重难点专题42 圆锥曲线焦点弦二级结论十大题型汇总（解析版）

重难点专题42圆锥曲线焦点弦二级结论十大题型汇总题型1圆锥曲线通径二级结论 1题型2椭圆焦点弦三角形周长二级结论 5题型3双曲线焦点弦周长二级结论（同支） 12题型4双曲线焦点弦周长问题二级结论（不同支） 19题型5椭圆倾斜角式焦点弦长二级结论 23题型6双曲线倾斜角式焦点弦长二级结论 29题型7抛物线倾斜角式焦点弦长二级结论 33题型8椭圆、双曲线点坐标式焦半径公式二级结论 40题型9抛物线点坐标式焦半径公式二级结论 44题型10焦点弦定比分点求离心率二级结论 46题型1圆锥曲线通径二级结论椭圆，双曲线的通径长AB=【例题1】（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由过椭圆焦点的最短弦所在直线不垂直y轴，设出其方程并与椭圆方程联立求出直线被椭圆所截弦长即可推理作答.【详解】显然过椭圆焦点的最短弦所在直线l不垂直y轴，设l的方程为：x=my+c，由消去x并整理得：，设直线l与椭圆交于点，则有，则有，当且仅当时取“=”，于是，当，即直线l垂直于x轴时，，所以过椭圆的焦点的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是.故选：A【变式1-1】1.（2021秋·河北邯郸·高三校考阶段练习）已知过椭圆x2a2+y2b2=1(A．53 B．32 C．22【答案】D【分析】把x=-c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2【详解】由题意知点P的坐标为（-c，b∵∠F∴2cb即2ac=∴3e∴e=33故选D．【点睛】】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属中档题．【变式1-1】2.（2023秋·四川内江·高三期末）椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】先求出、的坐标，再由轴，可求出，再由勾股定理可求出，然后利用等面积法可求得结果.【详解】由，得，所以，所以，，当时，，解得，因为轴，所以，所以，设到直线的距离为，因为，所以，解得，故选：A【变式1-1】3.（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的通径长公式计算．【详解】由已知，双曲线的通径长，故选：B.【变式1-1】4.（2022·全国·高三专题练习）抛物线的通径（过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦）的长为．【答案】【分析】先求出抛物线的焦点坐标，然后求解过焦点且与对称轴垂直的弦长得到答案.【详解】抛物线的焦点(1,0)，当时，可得：，解得．所以过焦点且与对称轴垂直的弦的两个端点坐标为所以过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦长为4．故答案为：4．【变式1-1】5.（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，过F且垂直于y轴的直线与C相交于A，B两点，若△AOB(O为坐标原点)的面积为18，则p＝．【答案】6【分析】首先根据条件求点的坐标，再代入面积公式，即可求解.【详解】抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F(0，)，将y＝代入x2＝2py可得x＝±p，即有A(p，)，B(－p，)，所以＝2p，所以S△AOB＝××2p＝18，解得p＝6.故答案为：6【变式1-1】6.（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】先求过左焦点的通径长度，由椭圆的性质：过左焦点的弦长最短为通径长，最长为长轴长，结合已知弦长判断直线的条数即可.【详解】左焦点为，若直线垂直x轴，则直线为，代入椭圆方程得，可得，此时通径长，所以，由椭圆性质知：的直线有仅只有一条.故选：B题型2椭圆焦点弦三角形周长二级结论1．F1 , F2为椭圆C:x2a2.F1 , F2为椭圆C:x2a注意：椭圆的焦点弦三角形周长为定值，即长轴长的2倍，与过焦点的直线的倾斜角无关．【例题2】（2022·全国·高三专题练习）如图，椭圆C:x24+y23=1的左焦点为【答案】8【分析】确定a=2，利用椭圆的定义可推得△ABF2的周长为【详解】由x24+由椭圆定义可得|AF1故△ABF=2a所以△ABF【变式2-1】1.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22，过F1作直线l交C于A,B两点，且ΔABF【答案】x【详解】试题分析：依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝ca＝22，∴c＝22，∴∴椭圆C的方程为x【变式2-1】2.椭圆焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ长为10，ΔPA．