《实际问题与二次函数（第3课时）》教学设计【初中数学人教版九年级上册】

第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数教学设计第3课时一、教学目标1．学会将实际问题转化为数学问题．2．掌握用二次函数的知识解决有关的实际问题．二、教学重点及难点重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题．难点：从现实问题中建立二次函数模型．三、教学用具多媒体课件。四、相关资源《抛物线形拱桥》动画，《》动画，《》图片。五、教学过程【创设情景，揭示课题】问题图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降1m，水面宽度增加多少？师生活动：小组交流、讨论，由两小组代表汇报结果，全班评比哪组的解法最好．教师巡查，指导不会数学建模的小组．设计意图：创设问题情境，激发学生的学习兴趣．现实的、有意义的、富有挑战性的问题有利于学生主动地进行观察、交流、猜想、验证．【合作探究，形成新知】教师引导：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．解：如图所示：设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2．由抛物线经过点（2，－2），可得－2=a×22．解得．故这条抛物线表示的二次函数为．当水面下降1m时，水面的纵坐标为－3，所以．解得（不合题意，舍去），．所以水面宽度为m．所以当水面下降1m时，水面宽度增加了m．设计意图：通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值，通过建模学会用函数的观点认识问题，解决问题，体会数形结合思想，激发学生的探索精神，并提高学生解决问题的自信心．【例题分析，深化提高】例某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为()．A．50mB．100mC．160mD．200m【解析】如图，建立坐标系．设抛物线的解析式为y=ax2＋k，∵(0，0.5)，(1，0)在抛物线上，∴解得∴y=－0.5x2＋0.5．当x=0.2时，y=0.48，当x=0.6时，y=0.32．∴需要不锈钢支柱的总长度为(0.48＋0.32)×2×100=160(m)．故选C．设计意图：通过问题，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值．【练习巩固，综合应用】1．某一拱桥呈抛物线形，其函数解析式为y=－0.25x2，当拱桥下水面宽为12m时，水面离拱桥顶端的高度h是()．A．3mB．mC．mD．9m2．如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下水面处在目前的水位时，水面宽AB=10m．如果水位上升2m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8m．若洪水到来，水位以每小时0.1m的速度上升，经过多少小时会达到拱顶?参考答案1．D2．解：以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点，建立直角坐标系．则抛物线的顶点E在y轴上，且B，D两点的坐标分别为(5，0)，(4，2)，设抛物线的解析式为y=ax2＋k．由B，D两点在抛物线y=ax2＋k上，得解这个方程组，得a=－，k=．所以y=x2＋．所以顶点E的坐标为．则OE=m，÷0.1=(h)，所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过h会达到拱顶．设计意图：加深认识，深化提高，查漏补缺．六、课堂小结1．一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点是最低点，也就是说，当时，二次函数y=ax2＋bx＋c有最小值．当a＜0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点是最高点，也就是说，当时，二次函数y=ax2＋bx＋c有最大值．2．解决二次函数最值问题的一般步骤：（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小