高中数学一轮复习 函数最值

第1.2章

1.2.2函数最值

色课程要求了《»!求心中有数

初中要求1掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象及其性质；

2会用一次函数、反比例函数、二次函数解决简单实际问题.

高中要求1理解函数的最值；

2会利用数形结合的方法求解函数最值.

LJ基础知识夯实基础，■立完整知识体系

1.一次函数、反比例函数、二次函数图象的图象与性质

(D一次函数的图象与性质

y=kx+b（kW0）k>0fc<0

<

图象\

二x

-

性质y随x的增大而增大y随工的增大而减小

S是函数与y轴交点的纵坐标)

(2)反比例函数的图象与性质

k

y=—（々。0）fc>0fc<0

X

y

图象V

X

0

性质在每个象限，y随x的增大而增小在每个象限，y随工的增大而减大

(3)二次函数的图象与性质

2

函数y=ax+b%+c（a,b,c为常数,QH0）

图象a>0a<0

!J

开口方向向上△向下

对称轴直线“一盘

'b4ac—b2^

顶点坐标{2a4aj

当刀＜—3时，y随x的增大而增小；当％＜—?时，y随工的增大而增大；

2a

增减性

当久〉一，时，y随乂的增大而增大.当x＞时，y随x的增大而增小.

2a

当》=一卷时，y有最小值，当乂=一/时，y有最大值，

最值

且=4…2且ymax="

3mm4a,

2.函数图象的变换

函数图象的变换：左加右减，上加下减.

3.函数的最值

函数的图象，有上升的部分也有下降的，象过山车一样，图象上升时称函数递增的，图象下

降时称函数递减的.

如下图，当％＜-1或x＞2时，函数递增；当一1＜久＜2时，函数递减.

那函数图象最高点与最低点对应的纵坐标分别是函数的最大值与最小值.

经典例题从典例中见吨能力

【题型1】函数图象的变换

【典题11指出下列函数图象的变换过程.

从y=2/平移到①y=2(%—2)2；②y=2%2—3；③y=2x2—4%+8

解析①y=2/向右平移2个单位y=2(%-2尸；

②y=2/向下平移3个单位y=2x2—3；

③y=2x2—4%4-8=2(x—l)2+6,

y=2/向右平移1个单位向上平移6个单位y=2x2—4%+8.

变式练习

1.指出下列函数图象的变换过程.

(1)从y=3x至lj①y=3久-6；②y=3(x+1)；③y=3(%-1)+3

(2)从y=:到①y=京；②y=：—l；③y=g+3.

答案

(1)①向下平移6个单位；②向左平移1个单位；③向右平移1个单位再向上平移3个单位.

(2)①向左平移1个单位；②向下平移1个单位；③向右平移1个单位再向上平移3个单位.

【题型2】函数最值

【典题1］作出函数丫=笫的图象，并根据图象说出函数的如下性质:

(1)图象的对称中心、渐近线、增减性；

(2)当0WxW4时，求y的最大值和最小值.

2(x+l)-7、7

解析(D丫=瞽-N

x+lx+l

所以y=2的图象可以看成由函数y=-;向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到,

如下图一，则函数图象的对称中心是(一1,2),渐近线是％=-1和y=2,

增减性是当x<-1时函数递增，当x>-1时函数递减；

(2)当尤=0时，y=-5；当x=4时，y=|;

由图二可知，函数在0WXW4上递增，最大值是,，最小值是-5.

【典题2］求函数y=X2-4X+1在下列自变量取值范围内的最大值和最小值.

(1)3<%<4(2)0<x<1(3)0<%<3

解析y=/一4%+1=(%-2)2-3,其对称轴是％=2,

(1)如图一，函数在3WxW4上递增，当x=4时取到最大值1,当％=3时取到最小值一2；

(2)如图二，函数在OWxWl上递减，当x=0时取到最大值1,当久=1时取到最小值一2；

(3)如图三，函数在0WxW2上递减，而在2WxW3上递增，

当x=0时取到最大值1,当x=2时取到最小值—3；

【典题3】求/(x)=X2—2ax-l^E0<x<2上的最大值和最小值.

解析/(%)=(%-a)2-1-a2,对称轴为久=a.

①当a<0时，由图①可知，

fMmin=/(0)=-L“x)s=f(2)=3—4a-

②当0Wa<l时，由图②可知，

2

f〔x)min=f(a)=-l-a,f(x)max=/(2)=3-4a.