33 B．13 C．23【答案】C【详解】试题分析：设椭圆方程为x2a2+P、Q坐标为：M(-c,b2a),N(-c,-所以，2·b2a=10，△PF2Q的周长为|PF2|=|F2Q|=a2=b2所以(a-9)(a+4)=0因为a>0,所以，a=9，椭圆的离心率为23，故选C考点：本题主要考查了椭圆的标准方程、几何性质．点评：过F1的最短弦PQ垂直于x轴，另外，由椭圆的对称性，△PF2【变式2-1】3.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、A．4 B．5 C．16 D．32【答案】C【分析】根据短轴长得出b值，再根据离心率得到a值，再利用椭圆定义则得到三角形周长.【详解】由题意，椭圆x2a2+y2所以c2a2=a2-b所以△ABF2故选：C.【变式2-1】4.（2020下·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过点F1的直线交椭圆于A．x25+y24=1 B．【答案】A【分析】根据椭圆的定义及△F2AB的周长为45，可求出a=5，根据F1，C是线段AB的三等分点，利用中点坐标公式可先求出点【详解】由椭圆的定义，得AF△F2AB的周长A所以椭圆E:不妨令点C是F1A的中点，点A在第一象限，因为所以点A的横坐标为c，所以c25+y2由中点坐标公式可得B(-2c,-b24c25+b420所以5-c2=20-16c2所以，椭圆的方程为x2故选：A.【点睛】本题主要考查椭圆的定义，中点坐标公式，关键是利用中点坐标求相应点的坐标，用点在曲线上求出b2【变式2-1】5.（2014·全国·高考真题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2离心率为33A．x23+y22=1 B．【答案】A【详解】若△AF1B的周长为43,由椭圆的定义可知4a=43∵e=c∴b所以方程为x23考点：椭圆方程及性质【变式2-1】6.古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为43π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2A．y216+xC．x216+【答案】A【分析】由题中所给结论得ab=43，由△F2AB的周长为【详解】依题意得4×43ππ由△F2AB的周长为16结合椭圆定义可得4a=16又椭圆焦点在y轴上，故椭圆方程为y2故选：A.【变式2-1】7.（2014·安徽·高考真题）设F1,F2分别是椭圆E：x2a2+yb（1）若|AB|=4,ΔABF2（2）若cos∠AF2【答案】（1）5；（2）22【详解】试题分析：（1）由题意|AF1|=3|F1B|,|AB|=4可以求得|AF1|=3,|F1B|=1，而ΔABF2的周长为16，再由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|A（1）由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4，得|A（2）设|F1B|=k，则k>0在ΔABF2中，由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|⋅|BF2|考点：1.椭圆的定义；2.椭圆的离心率求解.【变式2-1】8.（2022·全国·高三专题练习）已知直线l经过椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，MN2=4|AB|，求证：直线m与直线【答案】(1)x(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆定义与右焦点坐标可得到椭圆方程；（2）设直线与椭圆联立，利用弦长公式得到|MN|2与AB的表达式，根据两者关系解出t值，最后联立两直线解得横坐标为定值1【详解】（1）由已知，得c=14a=8，∴∴椭圆C的标准方程为x2（2）证明：若直线l的斜率不存在，则直线m的斜率也不存在，这与直线m与直线l相交于点P矛盾，∴直线l的斜率存在,又因为两直线倾斜角互补，所以直线l斜率不为0.设l:y=AxA,yA，B将直线m的方程代入椭圆方程y=-k(∴xM+∴|MN同理，|AB|=1+k2⋅4即k2t2=0，此时，Δ=64k4t2联立直线l方程解得P12,-12【点睛】椭圆中弦长公式在圆锥曲线难题中经常用，对于互补的直线可以采取换元，用-k换k代换直接得到另一弦长公式，有时候定直线问题可以采取先猜后证的方法题型3双曲线焦点弦周长二级结论（同支）同支问题：F1 , F2为双曲线C:x2a2-证明：由双曲线的第一定义知，AF2-AF1=2a由①②③，得AF2+BF2【例题3】（2022·全国·高三专题练习）椭圆y249+x224=1与双曲线y【答案】24【分析】根据椭圆与双曲线方程得到椭圆与双曲线具有共同的焦点F10,5，从而得到P与双曲线两焦点的距离之和PF1+P【详解】由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F10,5，由椭圆定义可知：PF故P与双曲线两焦点的距离之和为14，又F1因此P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为14+10=24.故答案为：24【变式3-1】1.（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（

