2023年高考考前信息必刷数学试卷2 （解析版）

2023年高考数学考前信息必刷卷2（新高考地区专用）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.如图，两个区域分别对应集合4&其中A={-2,-1,0,1,2},8={xeN|x<4）.则阴影部

分表示的集合为（）

A.{0,1,2}B.{0,1}C.{-2,-1,2}D.{-2,-1}

K答案》D

K解析》由题意知,A={—2,—l,0,l,2},3={xeN|x<4},

阴影部分表示的集合为AQ,B,

因为8={xeN|x<4}={0,l,2,3},

所以A4，B={_2,T}.

故选:D.

2

2.已知复数z=l+"（其中i是虚数单位）JlJz+z=（）

A.1+V3iB.3+GiC.5+©D.-l+行

K答案1D

K解析》因为z=l+>/3i,

所以22+彳=（1+后）-+1-6=1+24-3+1-后=-1+疯

故选：D.

3.随机变量X的分布列如表所示，若E（X）=g,则£>（3X-2）=（）

卜口：1

A.9B.7C.5D.3

（答案Uc

K解析HE（x）=g,

••・由随机变量X的分布列得:

,6.］，解得“=；，b=；,

--+b=-'

63

,..D（X）=（-I—!-）2X-!-+（O--）2X-!-+（I--!-）2X-!-=-.

3633329

D（3X-2）=9£>（X）=9x1=5.

故选：c.

4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》

中“物不知数''问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯

得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理“，此定理讲的是关

于整除的问题，现将I到2023这2023个数中，所有能被3除余1且被7除余1的数按从小到

大的顺序排成一列，构成数列｛5｝,则该数列共有（）

A.97项B.98项C.99项D.100项

K答案UA

K解析》所有能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，

所以，a„=l+21（n-l）=21n-20,

2

由14442023可得1<21/?-20<2023,解得14"497,,

因此，数列｛4｝共有97项.

故选：A.

TT

5.在,A8C中，AB=8,AC=6,4=§,点E,尸分别在边A8,AC上，且线段所平分

43c的面积，则线段瓦■的最小值为（）

A.V13B.2而C.y/26D.2不

K答案UB

K解析XtSAE=m,AF=n.

根据三角形面积公式可得，sARC=gA8•AC•sinm=126,

SAFF=1AE-AF-sin—=—mn>

""234

又SAEF=~SABC,mn=24.

根据余弦定理可得EF2=AE2+AF2-2AE-AFcos-=m1+n2-mn>2mn-mn="〃=24

3

当且仅当机=〃=2"时，等号成立，.的最小值为2a.

故选：B.

6.在直三棱柱ABC-ABC中，ZBAC=90,AB=AC=AAt=2,E,F,D,分别是

BC,AG.4G的中点，则下面说法中正确的有（）

C.直线瓦'与平面A8C所成角的余弦值为孚

D.点。到平面8b的距离为好

9

K答案》A

K解析》直三棱柱ABC-A&G中，/&4C=90,故可建立如图所示空间直角坐标系

A-xyz,

则有

A（0,0,0）,8（2,0,0）,C（0,2,0），A（0,0,2），A（2,0,2），G（0,2,2）,0（1,1,2）,E（1,1,0）,产（0,1,2）,

EF=（-l,0,2）,BD=（-l,l,2）.

对A,平面44乃乃的其中一个法向量为AC=（0,2,0）,由EG4C=0，平面

故防〃平面A错；

对B,由所？8。5得与EF不垂直，B错；

对C,平面ABC的其中一个法向量为A4,=(0,0,2),则

EFxA<_4_2石

cos(^EF,AA^

同|匐R25

则直线所与平面ABC所成角的余弦值为sin(EF,A4,C错;

对D,BC=(-2,2,O),CF=(O,-l,2),设平面8CF的法向量为〃=(x,y,z),则有

〃BC=-2x+2y=0

令x=2得〃=(2,2,1),

n-CF=-y+2z=0

故D到平面BCF的距离为184cos(82n)=节^=|,D错.

