第09讲一元一次方程的应用（八大题型）

第09讲一元一次方程的应用（八大题型）1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．知识点二、常见列方程解应用题的几种类型1．和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．2．行程问题（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间

（2）基本类型有：

①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．3．工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．4．调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．题型1：行程问题【典例1】．小明和小刚从相距千米的两地同时相向而行，小明每小时走4千米，3小时后两人相遇，设小刚的速度为千米/小时，列方程得（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】要列方程，首先找出题中存在的等量关系：三小时内两人走的路程之和两地的距离千米，再根据此等量关系列方程即可．【解析】解：设小刚的速度为千米时，则3小时两人走的路程为，根据三小时内两人走的路程之和两地的距离千米的等量关系，可得到方程：，故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐蔽，需要仔细审题归纳得出．【典例2】．甲、乙两人从同一地点出发沿同一条路线，并始终保持匀速前往某地，若甲先出发1后，乙再从后面追赶，当乙追上甲时，下列说法正确的是（

）A．乙比甲多走了1 B．甲、乙所用的时间相同C．甲、乙所走的路程一样多 D．甲的速度比乙快【答案】C【分析】两人从同一地点出发，乙追上甲，那么甲走的路程乙走的路程，而乙比甲少走了1，据此分析判断即可．【解析】解：A.因为甲先出发1后，乙再从后面追赶，故乙比甲少走了1，本选项说法错误，不符合题意；B.因为甲先出发1，故甲、乙所用的时间不相同，本选项说法错误，不符合题意；C.甲、乙所走的路程一样多，说法正确，符合题意；D.路程一样多，而乙用时少，故乙的速度比甲快，本选项说法错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了行程问题中的数学常识，正确理解题意是解题关键．题型2：配套问题【典例3】．某车间名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓个或螺母个．现有名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好每天生产的螺栓和螺母按配套，为求列出的方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】题目中存在等量关系：生产螺栓的数量生产螺母的数量，据此可得到答案．【解析】设现有名工人生产螺栓，则有名工人生产螺母．根据生产螺栓的数量生产螺母的数量，得．故选：C．【点睛】本题主要考查实际问题与一元一次方程，能根据题目中的等量关系得到方程是解题的关键．【典例4】．某车间有68名工人，每人每天能生产8个甲种部件或5个乙种部件，2个甲种部件和3个乙种部件配成一套，为使每天生产的两种部件刚好配套，设有x名工人生产甲种配件，列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设有x名工人生产甲种配件，则有名工人生产乙种配件，根据“2个甲种部件和3个乙种部件配成一套”可列出方程．【解析】解：设有x名工人生产甲种配件，则有名工人生产乙种配件，则，故选：C【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找到等量关系是解题的关键．题型3：工程问题【典例5】．挖一条长为1200米的水渠，由甲、乙两队从两头同时施工，甲队每天挖150米，乙队每天挖90米，需要几天才能挖好？设需要x天才能挖好，则列出的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意可知，甲走的路程+乙走的路程=总路程，然后列出相应的方程即可．【解析】解：由题意可得，，故选：A【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．【典例6】．粉刷一个教室甲单独做6天完成，乙单独做4天完成，若甲先做1天，然后甲、乙合作完成此项工作，若甲乙合做了x天，则所列方程为（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】过程中，甲做了天，乙做了x天，然后根据总工作量为1即可列出方程．【解析】解：设甲乙合做了x天，根据题意可得：；故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．题型4：销售盈亏问题【典例7】．为响应“精准扶贫”政策，某党支部为一贫困户送去种植所需的甲、乙两种树苗．已知乙种树苗每棵的价格比甲种树苗每棵的价格贵20元，且购买72棵乙种树苗所需的费用恰好与购买120棵甲种树苗所需的费用相同，则甲、乙两种树苗每棵的价格分别为多少元？设甲种树苗每棵的价格为元，则根据题意可列方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设甲种树苗每棵的价格为元，则乙种树苗每棵的价格为元，根据“购买72棵乙种树苗所需的费用恰好与购买120棵甲种树苗所需的费用相同”列出方程即可．【解析】解：设甲种树苗每棵的价格为元，则乙种树苗每棵的价格为元，根据题意可得．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．【典例8】．一家商店将一种自行车按进价提高后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利元，这种自行车每辆的进价是多少元？设这种自行车每辆的进价是元，则所列方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题中数量关系列方程即可求解；【解析】解：设这种自行车每辆的进价是元，则，，故选：B．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题中数量关系正确列出方程是解题的关键．题型5：比赛积分问题【典例9】．一张试卷25题，若做对了一题得4分，做错了一题扣1分，小李做完此卷后得70分，则他做对的题目数是（

