2024年高考数学重难点突破第10讲 放缩法赋值找零点

第10讲放缩法赋值找零点在基础篇我们学过了零点问题，会利用函数单调性和零点存在定理来确定零点，要应用零点存在定理就必须找到一个点的值大于零或者小于零，而这个点不需要很精确，就可以完美地使用放缩法来近似计算.可将这个找点判定正负号的过程称为赋值.常用的赋值方法如下：1.直接常数赋值法：代入一个常数点就可以判定出函数值的正负号，这个点也通常是一些特殊点，比如等.2.参数放缩赋值法:有时代入常数点后，会得到一个含参数的函数值，比如，这时，无法直接判定出正负号，这个时候就需要利用参数赋值，结合放缩法来判定正负号.3.双量最值放缩赋值法:参数赋值和常数赋值都无法直接得到点，就需要一个既有参变量(参数)又有常量(常数)的范围点，通过两个量取最值的方式放缩，来判定出正负号.参数放缩赋值法参数放缩法赋值是放缩法的一个应用，难度较大，当然下面的很多例题用参变分离法会非常简单，当然这里为了讲解赋值法，就不考虑参变分离法了.这类赋值法的一般解题思路如下：第一步:判定可行性，在赋值之前，需要利用极限来判定赋值的可行性，赋值也只不过是极限更精确的取点方式，所以如果极限判定出不存在零点就不用白费功夫了.前面讲过，极限也可以作为粗略的解题步骤.第二步:放缩找点，结合函数单调性和前面所学的放缩法找到含参赋值点，这里需要注意，找大于零的点，则需往小放缩，找小于零的点，则往大放缩.第三步:赋值验证，含参赋值点不仅要满足不等式，还要满足自身取值范围.【例1】函数，若曲线在点处的切线与有且只有一个公共点，求正数的取值范围.【解析】易得切线，代入整理得，题设等价于函数有且只有一个零点，，令可解得或，我们来讨论两个点是否在定义域内，以及比较两个点的大小.（1）当时，即时，可知当时，单调递增.当时，单调递减.是唯一的极小值点，也是最小值点.且，故满足题意.（2）当，即时，由.=1\*GB3①当，即时，单调递增.又满足题设.=2\*GB3②当，即时，单调递减，.我们接下来需要找到的右边是否存在点使得，此时要找函数值大于零的点，所以要往小放缩，我们不难看出，当时，，所以直接对进行去项放缩，.存在..在内，存在零点，至少有两个零点，不合题意.=3\*GB3③当，即时，在上，单调递减，在上单调递增，在上希望存在，使.此外要找到函数值小于零的点，应往小放缩，不难看出，当时.去项、放缩得（其中不等式）.存在，并注意到..在内存在零点.从而至少有两个零点，不合题意.综上所述，或.【例2】函数.若方程有解，求的取值范围.【解析】方程有解函数有零点..(1)当时，(证略)无零点.若，则，.(2)当时，即，则为极小值点，，需要在的右边赋值，使得，我们直接通讨参数放缩赋值法可得.要使得，则需要往小放缩，当时，利用去项放缩法可得又，由零点定理得有零点.(3)当时，即易知是的最大值点，令，无零点.于是剩下，由常数赋值法得，有零点.=1\*GB3①当时，，无零点.=2\*GB3②当时，又经观察，有零点.综上所述或.【例3】已知函数，若在上有且只有一个零点，求的取值范围.【解析】(1)当时，，不合题意.(2)当时，有唯一零点，符合.(3)当时，一方面.=1\*GB3①当时，，此时单调递减.只要找到一个点使得即可.若为某个负常数，因负数的任意性，无法确保，故须与有关.必须选取一个含参数的值作为赋值点，选取过程会结合放缩法的运用.当时，利用单调性放缩可得，取.，使，且当时.单调递减.在内有唯一零点.=2\*GB3②当时，须无零点，而，，即.记，令，当时，时，单调递增.当时，单调递减.综上或.评注:对于(3)=1\*GB3①题为何放缩找点的方法有很多种，比如当时，可以直接利用单调性放缩得，【解析】得.，使，且当时单调递减.在内有唯一零点.【例4】函数，其中为实数，求的零点个数，并证明你的结论.【解析】(1)当时，，单调递增，而，利用函数单调性放缩找到的左边.由参数放缩赋值法可得，依据零点定理，有且只有一个零点.（2）当时，.令.是的极大值点，也是最大值点.，，当且仅当时，.故有唯一零点.(3)当时，令，（极大值点）.列表如下：单调递增单调递减.=1\*GB3①在上，且单调，有且只有一个零点.=2\*GB3②在上，显然，注意到(2)的结论，由参数放缩赋值法可得.同理有且只有一个零点.由=1\*GB3①=2\*GB3②得有两个零点.综上所述，当或时，有个零点；当时，有个零点.注意：在上，利用函数单调性放缩找点，利用放缩可得同样可以利用不等式放缩找点，，同时利用不等式，放缩验证.不等式，当且仅当时，等号成立，可知.三个赋值点都是可以的.那这三个赋值点是如何找到的呢?我们还是从不等式开始探究:(大于).也就是，要找小于零的点，就把函数往大了放缩，尽可能放缩为幂函数不等式，进而解不等式，找到点，在这个点(大于)的基础上继续放缩，又可以得到其他点.双量最值放缩赋值法如果用参数赋值法找点实在找不到，而用直接常数赋值法也不行，我们需要把两者结合起来取最值，结合函数单调性来判定函数的符号.【例1】设函数，讨论零点的个数.【解析】.当时，，故无零点.（2）当时，零点的个数即零点的个数.在上单调递增.又，下一步寻找正数，使；假定，故应将锁定在0右侧一点点.下面用两种方法来找赋值点，=1\*GB3①双量最值放缩赋值法:取，依据零点定理途径，存在一个零点.=2\*GB3②参数放缩赋值法:要取小于零的点，需要往大放缩，当时，由常用指数不等形整体代换可得，于是当，即时，，，即在的左边，，取.依据零点定理，有一个零点.【例2】函数有两个零点，求的取值范围.【解析】.(1)若，当时，单调递增.当时，单调递减..一方面，当时，直接用常数赋值法可得.另一方面，当时，可利用两种赋值法得到.=1\*GB3①双量最值放缩赋值法：存在，使，在两侧，各有一个零点，满足题意.