复变函数总复习

复数的基本概念和运算1、复数z=x+iy或z=x+yi注意：(1)2个复数不能比较大小;(2)当且仅当实部、虚部分别相等时复数才相等。1精品PPT|实用可编辑第一页，共三十九页。2、复数的表示直角坐标：z=x+iy复平面与直角坐标平面上的点一一对应向量表示模幅角三角表示：指数表示：0xyOxyqPz=x+iy|z|=rz=0时辐角不确定2精品PPT|实用可编辑第二页，共三十九页。辐角主值公式：2341xy3精品PPT|实用可编辑第三页，共三十九页。3、复数运算加法、减法：乘法:除法:运算法则:z1+z2=z2+z1

z1z2=z2z1z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3z1(z2z3)=(z1z2)z3z1(z2+z3)=z1z2+z1z34精品PPT|实用可编辑第四页，共三十九页。乘积：

z1=r1(cosq1+isinq1),z2=r2(cosq2+isinq2),

z1z2=r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]

于是 :|z1z2|=|z1||z2| Arg(z1z2)=Argz1+Argz2模相乘；辐角相加。商：

模相除；辐角相减幂：根：注意根的多值性！5精品PPT|实用可编辑第五页，共三十九页。区域：平面点集D称为区域,必须满足下列两个条件：

1）D是一个开集。2）D是连通的。不连通单连通域：区域B中任做一条简单闭曲线，曲线内部总属于B，称B为单连通区域。多连通域：不满足单连通域条件的区域。单连通域多连通域区域的概念6精品PPT|实用可编辑第六页，共三十九页。复变函数w=f(z),

z=x+iy,w=u(x,y)+iv(x,y)单值函数：z的一个值对应一个w值。多值函数：z的一个值对应两个或以上w值。反函数：z=g(w)复变函数的极限、连续性、可导、解析性的判定7精品PPT|实用可编辑第七页，共三十九页。1、极限定理一：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0条定理二：8精品PPT|实用可编辑第八页，共三十九页。2、连续性复平面内，下列各式连续：项9精品PPT|实用可编辑第九页，共三十九页。3、导数定义在区域D内，称可导10精品PPT|实用可编辑第十页，共三十九页。z0点：区域D：4、解析使分母为零的点是它的奇点。11精品PPT|实用可编辑第十一页，共三十九页。重要定理：函数解析的条件柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程12精品PPT|实用可编辑第十二页，共三十九页。高层中层低层13精品PPT|实用可编辑第十三页，共三十九页。初等函数14精品PPT|实用可编辑第十四页，共三十九页。多值！性质:15精品PPT|实用可编辑第十五页，共三十九页。乘幂16精品PPT|实用可编辑第十六页，共三十九页。幂函数幂函数的解析性各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的:各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的:17精品PPT|实用可编辑第十七页，共三十九页。4.三角函数18精品PPT|实用可编辑第十八页，共三十九页。第三章复变函数的积分习题3-8(1)19精品PPT|实用可编辑第十九页，共三十九页。CC1习题3-7(8)、3-9(1)20精品PPT|实用可编辑第二十页，共三十九页。三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不等式21精品PPT|实用可编辑第二十一页，共三十九页。1、调和函数的定义四、解析函数与调和函数的关系2、解析函数和调和函数的关系定理：任何在区域D

内解析的函数,它的实部和虚部都是D内的调和函数，即有：22精品PPT|实用可编辑第二十二页，共三十九页。PPT内容概述复数的基本概念和运算。精品PPT|实用可编辑。复平面与直角坐标平面上的点一一对应。|z|=r。z1+z2=z2+z1。z1(z2z3)=(z1z2)z3。z1(z2+z3)=z1z2+z1z3。部总属于B，称B为单连通区域。多连通域：不满足单连通域条件的区域。单值函数：z的一个值对应一个w值。多值函数：z的一个值对应两个或以上w值。使分母为零的点是它的奇点。函数解析的条件柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的:。复积分与实变函数的定积分有类似的性质.。定理：任何在区域D内解析的函数,。区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.。收敛范围为圆域,圆内绝对收敛,圆外发散,圆上不定.。1、收敛定理：(阿贝尔Abel定理)。幂级数的收敛半径的情况有三种:。级数在收敛圆内处处绝对收敛。解析,可逐项求导,可逐项积分.。(2)幂级数的代换(复合)运算。习题5-1(1、2、4)。38第二十三页，共三十九页。3、共轭调和函数区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.4、偏积分法和不定积分法求解析函数（简单了解即可）如果已知一个调和函数u,利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数v,从而构成一个解析函数u+vi的方法称为偏积分法.24精品PPT|实用可编辑第二十四页，共三十九页。一、复数项级数的一些基本概念1、复数列收敛的充要条件:同时收敛.2、复级数:收敛的充要条件:同时收敛.3、复级数绝对收敛:

绝对收敛的充要条件:同时绝对收敛.第四章级数25精品PPT|实用可编辑第二十五页，共三十九页。

收敛范围为圆域,圆内绝对收敛,圆外发散,圆上不定.1、收敛定理：(阿贝尔Abel定理)如果级数在收敛,那么对满足的z,级数必绝对收敛,如果在级数发散,那么对满足的z,级数必发散。二、幂级数：幂级数的收敛半径的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛.级数在复平面内处处绝对收敛:(2)对所有的正实数除z=0外都发散.

级数在复平面内除原点外处处发散:例如,级数(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数.

级数在收敛圆内处处绝对收敛26精品PPT|实用可编辑第二十六页，共三十九页。2、收敛半径求法:如果:3、性质:和函数在收敛圆内:

解析,可逐项求导,可逐项积分.

习题4-627精品PPT|实用可编辑第二十七页，共三十九页。4、幂级数的运算和性质(1)幂级数的有理运算(2)幂级数的代换(复合)运算如果当时,又设在内解析且满足那么当时,说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.习题4-1128精品PPT|实用可编辑第二十八页，共三十九页。答案:

幂级数的收敛范围是何区域?问题1:

在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.答案：问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?有关幂级数的两个关键问题：29精品PPT|实用可编辑第二十九页，共三十九页。三、泰勒级数:定理:在以为中心的圆域内解析的函数f(z)，可以在该圆域内展开成的幂级数。

泰勒级数展开式求法:直接法,间接法.30精品PPT|实用可编辑第三十页，共三十九页。常见函数的泰勒展开式31精品PPT|实用可编辑第三十一页，共三十九页。四、洛朗级数：洛朗级数展开式求法:1.直接法2.间接法在计算闭路积分中的应用：令n=-1,得或习题4-16(2)32精品PPT|实用可编辑第三十二页，共三十九页。精品PPT·收集整理第三十三页，共三十九页。第五章留数34精品PPT|实用可编辑第三十四页，共三十九页。零点与极点：

零点定义：f(z)=0的点习题5-1(1、2、4)35精品PPT|实用