专题07空间几何体的结构特征表面积和体积

专题07空间几何体的结构特征、表面积和体积知识点1多面体的结构特征1、棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。（1）有两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；（2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形；（3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。2、棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。（1）这个多边形面叫做棱锥的底面；（2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；（3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；（4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。3、棱台：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。（1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；（2）其他各面叫做棱台的侧面；（3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；（2）侧面都是梯形；（3）各侧棱的延长线交于一点。知识点2旋转体的结构特征1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱。（1）旋转轴叫做圆柱的轴；（2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；（3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；（4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面；（2）母线有无数条，都平行于轴；（3）轴截面为矩形。2、圆锥：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。（1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；（2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；（3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形；（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线；（3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。（4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。3、圆台第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面；（2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点；（3）轴截面为等腰梯形。4、球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。（1）球心：半圆的圆心叫做球的球心；（2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径；（3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。知识点3立体图形的直观图1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．（1）“斜”：在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x'轴承45°或135°（2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于x'轴或z'轴的线段长度不变；平行于y'轴的长度变成原来的一半，2、平面图形直观图的画法及要求（1）建系：在已知图中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把他们弧长对应的x'轴和y'轴，两轴相交于O'，且使∠x'O'y（2）平行不变：已知图形中平行于x轴、y轴的线段，直观图中分别画出平行与x'轴或y'（3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.3、空间几何体直观图的画法（1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴；（2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；（3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．4、直观图与原图多边形面积之间的关系若一个多边形的面积为S原，它的直观图的面积为S直，则有S知识点4多面体的表面积和体积1、棱柱、棱锥、棱台的表面积（1）棱柱的表面积：S棱柱（2）棱锥的表面积：S棱锥（3）棱台的表面积：S2、棱柱、棱锥、棱台的体积（1）棱住的体积：棱柱的体积等于它的底面积S底和高h的乘积，即V（2）棱锥的体积：棱锥的体积等于它的底面积S底和高h的乘积的13（3）棱台的体积：V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h知识点5旋转体的表面积和体积1、侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l2、圆柱、圆锥、圆台的体积公式：（1）圆柱的体积公式：V（2）圆锥的体积公式：V（3）圆台的体积公式：V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h3、球的体积公式：V=43πR考点1多面体的结构特征【例1】（2023·全国·高一专题练习）“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要D．既非充分又非必要条件【答案】C【解析】若棱柱有相邻两个侧面是矩形，则两侧面的交线必定垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，满足充分性；若棱柱为直棱柱，则棱柱有相邻两个侧面是矩形，满足必要性；故“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的充要条件，故选:.【变式11】（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）以下说法正确的是（）①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．A．①②④⑥B．②③④⑤C．①②③⑥D．①②⑤⑥【答案】C【解析】①棱柱的两个底面平行且侧棱两两相互平行，故侧面是平行四边形，故正确；②平行六面体是各面都为平行四边形的六面体，而长方体是各面都为矩形的平行六面体，故正确；③直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱，显然长方体的侧棱与底面都垂直，故为直棱柱，故正确；④底面是正多边形且各侧面为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故错误；⑤底面为长方形的直四棱柱是长方体，故错误；⑥四棱柱、五棱锥均有六个面，都是六面体，正确.