故选：A.

7073J-7073

7.已知〃=tan------，8=e2023c=-------,则〃，b,c大小关系是()

20222022

A.c<b<aB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

R答案XD

3i3

K解析U令/(x)=tanx-x,则尸(x)=--——1>0,即当时,

2cos-x2

盟x)>0，

〃x)在(l.j)上单调递增，...逅J>/⑴，

20232023

tan>tan1-1>0即〃>c；

2022202220222022

令

g(x)=lnx+1-lx^r(x)=———7=—y->0,

(2023、

g(x)在(L+°o)上单调递增，Jg(亚^J>g(l)=°，

।2023,11

In------>1—=------

202220232023，

2022

・・.些,e福，即c〉b,综上可知：b<c<a.

2022

故选：D.

8.P、Q、R是等腰直角三角形ABC（NA=/）内的点，且满足NAP8=N3PC=NCR4,

ZACQ=ZCBQ=ZBAQ,sin4R4+sin8RB+sinCRC=0，则下列说法正确的是（）

A.PAPB>QAQB>RARB

B.QAQB>PAPB>RARB

C.RARB>PAPB>QAQB

D.RARB>QAQB>PAPB

K答案》c

R解析》sinARA+sinBRB+sinCRC=0

.■.^-RA+^-RB+^-RC=O（正弦定理）

2A2A2A

:.aRA+hRB+cRC=O

：.cRC=-aRA-bRB

cRC=-a（RC+C4）-b（RC+CB）

/、

/,\DCsi>ACBCACBC

「.（〃+/?+（?）RC.=ciAC+bBC=cib--b---Fciba=cib阪r+前-；r

R在ZACB的角平分线上，同理可证R在N8AC,ZABC的角平分线上，

；./?为内心

如图所示

由ZAPB=NBPC=NCPA知,这三个角都是120

且P在28AC的平分线AR上，延长AR交8c于点D

取AB=6,则BD=AD=3垃,NPBC=30

得瓜

PD=,=PB=2^,PAAD-PD=3叵-瓜

所以PA.PB=（3&-&）-26.cosl20=6-66

记一ABC的周长为CABC

由题意知&是一ABC的内心，内切圆半径RD=等"=z£后=6-3后

C^ABC6+6+6V2

RA=AD-RD=6y/2-6

所以RB-RA=（RD+DB）/iA=RDRA+DB/iA

=-（6-30）«6&-6）+0=72-54夜

由ZACQ=N8AQ,且/8AQ+ZCAQ=ZBAC=90

则NACQ+/CAQ=90

所以NAQC=90，即AQ^CQ,则。在以AC为直径的圆上

由NCBQ=ZACQ,JLZACQ+NBCQ=ZACB=45

所以ZCBQ+ZBCQ=45，得NBQC=135,NAQ8=135

由NBQC=XAQB,NBCQ=NA8Q,得/XBQC^AQB

BQBC®

所以--==72

AQAB

设AQ=x,BQ=信，在一A3。中由余弦定理得

x2+2x2-62=2x->/2x-cosl35J

解得x2-y

所以QAQ2=x.VLrcosl35=-x2=-=-1.2

由PA-PB=6-々6-6x1.732=-4.392

RBRA=J2-5472=-4.356

所以RBRA>PAPB>QAQB

故选:C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.在（5-xj的展开式中，下列说法正确的是（）

A.不存在常数项B.二项式系数和为1

C.第4项和第5项二项式系数最大D.所有项的系数和为128

K答案UAC

K解析H因为展开式的通项公式为

7

对A,由2〃-7=0,得/*=］（舍去），所以展开式不存在常数项，故A正确;

对B,二项式系数和为2’=128,故B错误；

对C,展开式共有8项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故C正确;

对D,令x=l,得所有项的系数和为(2-1)7=1,故D错误；

故选：AC.

