直击2024年高考-高三数学函数考点精讲（全国版）

函数考点精讲——函数的概念与性质

1.函数的定义

设A，8是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系了,使对于集合A中的任意一个数

x,在集合3中都有唯一确定的数/(%)和它对应，那么就称2为从集合A到集合3的一个

函数，记作y=/(x),xeA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域；与x的值相对应

的V值叫做函数值，函数值的集合｛F(x)|xeA｝叫做函数的值域.显然，值域是集合3的子集.

2.函数的要素及相同函数

一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所

以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.

3.求函数的定义域要注意以下几点

(1)分式的分母不为0;

(2)偶次根式的被开方数大于等于0；

(3)零次幕的底数不为0；

(4)对数的真数大于零；

(5)指数、对数函数的底数大于零且不等于1；

(6)实际问题对自变量的限制.

4.抽象函数的定义域

(1)若函数/(元)的定义域为［a/］,则〃g(x))的定义域由a<g｛x)<b求出.

(2)若函数〃g(x))的定义域为［a,6］，则f(x)的定义域为g(x)在xe的值域

5.函数值域的求法

(1)图象法；

(2)直接法；

(3)配方法；

(4)换元法；

(5)分离常数法；

(6)单调性法；

(7)基本不等式法.

6.几种常见初等函数的值域

(1)一次函数y=kx+b(k为常数且上0)的值域为R.

(2)反比例函数y=改为常数且存0)的值域为(-00,0)U(0,+oo).

X

(3)二次函数>=〃必+Z?x+c(〃，b,c为常数且存0),

当〃>0时，二次函数的值域为广，+00);

4a

一

当〃<0时，二次函数的值域为(-8,].

4〃

求二次函数的值域时，应掌握配方法：y=ax2+bx+c=a(x+—)2+.

2a4tz

(4)y=sin,r和y=cosx的值域为y=tanr的值域为R.

(5)指数函数y=优(。>0,。wl)的值域为(0,+℃).

(6)对数函数y=log。〉0,aw1)的值域为R.

5.函数的表示法

(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.

(2)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.

(3)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系

6.分段函数

(1)分段函数的概念

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数

称为分段函数.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

(2)分段函数的定义域和值域

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.

7.复合函数

设y是"的函数y=/(a),M是x的函数"=g(x),如果g(x)的值全部或部分在/(a)的

定义域内，则y通过〃成为尤的函数，记作y=/(g(x)),称为由函数y=/(")与"=g(x)复合

而成的复合函数.

8.单调性的概念

一般地，设函数/(%)的定义域为/,区间D1/:

如果吃w。,当王〈当时，都有/(%)</(%),那么就称/(左)在区间。上是单调递增；

如果也，W€。,当石〈天时，都有了(再)>/(%),那么就称/(X)在区间。上是单调递减；

9.单调区间

如果函数y=/(x)在区间D上单调递增(或单调递减)，那么就说函数y=/(x)在区间D上具

有单调性性，区间。叫做y=/(x)的单调增(减)区间.

10.判断函数单调性的方法

(1)利用定义判断函数的单调性，步骤如下：

a.取值：设为，w为该区间内任意的两个值，且王＜々；

b.作差变形：作差/(不)-/(多)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断

差值符号的方向变形；

c.定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；

d.判断：根据定义作出结论.

(2)利用函数图象判断函数的单调性.

(3)利用基本初等函数的单调性.

(4)复合函数的单调性

已知〃=g(x)在侬，句上是增(减)函数，＞=/(〃)在区间。3),g。)](或区间[gS),g(a)])

上是增(减)函数，那么复合函数y=〃g(x)]在团，切上一定是单调的，具体分为以下四种情

况，可记为“同增异减”.

〃=g(x)y=/(〃)y=/[gW]

增函数增函数增函数

增函数减函数减函数

减函数增函数减函数

减函数减函数增函数

11.函数的最值

前提设函数丁=/(可的定义域为/,如果存在实数M满足

(1)对于任意的xe/，都有(1)对于任意的XG/,都有

/(%)»/；

条件

(2)存在使得(2)存在不£/,使得/(入0)="

结论M为最大值M为最小值

12.函数的奇偶性定义

偶函数：对于函数y=/(x),如果对于其定义域。中的任意给定的实数x,都有-xe。，并且

f(-x)=f(x),就称函数丫=/(X)为偶函数.

奇函数：对于函数y=/(x),如果对于其定义域D中的任意给定的实数X,都有-久6。，并且

/(-X)=-/(无)，就称函数y=f(无)为奇函数.

不是所有的函数都是奇函数或偶函数，我们称那些既不是奇函数又不是偶函数的函数为非奇非

偶函数.

13.判断函数奇偶性的方法

(1)利用定义判断.

(2)利用定义的等价形式判断：

/(%)+/(-x)=。o/(%)是奇函数；

=是偶函数・

(3)利用图象判断：

/(X)的图象关于原点对称of(x)是奇函数;

/(%)的图象关于y轴对称o/(%)是偶函数.

