2023年山西省运城市景胜中学业水平考试数学试题（含答案解析）

2023年山西省运城市景胜中学业水平考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知全集。={0」,2,3,4},A={1,2,3},B={2,4},则必(4U3)=

A.{2}B.{0}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

2.在复平面内，复数z满足zi=l+i,贝”=()

A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i

3.已知函数/(x)=[：若/(a)=6,贝!]a=()

[5x+6,尤<0

A.0B.2C.-3D.2或3

4.从五件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品、一

件次品的概率是().

5.已知偶函数4%),当xvO时,/(X)=X3-2X+1,则〃2)=()

A.3B.-3C.-5D.5

IQtan"：

6.已知+=3f贝|tan(a-2y0)=()

92-102

A.一B.——C.—D.-

1311115

7.如图的曲线是幕函数y=在第一象限内的图象.已知〃分别取±2,土;四个值，与曲

线£、c2.G、G相应的〃依次为()

B.2,—,—2,

22

D.-2,-^-,^-,2

C.——,—2,2,—

2222

8.已知△ABC的内角A,B,。所对的边分别为“，b,c,若〃=6,b=7,c=5,贝!Jsin。

=（）

AA/6R3c2瓜n新

7776

9.如图，在正方体ABCD-4B［C］。中，E、F、G、H分别为AA|、AB,BB［、

的中点，则异面直线E尸与GH所成的角等于（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

10.在三棱锥尸一ABC中，PAJ_平面ABC,AB=AC,ABAC=9Q,且AB+E4=6,

当三棱锥P-ABC的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（）

A.27TIB.36KC.54KD.72兀

二、多选题

11.已知抛物线C:y2=x的焦点为产，准线交X轴于点。，过点产作倾斜角为。（。为

锐角）的直线交抛物线于A3两点（其中点A在第一象限）.如图，把平面AD尸沿x轴

折起，使平面4）厂，平面8。尸，则以下选项正确的为（）

B.折叠前。尸平分NADB

C.折叠后三棱锥分体积为定值!

D.折叠后异面直线仞,5厂所成角随。的增大而增大

12.如图，已知直线”4,点A是4,4之间的一个定点，点A到4,4的距离分别为1，

2.点B是直线4上一个动点，过点A作AC_LAB,交直线4于点C,GA+GB+GC=0^

试卷第2页，共4页

贝Ij()

7

B.△GAB面积的最小值是耳

c.|AG|>ID.GAGB存在最小值

三、填空题

13.若a,b>0,且4+人2=必+3,则必的最大值为.

14.设随机变量X服从正态分布N(2,〃)，若尸(X<l)=0.2,则P(X<3)=

15.已知。=(1,2),6=(2,-2),c=(X,-l),e//(2a+6),则2等于.

，、1

16.数列｛%｝的前〃项和为S,，若%=〃(〃+[),则S,=.

四、解答题

17.已知tana=2,求下列各式的值：

3sina-5cosa

(])Z~•；

cosa+2sina

(2)2sin2«-3cos2a.

18.如图，四棱柱ABC。-A4GA的底面ABC。是菱形，44,，平面ABCD,AB=1,

A4|=2,/&W=60。，点P为。2的中点.

(1)求证：直线8,〃平面PAC；

⑵求证：BD}±AC-

(3)求二面角B.-AC-P的余弦值.

19.已知函数/0)=-/+7加+2,*€11.

(1)当m=3时，求f⑴值；

⑵若"X)是偶函数，求了(X)的最大值.

20.己知，椭圆C过点A[1,|)两个焦点为(-1,0),(1,0).

(I)求椭圆C的方程；

(II)及歹是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明

直线班'的斜率为定值，并求出这个定值.

21.已知数列｛a/的前〃项和为S“，%=2.

从下面①②③中选取两个作为条件,剩下一个作为结论.如果该命题为真,请给出证明;

如果该命题为假，请说明理由.

①。3=3%；②为等差数列;@an+2-an=2.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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参考答案:

1.B

【详解】试题分析：AuB={l,2,3,4},6/(4U3)={0}.故选8.

考点：集合的运算.

2.D

【分析】根据复数除法公式即可求解.

【详解】由zi=l+i得z=H=-i(l+i)=l—i

故选：D

3.B

【分析】由题意分类讨论a20,a＜0,解方程可求解a.

【详解】当。30时，则/(。)=。2+。=6,解得：。=2或a=-3(舍去)

当。＜0时，贝!|=5。+6=6,解得：a=0(舍去)

综上所述：a=2

故选：B.