R解析2令g(x)=2'+2-，，函数定义域为R,由g(-x)=2-、+2'=g(x),故

g(x)=2'+2T为偶函数.

当k=0时;函数〃x)=2'+2T为偶函数，且其图像过点(0,2),显然四个选项都不满

足.

当上为偶数且A40时，易知函数〃(x)=x”为偶函数，所以函数/(x)=4(2，+2f)为偶函

数，其图像关于y轴对称，则选项C,D符合，

若人为正偶数，易知选项C符合；若及为负偶数，易知函数〃%)=/・(2'+2-')的定义域

为卜|田｝,排除选项C,D.

当上为奇数时，易知函数Mx”/为奇函数，所以函数〃月=/・(2，+2-，)为奇函数，其

图像关于坐标原点对称，则选项A,B符合，

若k为正奇数，易知选项B符合；若％为负奇数，易知函数/(*)=/・(2*+2-*)的定义域

为｛x|xH0｝,易知选项A符合.综上，选ABC.

故选：ABC.

11.已知数列｛5｝,4=1,a/,,M=22"T(”wN*),｛q｝的前〃项的和为S,,前〃项的积为

T„,则下列结论正确的是（）

n(2n-l)

A.%=2B.­=4C.S,=2"-lD.T2„=2

an-\

K答案DBCD

K解析》数列｛%｝中，卬=1,的,用=22"T("eN)

当九=1时,则有=2,可得出=2,

当“22时，由q,%=221可得44=2*3,

上述两个等式相除可得也=4,B对；

所以，数列｛《,｝中的奇数项和偶数项分别成以4为公比的等比数列，

当〃为奇数时，设〃=2左-1（%eN*）,则4=%T=q.4i=22i=2"T,

当〃为偶数时，设〃=2k（&eN*）,则为=4，=%-4'7=2"-1=2",，

2

故对任意的〃eN*,a„=2'-',所以，a3=2=4,A错；

a9W

箕=声=2,所以数列｛%｝为等比数列，且该数列的首项为1,公比为2,

1—2”

则S“二——=2〃-1,C对；

〃1-2

&=a。％/"=2°小2+心-i)=22=2@T)，D对.

故选：BCD.

12.已知曲线=：/=16》，直线/过点/（4,0）交「于A,8两点，下列命题正确的有

（）

A.若A点横坐标为8,则|明=24

B.若P（2,3）,则|M+|AF|的最小值为6

C.原点。在A8上的投影的轨迹与直线6=0有且只有一个公共点

D.若AF=2FB，则以线段A8为直径的圆的面积是8E

K答案DBCD

K解析》对于A,易得产（4,0）是抛物线r：y2=i6x的焦点,

若A点横坐标为8,则y；=16x8=以=±8夜，即A（8,80）或A（8,-8夜），根据抛物线的

对称性可得两种情况计算出的|A8|相同，再此取98,80）计算.

所以/的直线方程是y

.y2=16x

直线与「：y2=i6x相交，联立方程得.厂_10丹16=0,

y=2\J2x-8V2

得石+工2=1°，|阴=玉+w+p=10+8=18,故A错误；

对于B,过点4作准线的垂线，垂足为A，贝!当P,4,A三点共线

时|AP|+|A曰取最小值，此时最小值为|叫=%+勺2+4=6,故B正确；

对于C,设原点0在直线/上的投影为“，。尸的中点为。（2,0）,

因为所以NO"=90。，所以OHF为直角三角形,所以

|/7D|=l|OF|=|x4=2,

根据几何性质及圆的定义可知点〃的轨迹方程为（x-2『+y2=4（yH0）,联立

x+\/3y-6-0.2

:、，，，、得丁-2回+3=0/=2五—4xlx3=0,

（x-2）+y=4（yw0）''