）A．26 B．21 C．16 D．5【答案】A【分析】根据双曲线的定义求|AF2|＋|BF2|，由此可求△ABF2的周长.【详解】解析：|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.故选：A.【变式3-1】2.如图双曲线C:x2-y23=1的焦点为F1､F(1)求弦长AB的值；(2)求△AB【答案】(1)3(2)3【分析】（1）联立直线l与椭圆的方程，消元整理得8x（2）根据双曲线的定义可求得三角形的周长.【详解】（1）解：因为双曲线C:x2-y设Ax联立y=33∴AB（2）解：记△ABF2的周长为C∵BF2=x∴BF2=2同理：点A在左支，∴A∴∴【变式3-1】3.已知双曲线的左、右焦点分别为F1､F2，在左支上F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△A．26 B．21 C．16 D．5【答案】A【分析】根据双曲线的定义求|AF2|＋|BF2|，由此可求△ABF2的周长.【详解】解析：|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.故选：A.【变式3-1】4.如果F1、F2分别是双曲线x216-y29【答案】28【分析】本题涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，可用定义处理，由定义知AF2-AF1=8①【详解】解：由题意知：a=4,b=3由双曲线的定义知AF2-AF①＋②得：AF2+所以△ABF2故答案为：28.【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，一般用定义处理.【变式3-1】5.（2022·全国·高三专题练习）若F1,F2分别是双曲线x2m-y27=1的左、右焦点，AB【答案】9【分析】根据双曲线定义得到AF2+BF2=4m【详解】由题意得m>0根据双曲线定义得AF2上述两式相加得AF即AF2+∴AF∴△ABF2周长=故答案为：9.【变式3-1】6.已知双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1，F(1)AB的长；(2)△F【答案】(1)3(2)3+3【分析】（1）设A(x1，y1)，B(x（2）求出A，B的坐标，由两点的距离，即可得到△F2【详解】（1）解：∵双曲线的左焦点为F1(-2,0)，设A(x1，y则直线AB的方程为y=代入方程x2-y∴x1+∴|AB（2）解：F2(2,0)，不妨设由（1）可得A(1+334，3+33则△F2AB【变式3-1】7.已知双曲线C经过点P3,2，它的两条渐近线分别为x+(1)求双曲线C的标准方程；(2)设双曲线C的左､右焦点分别为F1､F2，过左焦点F1作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求【答案】(1)x(2)16【分析】（1）设双曲线C的方程为x2-3（2）当直线l的斜率不存在时l:x=-2，可得A､B的坐标及△ABC的周长；当直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x+2)，与双曲线方程联立，【详解】（1）设双曲线C的方程为x2代入点P(3,2)所以双曲线C的标准方程为x2（2）双曲线C的左焦点为F1设A(x1①若直线l的斜率不存在，则l:x=-2，得A､B的坐标分别为(-2,此时△ABC的周长为16②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=由{y=k因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，所以{1-3得k设△ABF2z=4=4=43设t=3k2-1z=43+4所以z∈(综上，由①②可得△ABF2题型4双曲线焦点弦周长问题二级结论（不同支）双曲线异支焦点弦三角形周长【结论3】如图，F1 , F2为双曲线C:x2a2-y2b证明：令AF2=u , BF2=又cos∠AF∴b2-auu=b2+avv , ∴b2u-【例题4】（2021·浙江·统考一模）如图所示，F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0A．2B．15C．13D．3【答案】C【分析】不妨令AB=3，|BF2|=4，|AF【详解】∵|AB|：|BF2∵|AB|2又由双曲线的定义得：BF1-∴AF∴|BF1在Rt△BF又|F1F2∴双曲线的离心率e=故选;C【变式4-1】1.