高二人教版数学必修5系列教案：余弦定理

高二人教A版《数学》必修5系列教案：1.1.2余弦定理

1.2余弦定理（教学设计）

教学目标

1.知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦

定理解决两类基本的解三角形问题.

2.过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定

理解决两类基本的解三角形问题，

3.情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;通过三角函数、

余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.

教学重、难点

重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.

学法

学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化,也就是研究如何从己

知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题,利用向量的数量积比较容易

地证明了余弦定理.从而利用余弦定理的第二种形式由己知三角形的三边确定三角形的角

教学过程：

一、创设情景

如图1.1-4,在AABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和NC,求边c

（图1.1-4）

二、新课讲解:

联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求,发现因A、B均未知，所以较难求边c.

由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题.A

如图1.1-5,设09=a,01=3,M=c,那么c=a-瓦则be

用=二=上通⑹上二/

=aa+bb-2abCaB

=a+邛_介%

从而c2=a2+ZT2-2abcosC（图1.1-5）

同理可证a2=Z72+c2-2bccosA

if=+c2-2accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹

角的余弦的积的两倍.即a2=/724-c2-26ccoS/4

d2=a2+c2-2accos^

d=廿+&一2abcosC

思考：这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三

边求出一角？

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（由学生推出）从余弦定理,又可得到以下推论:

b2+c2-a2

cosA=

2bc

。2+。2一/

cosB=

2ac

b2+a2-c2

cosC=

2ba

［理解定理］

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角.

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角

形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若△ABC中，C=90°,则cosC=0,这时c2=a2+b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.

例题选讲：

例1.在AABC中，已知°=2Q，c=^+VL8=60°,求b及A

⑴解：b2=a2+c2-2accosB

=（2百），（&+伪2_2,20.（述+伪cos45°

=12+（遥+&）2-46（G+l）

=8

:.b=2叵.

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:

h2+c2-a［_（2应）2+（迷+应）2一（2百）［_1

⑵解法一：VcosA=

2hc2x2V2x（V6+V2）2'

：.A=60°.

解?去二：Vsin/l=£sinB=^^,sin45°,

又•:V6+V2>2.4+1.4=3.8,

2道<2x1.8=3.6,

二aV。，即0°<NV90°,

J=60°.

评述：解法二应注意确定A的取值范围.

变式训练1：（tb4800601）在AABC中，若b=4,c=6,A=60°,求a的值.

（答：2A/7）

2

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例2（课本P7例4）在AABC中,已知a=134.&ra,6=87&m,c=161.7c"z,解三角形

解：由余弦定理的推论得：

222

A=b+c-a

cos2bc

222

=87.8+161.7-134.6

2x87.8x161.7

合0.5543,

4才56°20';

。2+。2一/

cos5=2ca

222

=134.6+161.7-87.8

=~2x134.6x161.7

=0.8398,

8~32°53';

C=180°-(4+80°一(56°20'+32°53')

=90°47.

变式训练2：在AABC中，若孑="+/+比，求角A

（答案：A=120°）

例3：在△力6。中，Aos/I=acos6试判断三角形的形状

解法一：利用余弦定理将角化为边.

b2+c2-a2a2+c2-b2

*/bcosA=acosB,b•----------=a-----------

2bclac

.•.^+/—/=/+/一^,.•./=〃，，a=8,故此三角形是等腰三角形

解法二：利用正弦定理将边转化为角.•••Aos/=acos8

又6=2RsinB,<3=27?sin4,；.2Asin及os4=2Hsin4cos6

sin/cos8—cos/sin8=0sin(/一而=0

'：Q<A,B<n,,：.A~B=Q即4=6

故此三角形是等腰三角形.

变式训练3：在△ABC中，已知a=7,。=5,C=3,判断AABC的类型.

解：.">52+32,即片,+/—上卡<。，角A为钝角.

所以MBC是钝角三角形.

3

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三、课堂小结

（D余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①.已知三边求三角;②.已知两边及它们的夹角，求第三边.

四、课时必记：

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹

角的余弦的积的两倍.即孑="+c2-2dccos/=孑+c2-2accos6

c2=a2+/j2-2adcosC

Z>2+c2_q2b2+a2-c2

cosJ=cosB=cosC=

2bc2ac-国―

五、分层作业:

A组：

1、.在△46。中，若岸＞％d,则a'为;若4=加+/,则△/8C为

；若且"V/+M且c2V/+优则△/回为.

（答：钝角三角形，直角三角形，锐角三角形）

2、（为4800603）在4人8。中，已知：（a+b+c）（a+b-c）=3ab,则角C=

（答:60°）

3、(tb0146901)在AABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC.

(答：最大角为：A=1200,sinC=')

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4、（tbO146902）在AABC中，B=30。,AB=2面积S=7J,求AC的长.

（答：先求得BC=2,再求得AC=2）

B组：

A

1、在中，已知sin8・sinC=cos2—，试判断此三角形的类型.

2

解：:sinmsin^cos2—,；・sin8・sint"=+C0S

22

/.2sin5*sint>=l+cos[180°—(8+0]

将cos(8+0=cos&os。一sin夕sin。代入上式得

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cos氏osC+sin咫in£1,cos(8—0=1

又Q<B,C<£,：.一五<B—C<费：.B-C=0：.B=C

故此三角形是等腰三角形.

2、(坨0146903)在八八8(：中，_^上1=/,试判断这个三角形的形状.