解得y=>5,所以直线x+Gy—6=0与（x—2）2+y2=4（ywO）只有一个交点，故C正

对于D,设直线/的方程为x=ty+4,联立得9-16。，-64=0,所以

yi+y2=\f>t,yxy2=-M,

因为AF=（4-X],-yJ,尸8=（》一42，%），而AE=2FB，所以-%=2%，

所以）L+%=+%=-%=16f,所以必=T6r,y=-2y,=32r,

所以％为=32产=-64,解得”土孝，

则乂+%=16/=±4逝,yty2=-64,

所以回_%|=J（3+必）2_4%当=,（4&）-4x（-64）=12&，

恒用=庐下加-必|=18,所以以线段AB为直径的圆的面积是5=苧=工普=8bi,

故D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x+1>a.若是假命题，则实数。的取值范围是

13.设命题P：

X

K答案U（田,2）

K解析H因为f是假命题，

所以P是真命题，

（41厂）

因为,

\7

所以y==2,

当且仅当］=匕即％=1时，等号成立，

x

所以"2,

所以实数。的取值范围是（口,2）,

故K答案H为：（3,2）

14.某种食盐的袋装质量X服从正态分布N（400,16）,随机抽取10000袋，则袋装质量在

区间（396,408）的约有袋.（质量单位：g）

附：若随机变量X服从正态分布Nj。?），则P（〃—b<X<〃+b）=0.6827,

P（〃-2cr<X<〃+2cr）=0.9545,P（〃-M<X<〃+3<T）=0.9973.

K答案》8186

K解析X由题意知，X~y（400,42）,

所以P（396<X<404）=0.6827,尸（392<X<408）=0.9545,

得P(396<X<408)=尸(392<X<408)-P(392<X<396)

=P(392<X<408)-g[P(392<X<408)-P(396<X<404)]

=0.9545--(0.9545-0.6827)=0.8186,

2

所以袋装质量在区间(392,408)的约有10000x0.8186=8186袋.

故R答案H为：8186.

15.先将函数/(x)=cosx的图象向左平移m27c个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐

标变为原来的,3>0),纵坐标不变，所得图象与函数g(x)的图象关于x轴对称，若函数

CD

27r7E7T

g(x)在0,y上恰有两个零点，且在-五，而上单调递增，则。的取值范围是

K答案》》4

K解析》函数/(X)的图象向左平移7个单位长度，得到产cos[x+《J的图象,

再将图象上所有点的横坐标变为原来衅，纵坐标不变，得到…os5+g的图象,

因为函数g(x)的图象与y=COS〔0X+与J的图象关于X轴对称,

sin(s+H

I6r

e、rc2ll兀兀,It

因为04x4；兀，所以七4。犬+/4丁兀+7，

36636

又因为g(x)=sin"+^)在0,y恰有2个零点，且sin(E:)=0,keZ,

所以。争+**解得+J

令-尹2y3台>2阳，&eZ,得.各誓4三畀等,&wZ,令

&=0,得g(x)在-弃，在上单调递增，所以TITI27c兀

2兀71

--—―--

3。-12

所以又3>0,解得0〈844.

7in

[

综上所述，詈。“，故。的取值范围是卜

故隋案】为：卜

16.己知函数y=,-2x-l|的图象与直线y=双机eR)有四个交点，且这四个交点的横坐

标分别为。，b,。，d(a<b<c<d),则4+。+。+d=；2(d-4)+(c-b)的最大值

为.

