函数的单调性与最值一轮复习课件

数学RA（文）

§2.2函数的单调性与最值

章函数概念与基本初等函数I

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要点梳理/知识回顾理清教材

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数的定义域为厶如果对于定义域/

内某个区间。上的任意两个自变量的值方，x2

当方72时，都

定义当X1〈X2时，都有八X1)次Q),

有八修)勺M),那

那么就说函数人、)在区间。上是

么就说函数人灯在区

减函数

间。上是增函数

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要点梳理〉知识回顾理清教材

y=M

g)

图象

।

-•—।—»

描述O工1%2A

自左向右看图象是自左向右看图象是

上升的下降的

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(2)单调区间的定义

如果函数p=/(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说

函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间.叫做

函数尸=凡0的单调区间.

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2.函数的最值

前提设函数的定义域为/,如果存在实数M满足

(1)对于任意xe/,都(3)对于任意xe/,都

有/(x)皿；有加)犯：

条件

(2)存在刈£/，使得(4)存在与£/,使得

/(X)=M/(X)=M

0■0

结论M为最大值M为最小值

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夯基释疑〉夯实基础突破疑难

题号答案解析

1(1)X(2)V(3)X(4)X(5)V(6)X

2C

3C

44

391

5①②

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由2?-3x+l>0,得函数的定义域为（-8,1）u（l,+8).

夯

令Z=2）?-3x+1,则y=啕J

基

2+（，

*//=2x-3x1=2x-力4-66

释.*./=2x2-3J+1的单调增区间为（1,+00）.

又丁=I。由，在（1,+8）丄是减函薮，

2

疑函数y=1呜（2宀31+1）的单调减区间为（］,+8）.

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题型一、函数单调性的判断

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【例1】讨论函数/（x）=

（IX

/二15>0）在工£（—1,1）上

的单调性.

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函数单调性的判断

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可根据定义，先设

【例1】讨论函数/（x）=

（IX

/二15>0）在工£（—1,1）上-1<JC1<JC2<1>然后作差、

变形、定号、判断.

的单调性.

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函数单调性的判断

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解设-1<X1<JC2<1,

【例1】讨论函数/（x）=则人修）-KM）=Hr-

（IXX\1X21

/二15>0）在工£（—1,1）上

2o

ax\X2~ax\~ax2x\+ax2

（4-I）（X2-1）

的单调性.

_々3_円）3必+D

（X|-1）（X2-1）

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题型一、函数单调性的判断

>

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/.x2-X|>0,XiX2+1>0,

【例1】讨论函数Av)=

(IX(H-1)(x1-l)>0.

/二15>0)在工£(—1,1)上

又・・30,

的单调性.

•Wi)一火M)>0,

・•・函数<x)在(-1,1)上为减函数.

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题型分类•深度剖析

题型一函数单调性的判断

°——

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跟踪训练1（1）已知。＞0,函数Hx）=x+E证明：函

数在（0,“I上是减函数，在|小+8）上是增函数；

（1）证明设修，必是任意两个正数，且0＜用＜必，

，y，、X］—工2

（）+—

则八7X1“一八人孙〃）=（X|］+X―］丿-「X2大2）=XY\XY2"3必一。）・

当0＜円＜必忘，；4时，0VX］X2〈a，又》］一》2＜0,

所以）一加2）＞0，即＜X1）次孙），

所以函数火X）在（0,上是减函数；

当\/aWx］〈X2时，X］X2＞m又看一必＜0，

所以人即）-左2）＜0，即加1）勺&2），

［所以函数本）在［g，+8）上是增函数.

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(2)求函数j，="+工_6的单调区间

⑵解令〃=产+》-6,y="r2+7-6可以看作有y="与

w=x2+x-6的复合函数.

由〃=产+x-620,得上"-3或x22.

•.”=』+k6在(-8,-3]上是减函数，在[2,+8)上是

增函数，而y=,石在(0,+8)上是增函数.

，丁二,戸力的单调减区间为(-8,-3],单调增区间为

[2,+8).

