专题01相交线与平行线（人教版）

专题01相交线与平行线一．邻补角与对顶角名称概念性质示意图邻补角两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，如图，与是邻补角邻补角互补如图，对顶角两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，如图，与是对顶角对顶角相等如图，注意：①邻补角、对顶角形成的前提条件是两条直线相交．②邻补角是互为补角的一种特殊情况：数量上互为补角，位置上有一条公共边．互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角，一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个．二．垂线与垂线段垂线定义当两条直线相交所成的四个角中有一个角为时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，如右图所示，直线a，b相交于点O，若，则画法一落让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合二移沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点三画沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线性质在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直垂线段定义P为直线l外一点，，垂足为M，则线段就是点P到直线l的垂线段点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．如右图，线段的长是点P到直线l的距离性质垂线段最短注意：①垂线的定义具有判定和性质的双重作用，即：知直角得线垂直，知线垂直得直角．②垂线是一条直线，不可度量长度．垂线段是线段，可以度量长度．③线段与线段、线段与射线、射线与射线、射线与直线垂直都是指它们所在的直线互相垂直．因此，垂足不一定在线段或射线上，也可能在它们的延长线（或反向延长线）上．三．同位角、内错角、同旁内角如图所示，直线，被直线所截，形成了8个角．1．同位角：两个角分别在两条被截线同一方，并在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角．例如：与，与，与，与．2．内错角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角．例如：与，与．3．同旁内角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．例如：与，与．角的名称位置特征基本图形图形结构特征同位角在截线同侧，在两条被截线同一方形如字母“F”（或倒置、反置、旋转）内错角在截线两侧（交错），在两条被截线之间形如字母“Z”（或倒置、反置、旋转）同旁内角在截线同侧，在两条被截线之间形如字母“U”（或倒置、反置、旋转）注意：①这三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系．②同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，没有公共顶点，但有一条边共线．四．平行线的定义名称定义表示法示意图平行线在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线记作，读作a平行于b注意：①平行线的定义有三个特征：一是在同一平面内；二是两条直线；三是不相交．三者缺一不可．②在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行．五．平行线的画法一“落”：把三角尺一边落在已知直线上；二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边；三“推”：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四“画”：沿三角尺过已知点的边画直线．六．平行公理及其推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．注意：①平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的性质．②“有且只有”强调直线的存在性与唯一性．七．平行线的判定判定方法文字语言符号语言示意图判定方法1两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行如果，那么判定方法2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行如果，那么判定方法3两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行如果，那么八．平行线的性质性质文字语言符号语言示意图性质1两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等如果，那么性质2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等如果，那么性质3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补如果，那么注意：①只有在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论，这是平行线特有的性质．②平行线的判定和性质的区别与联系：平行线的性质描述的是“数量关系”，它的前提是两直线平行，然后得出角相等或互补的关系，是由“位置关系”到“数量关系”；而平行线的判定，是以角的相等或互补为前提，然后推导出两直线平行，是由“数量关系”到“位置关系”．九．命题、定理、证明内容示例定义判断一件事情的语句，叫做命题对顶角相等组成命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项“对顶角相等”中题设是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”表达形式通常写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论对顶角相等可改写为如果两个角是对顶角，那么这两个角相等分类真命题如果题设成立，那么结论一定成立的命题对顶角相等假命题命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题相等的角是对顶角十．