故选：C【变式12】（2023·全国·高一专题练习）在2022年第二十四届冬奥会上，中国代表队创造了历史最好成绩，首都北京也成为第一座“双奥之城”．如图所示，坐落于北京的国家游泳中心（又称“水立方”），是中国健儿为国争光的地方，“水立方”可以抽象出的几何体是（）．A．圆柱B．四棱锥C．四棱台D．长方体【答案】D【解析】由图可知，“水立方”是可以抽象为长方体模型，故选：D【变式13】（2023·全国·高一专题练习）下列命题是真命题的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共项点的三角形的几何体叫棱锥【答案】D【解析】因为有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，所以A、B错误；因为有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，所以C选项错误，D选项正确.故选：D.【变式14】（2023·全国·高一专题练习）有下列四种叙述：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；④棱台的侧棱延长后必交于一点.其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】对于①：当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，①错；对于②③：如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，②③错；对于④：棱台结构特征知：侧棱延长后必交于一点，④正确.故选：B【变式15】（2022春·山西吕梁·高一统考期末）下列说法正确的是（）A．三角形的直观图是三角形B．直四棱柱是长方体C．平行六面体不是棱柱D．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台【答案】A【解析】对A，根据直观图的定义，三角形的直观图是三角形，故A对；对B，底面是长方形的直四棱柱是长方体，故B错；对C，平行六面体一定是棱柱，故C错；两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，不是棱台，故D错；故选：A考点2旋转体的结构特征【例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（）A．圆锥B．圆柱C．圆台D．球【答案】A【解析】由圆锥的定义可得直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为圆锥，故选：A【变式21】（2023·全国·高一专题练习）下列几何体表示圆锥的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A图表示圆柱，B图表示球，C图表示圆锥，D图表示四棱柱.故选：C.【变式22】（2023春·天津和平·高一第五十五中学校考阶段练习）下列命题中不正确的是（）A．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面B．正四棱锥的侧面都是正三角形C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台【答案】B【解析】对于A：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故A正确；对于B：正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故B错误；对于C：用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故C正确；对于D：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台，故D正确．故选：B．【变式23】（2022·高一课时练习）（多选）下列命题中正确的有（）A．圆锥、圆台的底面都是圆面B．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆C．用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台D．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周后得到的两个空间图形是两个不同的圆柱【答案】AD【解析】对于A，圆锥、圆台的底面都是圆面，所以A正确，对于B，用一个平面去截圆柱，如轴截面是矩形，故B错误；对于C，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，C错误，对于D，分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周后得到的两个空间图形是两个不同的圆柱，所以D正确，故选：AD【变式24】（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列说法中不正确的是（）A．将正方形旋转不可能形成圆柱B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线【答案】ABD【解析】对于A，将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；对于B，当这两个平行截面与底面平行时正确，当这两个平行截面不与圆柱的底面平行时，夹在圆柱的两个平行截面间的几何体就不是旋转体，所以B错误；对于C，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，所以，C正确.对于D，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误．故选：ABD.考点3直观图与原图的判断【例3】（2023·全国·高一专题练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列说法正确的是（）A．相等的线段在直观图中仍相等B．水平放置的三角形的直观图仍是三角形C．相等的角在直观图中仍相等D．水平放置的菱形的直观图仍是菱形【答案】B【解析】如图所示为正方形及其直观图，显然，A错误；，C错误；正方形是特殊的菱形，直观图为平行四边形，D错误；水平放置的三角形的直观图仍是三角形，B正确.故选：B.【变式31】（2023·高一课时练习）如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（）A．钝角三角形B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】C【解析】将其还原成原图，设，则可得，，从而，所以，即，故是等腰直角三角形.故选：C.【变式32】（2021秋·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（）A．三角形的直观图是三角形B．长方形的直观图是长方形C．正方形的直观图是正方形D．菱形的直观图是菱形【答案】A【解析】由斜二测直观图的画法规则，平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，可知三角形的直观图还是三角形，故A正确；长方形跟正方形的直观图是平行四边形，故BC错误；菱形的直观图是平行四边形，故D错误.故选：A【变式33】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是______(填写序号)【答案】③④【解析】等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，①②不正确，③为的直观图，④为的直观图.