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题型二:利用函数的单调性求参数

[例2]（1）如果函数人*）=心2+厶思维启迪解析答案思维升华

一3在区间（一8,4）上是单调递增

的，则实数〃的取值范围是（）

1、1

A.。>一GB.7

44

C.一D.-

44

[（2—g+1,x<l>

（2）已知y（x）=

[a，xR,

满足对任意jqWx2,都於丁2）

Xi一巧

>0成立，那么。的取值范围是

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题型二、利用函数的单调性求参数

【例2】（1）如果函数加r）=o?+2x，思维启迪解析答案思维升华

一3在区间（一8,4）上是单调递增

的，则实数“的取值范围是（）利用函数的单调性求参数或参

1、1

一数的取值范围，解题思路为视

A.a>—4lB.”774

参数为已知数，依据函数的图

C.一D.-

44

象或单调性定义，确定函数的

]（2—g+1,x<l»

（2）已知

[a，单调区间，与已知单调区间比

满足对任意为力必，都整止酗较求参.

Xi一心

>0成立，那么a的取值范围是

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题型二利用函数的单调性求参数

[例2](1)如果函数(0=如2+厶思维启迪解析答案思维升华

一3在区间(一8,4)上是单调递增(2)由已知条件得儿0为增函数，

的，则实数“的取值范围是()

2-67>0

1、1

A.a>—G4B.74

(2-0X1+1，

C.—7W4VOD.—7W4WO

44

3

](2—g+1,xvl,解得条好2,

(2)已知

[a，xR,3

•"的取值范围是百2).

满足对任意X1WX2,都整止酗

X1一义工

>0成立，那么。的取值范围是

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题型二利用函数的单调性求参数

[例2](1)如果函数(0=如2+厶思维启迪解析答案思维升华

一3在区间(一8,4)上是单调递增(2)由已知条件得儿0为增函数，

的，则实数〃的取值范围是(D)

2-。>0

1、1

A.a>—G4B.74//a>\,

(2-a)Xl+

C.—7W4VOD.—7W4WO

44

[(2—g+1,x<l>解得夂〃<2,

(2)已知

[a，

・・・。的取值范围是4，2).

满足对任意Xi2X2,都於丁2)

X1一义工

>0?成立，那么a的取值范围是

-■

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题型分类•深度剖析

题型二利用函数的单调性求参数

[例2]（1）如果函数（0=如2+厶思维启迪解析答案思维升华

一3在区间（一8,4）上是单调递增已知函数的单调性确定参数的

的，则实数〃的取值范围是（D）值或范围要注意以下两点：

1、1

A.a>—G4B.74①若函数在区间m，〃上单调，则

该函数在此区间的任意子区间上

C.—7W4VOD.—7W4WO

44

也是单调的；

[(2—alv+l»x<\9

(2)已知外)=乙Q],②分段函数的单调性，除注意各

满足对任意为工.，都幫吗㈤段的单调性外，还要注意衔接点

X,*2的取值.

成立，那么口的取值范围是

-•

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跟踪训练2（1）函数7=白彳工在（一1，+8）上单调递增，则。

的取值范围是（C）

A.a=—3B.a<3

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31)，

(2)已知個=%-4+2,一、是R上的单调递增函数,

2丿(x/1)

则实数〃的取值范围为(B)

A.(1,+~)B.|4,8)

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题型三)函数的单调性和最值

，一____________

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【例3】已知定义在区间

(0,+8)上的函数/(x)满足

/图=/但)二/2)，且当X>1

时,/(x)<0.

(1)求人1)的值；

(2)证明：人2为单调递减函数;

(3)若｛3)=-1,求©在[2,9]

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题型三b函数的单调性和最值

，一____________J

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【例3】已知定义在区间

(0,+8)上的函数/(*)满足抽象函数的问题要根据题设

f图=/(占)]/(*2)，且当X>\

及所求的结论来适当取特殊

时,/(x)<0.值,证明/U)为单调减函数的

(1)求人1)的值;首选方法是用单调性的定义

(2)证明：人2为单调递减函数;来证.问题⑶用函数的单调性

若｛求©在

(3)3)=—1,[2,9]即可求最值.