平移的概念及性质平移定义把一个图形整体沿某一直线移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫做平移要素一是平移的方向，二是平移的距离性质平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等注意：①图形的平移改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小．②图形平移的方向不限于是水平的．③确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其上一个点平移的方向和距离即可．④“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别：前者是原图形上的点与平移后的图形上的点连接而成的；而后者本身就存在于原来的图形与平移后的图形中，是图形的一条边．十一．利用平移作图平移作图是平移基本性质的应用．在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．①定：确定平移的方向和距离；②找：找出表示图形的关键点；③移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；④连：按原图形顺序连接对应点．【专题过关】一．邻补角、对顶角的识别及性质运用（共5小题）1．如图，、相交于O，，那么下列结论错误的是（）A．与是对顶角B．与互为余角C．与互为余角D．与互为补角【答案】D【解析】解：A．∵、相交于O，∴与是对顶角，本选项正确，不符合题意；B．∵，∴，∴与互为余角，本选项正确，不符合题意；C．∵与是对顶角，且与互为余角，∴与互为余角，本选项正确，不符合题意；D．∵，∴与互为补角，本选项错误，符合题意．故选：D．2．如图，已知直线与相交于点O，平分，．对于下列结论：①；②平分；③是的余角；④是的补角．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】解：∵直线与相交于点O，∴，∵平分，∴，∴，故①正确；∵，∴，，即是的余角，故③正确；∴，∴平分，故②正确；∵，，∴，即是的补角，故④正确，故选：D．3．如图，直线、交于点O，平分，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：∵，∴，∵平分，∴，∴，故选：D．4．如图是一种对顶角量角器，它所测量的角的度数是，用它测量角的原理是．【答案】，对顶角相等．【解析】解：由量角器的读数可知，所测量角的度数为，原理：对顶角相等，故答案为：，对顶角相等．5．如图，与相交于点O，，，则＝．【答案】．【解析】解：∵，∴，∵，∴，故答案为：．二．点到线的距离的概念（共3小题）6．下列图形中，线段的长度表示点A到直线距离的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：A．与不垂直，故线段的长不能表示点A到直线距离，不合题意．B．与不垂直，故线段的长不能表示点A到直线距离，不合题意；C．与不垂直，故线段的长不能表示点A到直线距离，不合题意；D．于D，则线段的长表示点A到直线的距离，符合题意；故选：D．7．如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，则下列结论中正确的是（）①线段的长度是点P到直线l的距离；②线段是A点到直线的距离；③在，，三条线段中，最短；④线段的长度是点P到直线l的距离A．①②③B．③④C．①③D．①②③④【答案】C【解析】解：∵于点B，∴线段的长度是点P到直线l的距离，故①正确，④错误；∵，∴线段的长度是A点到直线的距离，故②错误；根据垂线段最短，在，，三条线段中，最短，故③正确；故选C．8．如图，，，垂足分别为B、P．下列说法中错误的是（）A．线段的长是点P到的距离B．、、三条线段，最短C．线段的长是点A到的距离D．线段的长是点C到直线的距离【答案】C【解析】解：A．线段的长是点P到的距离，正确，故A不符合题意；B．由垂线段最短得到，，，因此最短，故B不符合题意；C．线段的长是点A到的距离，故C符合题意；D．线段的长是点C到直线的距离，正确，故D不符合题意．故选：C．三．垂线段的性质在生活中的应用（共3小题）9．运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短 C．两点确定一条直线D．平行线之间的距离处处相等【答案】B【解析】解：选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短．故选：B．10．如图，直线l表示一段河道，点P表示水池，现要从河l向水池P引水，设计了四条水渠开挖路线，，，，其中，要使挖渠的路线最短，可以选择的路线是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：∵在，，，四条路线中只有，∴垂线段最短，即要使挖渠的路线最短，可以选择的路线是．故选：B．11．如图，某村庄要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作于点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学道理是（）A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间，线段最短D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直【答案】B【解析】解：过点C作于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．故选：B．四．相交线相关的规律探究问题（共3小题）12．若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了（）个部分．A．7或8B．8C．8或9D．10【答案】C【解析】解：如图，所以，平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了8或9个部分，故选：C．13．平面内有7条直线，这7条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（）A．16B．22C．20D．18【答案】B【解析】解：2条直线相交最多有1个交点，最少有1个交点，3条直线相交最多有个交点，最少有1个交点，4条直线相交最多有个交点，最少有1个交点，……n条直线相交最多有个交点，最少有1个交点，因为，所以7条直线相交最多有21个交点，最少有1个交点，故，，所以；故选：B．14．在同一平面内有n条直线，设它们的交点个数为m．例如：当时，或（如图所示）．（1）当时，m可以取哪些不同的值？请画图说明；（2）当时，m的最大值为多少？请画图说明；（3）m的最大值为；（用含n的式子表示）（4）当时，n的最大值为多少？