2024届全国高考数学一轮复习好题专项 平面向量的概念及其运算 练习(附答案)

2024届全国高考数学一轮复习好题专项（平面向量的概念及其运算）练习

一、基础练习

1.（2020•西藏日喀则上海实验学校高二期中（文））若四边形Z8CZ）是矩形，下列说法中不正确的是（）

A.而与丽共线B.%与丽相等

C.N万与根是相反向量D.而与而模相等

2.（2020•全国高一课时练习）已知正六边形则成+无+匠=（）

A.HB.BEC.ADD.CF

3.（2020•全国高三其他模拟（文））已知两非零向量加，满足Z丄,且%=1,贝中1一可=（）

A.1B.3C.4D.5

4.（2020•全国高二课时练习）已知向量而，AC，豆心满足|荔卜］彳@+|就卜则（）

A.~AB^AC+^C

B.AB^-AC-JC

C.%与就同向

D.祝与在同向

5.（2020•全国高二课时练习）若河B均为非零向量，贝广莉=同同”是"2与B共线”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

6.（2020•全国高一课时练习）下列关于向量的命题正确的是（）

A.若|矶二旧|,则万B.若|万冃则之/広

C.若d=b,b=c9则Q=cD.若d/lb，b11c9则5//3

7.（2020•江苏高三专题练习）设万，分为非零向量，则是“庁与B方向相同”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.（2020•天津市军粮城中学高一月考）下列说法正确的是（）

A.a//b>B//5则Z/G

B.起点相同的两个非零向量不平行

c.若k+4=固+|3|,则々与万必共线

D.若之/広则£与行的方向相同或相反

9.（2020•广东高三专题练习）在口/BC中，已知点E是边力8上靠近点N的一个三等分点，则屈=（）

A.—CBH—CAB.—CB—CAC.—CB—CAD.—CBH—CA

33333333

10.（2020•海南鑫源高级中学高一期末）已知问=5,忖=4,£与g的夹角6=g,则£;=（）

A.10B.-10C.1073D.-IOA/3

二、提升练习

—1——

1.（2020•江苏镇江市•高一月考）已知正方形N8CQ的边长为2,点2满足工尸=5（Z8+/C）,则开.在

的值为（）

A.2B.-4C.4D.2>/2

2.（2020•江苏镇江市•高一月考）若向量2》满足：同=8,同=4,月.£与石的夹角为斗，则石在£上的

投影向量为（）

1-1r--

A.--aB.—aC.2aD.—2a

44

3几

3.（2020•晋中市・山西寿阳县一中高一月考）已知向量|庁|=百,出|=逐，若扇5间的夹角为彳，则

恢-同=（）

A.730B.V61C.V78D.屈

4.（2020・河北高三其他模拟（文））已知正三角形的边长为2,点用满足两=丄场+,而，则

32

応•砺的值为（）

5162211

A.-B.—C.—D.—

3993

5.（2020•青海西宁市•湼川中学高一期末）己知［0团=6,|丽|=2行，408=30。，若tsR,则

I厉+/方I的最小值为（

A.6B.273C.3D.6-2>/3

6.（2020・湖北武汉市第H^一中学高一月考）已知。是口45。所在平面内的一定点，动点P满足

——（ABACy

OP=OA+A+,/le（0,+8）,则动点P的轨迹一定通过口/8。的（）

\AC\）

A.内心B.外心C.重心D.垂心

_._7T—

7.（2020•江苏镇江市•高一月考）已知凡6是平面上夹角为三的两个单位向量，c在该平面上，且

（£二）•,—"）=（）,则下列结论中正确的有（）

A.卜+目=1B.a-h=1

c.Z+B与工不可能垂直D.|C|<73

8.（2020•全国高考真题（理））设庁石为单位向量，且|庁+5|=1,则|庁一万|=.

9.（2020•江西吉安市•高三其他模拟（理））向量。，B满足同=1,|可=2,G与B的夹角为120°,则忸—可=

10.（2020•江苏镇江市•髙一月考）已知向量/满足同=咽=2,的夹角为仇

（1）若6=^^,求的值；

（2）若cos6=；,求卜+xN（xe火）的最小值.