上的最小值.

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题型三）函数的单调性和最值

，一____________

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【例3】已知定义在区间

（0,+8）上的函数/（X）满足⑴解令为=X2>0,

f图=/（占）］/（*2），且当X>\

代入得<1）=大勺）-貝勺）

时,/(x)<0.

=0,

(1)求人1)的值;

故川）=0.

（2）证明：人2为单调递减函数;

(3)若｛3)=—1,求©在[2,9]

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题型三)函数的单调性和最值

，一____________

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【例3】已知定义在区间

⑵证明任取为，*2£(0，+8),

(0,+8)上的函数/(x)满足

/图=/(占)二/2)，且当X>1

由于当x>l时，/x)<0,

时，风¥)<0.所以彳

(1)求/(I)的值；

即儿丫一人必)<因此次修)刈)，

(2)证明：人2为单调递减函数;1)0,4

(3)若｛3)=—1,求©在[2,9]所以函数人x)在区间(0,+8)上

占滤是单调递减函数.

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题型三函数的单调性和最值

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【例3】已知定义在区间

(3)解・・・凡1)在(0,+8)上是单

(0,+8)上的函数/(x)满足

调递减函数.

/图=/(占)二/2)，且当X>1

・・・汉外在［2,9］上的最小值为<9).

时,/(x)<0./\

由/:=加1)一外2)得，

(1)求人1)的值；\A27

/H二＜9)一負3),而＜3)=-1,

(2)证明：人2为单调递减函数;

(3)若大3)=-L求人#在［2,9］所以<9)=-2.

金連公・・・凡丫)在［2,9］上的最小值为-2.

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题型三b函数的单调性和最值

，一____________

思维启迪解析思维升华

【例3】已知定义在区间

(1)抽象函数的单调性的判断要

(0,+8)上的函数/(*)满足

紧扣单调性的定义，结合题目所

f图=/(占)]/(*2)，且当X>\

给性质和相应的条件，对任意

时,/(x)<0.A5x2在所给区间内比较y(xi)一

的

(1)求人1)的值;几日)与0的大小,1

(2)证明：人2为单调递减函数;大小.有时根据需要，需作适当

+

(3)若｛3)=—1,求©在[2,9]的变形：如Xi=X2,:或X|=X2

上的最小值.

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题型三b函数的单调性和最值

，一____________

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【例3】已知定义在区间

(0,+8)上的函数/(*)满足

⑵利用函数单调性可以求函

f图=/(占)]/(*2)，且当X>\

数最值，若函数人2在[〃，加

时,/(x)<0.

上单调递增，则的最小值

(1)求人1)的值;

是/(〃)，最大值是人/0.

(2)证明：人2为单调递减函数;

(3)若｛3)=—1,求©在[2,9]

上的最小值.

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题型分类•深度剖析

跟踪训练3(1)如果函数/U)对任意的实数x,都有“+x)=/(-x),

且当时，〃x)=lo幻(3戈一1),那么函数凡0在［-2,0］上的最大值与

最小值之和为(C)

A.2B.3C.4D.~1

解析⑴根据川+用=人-幻，可知函数的图象关于直线x=；

对称.

又函数次外在［；,+8)上单调递增，

故火了)在(-8,上单调递减，

则函数/U)在［-2.0］上的最大值与最小值之和为

(-2)+则)=-+2)+川+0)=火3)+<1)=log28+log22=4.

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（2）函数y（x）==F在区间|心〃上的最大值是1,最小值是:，则

A1J

。+1=6.

解析（2）易知在仪上为减函数，

r[1

、a-1q=2,

：.\1即一1A,丄

加）=于1=1（b=4.

1

、b-13'

•二〃+b=6.

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答题模板系列2）函数单调性的应用

典例：（12分）函数/（X）对任意的〃八〃£R,都有/（胆+〃）=大加）

+大〃）-1,并且x>0时，恒有

（1）求证：/（X）在R上是增函数；

（2）若43）=4,解不等式次,+。-5）<2.

