考研数学思维导图高等数学篇

有界性

、奇偶性

周期性

函数连续性设函数f（x）和g（x）在某点连续,则它们的和、差、积、商都在该点连续

有界性与最大值和最小值定理❶

!闭区间上连续函数的性质£

零点定理❷

r、，函数极限❶

ZE义

数列极限0

第一章函数与极限唯一性极限若存在，必唯一

性质/局部有界性Q

局部保号性G

有限个无穷小之和是无穷小

无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小

无穷小的魄o

（1）化简先行（等价替换*恒等变形.抓大头）

8见到8・0,化为F•或4-

£11

一OO•0

运算6.迎"-0g

函数极限（2）判别类型7种未定戋—8-8有分母，则通分；没有分母，创造分母

运算步骤优。八力二/（刈叫力

一洛必达法则

⑶使用工具泰勒公式❾

一通项已知且易于连续化，用归结原HJ_1即将数列极限转化为函数极限计算

数列极限通哽理但丕易于S续化,用颊逊LO

通项由递推式给出的,_甩单调有界准则若该数列单调递增有上界或单掉递减有下界，则该数列收敛

连续若lim/'（x）=仆。），则称a）在x=厮处连续

xfq______________________________________

可去间断点：（1）三（2）X（3）

连续与间断⑴同/⑴⑵］而/（工）⑶/5）,莫二类间断点缱在

应用<_®»r跳跃间断点：（1）,（2）

第二类间断点，（1）、（2）至少有一个不存在无穷间断点、振当间断点都属于第二类

常考：无定义点一定是间断点；_分段点可能是间断点

渐近线水平渐近线'铅直渐近线、斜渐近线O1/31

①在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最小值和最大值⑨sinx=x-+。(13)arcsinx=尤+L，+0(马

66

②设函数()在闭区间上连续，且与异号(即・

/X/(a)/(b)/5)/3)<0),tame=x+-^x3+O(JC3)arctanx=A:--x3+O(JC3)

则在开区间(a,b)内至少有一点.使/《)=0.

③设函期(x)在闭区间a用上连续，且在这区间媪点取不同的函数值,/(“)=4/仙)=反cosx=l--x2+—x4+o(x4)

7则对于>1与5之间的任意一个数7,在开区间a,6)内至少有一，既，使徼G)=C(a<f<6).224

V-2v-34

ln(l+x)=%一丁+丁一丁+o(/)

(4)▼£>0,皿>0,当0<,7()|<附，有|/(x)—旬<£=[im〃x)=4

XT/

r2尤3

ex=1+xH----1----I-O(JC3)

⑤\/e〉Q,3N>0,当〃>N时，有一a|<£<=>Hm%=a-2!3!

〃一>8

---=1+X+尤2+丁+o(x3)(|x|<1)

(6)若存在lim/(x)=4则33>0,当0<|x-x0卜那j,m”>0,使|/(刈<加1X

XT”

⑩如果数列｛xj,尻｝,｛zj满足两个条件：⑴y„<xn<z„(2)ljmy„=a,]jmz„=a

〃一>8〃一>8

⑦若lim/(x)=z>0,贝归6>o,当0<k一x(J<州，/(x)>o

则数列｛x〃的极限存在，limx〃=a

XTX。

zt—><»

若lim/(x)=z<o,则m3>o,当o<卜一人|<胡寸，/'(X)<o

若lim/W=乂，则y=必为一条水平渐近线；若lim/(幻=%，则，=必为一条水平渐近线；

@如果lim2=0,那么就说尸是比a高阶的无穷小，记作夕=。(。).¥->+*>XT-8

若lim/'。)=lim"》)=%，则y=判为一条水平渐近线

aNT+«»X-4-0O

如果lim2=8,那么就说力是比加氐阶的无穷小

若lim/(x)=00或lim/(“)=8,则x=/为一条铅直渐近线。

a

如果那么就说万与。是同阶无穷小=

lim2=cw0,若lim'°)尢，limL/。)一匕X]=",则y=kix+4是曲线=/(幻的一条斜渐近线

a.V-4+ooXXT+OO

若))则是曲线的一条斜渐近线

如果1由乌=。工0,%>0,那么就说夕是关于。的印介无穷小lim"'=^2dimLA(-V-k2x]=b2,y=+4y=/(x)

