导数中的距离问题讲义-高考数学二轮复习

第14讲导数中的“距离〃问题

一、问题综述

导数中的“距离”问题是指形如下面的问题：

假设对任意的R,m>0,不等式(〃-W；)2+(«-Inw+I)23a恒成立，那么实数a的取值范围是.

二、典例分析

类型1：一曲始终型

【例1】函数f{x)=(x+a)2+(e、+-)2.假设存在%，使得/(xj,，那么实数。的值为________.

ee-+1

解法1:(构造距离)

设尸(x,e*),Q(-a,-q),那么/(x)的几何意义是|尸。|的平方.

e

其中点P在曲线y=e*上，点0在直线/:y=直上.

e

设/勿〃且与曲线y=e*相切，切点为4(〃?,e'"),

又yC二e、，那么e"'二L\m=-1,\J(-1,-),

ee

74

进而有小)"尸。2(诉武门

444

即/(X)欲使存在与，使得/(X。那么/(%)=»1.

e+1e+1e+1

1+£2

此时/=-i,2=-i,即工^Q=-i,得°=。_1.

e-l+〃ee+1

【方法小结】方法一将存在性问题转化为求函数的最小值问题，数形结合构造两点间距离，然后利用切线

求得距离的最小值，即函数的最小值.而此题函数的最小值恰好的题目所给的值，所以存在的与只有一个,

即切点的横坐标.进而求得°的值.当求出4(-1-)坐标之后，求/'(x)”“”和。的值时，还有如下做法:

e

444

/⑶…融’又两边夹得："尸此时

X

与=-

e

解法2：(权方和+不等式e'…f+1)

由熟知的不等式e1/+1可得：e-L.x+2,即e--x...2(当且仅当x=-1时等号成立.)

进而有：/(x)=(x+a)2+(e*+-)2="丁一+

e1(e)

[(-x-a)+(尸+=(e"J

■"1+e21+e2

22_4

444

即/(x)…7^，又\/*/，7-^)\/(x)=—

1+e1+e01+e

这说明上面的不等式中等号在x=/处取到.

常-%=2抖=72_

因此[e-Y°+1a9即Ic2~\9故。二---.

e-+l

(方法小结】方法二奇妙的结合利用了权方和不等式和我们熟知的不等式+1求得了函数“X)的最小

值，并在取等条件下求得丫和°的值.此法对权方和不等式要求较高.

„(a。,产

权方和不等式：a------(《>0,4>0,m>0),当且仅当《=4a时等号成立.

1=1

坪.biy

i=1

权方和不等式〔二维膨式〕：—+—...(c+d)mi,当且仅当£=4时等号成立.

amhm(a+b)mab

特点：分子的次数比分母的次数高一次.

解法3：(变换主元+判别式)

2

依题意：(X。+a)++—j..]2有解,

即里」/+2+/)。+$+/%-.•.(1)有解.

2

故判别式小=4软'+3-4篱+e2M-高壬0，化简得软*Jx0),.4.

由我们熟知的不等式e'.」+1可得：e、7.j+2,即e、r-x..2(当且仅当x=-1时等号成立.)于是

日门-/)1.4,故e、W-Xo=2,因此△=().

所以(1)式对应的方程6+1)/+2仆阳”+e2+1-占1=0有两相等根，故”

【方法小结】方法三另辟蹊径奇妙的变换主元，把原式转化成关于“的一元二次方程，通过判别式△…0及

切线放缩求得°的值，进而求得a的值.

解法4：(变换主元+二次函数最值)

/(X)=(X+-|+,噜3+斯+渣"

e2+1e2+

(其中仍利用e'./+1得e'*Jx...2)

【方法小结】方法四与方法三有异曲同工之妙，利用主元思想构造二次函数及切线放缩求得最值.

【变式练习1］

设函数/(x)=(x-a>+(In/-2a>,其中x>0,a1火.假设存在看,使得/(%)£《成立，那么实数。的

值为()

【例2】假设对任意的实数f,函数〃x)=(x-犷+(x-e,r-3ar在R上是增函数，那么实数。的取值范

围是.

【解析】依题意可知f^x)=3(x-t)2+3(x-e1)2-3a30在R上恒成立，

212

:.ai(x-£)2+(x-dp在K上恒成立，令g(x)=(x-t)+(x-e),那么a£g(x)min,

•「g(x)=(x-z)2+(x-d)2表示直线y二X上的动点P(x,x)与曲线/?(x)=，上的动点0(Z,d)两点间的距离

的平方.设曲线〃(x)=,上与直线y二x平行的切线的切点为上,比),那么易得切线方程为

xxxx<>x<>

y-e°=e°(x-x0),B|Jy-e°x-xoe+e,依题意有*=1,

・・・%=0,・••切线方程为歹=x+l,，两条平行线y=x与歹二％+1间的距离为d二丧.

