上海市闵行区2024届高三年级上册学业质量调研试题（一模）数学试卷及答案

2023学年第一学期高三年级学业质量调研

数学试卷

考生注意：

1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.

2.作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码.

3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在草稿纸、试

卷上作答一律不得分.

4.用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.

一'填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

考生应在答题纸相应位置直接填写结果.

1.已知集合M={0,l,a+l},若-IwM,则实数。=.

2.若sina=；,则sin（乃-a）=.

3.若xy=l（x>jeR）,则x2+4j2的最小值为.

4234

4.已知（x-1）=a0+a1x+a2x+<23x+a4x,则a2=.

5.已知圆锥的底面周长为4〃,母线长为3,则该圆锥的侧面积为.

22

6.若双曲线与-白=1（。〉0,6〉0）的离心率为J5,则该双曲线的渐近线方程为___.

ab

7.若将函数y=sin（2x+0）（0<°〈"）的图像向右平移y个单位，得到的图像所对应的函

数为奇函数，则0=.

8.已知/（无）=/一8工+10,无€1<数列{0“}是公差为1的等差数列，若

/（«1）+f（a2）+/（%）的值最小，则％=.

9.今年中秋和国庆共有连续8天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要

有人值班.任选两名员工各值3天班，剩下的一名员工值2天班，且每名员工值班的日期都

是连续的，则不同的安排方法数为.

io.若平面上的三个单位向量之、b,"满足|屋4=芋，则加"的所有可能的值

组成的集合为

+00+00

11.已知数列｛为｝为无穷等比数列，若则的取值范围为

Z=1Z=1

12.已知点尸在正方体ZBCD-45clA的表面上，尸到三个平

面/BCD、ADD&、28及4中的两个平面的距离相等，且尸

到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则

满足条件的点P的个数为.

二'选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)

每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.已知a、beR,a>b,则下列不等式中不一定成立的是()

(A)a+2>b+2(B)2a>2b(C)a2>b2(D)2a>2b

14.某校读书节期间，共120名同学获奖(分金、银、铜三个等级)，从中随机抽取24名同学

参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级

分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人.下列说法正确的是()

(A)高二和高三年级获奖同学共80人(B)获奖同学中金奖所占比例一定最低

(C)获奖同学中金奖所占比例可能最高(D)获金奖的同学可能都在高一年级

15.已知复数为、z?在复平面内对应的点分别为尸、Q,|OP|=5为坐标原点)，且

-Zlz2-sm0+z^0,则对任意。eR,下列选项中为定值的是()

(A)\OQ\(B)\PQ\(C)△OPQ的周长(D)△。尸°的面积

16.已知函数了=/(x)的导函数为y=/，(x),xeR,且了=/'(x)在R上为严格增函数，关

于下列两个命题的判断，说法正确的是()

①“国>尤2"是“/(%+1)+/(X2)>/(%；)+/(9+1)”的充要条件；

②“对任意x<0,者隋/(x)</(0)”是“了="X)在R上为严格增函数”的充要条件.

(A)①真命题；②假命题(B)①假命题；②真命题

(C)①真命题；②真命题(D)①假命题；②假命题

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出

必要的步骤.

17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

如图，在四棱锥P-48CD中，底面45CD是边长为。的正方形，侧面尸/。,底面

ABCD,且P4=PD=旺a，设E、尸分别为PC、5。的中点.

2

(1)证明:直线环〃平面PAD；

(2)求直线PB与平面ABCD所成的角的正切值.

18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

在△ZBC中，角4B、C所对边的边长分别为a、b、c,且a—2ccosB=c.

(1)若cosB=；,c=3,求6的值；

(2)若△4BC为锐角三角形，求sin。的取值范围.

19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者

被称为“小青荷”.某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青

荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下:

男生小青荷女生小青荷

会说日语812

会说韩语mn

其中也、〃均为正整数,6〈加〈8.

(1)从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少

有一名会说日语的概率；

(2)从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用N表示事件“抽到的小青荷是男生”,

用8表示事件“抽到的小青荷会说韩语”.试给出一组打、”的值，使得事件/与8相互独立,

并说明理由.

20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，

第3小题满分8分)/

已知0<0<4,曲线I；、匕的方程分别为6/—

2O\2468x

y2=2px(0Vx<8/20)和—=2py(0<y<8,x>0),却与匕在第一象限内相交于点

K(%K/K),

(1)若|OK|=4&,求夕的值；

(2)若P=2,定点T的坐标为(4,0),动点M在直线歹=无上，动点

Ng,%)(04对三旬在曲线「2上，求|上加|+\MT\的最小值；

(3)已知点%)(0«莅«%长)、8(%2,%)(/</(8)在曲线—上，点4、B关于

直线y二％的对称点分别为。、D,设|/。|的最大值为羽，的最大值为人若

m1

ye[1,2],求实数夕的取值范围.

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

已知aeR,/(x)=(<2-2)x3-x2+5x+(l-a)lnx.

(1)若1为函数y=/(x)的驻点，求实数a的值；

(2)若a=0,试问曲线y=/(x)是否存在切线与直线》-〉-1=0互相垂直？说明理由;

(3)若a=2,是否存在等差数列%,》2，工3(0<占<》2<七)，使得曲线歹=/(x)在点

(尤2，/(9))处的切线与过两点(国,/(七))、(工3，/13))的直线互相平行？若存在，求出所有

满足条件的等差数列；若不存在，说明理由.