4.A

【分析】记五件正品为“,6,c,1,e,次品为A,由列举法结合概率公式得出所求概率.

【详解】记五件正品为a,6,c,d,e,次品为A,从五件正品、一件次品中随机取出两件的所

有基本事件为：{a,b},{a,c},{a,d},{a,A\,{a,e},{b,c},{b,d},{b,A},{c,d},{c,A}[b,e],

{d,A},{c,e},{d,e},{e,A},共15种，其中取出的两件产品中恰好是一件正品、一件次品的有

5种,即所求概率为三=1

153

故选：A

5.B

【分析】利用偶函数定义，结合已知解析式求解可得.

【详解】因为/(x)为偶函数，

所以”2)=〃一2),

又当无＜0时，/(x)=x3—2x+l,

所以2)=(-2)3-2x(-2)+1=-3,

答案第1页，共12页

所以〃2)=〃-2)=-3.

故选：B

6.B

【分析】利用二倍角正切公式求得tan[^+2，],再利用拆角的方法结合两角差的正切公式,

即可求得答案.

2tanfe+d2X|3

【详解】由tan舟勾=:得,tan1+2,

jfjjtanl67+-^-

2

冗冗

(__>tan((z+-)-tan(27?+-)

故tan(a-20)=tan(a+-)-(2^+-)=------------------------------

')1+tan(a+—)-tan(277+-)

66

j__3

_2_4_2

一LF

24

故选：B

7.A

【分析】作直线X=2分别与曲线£、。2、。3、。4相交，结合函数y=2、的单调性即可判断.

【详解】因为函数y=2"为增函数，所以22>23〉24>2一2，

所以作直线x=2分另U与曲线CI、C»C”C4相交,交点由上到下分别对应的n值为,

由图可知，曲线G、C»C3、C4相应〃值为2,g,-g,-2.

故选：A

8.C

答案第2页，共12页

【分析】根据余弦定理求得cosC,判断角C的范围，继而求得答案.

【详解】因为。=6,b=7,c=5,所以cosC=a+:―c=36+49-25=*,

2ab2x6x77

则C为锐角

故sinC=Vl-cos2C=2加,

7

故选：C.

9.B

【分析】连接48,2G，AG，证明异面直线所与GH所成的角是/ABC或其补角，由正方

体性质即可得结论.

【详解】如图，连接A3,BG，AG，

由题意M//AB，GH//BC,,所以异面直线E尸与GH所成的角是NABG或其补角，

由正方体性质知VA3G是等边三角形，NA3G=60。，

所以异面直线E尸与G"所成的角是60。

故选：B.

a

AFB

10.B

【分析】设=则三棱锥尸-ABC的体/=-'丁+尤2,构造函数

6

32

/(X)=-^X+X(0<X<6),利用导数求最值可得x,再求三棱锥尸-ABC外接球半径可得

6

答案.

【详解】设AB=x,则丛=6-x,故三棱锥尸-ABC的体积

111,1,,

V=——ABACPA=-X2(6-X)=——丁+/，

3266

答案第3页，共12页

设fM=~—X3+X2(0<X<6),则f\x)=--x2+2x(0<x<6),

62

由广(%)>。得0<xv4,由八%)<0,得4Vx<6,则"%)在(0,4)上单调递增,

在(4,6)上单调递减，从而/。)2=/(4)=々，

即三棱锥尸-ABC体积的最大值是此时x=4,即AB=AC=4,PA=2,

因为PAL平面A5CABLAC,把三棱锥尸-ABC不成一个长方体，则三棱锥尸-ABC与所

补成的长方体有相同的外接球，

所以外接球的半径R=1V42+42+22=3,则三棱锥P-ABC外接球的体积为白炉=36无.

11.BCD

【分析】对于A：利用弦长公式结合点到直线的距离运算求解；对于B：利用韦达定理证明

kAD+kBD=0,即可得结果；对于C：根据面面垂直的性质结合锥体的体积公式运算求解；

对于D：根据题意利用|A司=匚勺,［叱仁心结合空间向量可得

/UimuumI7

|cos(1M,师x卜,高需-1,再根据复合函数单调性分析判断.