・•・g(》)min二/二;,J白£J.

［例3］假设对任意的nIR,m>0,不等式(〃-m)2+(〃-ln〃?+3。恒成立，那么实数。的取值范围

是.

【解析】依题意可知("-"if+(〃-lnm+I)?表示曲线y二Inx-1到直线y二x上点的距离最小值的平方，

求曲线y=Inx-1平行于直线y=x的切线，y^=令工=1,得x=1,因此切点(1,-1),切点到直

n-(-i)i

线夕=x的距离d=JI,就是两曲线的最小距离，.机＞+（〃-lnm+的最小值d2=2,

/.a£2.

【变式练习2】

不等式（〃2-〃）2+（加-In〃+4）2...2，对任意m挝（0,+）恒成立，那么实数。的取值范围

为.

【例4】假设存在实数x,使得关于x的不等式+x2-2ax+«2..!成立，那么实数。的取值集合

910

为.

解法1：利用权方和不等式得:

C二"+"至■…鱼二立（其中e»-X...1,取等条件》=0）

911010

两边夹得：（e，-g）2+（a-x）2=—,当且仅当x=0且上即。=’.

9109110

解法2：

如图利用切线可知||：而=,，此时a=’.

【变式练习3]

/(x)=x2-2ax+e6r-6ae3x+10a2的最小值为，，那么a的值为

类型2：两曲型

【例5】设夕Q,b）=J。-6丫+稹5g0面R）•当变化时，（PQ,b）的最小值

为.

【解析】

解法1:(几何意义+导数)

设/Q,lna),哪J扮别是函数/&)=lnx,g&)=［图象上的动点，那么|阳=J加注

丫2h2

点8到抛物线g&)=?的准线y=-1的距离，等于点8到焦点尸0,1)的距离，即忸8=(+1,

故？=忸可-1.所以9Q,b)=1Q-斤+-9至+~=b川+^BF|_13,/卜1,

当4,8,尸三点共线时取等号，故只需求恒可的最小值.

记hQ)=pF|2=a2+Qna-炉Q>0),那么〃咐)=2a+a(ina-1)>i,

当0<a<l时，"Q)<0；当a>1时，〃4)>0,

所以hQn=hQ)=2,从而0Q力>|4E|-PJJ-i,当.=1,b=2&-2时取等号.

2

【方法小结】解法1结合几何意义将目标转化为二次函数g&)='上的点与函数/'&)=Inx上的点之间

4

的距离，进而通过抛物为线的定义转化焦点与/&)上的动点的距离的最小值，最终通过构造函数，利用导

数求出函数的最值.

解法2：(几何意义+权方不等式)

设ZQ,lna),砥,%分别是函数/6)=Inx,g(x)=片图象上的动点，

物4r4

那么卜/一斤+也”-。茎点8到抛物线g&)=1的准线y=-1

r2r2

的距离，等于点8到焦点户0,1)的距离，即忸目=?+1,故(=忸尸卜1.

所以90,8)=5-斤+铜-9至+/\AB\+幽-广甘卜1

M尸『=/+Q-ina)2吵Q+2色且仅当°=1时取等号)

所以(Q,b)3y/2~1.

【方法小结】解法2在求解抛物线上焦点与/&)上动点的距离的最小值，实行权方和不等式进行求最小值,

方法奇妙，令人叹为观止.

附：权方和不等式《+53Q-b)〔当且仅当。=。时取等号〕.

112

解法3：(几何意义+斜率)

设/Q,lna),8好扮别是函数/&)=Inx,g(x)=图象上的动点，那么朋=卜。+浙?壬.

「2

点8到抛物线g6)=3的准线厂-1的距离，等于点8到焦点厂0,1)的距离，即忸口二h彳+1,故

[=|5F|-1.所以|/f=/+Q_]n“)2吵Q+；n")2做且仅当°=1时取等号)，

设在4点的切线方程为/,斜率为左，k=L当4F'/时，|/同取最小值

a

X则」，J.如二l=-i,解得〃=J,zQ,o),所以eQ,b)3|/川-172-I.

aaa

【方法小结】思路三在求解抛物线上焦点与/&)上动点的距离的最小值时，考虑过二次函数的焦点厂与

/&)=Inx上的点”的连线力尸与过力的切线，垂直时，|/尸|最小.思路三利用几何关系解决问题，表达

了数形结合的思想.