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答题模板系列2)函数单调性的应用

典例：(12分)函数/(X)对任意的〃八〃£R,都有/(胆+〃)=八〃7)

+大〃)-1,并且x>0时，恒有

(1)求证：/(X)在R上是增函数；

(2)若43)=4,解不等式次,+。-5)<2.

易错分析规范解答答题模板温馨提醒

(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出人心)

一/(Xi)并与0比较大小.

(2)将函数不等式中的抽象函数符号<7,运用单调性“去掉”是

本小题的切入点.要构造出勺(N)的形式.

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|答题模板系列2、函数单调性的应用

_____________________________________________________________/

典例：（12分）函数y（x）对任意的〃7、〃£R,都有/（胆+〃）=人加）

+大〃）-1,并且x>0时，恒有

（1）求证：/（X）在R上是增函数；

（2）若43）=4,解不等式次,+。-5）<2.

易错分析规范解答答题模板温馨提醒

（1）证明设X],且XiJQ，/.x2-X1>0,

・・,当X>0时，厶）>1,・・g2-X]）>1,

心2）=/1（必-内）+戈1]=-2-币）+小1）-1，

，於2）-冋）Fl）-1>0=/（即）共2），

.・・.小比R土为增函数.

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答题模板系列2)函数单调性的应用

典例：(12分)函数/(X)对任意的〃八〃£R,都有/(胆+〃)=大加)

+大〃)-1,并且x>0时，恒有

(1)求证：/(X)在R上是增函数；

(2)若43)=4,解不等式次,+。-5)<2.

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(2)解〃£R,不妨设〃i=〃=l,

••・火1+1)=川)+川)-1=/(2)=2川)-1，

〃3)=4=/(2+1)=4=頌+々)-1=4="1)-2=4,

.-./(1)=2,：.J[a­a-5)<2=<1),

•・・/(x)在R上为增函数，

■・・・a2+a-5Vl=-332,即a£(-3,2).

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答题模板系列2)函数单调性的应用

典例：(12分)函数Hx)对任意的〃八〃£R,都有/(胆+〃)=大加)

+大〃)-1,并且x>o时，恒有

(1)求证：Hx)在R上是增函数；

(2)若43)=4,解不等式次,+。-5)<2.

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I答题模板

解函数不等式问题的一般步骤：

第一步：确定函数人X)在给定区间上的单调性；

第二步：将函数不等式转化为的形式；I

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答题模板系列2)函数单调性的应用

典例：(12分)函数Hx)对任意的〃八〃£R,都有/(胆+〃)=大加)

+大〃)-1,并且x>o时，恒有

(1)求证：Hx)在R上是增函数；

(2)若43)=4,解不等式次,+。-5)<2.

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,题模板1

第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号,

转化成一般的不等式或不等式组；

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答题模板系列2）函数单调性的应用

典例：（12分）函数/（X）对任意的〃八〃£R,都有/（胆+〃）=大加）

+大〃）-1,并且x>0时，恒有

（1）求证：/（X）在R上是增函数；

（2）若43）=4,解不等式次,+。-5）<2.

易错分析规范解答答题模板温馨提醒

话题模板,

犯

第五步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.

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题型分类•深度剖析

答题模板系列2)函数单调性的应用

典例：(12分)函数/(X)对任意的〃八〃£R,都有/(胆+〃)=大加)

+大〃)-1,并且x>0时，恒有

(1)求证：/(X)在R上是增函数；

(2)若｛3)=4,解不等式次/+。-5)<2.

易错分析规范解答答题模板温提醒

本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件x>0

时，Hx)>l.构造不出Z(X2)—/lXl)=・AX2—Xi)—l的形式，找不到问

题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为次〃)勺(N)的形

式.解决此类问题的易错点：忽视M、N的取值范围，即忽视/(x)

所在的单调区间的约束.