参考答案与评分标准

填空题1.-2；2.1；

3.4；4.6；5.6乃；6.y=+x;

2〃c

7.----；8.3；9.18；10.11.［2,+oo)12.6.

3

二.选择题13.C；14.D；15.A；16.C.

三.解答题

17.(1)[证明]连接AC,•・•/BCD为正方形且R为8。的中点,

・••尸为/C的中点,又•••£为PC中点，

：.EFHPA.................................................2分

又：EF不在平面PAD上，上4u平面PAD,

£9〃平面口。................................6分

也

△尸为等腰直角三角形，

取/。中点由等腰三角形性质可知尸ML4。，........................8分

又•.•平面上4。,平面48CO,平面「ADC平面48CD=40,

PM1^-^ABCD,................................................................10分

连接BM，则ZPBM为直线PB与平面ABCD所成的角......................12分

由刊/=1见血/=坦。，9，〃8可得1211/尸瓦1/=坦，

225

直线PB与平面ABCD所成的角的正切值为鼻.................................................14分

18.［解］(1)将cosB=；,c=3带入条件中可得a=5............................................2分

由余弦定理〃=a2+c2-2accos5可得6=276;.....................................6分

(2)a-2ccosB=c,由正弦定理可得sin/-2shiceos5=sinC,..........8分

sinA=sin(S+C)=sinBcosC+cos5sinC,

sinBcosC-sinCcos5=sinC,sin(B-C)=sinC,.............................10分

TTTTTT

•.•8—Ce(—5，万),。6(0,5),所以5—。=。,即8=2。，..............12分

JTJT1

又因为△/5C为锐角三角形，：.CesinCe........................14分

19.[M](1)从这36名小青荷中随机抽取两名的方法数为C；6................................2分

抽取的两名都不会说日语的方法数为G3.............................................4分

C217

因此，抽取的两名中至少有一名会说日语的概率为1-着=q；......................6分

。3621

(抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的方法数为C；o+C；°C；6给2分)

(2)当加=6、”=12时，事件/与8相互独立..........................8分

理由如下：

121

从这些小青荷中随机抽取一名，事件A发生的概率P(A)=—=~,

363

事件8发生的概率尸(8)="U=±................................................10分

362

事件/与8同时发生的概率尸(4口5)=三=3...................................................12分

366

p⑷.尸⑻义富力同为，

因此，事件“与5相互独立...........................14分

17+1477

(其它答案：当加=7、〃=14时，P(，)=7，P(B)=——=—,P(^n5)=—;

3361236

当加=8、〃=16时，尸(4)=，,P(B)=8+16=2=—=—.)

3363369

(2)［另解］从这些小青荷中随机抽取一名，事件/发生的概率P(Z)=!!=:,

363

事件B发生的概率尸(5)=--,.....................................8分

36

事件/与5同时发生的概率尸(4口5)=*,.....................................10分

36

1勿2+/YY}

若事件/与5相互独立，则尸(Z)•P(B)1x――=—=P(^AB),

33636

整理得〃=2加，....................12分

所以可取加=6、〃=12或加=7、〃=14或加=8、n=16........................14分

(学生只需写出三种情况中的一种即可)

V=2DX

20.［解］(1)联立/P，由点K%JK)在第一象限，得

x=2py

yK=2P

由|OK|=4/，得2⑸=4/，所以0=2；……4分

(2)曲线「1和口关于直线〉对称，

取N关于y=x的对称点N',则N'在曲线

y2=4x(0<x<4,y>0)_t,......................6分

又因为3力

所以只需求7到r=4x(0<x<4,j>0)上动点N'的距离|7W［的最小值，

令N'(x,26)(0Kx<4),则叩［=J(4-x)2+4x=&-4x+16,...........8分

当x=2时，|7N［的最小值为26,.•.(|〃M+MT|)mm=26

所以(当M(8—48,8—4行)，N(20,2)时)性叫+|〃刀的最小值为2JL...10分

(3)由(1)可得

2凡fI

|/C|==0|X]72PxiI，(OW尤]<2p),

V2

2I%-为I

\BD\==y[2\x,一，2PxiI，(2/)<X<8)»12分

~1T~2

0

因此当再=或■时,m=——p,

2

当乙=8时，t=4后(2-,14分

由依€七,2],得一

16分

t2216-87F

解得16—8640«160—64遍.18分

1一ZY

21.[解](1)由题意八X)=3("2)X2—2X+5+——,..............2分

X

由1为函数y=/(X)的驻点,得广⑴=3(〃—2)+3+(1—“)=0,

因此。=1；...................................4分

(2)当Q=0时，/(x)=-2x3-x2+5x+lnx,

1

/'(x)=-6x92-2x+5+—,.................................6分

x

原问题等价于是否存在x0>0,使得/'(X。)+1=0,

令g(x)=f'(x)+1=-6x2-2x+6+-(x>0)

X

因为函数〉=g（x）在区间g,l］上是一段连续曲线

且gg)=T>°，g(l)