解法4：(柯西不等式)

/〃、[——]一忑b2无、b2b2

(p(a,h)=J(a-by+gna--J+—^z-Intz+--ZL)+—

…?1+b+"=坐於bi当且仅当°=l,b=2亚-2取等号.

2442黝4•4

【方法小结】思路四在求目标函数*Q,6)的最值时，通过柯西不等式不等式进行放缩成只含有，的二次函

数，利用二次函数的性质求最值，解决问题.思路四，方法奇妙，妙到毫巅，让人折服，属于巧法.

【变式练习41

设D=J(X-4+(Inx-.+]miR),那么。的最小值为()

A.—B.1C.V2D.2

2

【例6】方程(2aIna-b)2+(c2-me+3+d)2=0在区间［，,e］内恒有两个根，那么实数机的最大值

e

为.

解法1：V(2a\na-b)2+(c2-mc+3+J)2=0,

/.2a\na-b=0,c2-加c+3+d=0,

依题意，曲线M:y=2xlnx,曲线N:y=+〃优一3,

即产_(x_罗++3,如下图，要使在区间B，e］内曲线M,N

恒有两个交点，那么必有曲线N在x取e时夕的值小于或等于

2elne=2e,故要使得〃？最大，只需2e=-e?+〃肥-3,

解得：m=-2e'e+-+2.

ee

【方法小结】通过一个数的平方为非负可知曲线曲线M:y=2xInx

曲线N:y二-工2+/nr-3,利用数形结合可知曲线N在x取e时y

的值等于2elne=2e时〃7的值最大,计算即得结论.

解法2：V(2a\na-h)2+(c2-mc+3+=0,

**.2aIna-b-0,c2_tnc+3+d-0,

依题意，曲线M:y=2xInx(x>0),3

21nx4-x+-

r

曲线N:y=-x2+mx-3,

两曲线有交点即方程2x\nx=-x2+mx-3有两个实根,

别离变量得〃厂21nx+x+设〃(x)=21nx+x+

XX

那么心)=2+1-义乌」=空”,

XX"XX

可知〃(x)在［1,1］递减，在［l,e］上递增.

e

117

・•・最小值为力(1)=4,又〃(上产3e+--2>A(e)=e+-+2,

eee

所以要有两个交点，那么有4<加<〃(e)=e+3+2.

e

类型3：综合应用

222

［例7］假设实数a,b,c,1满意S+31no)2+(c-d+2)2=0,那么/+6+c+J-2ac-2bd的

最小值为().

A.V2B.2C.2V2D.8

【解析】

解法L(均值不等式)

〃2…、2/2…-tz2+3\na

(6+/-31na)2+(c-d+2)~=0D1

M二c+2

-22222

\/+〃+。2+/_2ac-2bd=(ac)+(6-d)=(a-c)+(c+2+a-3Ina)

［(a-c)+(c+2+a2-3Ina)］2_(/+a+2-3In

…2T~

3

设/(x)=x2+x+2-31nX,那么/")=2x+1--

x

/心)在(0,+¥)上单调递增，且川1)二0,

'当xf(0,1)时，/")<0J(x)单调递减;当xi(l,+¥)时，/仃)>0J(x)单调递增

\/(x)*=〃1)=4.

综上，原式的最小值为t=8,应选D.

2

解法2：1距离)

原式二〃伍一op+(°+2+T-31n〃)2

\d=c+2

2

设G:必=x+2；C2:y2=31nx-x,

那么dmin即为q和C2上两点间距离的最小值.

33

而劣正——2X,^=--r-2<0.

X2X

故必为凸函数，且在(0,甘)单调递增，在(苧,+¥)单调递减.

易求得与c2相切，且与q平行的切线的切点尸(1,-1).

那么等于P到C,的距离，•••dmin=8,应选D.

【变式练习51

假设实数a,b,c,"满意(b-elnap+(c~d+3)2=0,那么(a-c)2+(b-d)2的最小值为

【例8】点P为函数〃x)=Inx图像上任意一点，点。为圆[x-(e+1)F+/=1上任意一点，那么线段产。

e

长度的最小值.