【详解】由题意可得：抛物线C：y=x的焦点为尸［,()］,准线x=-；,则。

设直线AB:x=my+^,A（x1,y1）,B（x29y2）f

f1

x=my+—,,1

联立方程4,消去x得y-my--=0,

24

y=x

221

可得A=m-4xm+l>0,yi+y2=m,yxy2=--

22

贝!1寸+yl=（%+y2）-4%%=m+1,

对于选项A：因为=""+m2m2+1,

答案第4页，共12页

点到直线AB：龙-叼-：=0的距离d=工=J

Jl+m22J1+疗

可得折叠前△AB。的面积%^=^x（m2+l）J—

2'72yjl+m2

所以当“=。时，折叠前△的的面积的最小值为:，故A错误;

对于选项B：因为

%%2%跖+；5+为）11

।——m+—m

22=0

m

yt+|%2+g[my+；]+g]

x'+4X?+4阳2+5

即折叠前直线仞,关于x轴对称，所以折叠前平分/4DS,故B正确;

对于选项C：因为平面AD尸_L平面则可知点A到平面BDF的距离即为点A到无轴

的距离瓦|，

VBOE的面积S^BDF=；xgx|y2Kmy2I，

所以折叠后三棱锥体积5一曲=底血x；昆|=3%%|=L（定值），故C正确；

34124o

对于选项D：由抛物线的性质可知：|AF|=5=[\BF\=e=]

1-cos^2（1-cos。）'1+cos02（l+cos6）

114*八1+cos0iyi.八sin®

可得%=JMc°s*而砌,％=|A邓

x=^--|BF|cos^=l-cos。II.sin。

2—7----------r,y=-BFsin6=——----------六

2（1+cos。）22（1+cos0）

根据题中所给的空间直角坐标系，可得

,1+COS。八sin。Bl-cos6sin。0,。1_；,0,0）,尸（；,0,0

A一,----------7,0,

4（l-cos^）2（l-cos6）14（1+cos2（1+cos。）’,

ri则（1+cos01_sin6111.sin8

贝!JOA=-----------+-,0,—----------=-----------,0,------------

4（l-cos^?）42（1-cos。）?J（2（1-cos。）?2（1-cos。）.

uur1-cos61sin6cos62（1：?S6）Q

FB=——---------------——--------------------

4（1+cos4'2（l+cos。）'J（2（1+cos。）

答案第5页，共12页

COS0

/uunuur4(l-cos2

可得卜os(D4,EB

2222

sin。。。

1+cos+sin

2(1-cos。)2(1-cos。)20+COS0)20+COS°)

COS。

dsil?。_cos'

1+sin201Vl+sin20

4（1-cos4（1+cosop

I/uunuinniI2

所以辰母叫v］eij

即折叠后异面直线AD,①7所成角的余弦值为J—1一-1,

Vl+sin

因为y=sin6在上单调递增，贝ijy=,2-1在上单调递减，

且y=4在定义域内单调递增，则y=J2,二1在„上单调递减,

'V1+sin-0V2）

所以折叠后异面直线的>,3月所成角随。的增大而增大，故D增大；

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法

（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解；

（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不

等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）.

12.ABC

【分析】取8C中点产，利用向量运算判断A；设ZB4£>=6,利用三角形面积公式结合正弦

函数性质判断B；利用数量积的运算律计算判断CD作答.

【详解】取BC中点尸，连接G/，如图,

由GA+G3+GC=0，得GF=；(GB+GC)=_；GA,因止匕点AG,尸共线,

2?11

S.AG=-AF=-x-(AB+AC)=-(AB+AC),A正确；

答案第6页，共12页

7TTT

设N3AO=e（Ove<5）,由于。而ACLAB,贝1」/胡。=3-。,

21

由AD=2,AE=1,得AB=--,AC=--,显然点G为二ABC的重心，

cos6sm6

111222

则△G43的面积九四十=-x-ABxAC=-x---------------=---------->-,

3232cos0sin3sin203

当且仅当26=5，即。=:时取等号，B正确;

22

\AG\=^\AB+AC\=^\1AB2+AC1I4_1__1L+4sin^^cos^

3Vcos20+sin203v+cos20+sin20

小2氏子当且仅当需黑,即tan*手时取等号’C正确;

1121

由AG=§(A3+AC),得GA=—](AB+AC),GB=AB-AG=-AB--ACf

11.22181

因止匕GAG5=(AB+AC)\2AB-AC)=——(2AB-AC)=――(—z-----------

999cos0sin0

18sin20cos20人sin202八小、nw-8sin20cos20,1

二——(7+---------=)x，令"——=tan26>e(0,+oo),贝|7+-----------------==7+o8—,

9cos6sin6cos0cos0sin0t

而函数y=7+8f」在(0,+⑹上单调递增，值域为R,所以G4-GB=」(7+8f-1)值域为R,

t9t

无最小值，D错误.