）A．18 B．17 C．19 D．20【答案】C【分析】设他做对的题目数是x，则做错的题目数为，根据“做对了一题得4分，做错了一题扣1分，小李做完此卷后得70分”列出方程，解方程即可得到答案．【解析】解：设他做对的题目数是x，则做错的题目数为，由题意得到，解得，∴他做对的题目数是，故选：C【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．【典例10】．在全国足球甲级A组的前轮比赛中，某队保持不败，共积累分．按比赛规则，胜一场得分，平一场得分，那么该队胜的场数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设该队胜的场数是x，根据“某队保持不败，共积累分．按比赛规则，胜一场得分，平一场得分”列出方程，解方程即可得到答案．【解析】解：设该队胜的场数是x，则解得，即该队胜的场数是6，故选：C【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．题型6：方案选择问题【典例11】．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（

）A．60人 B．61人 C．62人 D．63人【答案】D【分析】设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案．【解析】解：设七年级三个班级共有人，根据题意得，解方程组得：，故选：D．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程．【典例12】．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问物价几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱：如果每人出7钱，则少了4钱，问该物品的价值多少钱？在这个问题中，该物品价值的钱数为（

）A．53 B．56 C．59 D．62【答案】A【分析】设人数为x，再根据两种付费的总钱数一样即可求解．【解析】解：设人数为x，由题意得：解得：，∴该物品价值的钱数为，故答案选：A．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，难度不大，属于基础题型．解题的关键是找准等量关系并准确表示．题型7：数字问题【典例13】．把正整数1至2021按一定规律排列如图，平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）A．2016 B．2019 C．2021 D．2022【答案】D【分析】设中间数为x，则另外两个数分别为、，进而可得出三个数之和为，令其分别等于四个选项中的数，解之即可得出x的值，由x为整数、x不能为第一列及第八列数，即可得到答案．【解析】解：设中间数为x，则另外两个数分别为、，∴三个数之和为．根据题意得：，，，，解得：，，（舍去），，∵，，，∴2016和2019不合题意，舍去；∴三个数之和为2022．故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【典例14】．一个数的小数点向左移动两位后，比原数少了316.8，这个数是（）A．3.2 B．0.32 C．32 D．320【答案】D【分析】设这个数为，由题意联立方程，解方程即可．【解析】解：设这个数为，由题意得：，解得：，答：这个数原来是320，故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用——和差倍分问题，理清题意，找准等量关系联立方程是解题的关键．题型8：数轴问题【典例15】．一个数在数轴上所对应的点向左移4个单位长度后，得到它的相反数对应的点，则这个数是（

）A．4 B．2 C． D．【答案】B【分析】设这个数是a,利用平移的距离和方向可得平移后的数为,根据相反数的定义可得这个数的相反数为,根据题意列出方程，解出方程即可.【解析】解：设这个数是，根据题意可得，，解得.故选B.【点睛】本题考查一元一次方程，数轴上点的平移，找出等量列方程是解题的关键.【典例16】．如图，在数轴上，点、分别表示数、，且．若，则点表示的数为A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点可知，又，便可解决问题．【解析】解：由数轴可知，，又，则，又，故，．所以点表示的数为：．故选：A．【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离计算，熟知数轴上两点间的距离总是用右边的点表示的数减去左边的点表示的数是解题的关键．一、单选题1．一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设上个月卖出x双，等量关系是：上个月卖出的双数×（1+10%）=现在卖出的双数，依此列出方程即可．【解析】解：设上个月卖出x双，根据题意得（1+10%）x=330．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意找到等量关系是解决本题的关键．2．甲、乙两班共有98人，若从甲班调3人到乙班，那么两班人数正好相等．设甲班原有人数是x人，可列出方程（）A．98+x＝x﹣3 B．98﹣x＝x﹣3 C．（98﹣x）+3＝x D．（98﹣x）+3＝x﹣3【答案】D【分析】直接根据两班人数正好相等列方程即可．【解析】解：设甲班原有人数是x人，（98﹣x）+3＝x﹣3．故选：D．【点睛】此题主要考查根据等量关系列方程，解题的关键是找出等量关系．3．小明用长16cm的铁丝围成一个长方形，并且长方形的长比宽多2cm，设这个长方形的长为xcm，则x的值为（）A．9 B．5 C．7 D．10【答案】B【分析】设长方形的长x米，宽为（x2）米，根据题意可得周长为16米，据此列方程求解即可．【解析】解：设长方形的长x米，则宽为（x2）米，由题意得，2[x+（x2）]=16．解得x=5；故选B．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握并准确计算是解题的关键.4．某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为个，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据零件任务÷原计划每天生产的零件个数(零件任务+120)÷实际每天生产的零件个数=3【解析】解：实际完成的零件的个数为x+120，实际每天生产的零件个数为50+6，所以根据时间列的方程为：，故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据时间得到相应的等量关系是解决本题的关键．5．某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6•1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为（