（2021下·安徽安庆·高三校联考阶段练习）已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2A．23 B．33 C．43【答案】A【分析】利用双曲线的定义求出a=1，进而得出AF【详解】∵BF1-B∵AF2=4，因为AF2-AF∴S△故选：A【变式4-1】2.（2021·高三课时练习）已知双曲线C:x2-y23=1的右焦点为F，P是双曲线A．2+42 B．C．32 D．【答案】A【分析】设双曲线C的左焦点为F1，则PF-PF1=2a，则由题意可得△PFM的周长为MF+【详解】设双曲线C的左焦点为F1，则PF-PF1∴PF=2+PF1，∴MF=22，△PFM∵当M，P，F1三点共线时，MP+P∴△PFM的周长的最小值为2+4故选：A【变式4-1】3.已知F1、F2分别是双曲线x23-y26=1（Ⅰ）求线段AB的长；（Ⅱ）求△A【答案】（1）1653；（2）【分析】（1）运用联立方程法结合弦长公式求解即可；（2）根据（1）中的结果，结合双曲线的定义，列等式可求解三角形的周长.【详解】解：（1）由双曲线的方程得F1(-3,0)，F直线AB的方程为y将其代入双曲线方程消去y得，5x2+6∴|AB（2）由题意不妨设点A在双曲线的左支上，则△ABl△根据双曲线的定义，Al由方程①解得点A的坐标为（-3，-23∴题型5椭圆倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论1.圆锥曲线的角度式焦半径公式与焦点弦公式设直线l过圆锥曲线焦点F且交圆锥曲线于A , B两点，不妨设AF>BF，若已知直线AF=即圆锥曲线的焦半径公式与焦点弦公式分别为：AF=二级结论2.椭圆的倾斜角式焦点弦长公式：（1）F1 , F2为椭圆C:x2a2+y（2）F1 , F2为椭圆C:y2a2+x说明：特殊情形，当倾斜角为θ=90°时，即为椭圆的通径，通径长AB圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：设直线l过圆锥曲线焦点F且交圆锥曲线于A , B两点，若已知直线l倾斜角为θ，设圆锥曲线通径为【例题5】（2022·全国·高三专题练习）如图，F1 , F2为椭圆C:x2a2+y【答案】2【分析】由椭圆定义，结合余弦定理即可得出．【详解】连结F2A,F2B，由椭圆定义得F2A=2在△AF1F2则a-ccos同理在△BF1则弦长AB=【变式5-1】1.经过椭圆x22+y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A【答案】8【解析】求出椭圆的左焦点F1(-1,0)，根据点斜式设出AB方程，联立直线方程与椭圆方程消去y，利用根与系数的关系和弦长公式即可算出弦【详解】∵椭圆方程为x2∴焦点分别为F1(-1,0)，∵直线AB过左焦点F1倾斜角为60°∴直线AB的方程为y=将AB方程与椭圆方程消去y，得7设A(x1，y1)x1+∴|因此，|AB故答案为：8【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.【变式5-1】5.（2022上·全国·高二专题练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为3【答案】钝角三角形【分析】由椭圆的离心率可求得b2=2a23，从而可表示出椭圆方程，求出右焦点坐标，则可表示出直线l【详解】由椭圆的离心率可得a2-则椭圆的方程为x椭圆的右焦点为F33a，由x2a设Ax1则y===-则OA⋅所以∠AOB所以△AOB(其中O为原点)故答案为：钝角三角形【变式5-1】3.（2022上·全国·高三专题练习）椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2，斜率为【答案】[【分析】设A(x1,y1),B(【详解】如图示，由椭圆定义可得|A则△ABF2的周长为4a,设△ABF2内切圆半径为r，△故2π=2πr由题意得12×4

得y1-y2=所以由AB=1+1故答案为：8【变式5-1】4.（2022·全国·高三专题练习）过椭圆3x2+4y2=48椭圆的左焦点引直线交椭圆于【答案】3x+2【分析】设直线AB的倾斜角为θ，由焦点弦公式可得斜率，即可得解.【详解】椭圆3x2+4y2=设直线AB的倾斜角为θ，则由焦点弦弦长公式可得|AB|=2所以该直线的倾斜角为tanθ则直线AB：y=32即3x+2y【变式5-1】5.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆x29+y28=1的左右焦点分别为F1 , F【答案】24【分析】设出直线方程，求出点F2到直线AB的距离，再根据结论求出|AB【详解】直线PF1的方程为y=-2x-2，设其倾斜角为θ，则k=-2由椭圆方程x29+y28=1，可得a=3，F2到直线AB的距离h=2×1+0+222+1所以△ABF2【变式5-1】6.（2023·四川广安·统考模拟预测）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点F与椭圆x225+y216=1的右焦点重合．