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思想方法•感悟提高

利用定义判断或证明函数的单调性

设任意X］,应£［。，勾且X］＜X2，那么

①A节）［貝必）〉。0（》）在g,切上是增函数

＜0。加0在口，〃上是减函数.

②（X1-处）［/（，）-危2）］＞0。心）在［。，句上是增函数

（戈1-X2）［/（X1）-/2）］＜00"）在［。，6］上是减函数.

函数的单调性是对某个区间而言的.

如満b

思想方法•感悟提高

2.求函数的单调区间

方首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都

法

是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次

与

技函数等基本初等函数的单调区间.常用方法：

巧根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用

导数的性质.

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思想方法•感悟提高

3.复合函数的单调性

对于复合函数歹=.低(刈，若，=g(x)在区间(小b)

方

上是单调函数，且y=貝，)在区间(g(a),貳力))或者

法

(g(b)，鼠。))上是单调函数,若，=g(x)与y=A0

与t

技的单调性相同(同时为增或减)，则歹=/[g(x)]为增

巧函数；若/=g(x)与歹=々)的单调性相反，则》=

为减函数.

简称：同增异减.

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思想方法•感悟提高

失

误函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单

与

调递增或单调递减.单调区间要分开写，即使在两个

防

范区间上的单调性相同，也不能用并集表示.

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练出高分A组专项基础训练

Q2|3|4|5|6|7|8|9|10|

1.函数中，满足“对任意为，x2e(o,+8),当为《2时，

都有人，)》内)”的是(A)

A.B./(x)=(x-l)2

C./(x)=eAD./(x)=ln(x+l)

解析由题意知火x)在(0,+8)上是减函数.

A中，负幻=J满足要求；

B中，,危)=。-1)2在［0.1］上是减函数，在(1,+8)上是增函数；

C中,')=e'是增函数；D中，/(x)=ln(x+1)是增函数.

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练出高分A组专项基础训练

31丨AI3I4丨5I6丨7丨8丨9HH0|

2.若函数/(x)=-f+2qx与g(x)=(o+l)-在区间［1,2］上都是减

函数，则。的取值范围是(D)

A.(-1,0)B.(-l,0)U(0J|

C.(0,1)D,(0,1］

解析・・7(x)=-M+2aL-+.2在［1,2］上是减函数，

."WL①又g(x)=(a+l)J在［1.2］上是减函数.

：.a+I>1,：.a>Q.®

由①、②知，OQWL

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练出高分A组专项基础训练

5678910|

3.已知函数/U）=2aP+4（。-3口+5在区间（一8,3）上是减

函数，则。的取值范围是(D)

33C.|0,1)D.|0,|l

A.(0,彳)B.(0,J

解析当4=0时，火幻=-12丫+5,在（-8,3）上是减函数,

a>0

3

当aWO时，由彳4m-3）、.,得0<4《不

卜~^~234

3

综上4的取值范围是0W〃<京

4

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练出高分A组专项基础训练

a1丨2丨3IAI5I6丨7丨8丨9「0|

4.已知42为R上的减函数，则满足人；）》1）的实数*的取值范

■■

围是（D）

A.（一8,1）B.（1,+8）

C.（一8,O）U（O,1）D.（一8,O）u（l,4-00）

1x—1

解析依题意得即丁>0,

所以x的取值范围是x>l或x<0.

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练出高分A组专项基础训练

。」1丨2丨3|4|』丨6丨7丨8丨9丨10|

5.定义新运算““：当。2〃时，ab=a；当力时，a

2

b=b9则函数〃x)=(lx)x-(2x),—2,2|的最大值

等于(C)

A.-1B.1C.6D.12

解析由已知得当时，/(x)=x-2,

当时，-)=x'-2,

•・・/(x)=x-2,兀。=/-2在定义域内都为增函数.

・7/(x)的最大值为火2)=212=6.

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「|1|2|3|4|5|6|7|8J9|10J

6.函数及)=ln(4+3x—/的单调递减区间是U.

解析函数貝x）的定义域是（-1,4）,〃（x）=-『+3》+4

（25「3、

="的减区间为2，4}

Ve>l,

丄函数人x）的单调递减区间为序4.