R答案』446

x=ayx=d是方程工2_2工—1二6的两根，

则a+d=2,ad=-l-m,

x=b,x=c是方程“2一2X-1=一机的两根,

则匕+c=2,bc--\-\-m,

,\a+b+c+d=4.

d>a=d-a>0,.*•d—a=\J(d—a)2=J(d+a)?—4ad=2\j2+m,

c>h=>c-h>0,/.c-b=yl(c-h)2=J(c+Z?>-4历=2d2-m,

2(d—a)+(c—b)=4)2+/〃+2d2-m,

令=4<2+m+2,2-〃z,0<m<2f

J8-4/九一<2+m

则r(M=

,2+m.5/2—"7

令8-4m>2+m,解得。<加<《，此时/'(机)>0,单调递增,

令8-4相>2+〃?，解得［<m<2,此时/'(㈤<0,/()%)单调递减,

/(Mm"=火|")=4技

故R答案X为：4；4\/5.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)在..ABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c.已知

sinA+V3cosA=0"

(1)求角A的大小；

(2)给出以下三个条件：①“=46，匕=4；②层一/+02+106=0；③

若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：

(i)求sinB的值；

(ii)/8AC的角平分线交8C于点。，求AD的长.

(1)解：因为si〃A+&cos4=0，若cosA=0,则sin4=0,不满足sin。A+cos2A=1,

2兀

所以，tanA=—>/3>0<A<7c,/.A=.

(2)解：由4弯及①，由余弦定理可得。2=/+,2-2机，cos?,HPC2+4C-32=0，

Qc>0,解得c=4；

由A=及②，由余弦定理可得层+c2—a2=2bccosA=—be，

由6一片+02+]0〃=。可得10〃-0C=0,可得c=10；

由4普及③，由三角形的面积公式可得5/=/5出4=¥乩=15石，可得历=60.

经分析可知①②不能同时成立，①③不能同时成立，正确条件为②③，故b=6,c=10.

(i)将b=6,c=10代入②可得36—。2+]0()+60=0可得0=14.

ab28o同

在_ABC中，由正弦定理^—-=——-=-/T,故sin8=-

sinAsinB，314

I2冗17T1JT

（ii）因为SABC=SABO+5ACO，即5%csiny=5。・4。$抽3+2力A£>sin§,

.„be6015

所rri以sl，AD=--.

b+c164

18.（12分）己知｛%｝为等差数列，前”项和为S"，若SS=4S2，a2n=2an+l

（I）求知

（2）对VmeN*,将0｝中落入区间（2",22”）内项的个数记为仇｝,求｛（-1）”也,｝的和.

解：（1）设｛q｝的公差为d,

所以S4=4S,=>4a।+6J=4（%+d）,

%“=2an+l=>q+（2〃-l）d=2[%+（w-l）t/]+l,

解得q=l,d=2,

所以a“=2”-1

(2)由题意可得2"'<2〃-1<22"'=21<〃<岂21,即2"‘T+■!■<〃<2*1+工，

2222

因为weN”,所以2"i+lV〃W2”"T,

所以〃"=22"i—2",㈠)"也=(-1)"'22&,

所以北［

)l-H)

19.（12分）在数学探究实验课上，小明设计了如下实验：在盒子中装有红球、白球等多

种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球，不放回.

（1）若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次.

①求摸出的两个球中恰好有一个红球的概率；

②记摸出的红球个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

（2）若1号盒中有4个红球和4个白球，2号盒中有2个红球和2个白球，现甲、乙、丙

三人依次从1号盒中摸出一个球并放入2号盒，然后丁从2号盒中任取一球.已知丁取到

红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率.

解：（1）①设事件4=”摸出的两个球中恰好有一个红球”，

C'C115

0(4)=—^=——

Cj28

②X可取0,1,2,则尸(X=Z)=c；，其中k=0,l,2.

「（x=o）=罟4,尸罟嘴P（X3警

故X的分布列为

X012

5153

P

2828

1533

则E(X)=1X2+2X±=3

28284

（2）设事件3=“丁取到红球”，事件C="甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”.

4

当甲，乙，丙三人取得1个白球，则丁取到红球概率为X7；

C'C23

当甲，乙，丙三人取得2个白球，则丁取到红球概率为中'5；

C32

当甲，乙，丙三人取得3个白球，则丁取到红球概率为**亍；

C35

当甲，乙，丙三人取得3个红球，则丁取到红球概率为涓■又不.

