专题1-1 类周期函数与函数对称性周期性补充练习（解析版）

专题1-1类周期函数与函数对称性周期性补充练习2019年全国Ⅱ卷（理）T12）——平移，伸缩变换设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是A． B．C． D．【答案】B【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．

【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲类周期函数重庆市巴蜀中学校2024届适应性月考（一）T7定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，求得在区间上，可得，作出函数的图象，结合图象，即可求解.【详解】由函数满足，且当时，当时，可得；当时，可得，所以在区间上，可得，作函数的图象，如图所示，所以当时，，故选：B.

设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出图示，求出当时，函数的解析式，求出成立的x的值，运用数形结合的思想可得选项．【详解】解：时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当时，，令，解得，所以要使对任意，都有，则，，故选：B．【点睛】易错点睛：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．已知定义在R上的函数满足，当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意可得当时，，且，令，解得或，结合图像即可得到结果.【详解】由得，因为当时，，所以；当时，，；当时，，；且，如图令，得或；若对任意，都有，结合图像则的取值范围是.故选：B.定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是()A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意首先得得到函数的具体表达式，由，所以，所以，再由可得出f（x）的表达式，在根据函数思维求出f（x）最小值解不等式即可.【详解】因为，所以，因为时，，所以,因为函数满足，所以，所以，，又因为，恒成立，故，解不等式可得或.深圳市高二下期末T15已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为.【答案】【分析】分别求出，，的解析式，画出的图象，由图象即可求解.【详解】当时，则，所以，即，当时，则，所以，即，则，当时，则，所以，即，画出的图象如下：

由图象可知，当时，方程在区间内有实数解，所以实数的取值范围为补充练习广东省珠海市2022-2023学年高二下学期期末设函数，实数满足不等式，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件判断函数关于对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.【详解】∵，∴，∴函数关于对称，又，∵，∴，∴恒成立，则是增函数，∵，∴，∴，得，故选：A2023秋·江苏南通·高三校考阶段练习已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】观察可发现为奇函数，所以将变形为，结合函数单调性解不等式即可【详解】令，，所以为奇函数，不等式，等价于，即，因为为奇函数，所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得：2024届·无锡市北高级中学10月阶段检测已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数进而判断为奇函数，且在R上是减函数，利用函数性质解不等式.【详解】构造函数．故函数定义域为,因为所以是奇函数，因为，且随的增加而增加,在上单调递减.，在上单调递减.故在区间上是减函数．因为是奇函数且，所以在R上是减函数．不等式等价于，即即，所以，故不等式解集为.设函数则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造，发现为奇函数，从而可得的对称中心为，得到，再通过求导可发现与在R上单调递增，继而求解不等式即可.【详解】假设，所以，所以，所以为奇函数，而，则其图象是的图象向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到的，所以的对称中心为，所以，因为，所以，易得，当且仅当时等号成立，而，则，所以恒成立，即在上单调递增，所以在R上单调递增，因为得，所以，解得.2016年全国2卷（文）T12已知函数f（x）（x∈）满足f（x）=f（2−x），若函数y=|x2−2x−3|与y=f（x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），则A．0 B．m C．2m D．4m【答案】B【详解】试题分析：因为的图像都关于对称，所以它们图像的交点也关于对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为，因此选B.2016年全国2卷（理）T12已知函数满足，若函数与图像的交点为则A．0 B． C． D．【答案】B【详解】[方法一]：直接法.由得关于对称，而也关于对称，∴对于每一组对称点，∴，故选B．[方法二]：特值法.由得不妨设因为，与函数的交点为∴当时，，故选B．[方法三]：构造法.设，则，故为奇函数.设，则，故为奇函数.∴对于每一组对称点.将，代入，即得∴，故选B．[方法四]：由题意得,函数和的图象都关于对称,所以两函数的交点也关于对称,对于每一组对称点和，都有.从而.2024届·江苏连云港&、南通质量调研(一)已知函数，若对任意，，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求导得出函数的单调性，然后结合函数的奇偶性可将不等式转换成不等式在上的恒成立问题，由此即可进一步求解.【详解】对函数求导得，对函数继续求导得，由基本不等式得，所以在上单调递增，又注意到，所以、随的变化情况如下表：由上表可知在上单调递减，在上单调递增，又函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数是偶函数，结合函数的单调性可知，成立当且仅当，而成立当且仅当，所以原问题转化成了对任意，不等式组恒成立，将不等式组变形为，所以对任意，只需，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，综上所述：满足题意的实数的取值范围是2024届·苏州市高三上学期期初调研已知函数定义域为，是奇函数，，，分别是函数，的导函数，函数在区间上单调递增，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由是奇函数，，令可求判断选项A，两边求导判断选项B，由，得到和的关系，求导判断选项C，利用单调性判断选项D.【详解】对于A，由是奇函数，则，令，有，A正确.对于B，由是奇函数，则，有，所以，B正确.对于C，由，有，，∴，∴，C错.对于D，由知关于直线对称，∵在上单调递增，∴在上单调递减，，当且仅当时取等号，令，则，解得，在上单调递增，则，即，有.令，，时，在上单调递减，所以，有，即.而，∴，D正确2023届·温州市11月第一次适应性考试定义在R上的函数满足，，若，则，．【答案】【分析】依题意可得，即可得到是以为周期的周期函数，再由，可得，即可求出，从而得到且，再根据，即可求出，，，最后利用并项求和法计算可得.【详解】解：因为，所以，所以，则，所以是以为周期的周期函数，所以，又，所以，又，所以，即且，由，所以，，，所以2023届·浙江省嘉兴市二模设函数的定义域为，其导函数为，若，则下列结论不一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意令可得，即函数图象关于对称，即可判断A；根据抽象函数的奇偶性和对称性可得函数的周期为2，即可判断BD；由知函数图象关于直线对称，举例说明即可判断C.【详解】A：令，得，则函数图象关于点对称.若，则函数图象关于点对称，符合题意，故A正确；B：由选项A的分析知，等式两边同时求导，得，即①，又，为偶函数，所以②，由①②得，所以函数的周期为2.所以，即，故B正确；C：由选项B的分析知，则函数图象关于直线对称.令，若，则函数图象关于直线对称，不符合题意，故C错误；D：由选项B的分析可知函数的周期为2，则，所以，故D正确.2023届·广东省广州市天河区三模（多选）设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则（