【解析】过函数/'(x)=Inx上点P(x0,lnx。)作“x)的切线/,将/平移至与圆相切，

设切点为。.(当0在线段C尸上时，PQ长度最小.(即将圆扩大到与/(x)相切时的切点为尸点)

/*x)=工，由CP"/得：Mx。』=-1

整理得Inxo+x；-0,解得x°=e,OT/

(具体证明放在后面)\/

所以P(e,l),所以|PQ「pq-i=丝工-1,故线段2°长度的最小值去El-].

(PS：设g(x)=lnx+x2-(e+-)x,留意到g(e)=0,现证明x二e为g(x)唯一零点.

e

先求得/(%)=Inx在x二e的切线为歹二-(%-e)+1,由切线放缩：lnx£-e)+1=-x

eee

当％<e,g(x)£-x+x2-(e+-)x=x2-ex<0,

ee

当x>e,g(k)=-+2x~(e+3>g(e)>0，故x=e为g(x)唯一零点.

xe

【变式练习6】

点〃在圆C:f+/+3x-4y=0上，点N在曲线1+Inx上，那么线段的长度的最小值为.

【例9】实数”,b,c,d满意忙丝=—=1其中e是自然对数的底数，那么(a-cy+(6-4)2的最小值为

ba-1

()

A.4B.8C.12D.18

【解析】实数q,6,c,d满意匚生=1,••"=a-2e",d=2-c,

ba-1

因此点(a,b)在曲线y=x-2e'上，点(c,d)在曲线y=2-x上，(a-c)2+(b~d)?的几何意义就是曲线

y=x-2e*到直线y=2-x上点的距离最小值的平方，求曲线y=x-2e*平行于直线y=2-x的切线,

y^=1-2e\令1-2e*=-1,得x=0,因此切点(0,-2),切点到直线夕=2-x的距离

|0-2-2|

2V2,就是两曲线的最小距离,(a-c)2+(b~d)2的最小值/=8,故答案为B.

【变式练习7]

假设实数见〃满意匚至=%二型=11y构0/0,e为自然对数的底数)，那么(x-加尸+(y-a)2

y〃

的最小值为()

A.V5B.5C.V10D.10

【例10】直线广，与函数./Ix)=2x+3和g(x)=ax+Inx分别交于48两点，假设到最小值为2,那

么4Z+6=

【解析】

解法1：当直线平移至与曲线相切时(切点为8),取最小值2.

过点B作BD垂直直线/(x)=2x+3,

由于tanDD4B=2,易求得切点8到直线

4

2x~y+3=0的距离为忸。卜忑,

设8(工0，50+In/),那么g理%0)=。+,=2DaxQ=2x0-1(*),

%

ax-lnx+3|_4

：.\BD\-包00

A/5V5

联立(*)得|4-lnx0|=4Px0=l,a=l,b=1,所以a+b=2.

解法2：设〃xj=g(%)=b(x2>x,),那么占=3,

ax>+lnx9-3,zxor+Inx-3....xx(2-a)-1

x2-%1=x2--=——丁——，^/?(x)=X----------(x>0),h^x)=~—升——

(1)假设。32,/7<x)<0,函数无最小值；

(2)假设a<2,当xi(0,」一)，A(x)递减；当—(」一,+¥),以初递增；

2-a2-a

i(2-a)*J)-In白+3

h(x)3A(----)=------------------------二2-—In-----=2,

2-a222-a

解得a=l,此时匕=1,故6=g(l)=1,所以a+b=2.

【变式练习8]

直线4：y=x+°分别与直线4：y=2(x+1)及曲线C:y=x+Inx交于48两点，那么|/同的最小值

为______________

三、稳固练习

1.假设点“〃,0)与曲线y=e*上点0的距离的最小值为2石，那么实数，的值为().

A/In2「/In2尸、In3八、In3

A.4-——B.4-——C.3+——D.3+—

3232

2.设点P在曲线厂;，，点。在曲线尸ln(2x),那么|PQ|的最小值为()

A.1-ln2B.72(1-In2)C.1+ln2D.0(1+In2)

3.尸为曲线G：N=炉上一点，Q为曲线G：V=Inx上一点，那么|PQ|的最小值为.

4.假设x,a力均为任意实数，且(a+2>+(6-3)2=1,那么(x-+(Inx-的最小值为.

A.30B.18C.3近-1D.19-6&

5.假设[b-(a-2)『+[Inb-(a-1)F3"，-机对"6>0,a1及恒成立，那么机的最大值为.