I

CC4,C©3,C：2

C；7C；7C；744

则所求概率为尸(。8)=

_C_-：♦75I___C__4；C4[49

-TX------1-----------;—

c：7C；7C：7C7

20.(12分)如图，在四棱锥P—ABC。中，BDYPC,Z48C=60。，四边形ABC。是

__UU1ULH1

菱形，PB=42Afi=42PA,E是棱尸。上的动点，且PE=/IPZ).

(1)证明：H_L平面A8CD

(2)是否存在实数2,使得平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值是2叵？若存

29

在，求出4的值；若不存在，请说明理由.

(1)证明：因为四边形A8CD是菱形，所以BD_LAC.

因为8DJ.PC,AC,PCu平面尸AC,且ACPC=C,

所以▲平面PAC.因为R4u平面P4C,所以8£>_LB4.

因为PB=CAB=gPA，所以依2=45?+/%2,所以AB_LP4.

因为AB,8Du平面A8C0,且A3BD=B,所以平面4BCD.

(2)解：取棱CD的中点尸，连接4尸，易证AB,AF,AP两两垂直，故以A为原点，分

别以AB,AF»AP的方向为X，y，Z轴的正方向，建立空间直角坐标系.

设AB=2,则A（0,0,0）,C（l,5/3,0）,D（-l,73,0）,尸（0,0,2）,

故AC=（1,0,O）,PO=（-1,3-2）,AP=（0,0,2）.

因为庵=2茄，所以PE=p,6Z-2/l）,则4£=”+尸£=卜儿包,2-24.

n-AC=x+\/3y-0

设平面ACE的法向量为n=（x,y,z）

n-AE-=-2x+\/32y+（2-2A）z=0

平面PAB的一个法向量为加=（0,1,0）.

设平面PA8与平面ACE所成的锐二面角为，，则

12M

r322=，

4/4H---------------

V22-22+1

整理得3万+24—1=0,解得，=；或几=-1（舍去）.

故存在实数2=1,使得平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值是巫.

319

21.（12分）已知过点（Le）的椭圆E：5■+£=1（。>〃>0）的焦距为2,其中e为椭圆E

的离心率.

（1）求E的标准方程；

（2）设。为坐标原点，直线/与E交于AC两点，以。4,OC为邻边作平行四边形

OABC,且点B恰好在E上，试问：平行四边形Q4BC的面积是否为定值？若是定值，求

出此定值；若不是，说明理由.

解：（1）设椭圆E的焦距为2c,则c=l,e=£=L,

aa

1

由题意可得3+段=1,解得m

abb~=i

a2=b2+\

故E的标准方程为E+V=i.

2

（2）平行四边形。钻。的面积为定值逅，理由如下:

2

由（1）可得：a=\/2,b=i,则有：

当直线/的斜率不存在时，设。（冷-乂）,

若Q4BC为平行四边形，则点B为长轴顶点，不妨设可友,0）,

丘0

%=彳X'=T

可得2解得「

玉21

y+Ji=1|皿邛

故平行四边形OABC的面积S=2x'x夜x^=迈；

222

当直线/的斜率存在时,设/：）=kx+m（mH0）,4（具三）,5（々,%），

y=kx+m

联立方程X?,,消去y得（1+2K+4k/zx+2m2—2=0,

.万+y=1

22

则△=16km-4（1+2公）（2/—2）=8（2犷一M+1）>0,3+w=-J；）,x[x2=

4k2m2m

口[得X+丁2="l+m+仇+〃2=R（%+%2）+2团=------2机=--------

1+2k1+2k

*/04=（不，乂）,0。=（々,乂），

uniuuruun（4km2m\

若。ABC为平行四边形，则OB=04+OC=（x+X2，X+y2）=-FJ，TF，

I14~2K1+ZK）

2

4km

,-J4km2m2

即点§一K',在椭圆上，则1+2公2m

4-1=1'