考点4斜二测画法中的计算【例4】（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在四边形OABC中，OA=2，，BC=3，且，则四边形OABC水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（）A．B．5C．D．【答案】C【解析】如图所示，为的直观图，根据斜二测画法的规则可知，，，平行于轴，∴该图形的面积为．故选：C.【变式41】（2022春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考阶段练习）如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是（）A．14B．10C．28D．14【答案】C【解析】∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，∴原图形是一个直角梯形．又A′D′＝4，∴原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，故其面积为.故选：C【变式42】（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，则（）A．的长度大于的长度B．的面积为4C．的面积为2D．【答案】B【解析】由图象知：，，，为的中点，所以，A错误；的面积，B正确；因为，，所以的上的高，的面积，C错误，，所以，D错误.故选：B【变式43】（2023春·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△，其中，，则△ABC的面积为（）A．1B．2C．D．【答案】C【解析】由题设，△和△均为等腰直角三角形，所以，即轴，原直角坐标系中轴，而，则，在△中边上的高等于的长，又，所以△ABC的面积为.故选：C【变式44】（2023春·全国·高一专题练习）（多选）已知是等腰直角三角形，，用斜二测画法画出它的直观图，则的长可能是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】以BC为轴，画出直观图，如图2，此时，A正确，以BC为轴，则此时，则的长度范围是，若以AB或AC为x轴，画出直观图，如图1，以AB为轴，则，此时过点作⊥于点D，则，则，，由勾股定理得：，C正确；故选：AC考点5多面体的表面积计算【例5】（2023·高一单元测试）边长为3的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积之和比原来增加了（）A．36B．72C．108D．240【答案】C【解析】由已知，边长为3的正方体分成27个全等的小正方体，则小正方体的边长为1，边长为3的正方体表面积为，每个小正方体的表面积为，27个小正方体的表面积之和为，，所以表面积之和比原来增加了，故选：C．【变式51】（2022春·重庆九龙坡·高一四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）已知直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形OAB，斜边长，若该直三棱柱的侧棱长为2，则该直三棱柱的侧面积为___________.【答案】【解析】由题意知：，斜二测法知：原直三棱柱中，的对应边长为，对应边长为，且对应边长不变，故底面周长为，而直三棱柱的侧棱长为2，故其侧面积为.【变式52】（2022春·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，已知，，则当最大时，求三棱锥的表面积.【答案】【解析】设，则，，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以是等腰三角形，又，所以底边上的高为，所以，，，三棱锥的表面积为：【变式53】（2023·全国·高一专题练习）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，设正六边形的边长为a，设六棱柱的高为3b，六棱锥的高为b，正六棱柱的侧面积，正六棱锥的母线长为∴正六棱锥的侧面积，∵正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，∴，∴∴，故选：B．【变式54】（2022·全国·高三校联考阶段练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，它将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭．如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭的体积为，则该方亭的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，，则方亭的体积为，解得，则，画出的平面图，作于，，，则，，则该方亭的表面积为.故选：A.【变式55】（2022春·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知长方体，，其外接球的表面积为，过､､B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10.（1）求棱的长：（2）求几何体的表面积.【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）设，，，又（R为长方体外接球半径），∴①.又，∴.②由①②，解得∴棱长为2；（2）由（1）知，若，，则∴.考点6多面体的体积计算【例6】（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）长方体的体积是，若为的中点，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】长方体的体积为，三棱锥的体积为，故选：B【变式61】（2022·全国·高一专题练习）已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥的体积为（）A．B．C．1D．【答案】C【解析】正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，棱柱的底面面积为：．棱柱的体积为：．由三棱锥的体积的推导过程可知：三棱锥的体积为：．故选：C．【变式62】（2022春·河南鹤壁·高一河南省浚县第一中学校考阶段练习）如图1，水平放置的直三棱柱容器中，，，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形，如图2，则容器的高h为（）A．3B．4C．D．6【答案】A【解析】在图1中，在图2中，，.故选：A.【变式63】（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（）（参考数据：，参考公式：）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，正四棱台中，设棱台的高为，则，故.故选：B【变式64】（2022春·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正四棱台的上下底面边长分别为1和4，高为3，则此棱台的体积为______．【答案】21【解析】因为正四棱台的上下底面边长分别为1和4，高为3，所以棱台的体积为,故答案为：21考点7旋转体的表面积计算【例7】（2022春·北京·高一北京一七一中校考阶段练习）已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为圆柱的底面半径和高都是，所以圆柱的侧面积.故选：B.【变式71】（2022春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考阶段练习）已知某圆柱的轴截面为正方形，则此圆柱的表面积与此圆柱外接球的表面积之比为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，则球的半径，所以圆柱的表面积为：；球的表面积为，则圆柱的表面积与球的表面积之比为．