2

6.设F(x,y)=(x+y>+(x--)2,(x,y喂Rj0),那么尸(x,y)的最小值为•

y

7.函数/(x)=(ev-m)2+(X-⑼"其中e为自然对数的底数，m为变量，且加iR),当/(x)取最小值时,

m=・

8.假设存在a>0,6i火，使得(2b-21na>=(b-qA成立，那么实数z的取值范围是.

9.函数/(x)=1+云2+6+4(b,c,d为常数，当♦(0,1)时取极大值，当—(1,2)时取微小值，那么

3+；>+(C-3)2的取值范围是()

A.(§,5)B.(75,5)C.(*25)D.(5,25)

10.Ina-ln3=lnc,64=-3,那么(a-(d-的最小值为()

A3行18「16「12

A.----DB.—C.—D.—

5555

11.假设点P是曲线y=[x2-21nx上任意一点，那么点尸到直线夕=x-g的距离的最小值为()

Ap3近30/T

A.2B•---C.---D.yj5

22

12.曲线y=Inx上的点到直线y=x+1的最短距离是()

A.72B.2C.—D.1

2

13.曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离为.

14.点P是曲线y=x?-Inx上任意一点，那么点尸到直线y=x-2的最小距离为.

15.设点P,。分别是曲线y=xe'e是底数)和直线y=x+3上的动点，那么两点间距离的最小值

为.

16.直线x=a(a>0)分别与直线y=3x+3,曲线y=2x+In工交于43两点，那么\AB\最小值

为.

17.函数〃x)=炉+lYx-2m(x+lnx)+2疗+1,假设存在/[)£1成立，那么实数机的值为()

13

A.-B.1C.-D.2

22

⑶设e表示自然对数的底数’函数分户一+(、­)"一©'关于x的不等式小)£有解‘那

么实数a值为.

19.实数a,b,c,d满意|6-2|+(c+31nd)2=0,那么(6-")?+(a-c>的最小值是.

20.实数a,6cd满意6=a-2e。，c+d=4其中e是自然对数的底数，那么(a-c>+(b-"了的最小值为

(〕

A.1B.18C.20D.22

21.实数mb满意ln(b+1)+a-3b=0,实数c,d满意2d-c+6=0,那么(a-+(b-的最小值

为.

22.设。=«x-"+(/-2而>+a+2,其中e是自然对数的底数，那么。的最小值为.

四、稳固练习参考答案

变式练习1：答案：A

变式练习2：答案：a31

变式练习3：答案：—

变式练习4：解析:

由式子结构联想：。为抛物线犬=4y上点P(a,a)到对数函数y=Inx图像上任意点N(x,lnx)的距离加上

点尸(凡会)到抛物线/=心的准线产-1的距离，设尸为抛物线》2=4y的焦点，那么由抛物线定义可知,

D=PF+PA3£4,明显，当4尸,尸三点共线时最短.即求焦点F到对数函数y=Inx图像上任意点的距

离的最小值.

V\FA^=(Inx-I)2+/令/(x)=(Inx-I)2+x2,

Inr+T2—11

那么/'(X)=2(----------),且/⑴=0.设%(x)=lnx+1,那么〃«)二一+2x>0,

xx

v+丫2—1

Af'(x)=2(——-——)在(0,+¥)上单调递增，.•.当xi(0,1)时，/(x)〈八1)=0,当xi(L+¥)时,

X

/,«>/'(1)=0,.../(x)mi„=〃1)=2，...|9|而「应，即。喃=V2.

点评：此题，由式子结构联想，两点间距离公式，构造成图像上两点距离，通过抛物线定义，转化为三点

共线时的最短距离，通过求导法，以及切线法，与圆相切的方法，予以解决，需要较高的数学功底.

O

变式练习5：答案：-

2

变式练习6：答案：V2-1

变式练习7：实数〃满意x-%*=2(1-m)=3/,n=2-2m,因此点(x,y)在曲线

yn

y-x-3e、上，点(加,〃)在曲线y=2-2x上，(X-w)2+(歹-的几何意义就是曲线y二工-3eY到直线

丁二2-2x上点的距离最小值的平方，求曲线歹二x-3F平行于直线少二2-2x的切线，l-3ev,令

M=l-3e*=-2,得x=0,因此切点(0,-3),切点到直线y=2-2x的距离八也了2=二=石，就是

+4

两曲线的最小距离，(X-m)2+(y-a)2的最小值/=5,故答案为B.