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丨1I2丨3|4丄5|6|8工9丄10」

7.设函数Hx)=:累在区间(-2,+8)上是增函数，那么。

的取值范围是Ik+8)

ax+2a"-+12a“-1

解析fix)=-

x+2。a—x+^H2ra，

•・•函数/(x)在区间(-2,+8)上是增函数.

12a2-1>02a2-1>0

j--2=，=4三1.

1

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丨1I2丨3|4丄5|6|7|：8£9丄10」

则满足/Q1＞山1）的实数X的

8.已知/（X）为R上的减函数,

取值范围是

解析由勺U），得1>1，

Ix丿x

.，・1>1或-1,

XX

：.0<JC<\或一1<^<0.

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。丨1丨2丨3「4丨5丨6丨7丨8丨|

9.函数-&-4在闭区间|厶，+l|（，£R）上的最小值记

为g（为

（1）试写出g⑺的函数表达式；

(2)求g⑺的最小值.

解(1)/(X)=X2-4X-4=(X-2)2-8.

当t>2时，/(X)在［3/+1］上是增函数，

•••«(，)=皿)=*_4L4;

当/W2W/+1,即1W/W2时，鼠0=沢2)=-8;

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丨1I2丨3|4丄5|6|7|810J

9.函数在闭区间［，，，+l|(，£R)上的最小值记

为g«)・

(1)试写出g⑺的函数表达式;

(2)求g«)的最小值

当/+1V2,即卜1时，<x)在［［,/+I］上是减函数，

••・盛。=加+1)=』-2L7.

|7-2L7(r<l),

从而鼠0=-8(W2),

J2-4/-4(/>2).

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丨1I2丨3|4丄5|6|7|810J

9.函数在闭区间［，，，+l|(，£R)上的最小值记

为g«)・

(1)试写出g⑺的函数表达式;

(2)求g«)的最小值

(2)g(。的图象如图所示，由图

象易知双。的最小值为-8.

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。丨1丨2丨3「4丨5丨6丨7丨8丨9

2

10.已知函数42=一二二，x£[0,2],求函数的最大值和最小值.

I・

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。丨1丨2丨3「4丨5丨6丨7丨8丨9

2

10.已知函数42=一二二，x£[0,2],求函数的最大值和最小值.

解设力，刈是区间[0,2]上的任意两个实数，且修<应，

2?

则/（%1）-XX2）=-_77_（__77）

八八X]+]必+1

=_2（应+]占[）_2（X2-X1）

（X1+1）（x2+1）（X|+1）（x2+1）,

由0WX]<X2W2,得t2一》1>0，（Xl+1）（》2+1）>0，

所以01）一/2）<0,即/1）</2），

故貝x）在区间[0,2]上是增函数.

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。丨1丨2丨3「4丨5丨6丨7丨8丨9

2

10.已知函数42=一二二，x£[0,2],求函数的最大值和最小值.

2

因此，函数貝x)=-言7在区间[0,2]的左端点取得最小

I

值，右端点取得最大值，

2

即最小值是次0)=-2,最大值是｛2)=-7

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练出高分B组专项能力提升

|二^|2||3|4|5

1.已知函数/(内)=.——2公+。在区间(-8,])上有最小值，则函

数奴工)=坐在区间(1，+8)上一定(D)

A.有最小值B.有最大值

C.是减函数I).是增函数

解析由题意知K1,・・・8(/)=準=3+9-24,

•/%

当4<0时，g(X)在(1,+8)上是增函数，

当4>0时，以工)在卜，，+8)上是增函数，

故在(1,+8)上为增函数，

丄以外在(1,+8)上一定是增函数.

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练出高分B组专项能力提升

|1||3|4|5

2.已知函数42=即一，〃为常数）.若"t）在区间［1,+8）上是增函

数，则，的取值范围是（一00，1］.

在［。，+8）上为增函数，

则口，+8）1口，+CO）,・・・4・1.

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练出高分B组专项能力