故选：A．【变式72】（2022春·河北邢台·高一邢台市南和区第一中学校考阶段练习）已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为9，所以该圆柱的侧面积为.故选：D【变式73】（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为，高为，母线就是直角三角形的斜边，故所形成的几何体的表面积；如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，即母线长是，故所形成的几何体的表面积，综上所述，所形成几何体的表面积是或.故选：B.【变式74】（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）某圆台上、下底面面积分别是、，母线长为2，则这个圆台的侧面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设圆台上、下底面的半径分别为，由圆台上、下底面面积分别是、，则所以所以这个圆台的侧面积为，故选：A【变式75】（2022春·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球O的表面积等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，依题意，解得，所以.设球的半径为，则，.所以球的表面积为.故选：A考点8旋转体的体积计算【例8】（2022春·河北保定·高一校联考阶段练习）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为，母线为，高为，则，解得，，所以，所以该圆锥的体积．故选：B【变式81】（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习）中国古代数学的瑰宝《九章第术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设对应半径为R，对应半径为r，根据弧长公式可知，，因为两个扇环相同，长度为长度的3倍，所以，因为，所以，所以曲池体积为.故选：D【变式82】（2022春·山东德州·高一校考阶段练习）如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，造型浑厚，工艺精美，其形状可视为圆台和圆柱的组合体，口径为28.8cm，经测量计算可知圆台和圆柱的高度之比约为，体积之比约为，则圆柱的底面直径约为（）A．4cmB．14cmC．18cmD．22cm【答案】C【解析】设圆台的底面半径为rcm.圆台，圆柱的高分别为5hcm，7hcm，则，又，所以，即，解得，所以.故选：C.【变式83】（2020春·安徽宣城·高一安徽省宣城市第二中学校考阶段练习）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石飘壶､潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约接近于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设R为圆台下底面圆半径，r为上底面圆半径，高为，则，，，，故选：B．【变式84】（2023春·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意，设半球的半径为，连接交于点，连接，如图所示：则有，易得，所以正四棱锥的体积为：，解得：，所以半球的体积为：.故选：C.【变式85】（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）已知点A，B，C在球心为O的球面上，且A，B，C，O四点共面，若，则球O的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设球的半径为，由A，B，C，O四点共面可知A，B，C在以O为圆心为半径的圆上，由正弦定理可得，则，球的体积为.故选：A.考点9表面最短路径问题【例9】（2023春·上海·高二校联考阶段练习）如图，已知正三棱柱的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A点沿表面经过棱、爬到点，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱爬到点．设，，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则______【答案】【解析】如图所示，将三棱柱沿着侧棱展开，又因为正三棱柱的底面边长与侧棱长相等，则同理所以，又因为，所以所以.【变式91】（2022春·江西宜春·高一江西省万载中学校考阶段练习）如图，在正三棱锥PABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=30°，PA=PB=PC=2，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将三棱锥由PA展开，则∠APA1=90°，所求最短距离为求AA1的长度∵PA=2，∴由勾股定理可得AA1=．虫子爬行的最短距离．故选D．【变式92】（2023·广西南宁·统考一模）如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A．B．C．6D．【答案】B【解析】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，设，圆锥底面周长为，所以，所以，在中，由，得，故选：B．【变式93】（2022秋·河北沧州·高二校考开学考试）如图所示，圆柱高为2，底面半径为1，则在圆柱侧面上从A出发经过母线到达的最短距离为___________.【答案】【解析】把圆柱侧面沿母线剪开摊平为一个矩形，如图，，所求最短距离为．【变式94】（2023·高一课时练习）在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为________【答案】3【解析】取的中点F，连接，如下图：因为E为的中点，所以点E、F关于平面对称，所以，因为，当且仅当点为线段与平面的交点时等号成立；所以的最小值为，由已知为直角三角形，且，为直角，所以，所以的最小值为3.考点10几何体的截面问题【例10】（2022·全国·高一专题练习）（多选）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（）A．圆柱B．圆台C．球体D．棱台【答案】ABC【解析】圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是圆面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形.故选：ABC.【变式101】（2023春·全国·高一专题练习）已知球的半径为2，球心到平面的距离为，则球被平面截得的截面面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设截面圆半径为，由球的性质可知：则截面圆的半径，所以球被平面截得的截面面积为，故选：.【变式102】（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）已知正方体的棱长为6，､分别是､的中点，平面截正方体所得的截面为多边形，则此多边形的边数为_________，截面多边形的周长为___________.【答案】五,.【解析】延长EF交DA的延长线于M,连接MC交AB于N,延长FE与DD1的延长线相交于点P,连接PC交C1D1于Q,连接EQ,则五边形EFNCQ即为平面截正方体所得的截面.