变式练习8：解：依题意可得了...产…，，

ly=2(x+1)2a-2\y=x+Inx=e"+Q

：.A,B两点的坐标分别为A(a~2,2a-2),B(ea,ea+a),

：.\AB\=7(ea-a+2)2+(ea+a-2a+2)2=,2(e"-a+2>.

令/z(a)=e"-a+2,alR,那么〃二"-1，

AaI(-¥,0)时阳a)<0;aI(0,+¥)时，力心)>0,所以〃(°)在。=0时取得最小值为

h(a)mm=〃(0)=3>0所以1/1310=/?(0)=郎.

1.解：设尸(%,九)是卜=，上任意一点，那么过该点的切线方程为y-e"=e'"(x-/),依题意有

|1\g'"-1

Jx()-t*,.*.!x0-t淖，即(e%了+(*>=12,e%=3,

bo+(xo~z)2=12j(e'，)2+(x0-f)2=12

2x

x0=；ln3,/.t-e°+x0=3+yIn3,选择D.

2.•.•片卜，与y=ln(2x)的图象关于直线了=x对称，...|尸。|的最小值"等于直线尸x到曲线y=

(或尸ln(2x))距离的2倍.•.•弁=ge*,由y/;e*=1得x=ln2,.•.切点(ln2,l),

d=2a£2=及(1-ln2),，选择B.

3.过程参考第2题，答案：V2.

4.设P(-2,3),0(%,%)是曲线y=Inx上任意一点，那么(x-q>+(Inx-bf表示(归0卜,易得过0

的切线/的方程为厂lnx0=,(X-/),当P0./时，|叫最小，

此时lPQ：y~lnx0=-xQ(x-x0),*.*尸0过点P(~2,3),x；+2x0+lnx0-3=0,

/.x0=1(此处需证明(也易证)函数g(x)=f+2x+加工-3的单调性)，，。。,0),

222

|尸0心=J(-2-1『+3?=3五).\[(x-a)+(Inx-Z))]min=(3^2-I)=19-66.

5.解：[b~(a-2)f+[Inb-(a-1)F表示直线歹=x+1上的动点尸(a,a+1)与曲线〃x)=Inx上的动点

QS，ln〃)两点间的距离”的平方.依题意加£峨,设曲线y(x)=Inx上与直线？=x+1平行的切线

的切点为(x0,y0)，f^x)-->—=1>

Xx0

2

=

••xo-1,••"min一~,・♦m-m£1min-2，•.WI[-1,2],•・见侬2.

6.设P(q,a)为直线y二x上任意一点，Q(b,-令为直线厂上任意一点，那么尸(人「|尸。仁，设曲

线y=-2上与直线y二％平行的切线的切点为(%,%)，

x

;的与，由马二1得丁士JL不妨设co,那么/=JL.•・切点(立-伪，

x不

2

二|P0|.=¥=2,二F(x)mi„=|Pd.=4.

IQlmin\/m,nI

7.答案：

2

8.依题意有(=(b-a)2+(2b~21na)2表示直线了=2x上的动点P(6,2/7)与曲线/(x)=21nx上的动点

Q(a,21na)两点间的距离的平方，设曲线/(x)=21nx上与y=2x平行的切线的切点为(x0,为)，那么切线

方程为y-21nx0=2(x-%)，依题意可得工=2,所以/=1，...切线方程为y=2x-2,...两条平行线

V/(x)=x3+bx2+cx+d,/./")=3X2+2hx+c,•.•函数/(x)在xi(0,1)时取得极大值，当xI(1,2)时

取微小值，.••/")=3/+2bx+c=0在(0,1)和(1,2)内各有一个根，，/电)>0J(l)<0J(2)>0，即

|c>0

i3+26+c<0>在60c坐标系中画出其表示的可行域，如下图，(6++(c-3),表示点/(-；,3)与可

|12+4b+c>0

行域内的点连线的平方，点4(-g,3)的直线2b+c+3=0的距离为|-1+3+3|

亚,由4b+c+12=0与

2b+c+3=0联立得交点为(-4.5,6),与点3)的距离为5,二(b+1)2+(c-3)2的取值范围为(5,25),

二选择D.

10.答案：B

11.设曲线y二士/一21nx上与2平行的切线的切点为(打,打)，那么y仁3x-士，

22x

二・切线方程为y-(3月-2Inx0)=(3x0-—)(x-x0)»由3%-2=i,得/=1,

2%/

.•.切线方程为卜=x+g,依题意点P到直线y=X-|的距离的最小值即为两条平行线y=x-g与