）A．1.2×0.8x+2×0.9（60+x）=87 B．1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x）=87C．2×0.9x+1.2×0.8（60+x）=87 D．2×0.9x+1.2×0.8（60﹣x）=87【答案】B【解析】试题分析：要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系，本题根据“铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元”，得出等量关系：x支铅笔的售价+（60﹣x）支圆珠笔的售价=87，据此列出方程：1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x）=87．故选B．考点：由实际问题抽象出一元一次方程（销售问题）．6．某班分两组去两处植树，第一组22人，第二组26人．现第一组在植树中遇到困难，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？设抽调x人，则可列方程（）A．22+x＝2×26 B．22+x＝2（26﹣x） C．2（22+x）＝26﹣x D．22＝2（26﹣x）【答案】B【分析】抽调人后，第一组的人为22+x，第二组为26x，再按照题干条件列方程即可.【解析】解：抽调人后，第一组的人为22+x，第二组为26x，由题意列方程22+x=2（26x），故选择B.【点睛】本题考查了根据题意列一元一次方程.7．某班学生共40人，外出参加植树活动，根据任务不同，要分成甲、乙、丙三个小组且使甲、乙、丙三个小组人数之比为1︰2︰5，则甲小组有（

）A．5人 B．10人 C．20人 D．25人【答案】A【解析】根据三个小组人数的比例，设甲小组的人数为x，则乙小组的人数为2x，丙小组的人数为5x.因为三个小组的人数相加应该等于班级总人数，故可以列出如下方程：x+2x+5x=40合并同类项，得8x=40，系数化为1，得x=5，即甲小组有5人.故本题应选A.8．在如图的2016年6月份的日历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是()A．27 B．51 C．69 D．72【答案】D【解析】设第一个数为x，则第二个数为x+7，第三个数为x+14．列出三个数的和的方程，再根据选项解出x，看是否存在．解：设第一个数为x，则第二个数为x+7，第三个数为x+14故三个数的和为x+x+7+x+14=3x+21当x=16时，3x+21=69；当x=10时，3x+21=51；当x=2时，3x+21=27．故任意圈出一竖列上相邻的三个数的和不可能是72．故选D．“点睛“此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．9．永州市双牌县的阳明山风光秀丽，历史文化源远流长，尤以山顶数万亩野生杜鹃花最为壮观，被誉为“天下第一杜鹃红”．今年“五一”期间举办了“阳明山杜鹃花旅游文化节”，吸引了众多游客前去观光赏花．在文化节开幕式当天，从早晨8：00开始每小时进入阳明山景区的游客人数约为1000人，同时每小时走出景区的游客人数约为600人，已知阳明山景区游客的饱和人数约为2000人，则据此可知开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为（）A．10：00 B．12：00 C．13：00 D．16：00【答案】C【解析】设经过x小时后该景区游客人数饱和，根据题意可得：(1000－600)x=2000，解得：x=5，则到13：00时景区游客人数饱和.故选：C考点：一元一次方程的应用10．某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律九折；（3）一次性购物超过300元一律八折；兰兰两次购物分别付款80元，252元．如果兰兰一次性购买和上两次相同的物品应付款（