请画图说明．【答案】（1）见解析；（2）m的最大值为6，作图见解析；（3）；（4）n的最大值为7，作图见解析．【解析】解：（1）当n＝3时，即三条直线相交，交点的个数为0个或1个或2个或3个．如图1所示：（2）当n＝4时，即四条直线相交，交点最多是6个，∴m的最大值为6，如图2所示：∴四条直线最多有6个交点，∴m的最大值为6．（3）由（1）可知：三条直线相交，交点最多是（个）；由（2）可知：四条直线相交，交点最多是（个）；画图不难得到：五条直线相交，交点最多是（个）；六条直线相交，交点最多是（个）；…，以此类推，n条直线相交，交点最多是（个），故答案为：；（4）当m＝6时，n的最大值为7，如图3所示：五．同位角、内错角、同旁内角的识别（共5小题）15．下列所示的四个图形中，和是同位角的是（）A．②③B．①②③C．③④D．①②④【答案】D【解析】解：图①②④中，和是同位角，故选：D．16．如图，在中与构成同旁内角的角有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】A【解析】解：在中与构成同旁内角的角有，，，，，共5个．故选：A．17．如图，直线，被所截，交点分别是点M，点N，则与是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角【答案】B【解析】解：如图所示，两条直线，被直线所截形成的角中，与都在直线，之间，并且在直线的两旁，所以与是内错角．故选：B．18．如图所示，图中用数字标出的角中，的内错角是．【答案】．`【解析】解：图中用数字标出的角中，的内错角是．故答案为：．19．如图，有下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是（填序号）．【答案】①②．【解析】解：①由同位角的概念得出：与是同位角；②由同旁内角的概念得出：与是同旁内角；③由内错角的概念得出：与不是内错角，错误；④由内错角的概念得出：与是内错角，错误．故正确的有2个，是①②．故答案为：①②．六．平行线的判定方法的综合运用（共5小题）20．如图所示，由下列条件能判定的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：由，不能判定，故A不符合题意；∵，∴，故B不符合题意；∵，∴，故C符合题意；∵，∴，故D不符合题意；故选：C．21．如图，点E在延长线上，下列条件中不能判定的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：A．与是直线、被所截形成的内错角，因为，所以应是，所以A选项不符合题意．B．∵，∴（内错角相等，两直线平行），不能判定，所以B选项符合题意．C．∵，∴（同位角相等，两直线平行），所以C选项不合题意．D．∵，∴（同旁内角互补，两直线平行），所以D选项不合题意．故选：B．22．如图，直线a、c固定，，直线b绕着点O旋转，当旋转到使＝°时，有．【答案】70．【解析】解：当，∴，∴时，，∴，故答案为：70．23．如图，将两个完全相同的三角尺的斜边重合放在同一平面内，可以画出两条互相平行的直线．这样画的依据是．【答案】内错角相等，两直线平行．【解析】解：∵两个三角尺是完全相同的，∴，与是内错角，由内错角相等，两直线平行，即可判定，因此可以画出两条互相平行的直线．故答案为：内错角相等，两直线平行．24．如图，已知，，．求证：．证明：∵，∴＝°，（）即＝°．∵，且，∴．∴＝∠，（）∴．（）【答案】90；垂直的定义；90；4；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行．【解析】证明：∵，∴，（垂直的定义）即．∵，且，∴．∴，（同角的余角相等）∴．（同位角相等，两直线平行）故答案为：90；垂直的定义；90；4；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行．七．平行线的判定在实际生活中的运用（共2小题）25．如图，一条街道的两个拐角，，这时街道与平行吗？为什么？【答案】，理由见解析．【解析】解：．理由如下：∵，，∴，∴（同旁内角互补，两直线平行）．26．光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．【答案】平行，理由见解析．【解析】解：平行．理由如下：如图，∵，∴，∵，∴，∴．八．平行线的判定和性质的综合运用（共6小题）27．如图，在四边形中．点E为延长线上一点，点F为延长线上一点，连接，交于点G，交于点H，若，，求证：．证明：∵（），（已知）．∴＝（等量代换）．∴（）．∴（）．∵（已知），∴（等量代换）．∴∥（同旁内角互补，两直线平行）．∴（）．【答案】对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；，；两直线平行，内错角相等．【解析】证明：∵（对顶角相等），（已知），∴（等量代换），∴（同位角相等，两直线平行），∴（两直线平行，同旁内角互补），∵（已知），∴（等量代换），∴（同旁内角互补，两直线平行），∴（两直线平行，内错角相等），故答案为：对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；，；两直线平行，内错角相等．28．如图，已知，，，试判断与的位置关系，并说明为什么．【答案】、互相平行，理由见解析．【解析】解：、互相平行，理由如下：∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，即，∴．29．如图，已知，平分，，求证：．【答案】见解析．【解析】证明：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴．30．如图，为的角平分线，点E、F、G分别在的边、、上，连接、，，，（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，，∵，∴，∵为的角平分线，∴，∴．31．探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点P不在直线和直线上，在图1中，智慧小组发现：．智慧小组是这样思考的：过点P作，……．（1）填空：过点P作．∴，∵，，∴（），∴，∴，即．（2）在图2中，猜测与，之间的数量关系，并完成证明．（3）善思小组提出：①如图3，已知，则角、、之间的数量关系为.（直接填空）②如图4，，，分别平分，．则与之间的数量关系为．（直接填空）【答案】（1）平行于同一直线的两直线平行；（2），理由见解析；（3）①；②．【解析】解：（1）填空：过点P作．∴，∵，，∴（平行于同一直线的两直线平行），∴，∴，即．