．之后，使用三角尺和直尺进行作图，互相交流作法，教师通过播放动画“利用三角尺过圆上一点画圆的切线”示范作法．追问3如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？师生活动：学生通过观察，发现半径OA垂直于直线l．师生讨论后发现直接证明垂直并不容易．此时教师引导生发现要证明的情况只是垂直这一种，所以考虑使用反证法．假设OA与l不垂直，过点O作，垂足为M，根据垂线段最短的性质，有OM<OA，这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA，于是直线l与圆相交，而这与直线l是⊙O的切线矛盾．因此，半径OA与直线垂直．从而得到切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．思考切线有哪些性质？师生活动：鼓励学生进行讨论交流，从三个方面总结切线的性质．（1）切线的定义：切线和圆只有一个公共点．（2）圆心到直线的距离与半径的关系：圆心到切线的距离等于圆的半径．（3）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．三、运用新知例题如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．思考：（1）切线的判定方法有几种？结合已知你选择哪种判定方法？①切线的定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．②圆心到直线的距离与半径的关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．③切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．师生活动：教师通过问题引导学生分析解题思路，鼓励学生完成解题过程，师生共同分析板书学生的解题过程．分析：因为AC与⊙O没有公共点，所以要过圆心O作OE⊥AC于E，再证明OE为⊙O半径．由于腰AB与⊙O相切于点D,通过切线的性质定理可得OD⊥AB，进而通过等腰三角形的性质推出OE=OD即可解决本题．证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA．∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB．又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线．∴OE=OD，即OE是⊙O的半径．这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切．思考：（2）在运用切线的判定定理和性质定理时，应如何添加辅助线？当证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上一点时，那么作过这一点的半径，证明直线垂直半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线．四、巩固新知练习已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．师生活动：小组讨论分析解题思路，教师巡视、指导，最后进行评价．分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．证明：连接OD．∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4．∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC．∴∠ODC＝∠OBC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°．∴∠ODC＝90°，∴DC是⊙O的切线．五、课堂小结教师和学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：切线的判定定理与性质定理是什么？它们有怎样的联系？切线的判定定理和性质定理容易混淆，及时让学