三、真题练习

1.（2020•海南高考真题）在口中，。是边上的中点，则亙=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

2.（2021•浙江高考真题）已知非零向量£,瓦），则=W是"K”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

3.（2020•全国高考真题（文））已知单位向量£,g的夹角为60。，则在下列向量中，与石垂直的是（）

A.。+2石B.2a+bC・a-2bD.2a-b

4.（2019•全国高考真题（文））已知非零向量分。满足时之瓦且（a-b）丄4则a与6的夹角为

（）

n7t2n5兀

A.—B.-C.—D.—

6336

5.（2021•全国高考真题）已知向量£+加+"=0，同=1,忖=忖=2,Q.B+'C+C.Q=•

6.（2020•全国高考真题（理））已知单位向量〉办的夹角为45°,二与W垂直，则公-

参考答案

一、基础练习

1.（2020•西臧日喀则上海实验学校高二期中（文））若四边形4SCZ）是矩形，下列说法中不正确的是（）

A.万与而共线B.刀与丽相等

c.N万与鼻是相反向量D.刀与丽模相等

【答案】B

【答案解析】

根据四边形N8CD是矩形再结合共线向量，相等向量，相反向量，向量的模的概念判断即可.

【过程详解】

解：•••四边形力8a＞是矩形

:.AB〃CD且AB=CD,故A,。答案正确；

ZC=8。但就，丽的方向不同，故8答案错误；

=且ZO//C8且N万,而的方向相反，故。答案正确；

故选：B.

2.（2020•全国高一课时练习）已知正六边形力8cDEF,则放+前+匠=（）

A.HB.BEC.~ADD.CF

【答案】B

【答案解析】

由万=无，结合向量的加法运算得出答案.

【过程详解】

如图所示，AF=CD

D

BA+CD+FE=BA+AF+FE=BE

故选：B

3.（2020•全国高三其他模拟（文））已知两非零向量B，满足Z丄0—Z）,且W=l,则内一4=（）

A.1B.3C.4D.5

【答案】A

【答案解析】

利用向量的垂直关系，可得£%=/，结合向量的模的运算法则化简求解即可.

【过程详解】

两非零向量£,b＞满足a丄®-且啊=1,

可得a-5=J,

125-6|=^4（7-4a-b+b'=^4a'-4a2+b2=1•

故选：A.

4.（2020•全国高二课时练习）已知向量荏，AC，及满足卩回=卜@+|豆GJ,则（）

A.AB=AC+BC

B.AS=~JC-JC

C.祝与团同向

D.就与在同向

【答案】D

【答案解析】

利用向量加法的意义，判断刀与无同向.

【过程详解】

由向量加法的定义方=4。+C8，故A、B错误

由耳=|%卜|5C|=|就|+R同，知C点在线段Z8上,否则与三角形两边之和大于第三边矛盾,所以太

与C8同向.故D正确，C错误.

故选：D.

5.（2020•全国高二课时练习）若落B均为非零向量，贝IJ“万石=同同”是*与B共线”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【答案解析】

根据向量数量积和向量共线的定义可得选项.

【过程详解】

解：訴=同同=>cos〈方，1〉=1,所以2与B的夹角为0°，

所以五与B共线，反之不成立，因为当2与5共线反向时，a-b=-\a\\b\.

所以“莉=区帆”是*与5共线”的充分不必要条件，

故选：A.

6.（2020•全国高一课时练习）下列关于向量的命题正确的是（）

A.若冃5|,则方B.若|叫=旧|,则1/広

C.若G=B,h=c>则2=&D.若方/広,b//c）则方/汇

【答案】C

【答案解析】

利用平面向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解.

【过程详解】

选项A,向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出］=即该选项错误；

选项B,长度相等，向量可能不平行，，该选项错误；

选项C,3=&很=m显然可得出。=1，，该选项正确；

选项D,2/広石/先得不出万/疋，比如扇*不共线，且3=。，，该选项错误.

故选：C.

7.（2020•江苏高三专题练习）设万，B为非零向量，则“五〃3”是“2与B方向相同”的（)

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【答案解析】

根据向量共线性质判断即可.

【过程详解】

因为。，B为非零向量，所以石〃5时，,与B方向相同或相反，

因此"2//b''是'%与B方向相同'’的必要而不充分条件.

故选：B.

8.（2020•天津市军粮城中学高一月考）下列说法正确的是（）

A.a//b>则Z/G

B.起点相同的两个非零向量不平行

c.若归+可=冋+向,则G与B必共线

D.若万/広则Z与B的方向相同或相反

【答案】c

【答案解析】

对于A：当3时，不一定成立；

对于B：起点相同的两个非零向量，当他们的方向相同或相反时，这两个向量一定共线（平行）：

对于C：若卜+可=①+向，则£与3同向；

对于D：当£,B为零向量时，命题不正确.