③当lWaW2时，由图③可知，

Z

fMmin=/(a)=-1-a，f(x}max=f(0)=-1-

④当a>2时，由图④可知，

=/(2)=3-4a,f(x)max=/(0)=-1.

综上所述，

当a<0时，f(x)min1,f[x}max=3-4a；

2

当0Wa<1时，f(x)min-1-a,f(x)max=3-4a；

2

当1WaW2时，f(x)min1-a,f(x)max=-1；

当a>2时，f(x)min=3-4a,f(x)max=-1.

变式练习

1.作出函数y=盒的图象，并根据图象回答下列问题,

(1)变量x,y的取值范围；

(2)当一1WxW1时，函数值y的取值范围;

答案(1)%大一(yK—T(2)!<y<3

解析aw=言1|7=17

3+2%22(3+2%)24(x±|)

自变量X的取值范围是久w-王y的取值范围是yw-］；

(2)当一1<％41时，函数递减，当％=1时取到最小值y当％=-1时取到最大值3,

所以y的取值范围是［<y<3.

2.求函数/(>)=［2?。一2在1〈久W4的最值.

答案最大值是1,最小值是-3.

解析y=2久+1在久<0上递增，

y=/_4x+1=(%—2)2-3对称轴是x=2,

在0Wx<2上递减，在2<xW3上递增，

如图可得当x=0时，函数最大值是1；当x=2时，函数最小值是-3.

3.在-2W久<4内存在X,使得不等式-2%2一4%+3Wa成立，求a的取值范围.

解析设/'(x)=-2x2-4%+3=-2(%+1)2+5,对称轴是x=-1,

函数在-2Wx<-1时递增，在一1cx<4时递减，而/(4)=一45

所以/(%)>-45,故要满足题意则a>-45.

4.已知函数/'(久)—x2+2ax+2.

(1)当a=l时，求函数/0)在一2W%<3上的取值范围；

(2)当a=—1时，求函数/(%)在t<%<t+1上的最大值；

((t-I)?+1,t<；

答案(1)1W/0)W17⑵12

卜+1"是

解析(1)当a=1时，/(x)=/+2%+2=(%+1)2+1,

函数在一2<%<-1上单调递减，在一1<久43上单调递增，

X=—1'f(X)min=1'%=3'=17,

・,・函数/(%)在区间一2<x<3上的取值范围是1</(x)<17；

(2)当a=—1时，/(%)=x2~2x+2=(%—I)2+1,

t<p函数/(%)在t<%<t+1上的最大值/(t)=(t-I)2+1；

t>p函数/(%)在t<%<t+1上的最大值/(t+1)=t2+1；

c1

(t-l)2+l,t<-

・•・函数/(%)在t<%<t+1上的最大值•

t2+1,t>I

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1.把函数y=-2/+4%+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的

函数关系式为.

答案y=-2(%+I)2-6

2.将函数y=/c%+b的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，又回到原来的位置，

则攵=.

答案1

解析经过平移后函数解析式是y=-l)+/)+l=fcx+b+l-/c,

依题意得1-k=0,解得k=1.

3.函数/(久)=-g+3的图像可以看成反比例函数=-：的图像先向—平移—个单位,

再向—平移一个单位.

答案右，1,上，3

4.函数y=2x-1在—1<x<4上的最小值是,最大值是L

答案一3,7

5.函数y=2/一4x+3在一1<x<4上的最小值是,最大值是.

答案1,19

6.求/(久)=昔在1<x<3上的最值.

答案最大值/无最小值

解析/(%)=甘=2-1，它的图像可以看成由函数/(%)=-：向右移1个单位，

再向上移2个单位得到的.

由图易得/(%)=等在1<xW3上递增，当x=3时取到最大值?，无最小值.

7.已知函数/(%)=%2+2mx+1.

(1)若m=1,求/'(%)在一1<x<3上的最大值和最小值；

(2)求/'(X)在—2<%<2上的最小值；

(3)在区间—1W比W2上的最大值为4,求实数小的值.

答案(1)最大值是16,最小值是0；

(2)当m〉2时，最小值—4zn+5；当—2WmW2时，取到最小值/'(―m)=-+1；

当<-2时，取到最小值/'(2)=4m+5.

1

(3)m=-1或一］

解析