）A．288元 B．288元或332元C．332元 D．288元或316元【答案】D【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100，即是80元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过300元一律9折；一种是购物超过300元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数．【解析】解：（1）第一次购物显然没有超过100，即在第一次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元．（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9=252，解得：x=280．①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8=252，解得：x=315．即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此均可以按照8折付款：360×0.8=288元395×0.8=316元故选D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物的252元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．二、填空题11．某村积极植树造林，原计划每天植树60棵，实际每天植树80棵，结果比预计时间提前4天完成植树任务，则计划植树棵．【答案】960【分析】设计划植树棵，根据题意列方程求解即可．【解析】解：设计划植树棵，由题意可得：解得：故答案为960．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，理解题意找到题中的等量关系是解题的关键．12．某队有55人，每人每天平均挖土2.5方或运土3方，为合理安排劳力，使挖出的土及时运走，则应分配人挖土，人运土．【答案】3025【分析】设分配挖土的为人，则运土的为人，根据题意列出一元一次方程解决问题．【解析】设分配挖土的为人，则运土的为人，根据题意，得，解得则运土的为（人）．故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．13．一个个位数是4的三位数，如果把4换到最左边，所得数比原数的3倍还多98，若设这个三位数去掉尾数4，剩下两位数是x，求原数．可列方程为．【答案】【分析】设这个三位数去掉尾数4，剩下两位数是x，根据“把4换到最左边，所得数比原数的3倍还多98，”即可列出方程．【解析】解：设这个三位数去掉尾数4，剩下两位数是x，根据题意得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．14．王老师带领一些学生参加夏令营，甲旅行社说：“参加我社的夏令营，老师可以免费．”乙旅行社说：“参加我社的夏令营，学生每人可优惠5%，老师半价优惠．”两社的原价均为每人100元，那么王老师带领的学生为人时，两家旅行社费用一样．【答案】10【分析】设王老师带领x名同学参加夏令营时，两家旅行社费用是一样的，由题意得等量关系：甲旅行社x名学生的费用＝乙旅行社学生的费用＋老师的费用，根据等量关系列出方程即可．【解析】设王老师带领x名同学参加夏令营时，两家旅行社费用是一样的，由题意得：100x＝100×（1﹣5%）×x+50，解得：x＝10，故答案为：10【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄懂题意，正确表示出甲乙两旅行社的费用．15．随着通讯市场的竞争日益激烈，某通讯公司的收费标准按原标准每分钟降低了a元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为元．【答案】【分析】设原收费标准每分钟为x元，则根据题意找到等量关系，列出等式(x−a)(1−25%)=b，解此方程即可．【解析】解：设原收费标准每分钟为x元，由题意得，(x−a)(1−25%)=b，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了根据实际问题列代数式，列代数式实质是实现从基本数量关系的语言表述到代数式的一种转化，列代数式时，可以借助方程，设出未知数，列出等式，从而表达出所求代数式．16．如图，在数轴上，点，点表示的数分别是，点以个单位秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以个单位秒的速度从点出发沿数轴在，之间往返运动当点到达点时，点表示的数是．【答案】1【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．利用时间路程速度，可求出点到达点所需时间，设当点到达点时，点表示的数是，利用路程速度时间，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】解：点到达点所需时间为（秒，设当点到达点时，点表示的数是，依题意得：，解得：，当点到达点时，点表示的数是1．故答案为：117．