【过程详解】

对于A：当3=6时，a//b>b//c>但£//"不一定成立，故A不正确；

对于B：起点相同的两个非零向量，当他们的方向相同或相反时，这两个向量一定共线（平行），故B不正

确；

对于c：若卜+可=向+|3|,则Z与3同向，即Z与B必共线，故c正确；

对于D：当Z，B为零向量时，命题不正确，故D不正确,

故选：c.

9.（2020•广东高三专题练习）在□中，已知点£是边Z8上靠近点力的一个三等分点，则頃=（）

A.-CB+-CAB.-CB--CAC.-CB--CAD.-CB+-CA

33333333

【答案】D

【答案解析】

直接利用向量加法的三角形法则即可求解.

【过程详解】

————1——1——1—7—

由题可得CE=CN+NE=C4+§/8=G4+5（C8-C4）=5C8+5ai,

故选：D.

10.（2020•海南鑫源高级中学高一期末）已知问=5,恸=4,£与g的夹角。=拳则£4=（）

A.10B.-10C.1073D.-10V3

【答案】B

【答案解析】

由平面向量数量积的定义可求解结果.

【过程详解】

由平面向量数量积的定义可得：=5x4xcosl20°=5x4x］-；］=-10.

故选：B

二、提升练习

—1——■

1.（2020•江苏镇江市•高一月考）已知正方形/8CZ）的边长为2,点尸满足NP=］（Z8+/C）,则开.而

的值为（）

A.2B.-4C.4D.25/2

【答案】C

【答案解析】

利用数量积的定义和性质，即可计算结果.

【过程详解】

由条件可知NA•存=丄（布+就）•石二丄彳戸+丄鳶•就

=万*,却+-X|T4B||/1C|XCOS450

IB

=2+-x2x2V2x—=4.

22

故选：C

2.（2020•江苏镇江市•高一月考）若向量£1满足：同=8加=4,且£与B的夹角为等，则否在£上的

投影向量为（）

1-J--

A.--aB.—aC.2aD.—2a

44

【答案】A

【答案解析】

先计算出g在々上的投影，然后对比忖即可得到对应的投影向量.

【过程详解】

因为书在々上的投影为Wcos<>=4cos”=一2，

又因为|耳=8,所以刃在£上的投影向量为

故选：A.

3九

3.（2020•晋中市•山西寿阳县一中高一月考）已知向量|引=百，出|=n，若5,B间的夹角为彳，则

忸一同=（）

A.730B.V61C.778D.屈

【答案】A

【答案解析】

由忻斗J（2力了,展开利用数量积公式求解即可.

【过程详解】

因为,卜6恸=遅，漏间的夹角为号，

所以12a一吋=J（2£_1）2=、4|d-4a-6+|^|，

又q♦BWcos=-3,

所以|2._,=丿4卜d-4a-6+1^1=V12+12+6=^30，

故选：A

4.（2020・河北高三其他模拟（文））已知正三角形Z8C的边长为2,点/满足两=丄9+3而，则

32

而.丽的值为（）

5行16口22r11

A.-B.—C.—D.—

3993

【答案】C

【答案解析】

找到两个基底B，CB，然后用两个基底向量表示忘，MB，再通过向量的运算即可得出结果.

【过程详解】

—————一（1—3—、2—3—

'：MA=CA-CM=CA-\-CA+-CB\=-CA——CB,

（32丿32

MB=CB-CM^CB-\-CA+-CB\=--CA--CB,

（32丿32

.•.応•丽=（g0一^可｛一；第一;可

=-^CA2+^-CB.CA+^CB2

964

2,1cc13“

=—x44--x2x2x——|——x4

9624

_22

~~9'

故选：C.

5.（2020•青海西宁市•湼川中学高一期末）已知|以|=6，|砺|=26，408=30。，若feR,则

|a+/而|的最小值为（）

A.6B.2GC.3D.6-2>/3

【答案】C

【答案解析】

由|刀+/N同=|（1-/）兩+/赤再平方转化为关于f的关系，即可根据二次函数性质求岀.

【过程详解】

向+/研=|（17）厉+.西?

二(1T)2而+27(1-河方+『砺2

=36(17)2+2*1T)X6X2GX三+12/

=12,一I)+9,

3—►—

则当，=］时，|。4+以8|取得最小值为3.

故选：C.