斜率为kk>0直线A．3x-yC．3x-y【答案】A【分析】根据椭圆方程求得F，写出直线l的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合抛物线的定义求得k，由此求得直线l的方程.【详解】椭圆x225+y216=1，c=25-16设Ax1,y1联立y=k(x-3)则x1∵|AF∵∵因此直线l的方程是3x故选：A.题型6双曲线倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论：曲线的倾斜角式焦点弦长公式：（1）F1 , F2为双曲线C:x2a2-y（2）F1 , F2为双曲线C:y2a2-x说明：特殊情形，当倾斜角为θ=90°时，即为双曲线的通径，通径长2圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：设直线l过圆锥曲线焦点F且交圆锥曲线于A , B两点，若已知直线l倾斜角为θ，设圆锥曲线通径为【例题6】（2022·全国·高三专题练习）设双曲线x2a2-y2b2=1a>0 , b>0，其中两焦点坐标为【答案】答案见解析【分析】分别讨论当直线与双曲线的交点在同一支上或在两支上时的焦半径长度，结合焦点三角形的性质可得解.【详解】当arctanba<θ<π-arctanb连接F2A，F2B，设由双曲线定义可得F2A=2由余弦定理可得m2+2c2则可求得弦长AB=当0≤θ<arctanba或π-arctanba连接F2A，F2B，设由双曲线定义可得F2A=2由余弦定理可得m2+2同理n2+2则可求得弦长AB=因此焦点在x轴的焦点弦长公式：AB=【变式6-1】1.（2022·全国·高三专题练习）过双曲线x24-y28=1的右焦点F【答案】AB【分析】利用公式AB=【详解】解：双曲线x24-y28=1利用公式AB=2a【变式6-1】2.（2022·全国·高三专题练习）过双曲线x2-y2=4的右焦点F作倾斜角为150°【答案】8【分析】利用双曲线的焦点弦长公式，根据已知条件直接得出弦长．【详解】由双曲线x2-y2所以AB=【变式6-1】3.（2022·全国·高三专题练习）过双曲线x24-y28=1的右焦点F【答案】AB【分析】利用公式AB=【详解】解：双曲线x24-y28=1利用公式AB=2a【变式6-1】4.（2022·全国·高三专题练习）过双曲线x2-y2=4的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A【答案】8【分析】利用双曲线的焦点弦长公式，根据已知条件直接得出弦长．【详解】由双曲线x2-y2所以AB=【变式6-1】5.（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线x23-y22=1的左右焦点分别为F1，F2，若过点P（0，-2）及F1【答案】12【分析】求出直线方程，求出点F2到直线AB的距离，再根据结论求出|AB【详解】x23-y2所以直线AB方程为y+20+2=点F25,0到直线AB又|AB所以S△题型7抛物线倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论：1.抛物线的焦点弦长：AB=2.过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A,B两点，则：引伸：M(a,0)(a>0)在抛物线Ax1,3.|AB|=2psin2α(α是直线AB与焦点所在轴的夹角)=x1+x2+p4.AF=λBF，则有cosθ【例题7】（2022·全国·高三专题练习）如图，抛物线y2=2pxp>0与过焦点Fp2,0的直线l相交于【答案】AB【分析】设FA=m，FB=n，可得xA=p2【详解】设FA=m，FB=n，则由抛物线定义知：FA=xA∴m=p∴AB【变式7-1】1.（2020·山东·统考高考真题）斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=．【答案】16【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为y2=4x，∴抛物线的焦点F又∵直线AB过焦点F且斜率为3，∴直线AB的方程为：y代入抛物线方程消去y并化简得3x解法一：解得x1所以|解法二：Δ设A(x1过A,B分别作准线x=-1的垂线，设垂足分别为|AB|=|故答案为：16【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.【变式7-1】2.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1,l2，直线l1与C交于A,B两点，直线A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【分析】设l1的方程为x=my+1，Ax1,y1，Bx2【详解】因为两条互相垂直的直线l1,l2所以设l1的方程为x=my+1，联立y2=4xx=则|AB同理|PQ|AB|+|PQ|=42+m2故选：A【点睛】关键点点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．