故选：ABC

【点睛】思路点睛：利用向量解决问题，可以选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表

示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

13.3

【分析】根据"+户22而，从而可得仍+3W2",求解即可.

［详解］因为4+/=必+3,所以必+3=/+匕②22ab,abM3,

当且仅当”=b=括时，等号成立,

所以质的最大值为3.

故答案为：3

14.0.8

【分析】根据正态分布的概念及性质即可求解概率.

【详解】解：因为尸（XN3）=尸（XMl）=0.2,

所以P（X<3）=l-P（X>3）=l-0.2=0.8,

答案第7页，共12页

故答案为：0.8.

15.-2

【分析】根据向量平行列方程，化简求得4的值.

【详解】2a+b=（2,4）+（2,-2）=（4,2）,

由于沙/(2a+b),所以22=-4"=-2.

故答案为：-2

4

16.—/0.8

5

【分析】利用裂项求和法求得正确答案.

【详解】5*4=------1--------1--------1-------

41x22x33x44x5

1111111,14

=]---1------1------1-----=]———

223344555,

4

故答案为：—

17.⑴(

(2)1

cinzy

【分析】（1）根据——二tana,分式同除cosa可得.

cosa

（2）根据siYa+cos2a=1先将Zsi/a_3cos2a转化为―,再将分式同除cos?。

sina+cosa

可得.

3sina-5cosa_3tan«-53x2-5」

【详解】（1）

cosa+2sina1+2tana1+2x2-5

2sin2a-3cos2a2tan2a-3_2x22-3

(2)2sin2cif-3cos2cir

sin2cr+cos2crtan2a+12?+1

18.（1）证明见解析;

（2）证明见解析:

印7病

6情

【分析】（1）设AC和8。交于点。，连接尸O,根据线面平行的判定定理求解；

（2）由线面垂直可得线线垂直，再由菱形对角线垂直可得线面垂直，即可得证;

答案第8页，共12页

(3)连接耳尸，B0可证明/用。尸为二面角瓦一AC-尸的平面角，利用余弦定理求解余

弦值即可.

【详解】(1)设AC和BO交于点。，连接尸0,如图，

由于P,。分别是。2，8£)的中点，故P0〃8D1,

平面PAC,平面PAC,所以直线BA〃平面PAC.

(2)在四棱柱耳G2中，底面ABCD是菱形，则AC1BD,

又。R_L平面ABQ),且ACu平面A3C。，则OR^AC,

BDu平面BDDiB1,RDu平面BDDXB{,BDcD{D=D

：.4。_1平面2。。田.

BDXu平面BDD[B[,；.BDt1AC.

(3)连接男尸,BQ,

因为24=PC,。是AC中点，所以尸O,AC,

因为AC,平面3。。4，平面3。2片，所以用。，AC,

/.NBQP为二面角B.-AC-P的平面角,

=jF+f=万

BQ=不=理，3尸呼

3-2

PCP+OB,-PB；44

由余弦定理可知cos/B0P=

2PoOB185

2x

22

答案第9页，共12页

.•.二面角片-AC-尸的余弦值为源.

85

19.(1)4

⑵2

【分析】(1)先得到函数/(x),再求值;

(2)先利用函数是偶函数，求得了(x),再求最值.

【详解】(1)解：当机=3时，/(%)=-X2+3%+2,

所以7(1)=-F+3X1+2=4；

(2)因为/(x)是偶函数，

所以/(-x)=/(x)成立，

BP—(—x)+一无)+2=—*2—+2=—尤2+mx+2，成',

所以m=0,则/(x)=-x1+2,

所以f(x)的最大值为2.

20.(1)—+匕=1(2)直线AE的斜率为定值:

432

r2v23

【详解】试题分析：(1)由题意C=l,设椭圆方程为三丁+当=1,将41,力代入即可求出

1+bb2

〃=3,则椭圆方程可求.

3r22

⑵设直线AE方程为：y=k(x-l)+^,代入入L+上v=1得

243

3

(3+4严)/=4左(3-2加+442-12左-3=0,再由点4(1,万)在椭圆上，根据结直线AE的斜率

与"的斜率互为相反数，结合直线的位置关系进行求解.

22

(1)由题意c=l,设椭圆方程为上方+与=1,

1+b2b2

3—3

因为点A(I,办在椭圆上，所以1,a-,解得*3,