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；（2）；证明：过点P作，延长到M，延长到N，如图2所示：∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（3）①；理由如下：过点M作，如图3所示：∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故答案为：；②；证明：过点P作，过点F作，如图4所示：PP∴，，∵平分，∴，∴，∵，，，∴，，∴，，∵平分，∴，∴，∴，，∴．故答案为：．32．已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点．（1）【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分）证明：过点G作直线，∵，∴①．∵，∴②＝．∵，∴＝③（④）．∴．（2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并说明理由．（3）【应用拓展】如图3，点E与点A重合，平分，且，，那么的度数为．【答案】（1），，，两直线平行，内错角相等；（2），理由见解析；（3）．【解析】解：（1）过点G作直线，又∵，∴（平行于同一条直线的两条直线平行），∵，∴（两直线平行，内错角相等），∵，∴（两直线平行，内错角相等），∴．故答案为：；；；两直线平行，内错角相等．（2）如图所示，过点G作直线，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．（3）如图所示，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴．九．相交线与平行线相关命题辨析（共6小题）33．下列说法正确的是（）A．相等的两个角是对顶角B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【解析】解：A．对顶角相等，但是相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误；B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；C．从直线外一点到这条直线上的各点连接的所有线段中，垂线段最短，符合垂线段的定义，故本选项正确；D．在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误．故选：C．34．下列命题真命题的是（）A．同位角相等B．互补的两角一定有一条公共边C．内错角相等，两直线平行 D．一个角的余角大于这个角【答案】C【解析】解：A．两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B．互补的两角不一定有公共边，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C．内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，符合题意；D．一个角的余角不一定大于这个角，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C．35．下列说法：①两点之间线段最短；②同角的余角相等；③相等的角是对顶角；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：①两点之间线段最短，正确；②同角的余角相等，正确；③相等的角不一定是对顶角，错误；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确．故选：C．36．下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】解：①两点确定一条直线，正确，符合题意；②同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线，不正确，不符合题意；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，符合题意；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不正确，不符合题意．故选：B．37．下列语句正确的有（）个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使，且④若直线，，则．A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使，且，只有时才能画出，故说法错误；④若直线，，则，说法正确；故选：D．38．在下面四个命题中，真命题的个数有（）（1）互相垂直的两条线段一定相交；（2）有且只有一条直线垂直于已知直线；（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】D【解析】解：（1）互相垂直的两条线段不一定相交，故本小题错误；（2）应为在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故本小题错误；（3）应为两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本小题错误；（4）应为从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故本小题错误；综上所述，真命题的个数是0．故选：D．十．运用平行线的判定与性质解决翻折问题（共3小题）39．如图，将长方形沿线段EF折叠到的位置，若，则的度数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由翻折知，，∴，∴，故选：A．40．如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于E，交于F，点C，D的落点分别是、，交于G，再将四边形沿折叠，点、的落点分别是、，交于H，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（填写序号）．【答案】①③④【解析】解：①∵，∴．又∵，∴．故①正确．②∵，但不一定与相等，∴不一定垂直于，∴不一定与平行．故②不正确．③∵，∴．∵，∴．∴，∴．故③正确．④．∵，∴．故④正确．41．如图，把一张长方形纸条沿折叠，已知，那么应为多少度时，才能使？【答案】应为55度【解析】解：应为55度．理由是：∵，四边形是长方形，∴．∵要使，需使，由折叠可知，∴应为55度．十一．命题的相关辨析（共3小题）42．已知下列命题：①若，则；②若，则；③对顶角相等；④两直线平行，内错角相等．其中为真命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．0个【答案】B【解析】解：①若，则，正确，故①符合题意；②若，如果，那么