【变式7-1】3.（2021上·江西·高三校联考阶段练习）过抛物线y2=2pxp>0的焦点F作倾斜角为θθ≠π2的直线，交抛物线于A（1）求抛物线的方程；（2）试问在x轴上是否存在异于F点的定点P，使得FA⋅PB=FB【答案】（1）y2=4x；（2）存在点P【分析】（1）根据平面几何性质求得A2+p（2）设直线FA的方程与抛物线的方程联立，进而用y1,y2分别表示出FA,PB【详解】（1）设FA的中点为C，过C作CE⊥x轴于E，连接CT，因为以FA为直径的圆与y轴相切于点T0,3，所以CT⊥y于T，故CE=OT=3，因为θ=π3，即∠CFE=π（2）设Px0,0，且F1,0,由题意可知直线FA斜率不为0，故设直线FA：x=my+1，所以x=my+1y2=4x，联立得y2-4my-4=0，设Ax1,y1,Bx2,y2，则【点睛】求定值（定点）问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值（点）与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值（定点）．【变式7-1】4.（2020·四川遂宁·统考二模）过抛物线y2=2pxp>0的焦点F作直线交抛物线于M，N两点（M，N的横坐标不相等），弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若MNA．14 B．16 C．18 D．20【答案】D【分析】利用点差法，得到弦所在直线的斜率与弦中点纵坐标的关系式，再结合抛物线的定义即求.【详解】设Mx1,y1，Nx2则y1所以y12-则kMN所以弦MN的垂直平分线为y-令y=0，则xH=又MN=所以HF=20故选：D．【变式7-1】5.设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|，则l的方程为A．y=x-1或y=-x+1B．y=33（X-1）或y=-33C．y=3（x-1）或y=-3（x-1D．y=22（x-1）或y=-22【答案】C【详解】设A(x1,y1),B(x2,y2),又F(1,0),则AF=(1-x1,-y1),FB=(x2-1,y2),由题意知AF=3FB,因此{即{又由A、B均在抛物线上知{解得{直线l的斜率为±233因此直线l的方程为y=3(x-1)或y=-3(x-1).故选C.【变式7-1】6.（2022·全国·高三专题练习）已知点F和直线l是离心率为e的双曲线C的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为p．过点F的弦AB与曲线C的焦点所在的轴的夹角为θ0°<θ≤90°，则有【答案】答案见解析【分析】结合双曲线的定义，通过讨论焦点F内分、外分弦AB两种情况，即可证明．【详解】设点A，B，F在准线l上的射影分别为A1，B1，H，l与曲线C的焦点所在的轴交于点H．过点F作HF的垂线交直线AA1于点M，交直线BB1于点（1）当焦点F内分弦AB时，如图，AA1=A1M+因此AFe=p所以焦半径AF=ep1-所以AB=（2）当焦点F外分弦AB时，如图，AA1=BB1=所以AFe=AF焦半径AF=epe所以AB=综合（1）（2）知，AB=题型8椭圆、双曲线点坐标式焦半径公式二级结论一．椭圆的焦半径及其应用：1.焦半径公式：Px0，y0是椭圆x2a2+y2b2Px0，y0是椭圆y2a2+x2b22.椭圆的坐标式焦点弦长公式：（1）椭圆x2AB=2a+exA（2）椭圆y2AB=2a-ey二．双曲线的焦半径及其应用：1:定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径.2.当点P在双曲线上时的焦半径公式，(其中F1 为左焦点，F2为右焦点)它是由第二定义导出的，其中a是实半轴长，e是离心率，x0当焦点在x轴，P在左支时：PF1=-当焦点在x轴，P在右支时：PF1=当焦点在y轴:P在上支时：PF1当焦点在y轴:P在下支时：PF1三．双曲线的坐标式焦点弦长公式：（1）双曲线x2同支弦AB=exA+（2）双曲线y2同支弦AB=eyA+【例题8】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆x2a2+y【答案】AB=2a+【分析】由焦半径公式即可得焦点弦公式【详解】设Ax1, y1 【点睛】（1）只需要两根和，即可求得弦长．（2）椭圆x2|AB|=2a+e椭圆y2AB=2a-【变式8-1】1.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆x22+y21=1的左右焦点分别为F1，F2，若过点P【答案】AB【分析】由椭圆的焦点弦长公式可得AB=2a+e(x【详解】由题意，a=2,则直线AB的方程为x-1+令A(x1,y直线方程与椭圆方程联立y=-2x-2x2所以AB=【点睛】（1）从椭圆的标准方程看出焦点的位置，合理选择椭圆的焦点弦长公式．