傅里叶积分变换傅氏

积分变换1精品PPT·值得借鉴第一页，共六十七页。§1傅里叶（Fourier）积分变换

§2拉普拉斯(Laplace)积分变换

主要内容注：积分变换的学习中，规定：

第二页，共六十七页。§1傅里叶（Fourier）积分变换3精品PPT·值得借鉴第三页，共六十七页。傅里叶变换——又简称为傅氏变换

内容：傅氏变换概念卷积与相关函数

傅氏变换性质

第四页，共六十七页。一、傅氏变换1．傅氏积分定理

若f(t)在(-∞,+∞)上满足下列条件：（1）f(t)在任一有限区间上满足条件：f(t)至多有有限个第一类间断点和极值点；（2）f(t)在无限区间(-∞,+∞)上绝对可积（即积分收敛），则有（1）成立，而左端的f(t)在它的间断点t处，应以来代替。第五页，共六十七页。2．傅氏变换的概念

若函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件，则在f(t)的连续点处，式（1）成立。设则（2）（3）第六页，共六十七页。从上面两式可以看出，f(t)和F(ω)通过指定的积分运算可以相互表达。将（2）式叫做的傅氏变换式，记为F(ω)叫做f(t)的象函数，（3）式叫做F(ω)的傅氏逆变换式，记为f(t)叫做F(ω)的象原函数。（2）式右端的积分运算，叫做取f(t)的傅氏变换；（3）式右端的积分运算，叫做取F(ω)的傅氏逆

变换。象函数F(ω)和象原函数f(t)构成一个

傅氏变换对。F

F-1

第七页，共六十七页。3．例子例1

求指数衰减函数函数的傅氏变换及其积分表达式，其中β>0。第八页，共六十七页。解：根据（2）式，傅氏变换为F

第九页，共六十七页。通过傅氏逆变换，可求得指数衰减函数的积分表达式。由（3）式，并利用奇偶数的积分性质，可得第十页，共六十七页。

第十一页，共六十七页。由傅氏积分定理，可得到一个含参量广义积分的结果：第十二页，共六十七页。4．单位脉冲函数（狄拉克---Dirac函数）设定义单位脉冲函数为第十三页，共六十七页。单位脉冲函数的一些性质：若f(t)为无穷可微的函数，则a.b.证明记更一般地有

第十四页，共六十七页。单位脉冲函数的傅氏变换c.证明F

F

第十五页，共六十七页。例3

证明单位阶跃函数变换为的傅氏解：只需证明的傅氏逆变换为u(t)。F-1

第十六页，共六十七页。由于故第十七页，共六十七页。这表明的傅氏逆变换为u(t)。u(t)

和构成了一个傅氏变换对。同时得到单位阶跃函数u(t)的一个积分表达式第十八页，共六十七页。所以1和构成了一个傅氏变换对;

和也构成了一个傅氏变换对。类似的方法可得F-1

F-1

第十九页，共六十七页。例4

求正弦函数的傅氏变换。

解：

F

第二十页，共六十七页。我们可以看出引入δ-函数后，一些在普通意义下不存在的积分，有了确定的数值。工程技术上许多重要函数的傅氏变换都可以利用δ-函数及其傅氏变换很方便地表示出来，并且使许多变换的推导大大地简化。

第二十一页，共六十七页。5．非周期函数的频谱

傅氏变换和频谱概念有着非常密切的关系，这里只简单地介绍一下非周期函数频谱的基本概念。在频谱分析中，当非周期函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件时，将f(t)的傅氏变换F(ω)称为f(t)的频谱函数，而频谱函数的模|F(ω)|称为f(t)的振幅频谱（亦简称为频谱）。对一个时间函数作傅氏变换，就可求出这个时间函数的频谱。由于F(ω)是随ω连续变化的，因而称|F(ω)|为连续频谱。第二十二页，共六十七页。例5

作出图1-8中所示的单个矩形脉冲的频谱图。图1-8第二十三页，共六十七页。解根据定义，单个矩形脉冲的频谱函数为

振幅频谱部分的频谱图如图1-9所示。第二十四页，共六十七页。图1-9第二十五页，共六十七页。振幅频谱|F(ω)|的一个性质：振幅频谱|F(ω)|是频率ω的偶函数，即事实上，所以显然有第二十六页，共六十七页。记称为f(t)的相角频谱。

可看出，相角频谱是ω的奇函数，即

第二十七页，共六十七页。例6

求指数衰减函数

的频谱。

解

根据例1的结果，

所以指数衰减函数的频谱

第二十八页，共六十七页。例7

作单位脉冲函数及其频谱图。

解

由于

所以单位脉冲函数的频谱

及其频谱图表示在图1-11中。

图1-11第二十九页，共六十七页。

同样，当时，。而f(t)的振幅频谱为

在物理学和工程技术中，将会出现很多非周期函数，它们的频谱求法，可通过查用傅氏变换（或频谱）表来求得。第三十页，共六十七页。6.傅氏变换的性质

本节将介绍傅氏变换的几个重要性质，我们假定在这些性质中，求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件，并设是常数。