国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：①稿费不高于800元的不纳税；②稿费高于800元，而低于4000元的应缴纳超过800元的那分稿费的14%的税；③稿费为4000元或高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税．（1）若获稿费2400元，则应纳税元；若获稿费4000元，则应纳税元．（2）若获稿费后纳税420元，这笔稿费是元．【答案】2244403800【分析】（1）根据纳税标准直接就可以计算出结论；（2）设这笔稿费是x元，根据纳税金额＝稿费×纳税率建立方程求出其解即可．【解析】解：（1）由题意，得王老师获得的稿费为2400元，应纳税为：（2400﹣800）×14%＝224元，王老师获得的稿费为4000元，应纳税为：4000×11%＝440元，故答案为：224，440；（2）设这笔稿费是x元，由题意，得14%（x﹣800）＝420，解得：x＝3800．答：这笔稿费是3800元；故答案为：3800．【点睛】本题考查了出版图书所得稿费的纳税计算方法的运用，列一元一次方程及额实际问题的运用，解答时弄清楚不同金额的稿酬的不同纳税标准是关键．18．甲、乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的3倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的4倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点(12点)同时出发，分针旋转周，时针和分针第一次相遇．【答案】【解析】设分针旋转x周后，时针和分针第一次相遇，则时针旋转了（x﹣1）周，根据题意可得：60x=720（x﹣1），解得：x=．所以分针旋转周，时针和分针第一次相遇．三、解答题19．列方程表示下列语句所表示的相等关系：（1）某地21年9月6日的温差是，这天最高气温是，最低气温是；（2）七年级学生人数为n，其中男生占，女生有110人；（3）一种商品每件的进价为a元，售价为进价的1.1倍，现每件又降价10元，现售价为每件210元；（4）在5天中，小华共植树60棵，小明共植树棵，平均每天小华比小明多种2棵树．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）根据温差最高气温最低气温，列出方程即可；（2）根据学生总人数男生人数女生人数，列出方程即可；（3）根据现售价原来的售价降价的钱数，列出方程即可；（4）根据小华平均每天种树的棵数小明平均每天种树的棵数，列出方程即可．【解析】解：（1）根据题意，得；（2）根据题意，得；（3）根据题意，得；（4）根据题意，得．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是理解题意，找出相等关系列出方程．20．某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000张票，已知成人票每张8元，学生票每张5元，所得票款可能是6932元吗？如果可能，成人票比学生票多售出多少张？【答案】可能，成人票比学生票多售出288张．【分析】设学生票数为x张，成人票数为（1000x）张，根据题意，得，解得，再求出成人票的张数，作差即可．【解析】解：可能，设学生票数为x张，成人票数为（1000x）张，根据题意，得，解得．所以成人票：1000356=644（张），成人票比学生票多售出：（张）．答：成人票比学生票多售出288张．【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，属于基础题，根据题意准确列出等式是解题关键．21．为方便学生接种疫苗，卫健委安排甲、乙两支医疗队去某校开展专场接种，甲队比乙队每小时多接种50人，乙队的接种速度是甲队的．已知该校共有2100名学生参加接种，按照此速度，全部接种完毕需要多长时间？【答案】6小时【分析】本题考查一元一次方程的应用，准确找到相等关系正确列出方程是解题的关键．设甲队每小时接种x人，根据“甲队比乙队每小时多接种50人，乙队的接种速度是甲队的”这一相等关系列出方程求解即可．【解析】解：设甲队每小时接种x人．根据题意，得，解得，∴乙队每小时接种人数为，．答：全部接种完毕需要6小时．22．甲､乙两人约定步行从学校出发，沿同一路线到距离学校的图书馆看书．甲先出发，步行的速度是：乙比甲晚出发，比甲早到达图书馆．（1）求乙步行的速度；（2）求甲出发多长时间乙追上甲．（要求列方程解答）【答案】甲出发20min后乙追上甲．【分析】（1）根据速度=路程÷时间计算即可；（2）设甲出发后乙追上甲，则此时乙出发，列出方程计算即可；【解析】（1）．即乙的速度为；（2）设甲出发后乙追上甲，则此时乙出发，根据题意得：，解得．即甲出发20min后乙追上甲．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确计算是解题的关键．23．李师傅正在准备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙（墙面长度不限），三面用篱笆，篱笆总长60米，篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多6米，请你用所学的知识解决以下问题．