）．A．， B．C． D．【答案】AC【分析】由为奇函数，结合奇函数的性质判断A，由条件证明为周期为的函数，利用组合求和法求判断C，根据条件证明，由此判断BD.【详解】对A，又∵为奇函数，则图像关于对称，且，所以，A正确；对于C，∵，则，则，又，所以，令，可得，即.所以，又所以，所以，∴的周期，所以，由可得，，，，所以，，∴，C正确；对B，，则是周期的函数，，B错误；对D，，，所以，所以，D错误.2024届·广东省广州市越秀区高三上学期十月月考数学试题（多选）已知函数是定义域为的偶函数，是奇函数，则下列结论正确的是（

）A． B．C．是以4为周期的函数 D．的图象关于对称【答案】ACD【分析】利用函数奇偶函数的性质，结合特殊值代入法、函数周期和对称性的性质逐一判断即可.【详解】因为函数是定义域为的偶函数，所以，因为是奇函数，所以，将换成，则有，A：令，所以，因此本选项正确；B：因为，所以函数关于点对称，由，可得，的值不确定，因此不能确定的值，所以本选项不正确；由，可得C：因为，所以，所以，因此是以4为周期的函数，因此本选项正确；D：因为，所以，因此有，所以函数的图象关于对称，由上可知是以4为周期的函数，所以的图象也关于对称，因此本选项正确2023盐城三模T12——同时求导(多选)设函数为上的奇函数，为的导函数，，，则下列说法中一定正确的有（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由为上的奇函数，，可得的性质，可判断A，B；对，求导可得导函数的性质，即可判断C，D.【详解】因为函数为上的奇函数，所以，因为，，所以当得，所以，故A正确；又，可得，则，所以函数关于直线对称，故的值无法确定，故B不正确；因为，则①，所以关于轴对称，又，所以，即，所以关于点对称，则②，由①②得，所以，则，故的周期为6，由②可得，即，所以，故C正确；由②得，所以，则，故D正确.湖南师范大学附属中学2024届高三上学期摸底考试T8已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】先利用定义确定函数为偶函数，再利用单调性证明在上为增函数，所以不等式化简为，转化为在上恒成立，求出的取值范围.【详解】函数的定义域为，且，所以为偶函数.又当时,是增函数，任取，且，，，所以在上是增函数，即在上是增函数.所以不等式对任意恒成立，转化为，即，从而转化为和在上恒成立①若在上恒成立，则，解得；②若在上恒成立，，则，解得；综上所述，实数的取值范围是.2024届巴蜀中学月考（一）已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为.【答案】【分析】根据函数为奇函数且为增函数得，则有，求出右边最小值即可.【详解】因为的定义域为，且，所以函数是奇函数，由，所以函数为上单调递增的奇函数，所以不等式对任意均成立等价于，即，即对任意均成立，又，当且仅当时取等号，所以的取值范围为.故答案为:（多选）已知定义在上的函数的导函数为，，，且为奇函数，为偶函数，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用函数的奇偶性，对称性，周期性，导数几何意义，即可逐个选项判断.【详解】因为为奇函数，为偶函数，所以，，所以关于对称，关于对称，关于对称，又，则关于对称，所以是以为周期的函数，令，则，得，A正确；令，则，B错误；因为，所以，C正确；因为，所以，D错误.（多选）已知函数在上单调递增，且其图象关于点中心对称，则下列结论正确的是（

）A． B．若，则C．的图象关于直线轴对称 D．若，则【答案】BC【分析】对于A：根据对称性分析判断即可；对于B：构建，结合奇函数以及单调性分析判断；对于C：