F

F

第三十一页，共六十七页。a.线性性质（1）

F

证明：只需根据定义就可推出。

傅氏逆变换也具有类似的线性性质

这个性质表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线性组合。（2）

第三十二页，共六十七页。b.位移性质

F

F

（3）

这表明时间函数f(t)沿t轴向左向右位移t0的傅氏变换等于f(t)的傅氐变换乘以因子或。

证

由傅氏变换的定义，可知

F

F

（令）

第三十三页，共六十七页。同样，傅氏逆变换具有类似的位移性质，即（4）

这表明频谱函数

沿

轴向左向右位移

的傅氏变换等于f(t)的傅氐变换乘以因子或。

第三十四页，共六十七页。例1

求矩形单脉冲

的频谱函数。

解1根据傅氏变换的定义，有

第三十五页，共六十七页。解2前面介绍的矩形单脉冲

的频谱函数为

因为f(t)可以由f1(t)在时间轴上向右平移得到，利用位移性质有

F

=F

且

第三十六页，共六十七页。c.微分性质

若f(t)在(-∞,+∞)上连续或只有有限个可去间断点，且当,则证由傅氏变换的定义，并利用分部积分可得

这表明一个函数导数的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换乘以因子。F

F

F

F

第三十七页，共六十七页。PPT内容概述积分变换。§1傅里叶（Fourier）积分变换。§2拉普拉斯(Laplace)积分变换。注：积分变换的学习中，规定：。傅里叶变换——又简称为傅氏变换。成立，而左端的f(t)在它的间断点t处，应以。从上面两式可以看出，f(t)和F(ω)通过指定的积分运算可以相互表达。将（2）式叫做的傅氏变换式，记为。由（3）式，并利用奇偶数的积分性质，可得。由傅氏积分定理，可得到一个含参量广义积分的。4．单位脉冲函数（狄拉克---Dirac函数）。傅氏变换和频谱概念有着非常密切的关系，这里只简单地介绍一下非周期函数频谱的基本概念。对一个时间函数作傅氏变换，就可求出这个时间函数的频谱。解根据定义，单个矩形脉冲的频谱函数为。例6求指数衰减函数。及其频谱图表示在图1-11中。在物理学和工程技术中，将会出现很多非周期函数，它们的频谱求法，可通过查用傅氏变换（或频谱）表来求得。同样，傅氏逆变换具有类似的位移性质，即第三十八页，共六十七页。若

在(-∞,+∞)上连续或只有有限个可去间断点，且推论：则有（6）同样，可得象函数的导数公式。设，则=-j一般地，有（7）F

F

F

F

F

第三十九页，共六十七页。d.积分性质

如果当时，，则（8）证因为所以根据微分性质：故（8）式成立。这表明：一个函数积分后的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换除以因子。F

F

F

F

F

F

第四十页，共六十七页。例2

求微分积分方程的解，其中均为常数。解记在方程式两边取傅氏变换，并利用傅氏变换的微分性质和积分性质可得F

F

第四十一页，共六十七页。求上式的傅氏逆变换，可得这就是此微分积分方程的解。第四十二页，共六十七页。

运用傅氏变换的线性性质、微分性质以及积分性质，可以把线性常系数微分方程转化为代数方程，通过解代数方程与求傅氏逆变换，就可以得到此微分方程的解。傅氏变换还是求解数学物理方程的重要方法之一，其计算过程与解常微分方程大体相似。第四十三页，共六十七页。e.乘积定理

若则（9）其中均为t的实函数，而分别为的共轭函数。F

F

第四十四页，共六十七页。证因为，而是时间t的实函数，所以第四十五页，共六十七页。故

同理可得第四十六页，共六十七页。f.能量积分

若，则有（10）此式又称为帕塞瓦尔（Parseval）等式。

证在（9）式中，令，则第四十七页，共六十七页。7.卷积与相关函数

上面我们介绍了傅氏变换的一些重要性质，下面我们将介绍傅氏变换的另一类重要性质，它们都是分析线性系统的极为有用的工具。

第四十八页，共六十七页。（1）卷积的概念

若已知函数，则积分 称为函数与的卷积，记为*，即

显然，(1)**=即卷积满足交换律。

第四十九页，共六十七页。由积分性质可知，不等式

成立，即函数卷积的绝对值小于等于函数绝对值的卷积。第五十页，共六十七页。证

根据卷积的定义

例1

证明即卷积也满足对加法的分配律。

第五十一页，共六十七页。

例2

若

求

与

的卷积。

解按卷积的定义，有我们可以用图1-14(a)和(b)来表示

和

的图形，

第五十二页，共六十七页。图1-14τ(b)f2(t-τ)(a)τf1(τ)t1OO1第五十三页，共六十七页。而乘积

的区间从图中可以看出，

在

时，为

，所以

可自己演算一下，亦得到上述的结果。

第五十四页，共六十七页。为确定

的区间，还可以用解不等式

组的方法加以解决。仍以本例来说，要

即要求

即

成立。可见，当

时，

的区间为

，故卷积在傅氏分析的应用中有着十分重要的作用，这是由卷积定理所决定的。

第五十五页，共六十七页。

（2）卷积定理

假定

都满足傅氏积分

定理中的条件，且

，

则

（2）

F

F

F

F

第五十六页，共六十七页。证

按傅氏变换的定义，有

F

第五十七页，共六十七页。这个性质表明，两个函数卷积的傅氏变换等于这两个函数傅氏变换的乘积。

同理可得：

（3）

即两个函数乘积的傅氏变换等于这两个函数傅氏变换的卷积除以

。F

第五十八页，共六十七页。则有

卷积定理表明卷积运算可以化为乘积运算。这使得卷积在线性系统分