X-»-8XX—>><*>

a

若lim"lim'(')=及'limL/(x)—lim1/(幻―女工]二b,则歹="+方是曲线,二/(入-)的一■条斜渐近线

如果lim2=1,那么就说户与a是等价无穷小，记作a〜万

a

2/31

数列极限的定义㈣1140V£>0,3N>0,当”>N时，有W-⑷<£

是常数

设数列｛工｝收敛，则()

唯一一(A)当limsinx”=0时,limx“=0<B)当1而(.丫“+乐J)=0时=0

(C)当lim(x,+x：)=0时Jimx”=0(D)当lim(xjsin.vn)=0时,limxn=0

设数列｛%｝单调减少,｛2｝单调增加，Hlirn(aB-6n)=0.则()

极限性质

有界性厂")｛”"｝收敛，｛2｝不收敛(B)｛七｝不收敛，｛4｝收敛

(C)｛an｝，也｝均收敛，但!叫"(D)｛aJ,也｝均收敛，且!叫a尸!叫"

设数列｛q｝满足!叫方=1，则()

(A)｛4｝有界(B)｛明｝不存在极限

")｛4｝自某项起同号(D)｛凡｝自某项起单调

｛4｝是数列，下列命题中不正确的是<)

<A>则limx-a

收敛的充要条件」若!叫*j"，叫吧知=limX2B^,=a(B)若lim=lim*21+1H

(C)若limx“=a，则lim.%==a(D)若lim=limx”.]则limx=a

»-4—M7―H-4-H-»-»-♦—‘n

4.4

%+i=ln(l+a“),(〃=1,2，…)⑴证明lima1T存在，并求此极限值.⑵求lim

直接计算法「设q=3,=。：+Q(八=1,2,…)，求极限出］

J一先算后证设。<X[<%，J=sin4(〃=1,2,3/一),求limxH,并计算lim

II/B-»WJ»—»«

适用情形:与递推关系xn+1=f(Xn)有关的问题

一①证明数列有黑一里避

使用步骤②假设数列极限为A,通过递推式两端求极限

―③建立关于A的方程进而求出极限A.

作差法：.q“——>0(<0)

/作商:色

“数学一归纳re法—:先算—极限，利用极限来套E数・学归纳法

.竽》而30,修0)用备+产

数列极限

证明单调常用方法!

0<x</时,sinx<x<tanx

单调有界准则］常用的一些不等式

「一<ln(!+.v)<x(x>0)

l+x

e-l>x(x>0)

求施T.W能流就X/、"。时'…123,…),求王.

承至归纳法L已知再=+煮=1,求limX*

证明有界震用方法证明有界拉格朗日中靛理嬲洌｛工｝1龊：%>06伫・*-1(〃=12人一),证叫七｝1|嫩痢啊！天

数列极限的

I常用的一些不笠式一设数歹耳兀卜荫足:x>O,x.e"=4-1(〃=123,7,证明｛4｝收敛，并求吧£

存在性与计算

证什么n项"和式”的数列极限，无法进行变量连续化;

竽》而心。/。)¥+%+&+…+"N而

2n

0<x<三时，sinx<x<tanx

用基本放缩方法2

夹逼准则"么证.

--------<ln(1+x)<x(x>0)

1+x

ex-\>x(x>0)

4

题设给出条件来推证设玉>0,1=3+—(〃=1,2,…)，证明师工存在，并求此极限值.

x»

设函^/(x)/(O)=0,f\x｝>0,

与导数联系,一⑺证明:当xe(0.D时，有/⑴x</(x)v八0川

(〃)若/⑴20,/'(0)S1,任意取与良(0.1)•x“=/*一|),〃=1,2,…，证明：limX“存在，并求值.

,,与积分联系—设q=J：X.Ql—dx,"=1""面(〃=1,2」-)求极限1加：

Ifca

与中值定理联系设数列｛七｝满足：X〉0,”3=*-l(〃=LZ3,…)，证明｛xj收敛，并求limx.