6.(2020・湖北武汉市第十一中学高一月考)已知。是口/5C所在平面内的一定点，动点尸满足

——(ABACy

OP=OA+A+,2e(0,+co),则动点P的轨迹一定通过口/8C的()

U幽\AC\)

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【答案】A

【答案解析】

表示的是G方向上的单位向量，画图象，根据图象可知点尸在N"4c的角平分线上，故动点尸必过三角

形的内心.

【过程详解】

4B4c

如图‘设同"入国”

己知行，次均为单位向量,

故四边形ZEOF为菱形，所以ZO平分NA4C,

——(ABAC}

由。尸=CM+/l+,2e(0,+oo)

[\AB\\AC\)

得万=4而，又万与而有公共点A,

故4。,尸三点共线，

所以点尸在NB/C的角平分线上，故动点P的轨迹经过口/BC的内心.

故选：A.

—►—»___ii._

7.(2020•江苏镇江市•高一月考)已知a力是平面上夹角为§的两个单位向量，c在该平面上，且

R-一@=o,则下列结论中正确的有()

rr

A.|a+S|=lB.a-b=1

C.£+5与"不可能垂直D.|c|<>/3

【答案】BCD

【答案解析】

因为3]是平面上夹角为:的两个单位向量，所以设方=*就=区，建立直角坐标系，然后利用平面向

量的坐标运算数形结合逐项分析即可.

【过程详解】

因为£石是平面上夹角为。的两个单位向量，所以设方=£,就=几建立如图所示直角坐标系:

AP^c,a-c=PB,b-c=PC,由=0,即方.卮=0,

所以点尸在以8c为直径的圆上，

所以故A错误；

,一N=P4=1,故B正确；

由图可知，£+3与工的夹角为锐角，所以Z+B与工不可能垂直，故c正确；

|窓|的最大值为：丄+立＜G，故D正确，

1122

故选：BCD

8.（2020•全国高考真题（理））设庁石为单位向量，且|2+3|=1,贝/。一»|=.

【答案】G

【答案解析】

整理已知可得：忖+@=而可，再利用£1为单位向量即可求得2Z/=—1，对卩一力|变形可得:

_2].[+忖，问题得解.

【过程详解】

因为*B为单位向量，所以口=M=1

所以+1=J口+By=+2£.]+卩/==i

解得：2ab^-\

所以卜―*J（力丫=桐2_2/+印=也

故答案为：也

9.（2020•江西吉安市•高三其他模拟（理））向量2,B满足同=1,忖=2,3与B的夹角为120。,则a-B卜

【答案】2月

【答案解析】

由于悔一可=J（22-By=J4J-42%+戸=丿4冋-4,/卜0$120。+W，然后代值求解即可

【过程详解】

解：因为向量不，5满足同=1，|可=2,万与B的夹角为120。，

所以122—可=y]（2a-b'）2-\4a'-4a-b+b'

=J41d-4,夫卜05120。+%

I(―

=J4xl-4xlx2x——+4

VI2丿

=y/\2=2V3，

故答案为：2百

10.(2020•江苏镇江市•高一月考)已知向量满足问=4，W=2,的夹角为6,

(1)若0=容求［伍+B)的值；

(2)若cos6=；,求B+xB|(xeR)的最小值.

【答案】(D12；(2)V15.

【答案解析】

(1)根据数量积的定义展开计算即可求得结果；

(2)采用先平方再开根号的方法先表示出R+xB］,然后根据二次函数的性质求解出口+x@的最小值.

【过程详解】

(1)a.(a+B)=］《+4.3=忖+|«|-|/?|cos^-=42+4X2X^-^-J=12；

(2)因为卜+xB卜Ja+x@=J4|+2x|a|-|^|cos^+x2|^|=74x2+4x+16>

所以|a+xB|=2Jx?+x+4=2J［x+丄］+—»

当》=——时,

2

三、真题练习

1.(2020•海南高考真题)在□NBC中，。是边上的中点，则丽=()

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

【答案解析】

根据向量的加减法运算法则算出即可.

【过程详解】

CB^CA+AB^CA+2Ab^CA+2（CD-CA）-2Cb-CA

故选：C

2.（2021•浙江高考真题）已知非零向量£広2则=W是"£=尸的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【答案解析】

考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【过程详解】

若a.c=b,c，则（a—b）c=0,推不出。=」；若a=B，则a.c=7,c必成立，

故"7"="""是"a=b"的必要不充分条件

故选：B.

3.（2020•全国高考真题（文））已知单位向量£,石的夹角为60。，则在下列向量中，与否垂直的是（）

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b

【答案】D

【答案解析】

根据平面向量数量积的定义、运算性质，结