（2）一般弦长公式对椭圆的焦点弦长仍然适用，但是计算繁琐，直接利用椭圆的焦点弦长公式就更为简捷．【变式8-1】2.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆x249+y213=1，若过左焦点的直线交椭圆于A，B两点，且A【答案】AB【分析】利用椭圆焦半径公式求得焦点弦长.【详解】由已知得a=7，b=13，所以离心率e=AB=【变式8-1】3.（2022·全国·高三专题练习）设双曲线x2a2-y2b2=1(【答案】答案见解析【分析】讨论弦AB所在直线的斜率k存在,以及直线与同支、异支相交，结合第二定义即可得到弦长.【详解】（1）当弦AB所在直线的斜率k存在时，设直线AB为y=k(x-c)，双曲线方程x2a2-将直线y=k(x-c)代入①整理得，-a设A(x当k>ba时，弦AB的两个端点同在右支曲线上(如图1)∴|AB当0≤k<ba时，弦AB的两个端点在左右两支曲线上(如图|AB（2）当弦AB所在直线的斜率k不存在时，弦AB与x轴垂直，|AB题型9抛物线点坐标式焦半径公式二级结论抛物线的坐标式焦点弦长公式：（1）抛物线y2=2px（2）抛物线y2=-2px（3）抛物线x2=2py（4）抛物线x2=-2py【例题9】（2021·河北·高三专题练习）过抛物线y2=2pxp>0的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点，若线段【答案】2【详解】设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－p2，把y＝x－p2代入y2＝2px，得x2－3px＋14p2＝0，∴x1＋x2＝3p，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p【变式9-1】1.（2023·北京·人大附中校考三模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则．【答案】【分析】根据抛物线定义有，结合已知即可求参数p的值.【详解】由抛物线定义知：，而AB的中点横坐标为4，即，所以，即.故答案为：【变式9-1】2.（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，则过点且斜率为的直线截抛物线所得弦长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理以及抛物线的定义可求出结果.【详解】由可得，准线方程为，直线，联立，消去并整理得，，设直线与抛物线的两个交点为，，则，所以直线截抛物线所得弦长为.故选：B题型10焦点弦定比分点求离心率二级结论1.点F是椭圆的焦点，过F的弦AB与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,θϵ(0,π2)，k为直线AB的斜率，且当曲线焦点在y轴上时，e=1+注：λ=AFBF或者λ=BFAF,而不是2.过F弦AB与双曲线焦点所在轴夹角为θ,θϵ(0,π2)，k为直线AB斜率，且当曲线焦点在y轴上时，e=1+【例题10】（23·24高三上·云南·阶段练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且倾斜角为60°的直线l与【答案】2【分析】由△AF1F2的面积是△BF1F2面积的2倍，得到AF2=2【详解】如图，由△AF1F2的面积是△不妨设AF2=2x，BF2=在△AF1F2中，得4x2+4c在△BF1F2中，得x2+4c2①+②×2得x=3a整理得c2-a故C的离心率为23故答案为：2【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于找到a,c之间的关系，解答时要注意利用△AF1F2的面积是△BF1F2【变式10-1】1.（2022上·辽宁鞍山·高三鞍山一中校考期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的左焦点为F，过F斜率为3的直线l与椭圆C相交于【答案】25【分析】设Ax1,y1,Bx2,y【详解】因为直线AB过F(-c,0)且斜率为3，所以直线AB与椭圆C：x2a2+y设Ax1因为AFBF=32消去y2并化简整理得：24将b2=a2-因此，该双曲线的离心率e=故答案为：25【变式10-1】2.（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，过FA．58 B．65 C．75【答案】B【分析】设双曲线C:x2a2-y2b2=1的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥【详解】设双曲线C:x2过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，如图所示：因为直线AB的斜率为3，所以直线AB的倾斜角为60°，∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义得：AM-又∵AF=4∴3e∴e故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.