如图所示：则有A1F=FA=AM=3,又因为与相似，所以，解得AN=2,所以，，同理可得：QD1=2,QC1=4，所以，，又因为，所以五边形EFNCQ的周长为.【变式103】（2022·高一课时练习）已知正三角形的三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，是线段的中点，过点作球的截面，求截面面积的最小值．【答案】．【解析】记正三角形所在小圆的圆心为，因为球的半径为2，球心到平面的距离为1，则，，．过点作球的截面，当截面与垂直时，截面面积最小，此时截面小圆半径，面积．即截面面积的最小值为．1．（2022春·江苏淮安·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（）A．空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球B．以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥C．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形【答案】D【解析】空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球面，不是球，A错，以直角三角形一边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体才是圆锥，B错，用一个与底面平行的平面去截圆锥，才可得到一个圆锥和一个圆台，C错，由棱柱性质可得：棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，D对，故选：D.2．（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（）A．多面体至少有个面B．有个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形【答案】D【解析】对于A，多面体至少有个面，故选项A错误；对于B，有个面平行，其余各面都是梯形，但各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故选项B错误；对于C，各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故选项C错误；对于D，由棱柱定义知，棱柱的各侧棱平行且相等，故侧面是平行四边形，故选项D正确.故选：D．3．（2022春·重庆酉阳·高一校考阶段练习）若一个圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为圆锥的底面半径为1，母线长为，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为，故选：C4．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形，所以圆锥的底面半径为，所以圆锥的表面积为.故选：B5．（2022春·广东清远·高一校考阶段练习）如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（）A．是钝角三角形B．的面积是的面积的2倍C．B点的坐标为D．的周长是【答案】D【解析】根据题意，将还原成原图，如图，对于A，中，有，，所以，，故是等腰直角三角形，A错误；对于B，的面积是，的高为，所以的面积为，的面积是的倍，B错误；对于C，因为，B的坐标为，C错误；对于D，的周长为，D正确故选：D.6．（2022春·江西宜春·高一江西省万载中学校考阶段练习）上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（）A．4B．C．D．【答案】D【解析】设圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R，由题意可知：，解得，如图可得：，满足关系式，即，求得，即两底面之间的距离为.故选：D.7．（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中不正确的是（）A．多面体有12个顶点，14个面B．多面体的表面积为3C．多面体的体积为D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）【答案】B【解析】由题，连接正方体每条棱的中点可得到该多面体，共12个顶点，该多面体表面为有8个三角形面和6个正方形面，共14个面，A项正确；多面体表面每个三角形面积为，每个小正方形面积为，所以多面体表面积为，B项错误；将多面体看作由正方体切去顶点处8个三棱锥得到，每个三棱锥体积为，所以多面体体积，C项正确；原正方体中心到多面体每个顶点（即正方体棱的中点）的距离都为，所以以该点为球心，为半径的圆即多面体的外接圆，D项正确；故选：B.8．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′∥y′轴，则四边形OABC的面积为（）A．B．3C．3D．【答案】B【解析】设轴与交点为D，因O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，则，又B′C′∥y′轴，则四边形为平行四边形，故.又，结合A′B′⊥x′轴，则，故.则四边形面积为，因四边形面积是四边形OABC的面积的倍，则四边形OABC的面积为.故选：B9．（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的体积为，则到平面的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意作出如下示意图，设为外接圆的圆心，所以为外接圆的半径，为球体的半径，根据球的性质得平面，所以即为到平面的距离，所以，因为是面积为的等边三角形，所以底边的高为：，所以面积为：，所以，所以底边高为：，所以，因为球的体积，解得，即，所以到平面的距离为：.故选：A.10．（2022春·江苏常州·高一常州市第二中学校考阶段练习）已知某圆锥的的底面半径为2，侧面积是底面积的3倍.将该圆锥切割成一个正四棱锥，且四棱锥的顶点和圆锥的顶点重合，四棱锥的底面是圆锥底面的内接正方形，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图示，设圆锥的底面半径为r，母线长为l.O为底面圆的圆心，ABCD为底面的一个圆内接正方形，OP为圆锥的高.由题意可得：，解得：，所以.而.所以该四棱锥的体积为.故选：D11．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）（多选）下面关于空间几何体的叙述正确的是（）A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形C．长方体是直平行六面体D．存在每个面都是直角三角形的四面体【答案】CD【解析】对于A:底面是正多边形,当顶点在底面的投影是正多边形的中心才是正棱锥，其他情况不是正棱锥，A错误；对于B:当平面与圆柱的母线平行或者垂直时，截得的截面才是矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分，B错误；对于C:长方体的侧棱垂直于底面，各个侧面都是平行四边形，所以长方体是直平行六面体，C正确;对于D:正方体中的三棱锥,四个面都是直角三角形,D正确.故选：CD.12．（2022春·广东东莞·高一校考阶段练习）（多选）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为B．圆锥的侧面积为C．圆柱的侧面积与球面面积相等D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小【答案】ABC【解析】依题意球的表面积为，圆柱的侧面积为，所以AC选项正确．圆锥的侧面积为，所以B选项正确．圆锥的表面积为，圆柱的表面积为，所以D选项不正确．