\』J(1)证明方祗=2ln(l+x)在(0,8)内有唯一实根J

绿食蝇结与漉例吟厂⑵对于⑴中的多任%定5=21n(l+x/〃=l,2,…)，证明limx1

»-**

(1)证明方程tanx=x在(丽,丽+卫)内存在实根以〃=1,2.-

।”与区间(列)联系尸2

(2)求极限吧(氟-

(1)证明为T0,时，不等式Octal?x-Wvx'成立

'迹鳏「⑵/,=£tan'，求X

AT"

3/31

专题1：加减慎用极限类事指函数“X严

有点极限基础的同学应该都知道乘除运算的时候我们可以随意的使用等价无穷小，但是加减混合运算的时候,对于等价无完小的使用我们

就需要谍慎了.如

,x-sinx..

l.hm-----：—=Inn

—<■xJ-

,x-sinx

2.lim-----：—=lim0（错解）一|、rJ「J*卜—「闫叶「，3%-维表册i

»-*ni-»o

v-2.hm-——1~^—=hm-----------=hme=hme=hme•=e-（正解：泰物）

x-*«ofrX-*MCx-***x*f*«

与呵金m,很多学生习惯了用两个重要极限:㈣（l+x）；ne如上:在①,②化筒步骤中.题目出现了加减运京所以一开始运用两个电要极限的等价无穷小诃声.出现了错误.由此我们可以在观察一卜这

但是在实际计算中有些加减运算不太容易看出来,如极限I叫。+加

e

两个题目.我们可以发现这两个题目都是个分式（即有分子分母）并且都含有某指函数（帮带函数：/（X）N”类型的函数，非我们高中学过的那些

来做这道题目，如下:

拓本初等函数）.由此我们可以简单的小结似后遇到分式并且含有解指函数的一定要先化简杼指南数：八万）"“=小"””,然后将分子分母能化

简的部分先化简,化荷完了再算极限.

1（错解:等价无穷小）

其实:基础好的同学都知道.极限算到后期出现错误的原因都是用了等价无穷小，假如书上没有介绍等价无穷小这个东西,那么我们算极限

•般不会错,但是所有的题目计算量会增大,意思就是等价无穷小这个东西给我们带来了方便也会有•些小麻烦.另•方面,我们知道考研极限

,里班?=|（错解:等价无穷小）计算题目就一道翘目10分.我们平时练习的极限胭目都有好几百道甚至更多，就为了那10分，所以考研的时候遇到加减运第没有绝时的把握…

定不要用等价无穷小.可能你的一个等价无穷小就导致你一年的练习白费了，丢了这10分，就为了这个10分值汨呐们加减运算的时候用泰勒公

看似很合理,其实却是经典错误,原因就是加减运期我们用了两个要极限的那个等价无穷小，而这几个也目较为特殊,这地方的加减运算

式多展开两项.

并没有直接给我们,而是隐藏在题目中,下面我们来看正确的解题过程.

专题2:经典极限四则运算法则真题一洛必达适用性问题［注】此题条件/（K）连续J（0）=0./@*0

【经典错误】

38.设f（x）连续J（Q）=0/（0）壬0,求lim」坛-」一.（真题）

…心/（小〃2/(n+4.//«)

lim」"。"洛lim---------M")------洛lim

,,20(1)加+2")+2邛(x)+//'(x)

曲一^2xjof(r)dt+xf(x)-I

如洛5"2.巧—

即上述连续使用两次洛必达,因为洛必达如叫§里％（）成立的要求导函数）在的领域内必须要存在才行撮如题目只

77/⑴曲-I山］)由+"/(*)/'x/Mxx=O

2小)给八0）=4（某个数）则此时不能保证在x=0的领域内/'（X）存在,所以本题中二次洛必达求导的时候出现了/'（/）种而题目的条件没有

?①

2工/⑺力+炉（x）L”?力।可?)=

导函数/'（X）在工=0的领域内存在、所以读步骤出错，

1-tOx"x-»O

①步计算能否成立是一个关键性的问题.根据极限四则运算法则,一个极限能拆成多个极限分别计算的条件是每个极限都存在，下面通