【变式10-1】3.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求椭圆的离心率；(2)若|AB【答案】(1)2(2)x【分析】（1）由圆锥曲线焦点弦的重要公式ecosθ（2）由圆锥曲线焦点弦的弦长公式|AB|=【详解】（1）圆锥曲线焦点弦的重要公式ecosθ=λ-1λ所以θ=60∘所以ecos60∘（2）将e=|AB|=2ep1-因为p=a2c-所以椭圆方程为：x2【变式10-1】4.（2023·贵州·统考模拟预测）椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．12 B．35 C．22【答案】A【分析】根据向量关系得到A,B,F【详解】因为3AF+5BF=0，所以不妨设Fc,0，则AF=由3AF+5BF=0故B8将其代入C:x2a2故离心率为12故选：A1.（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知椭圆x2a2+y2b2=1的右焦点为FA．12 B．22 C．23【答案】C【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与GF2=2F2H构建出关于a【详解】设F2c,0，Gx1,y1，直线方程为y=3x可得a2根据韦达定理：y1+y因为GF2=2F2所以y1即4c23a2可得4a2=9故选：C.2.（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为【答案】3【分析】由题意设双曲线的方程为x2a2-3联立方程，设Ax1,y1【详解】因为ca所以3b2=13设过左焦点F且斜率为k>0的直线为x=1与双曲线x2a2设Ax1,因为|FA所以y1所以4y消去y2得169×64×3化简得1213-3k2因为k>0所以k=故答案为：33.（多选）（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为e，左、右焦点分别为FA．PFB．eC．若P在以F1FD．若PF1=Q【答案】AD【分析】根据双曲线的定义求解判断A，由由双曲线的性质PF2≥c-a求解判断B，利用勾股定理求得ba【详解】由双曲线定义知PF1-由双曲线的性质PF2≥c-a（P为右顶点时取等号），本题中所以e∈(1,3)，B若P在以F1F2为直径的圆上，即PF1所以(4a)2+(2a)2=(2c若PF1=QF△PF1F2△QF1cos∠PF2F1+cos∠PF2F1=所以tan∠PF2F1=故选：AD．4.（2021·四川成都·石室中学校考三模）已知直线经过抛物线y2=2pxp>0的焦点F并交抛物线于A，B两点，则AF=4，且在抛物线的准线上的一点【答案】2【分析】由所给向量关系可得点C在直线AB上，过点A，B分别作抛物线准线的垂线，结合抛物线定义求出∠ACN=【详解】过点A，B作抛物线y2=2pxp>0准线x=-p2的垂线，垂足分别为

则有|AN|=|AF|,|BM|=|BF|，因点于是有|CB|=2|BM|，得∠ACN=30而FK//AN，则有|FK|=所以p=2故答案为：25.（2020·全国·校联考模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)（1）求C的标准方程；（2）过F1且斜率为kk>0的直线l与椭圆C交于P,Q两点，点D在y轴上，且满足PD=QD【答案】（1）x26+y2【分析】（1）由△A1B1F1与（2）设直线l的方程为y=k(x+2)(k>0)，联立椭圆方程，由根与系数关系求x1+x【详解】（1）设F1(-c整理得ca=将(3,1)代入C的方程，得由①②及a2=b2+故C的标准方程为x2（2）由（1）知F1(-2,0)，则直线l的方程为联立直线l与椭圆C的方程，得x2消去y可得3k2+1设Px1,则x1+x所以|1+k易知点E(0,-2)到直线l的距离d设线段PQ的中点为N，则xN即N-所以线段PQ垂直平分线的方程为y-因为|PD|=|QD|，所以点令x=0，得y=-所以Skk+当且仅当k=1k故△EPQ与△A2【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线最值问题的常用方法有三种：一是转化为函数的最值问题，先引入变量，构建与待求量有关的函数，然后求最值；二是转化为基本不等式问题，利用不等关系构建不等式并求解；三是利用圆锥曲线的几何性质及数形结合法求解．如本题第（2）问，先建立关于面积比值的表达式，然后对其进行转化，最后利用基本不等式求解．6.（2021·江西新余·统考模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圆O:x2+y2（1）求圆O和椭圆C的方程（2）若点M是圆O上一点，求当AF2,【答案】（1）x24+y【分析】（1）由直线被圆截得的弦长为14，运用垂径定理建立关于a,（2）求直线P