（篱笆的占地面积忽略不计）(1)如图，如果长方形鸡舍的长与墙为对面，长方形鸡舍的面积是多少？(2)如果要在墙的对面留一个3米宽的门（门不使用篱笆），那么长方形鸡舍的面积又是多少？【答案】(1)鸡舍面积432平方米；(2)如果墙对面留一个三米宽的门，那么鸡舍面积平方米或391平方米．【分析】本题考查了一元一次方程的应用．（1）首先设鸡舍的宽为米，则长为米，根据题意可得等量关系：篱笆总长60米，再解方程求出鸡舍的长宽，再求面积即可；（2）分两种情况讨论，以鸡舍的长与墙为对面和以鸡舍的宽与墙对面两种情况分别求解即可．【解析】（1）解：设鸡舍的宽为米，则长为米，依题意得：，解得：，所以鸡舍的长为（米）．鸡舍面积（平方米）．答：鸡舍面积432平方米；（2）解：设鸡舍的宽为米，则鸡舍的长．Ⅰ．当鸡舍的长与墙为对面时，依题意得：，解得：，所以鸡舍的长为（米）．鸡舍面积（平方米）．Ⅱ．当鸡舍的宽与墙为对面时，依题意得：，解得：，所以鸡舍的长为（米）．鸡舍面积（平方米）．答：如果墙对面留一个三米宽的门，那么鸡舍面积平方米或391平方米．24．某景区A、B两个区域由两段坡路组成，一段上坡路、一段下坡路．游客晓晓从A区到B区需要50分钟，从B区原路返回A区需要45分钟，若晓晓上坡的速度为40米/分，下坡的速度为60米/分，求A区到B区的路程．【答案】区与区相距2280米【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设从区到区走上坡路需分钟，则走下坡路需分钟，求出A区与B区的距离，根据从B区原路返回A区需要45分钟列出方程，求出从区到区的上坡路程和下坡路程，进而得出A区到B区的路程．【解析】解：设从区到区走上坡路需分钟，则走下坡路需分钟，，解得，（米）．答：区与区相距2280米．25．某电商决定在国庆期间开展促销活动，对网上销售的某种服装按成本价提高后标价，又以9折优惠卖出，结果每件服装仍可获利39元．求这种服装每件的成本是多少元？【答案】这种服装每件的成本是150元．【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设这种服装每件的成本是元，则标价为元，售价为元．利用售价减去成本等于利润建立方程求解即可．【解析】解：设这种服装每件的成本是元，则标价为元，售价为元，由题意，得，解得．答：这种服装每件的成本是150元．26．自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发展了十几个世纪．中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，其中刘徽所著《九章算术》中“盈不足术”有一题，原文如下：“今有羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元，求人数和羊价各是多少？【答案】一共有21人，羊价为150元【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设一共有x人，根据每人出5元，还差45元可知羊价为元，根据每人出7元，则还差3元可知羊价为元，据此列出方程求解即可．【解析】解：设一共有x人，由题意得，，解得，∴，答：一共有21人，羊价为150元．27．如表是2023年12月的月历表，用如图所示的L形框去框其中的四个数．(1)设被框住的四个数中从上往下数第二个数为，用含的代数式表示出被框住的这四个数的和；(2)被框住的四个数的和能等于72吗？如果能，求出这四个数；如果不能，说明理由．【答案】(1)(2)不能，理由见解析．【分析】本题考查了数字变化类，一元一次方程的应用，列代数式，解决本题的关键是寻找题目中隐含的规律．（1）根据表中的数据规律即可得出答案；（2）利用第一问的结果列出方程求解，在结合图中L形的规律解答即可．【解析】（1）解：从上往下数第二个数为，第一个数为，第三个数为，最右边的数为，这四个数的和为：．（2）若这四个数的和是72，则有，解得，则这四个数分别是：9，16，23，24．但是从图中观察发现，要框住这4个数，无法用图中的L形框，故框柱的四个数的和不能等于72．28．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共120只，购进这120只节能灯的进货款恰好为2400元，这两种节能灯的进价、预售价如下表：(利润售价进价)型号进价(元/只)预售价(元/只)甲型1520乙型3035(1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？(2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲种型号节能灯和部分乙种型号节能灯售出后，决定将剩下的乙种型号节能灯打八折销售，当这两种型号的节能灯全部售完后，共获得利润425元，求乙种型号节能灯按预售价售出的数量．【答案】(1)该商店购进甲种型号的节能灯80只，购进乙种型号的节能灯40只(2)乙种型号节能灯按预售价售出的数量是15只【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，找到题目中所包含信息列方程是解题的关键．（1）根据“购进120只节能灯的进货款恰好为2400元”列出方程求解即可．（2）列出甲乙两种型号节能灯全部售出共获得利润425元列方程求解即可．【解析】（1）解：(1)设该商店购