(4)四则运算判断:

/(X)g(x)/(x)+g(x)f(x)-g(x)/(x)g(x)/(g(x))

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

14.二次函数的概念

形如/(x)=ax2+bx+c(aw0)的函数叫做二次函数.

15.表示形式

⑴一般式：+bx+c(a^0).

(2)顶点式："r)=〃aTz)2+k(ar0),其中(/z,%)为抛物线的顶点坐标.

(3)两根式：/(%)二Q(X—%)(%—%2)，其中王，马是抛物线与入轴交点的横坐标，

16.二次函数的图象与性质

函数解析式/(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+bx+c(a<0)

luh

图象（抛物线）

定义域R

4ac-b2、/4ac-b2

值域r[/，+°°)(8，)3

4〃4a

b

对称性函数图象关于直线x=———对称

2a

b4ac-b2

顶点坐标

2a4a

奇偶性当b=0时是偶函数，当b9时是非奇非偶函数

bb

在（—8,---］上是减函数；在（-8,——］上是增函数；

2a2a

单调性

bb

在［_+8）上是增函数.在［_+8）上是减函数.

2a2a

当》=一2时，当x=-2时，

2a2a

最值

22

„z、4ac-ba,、4ac-b

/(九)min一/(X)max-

4A〃4Aa

17.二次函数图象常用结论

（1）函数/O）=奴之+"+c（a*0）的图象与x轴交点的横坐标是方程依2+法+C=0的实根.

yjb1-4ac

⑵若占，々为小）=。的实根，则信）在尤轴上截得的线段长应为人—%|=⑷.

（3）当。＞°且△＜0（AW0）时，恒有八尤）＞0（/（x）»°）；当。＜°且A＜0（AW0）时，恒有

18.基函数的概念

一般地，形如y=x"（“GR）的函数称为哥函数，其中底数尤为自变量，。为常数.

19.几个常见基函数的图象与性质

£

31

函数y=xy=x2%丁二一

y=x^X

y=x

*区：

图象尸£

~\~2x

定义域RRR[0,+co){x|xw0}

值域R[0,+oo)R[0,+oo){y|yw0}

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

在（_oo,0）上单调递在（—8,0）和

在R上单在R上单在［0,+oo）上单调

单调性减；在［0,+8）上单（0,+00）上单调递

调递增调递增递增

调递增减

过定点过定点(0,0),(1,1)过定点（1,1）

函数考点精讲——指数函数与对数函数

1.根式

(1)〃次方根

如果x"=a,那么x叫做。的〃次方根，其中且weN*.

当〃是奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数.这时，用符号正表

示.

当〃是偶数时，正数的〃次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数。的正的〃次方根用

符号标表示，负的〃次方根用符号-正表示.可以合并写成土布(a>0).

负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0,记作我=0.

(2)根式的相关概念

式子标叫做根式，这里〃叫做根指数，。叫做被开方数.

(诟尸=a(n6N*,且〃〉1)；

j-7a(w为大于1的奇数)，

同(〃为大于0的偶数).

2.分数指数幕

我们规定正数的正分数指数幕的意义是『二叱①〉。，小，“eN*,且力>1)；正数的负分数指

数塞的意义是。亍=」(a>0,“eN*,且〃>1)；0的正分数指数赛等于0,0的负分数指数暴没有

an

意义.

3.有理数指数幕的运算性质

rsr+s

aa=a(a>0fr,seQ)；

(")s=a"(a>0,r,SEQ)；

(ab)〃=arbr(a>0,0〉0,reQ).

4,无理数指数累

一般地，无理数指数幕a"a是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幕的运算性质

同样适用于无理数指数幕.

5.指数函数定义

一般地，函数y=，m>0,且。力1）叫做指数函数，其中X是自变量，函数的定义域是R.

6.指数函数的图象与性质

7.对数的相关概念

一般地，如果a'=N（a>°，且awl）,那么数x叫做以。为底N的对数，记作x=log.N,其中

•叫做对数的底数，N叫做真数.

8.两种特殊的对数

常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数，并把1°&。"记作IgN.

自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自

然对数，并把“且，"记为InN.

9.对数恒等式

产小=Ng>U,且a21,N>0)

10.对数同底运算法则

如果且"LM>0,N>0,那么:

log“(M-N)=logaM+logaN

M

logn—=logaM-logaA^

n

log。M=n\ogaM(neR)

11.对数换底公式

,,log,b

log^=j-------

al°gca(a>0,且awl；c>0,且c*l；6>0)

log。b=---

特别地：l°g/且"1，6片1)

12.对数函数的定义

一般地，我们把函数y=log〃x(«>0,且awl)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定

义域是(0,+oo).

13.对数函数的图象与性质

G<a<\a>l

3,卜二1yk；.r=l

：产log/

图象

：月og.x

定义域(0,+00)

值域R

过定点(1,0),即x=l时，y=0

性质

在(0,+8)上是减函数在(0,+8)上是增函数

14.对数函数图象间的关系

函数y=log.尤(a>0,且awl)的图象与'=》的图象关于％轴对称，即底数互为倒数的