向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册

第七章空间解析几何

一、选择题

1.在空间直角坐标系中，点（1,-2,3）在[D]

A.第一卦限B.第二卦限

C.第三卦限D.第四卦限

2.方程2/+y2=2在空间解析几何中表示的图形为[C]

A.椭圆B.圆C.椭圆柱面D.圆柱面

x-1_y+1_z+1—x+y—1—0

3.直线:与4：<-,的夹角是[C]

423x+y+z-2=0

nn

A.—B.C.—D.0

42

4.在空间直角坐标系中,点(L2,3)关于xoy平面的对称点是[D]

A.(-1,2,3)B.(1,-2,3)

C.(-1,-2,3)D.(1,2,-3)

5.将xoz坐标面上的抛物线Z2=4X绕z轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B]

A.z2=4(x+y)B.z2=±4y1x2+y2

C.y2+z2=4xD.y2+z2=±4x

6.平面2x-2y+z+6=0与xoy平面夹角的余弦是[B]

7.在空间直角坐标系中，点(1,2,3)关于yoz平面的对称点是[A]

A.(-1,2,3)B.(1,-2,3)

C.(-1,-2,3)D.(1,2,-3)

22

8.方程之+与=?2表示的是[B]

ab

A.椭圆抛物面B.椭圆锥面C.椭球面D.球面

9.已知5二{0,3,4},K={2,1,-2},则p%y•胆=[C]

1

A.3B.--C.-1

3

10.已知。力为不共线向量，则以下各式成立的是D

A.a2b2=(&•4B.a2xb2=(<2xZ?)2

C.(〃・b)2=(ax/?)2D.(a•b)2+(axZ?)2=a2b2

x+y+z=Ox+y+z=Q

ii.直线4的方程为<直线，2的方程为，则与

31x-30y-29z=030x-31y-30z=0

12的位置关系是D

A.异面B.相交C.平行D.重合

12.已知A点与B点关于X0Y平面对称，B点与C点关于Z轴对称，那么A点与C点是C

A.关于X0Z平面对称B.关于Y0Z平面对称

C.关于原点对称D.关于直线x=y=z对称

13.已知A点与B点关于Y0Z平面对称，B点与C点关于X轴对称，那么A点与C点C

A.关于X0Z平面对称B.关于X0Y平面对称

C.关于原点对称D.关于直线x=y=z对称

14.下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的C

A.x?+y，+z~=1B.x?+y~+z=1C.x~+y+z=lD.x+y2+z?=1

15.已知。力为不共线向量,则下列等式正确的是C

A.同a="B.a.(a・b)=bC.a•(b・b)=ab2D.a2b2-(a»b)2

16.已知向量a=(l,2,l),"=(-3,4,-3),那么以为两边的平行四边形的面积是B

B.10A/2D.572

x+2y+3z=0

17.已知直线/方程'与平面九方程一x+z+2=0,那么/与%的位置关系

3x+4y+5z=0

是C

A./在万内B./垂直于%C./平行于%D.不能确定

18.两向量。力所在直线夹角一，ab<0,那么下列说法正确的是B

4

A.a,b夹角上reB.a,b夹角3二7rC.b夹角可能37二r或T2CD.以上都不对

4444

19.已知|a|=l,Ib|=V2,且(a,b)=生,则|a+b|=(D).

4

(A)1(B)1+V2(C)2(D)75

x+3y+2z+1-0

20.设有直线)及平面万：4%—2y+z—2=0,则直线£(C)o

2x-y-10z+3=0

(A)平行于九(B)在万上(C)垂直于乃(D)与万斜交

fx2z21

2l.双曲线，45绕z轴旋转而成的旋转曲面的方程为(A).

。=0

2,2222,2

工」+z=i

(A)—=1(B)

4545

(y+Z)2

(0(D)---------------------------二1

445

22.点（a,A,c）关于y轴对称的点是（D）.

(A)(—a,-瓦—c)(B)(tz,—Z?,—c)(C)(a,b,—c)(D)(-a,b,-c)

23.已知a={4,-3,4},b={2,2,1},则尸片,(a)=(A).

6

(A)2(B)-2(D)

屈

24.必―J?=1在空间表示（D）.

（A）双曲线（B）双曲面（C）旋转双曲面（D）双曲柱面

25.设a与b为非零向量，则2*6=0是（C）.

（A）a=b的充要条件（B）a，b的充要条件

（0a〃b的充要条件（D）a〃b的必要但不充分条件

26.设平面方程为"+口+。=0,其中A,C,£＞均不为零，则平面（B）.

（A）平行于x轴（B）平行于y轴（C）经过x轴（D）经过y轴

27.已知等边三角形AABC的边长为1且3C=a,G4=b,AB=c,则

ab+bc+ca=(D).

(A)y(B)y(C)—y(D)—y

28.点M(2,-3,1)关于坐标原点的对称点是(A)

(A)(-2,3,-1)(B)(-2,-3,-1)

(0(2,-3,-1)(D)(-2,3,1)

29.平面2x-3y-5=0的位置是(B)

(A)平行于X0Y平面(B)平行于Z轴

(C)平行于YOZ平面(D)垂直于Z轴

30.点A(-2,3,1)关于Y轴的对称点是(D)

(A)(2,-3,1)(B)(-2,-3,-1)

(C)(2,3,-1)(D)(2,-3,-1)

31.过点（0,2,4）且与平面x+2z=l和y-3z=2都平行的直线方程是（C)

(A)U=z(B)

%_j-2_z-4

(04一丁「(D)—2x+3(y—2)+z—4—0

32.二个平面上+2+4=1和2x+3y-4z=l位置关系是(A

234

(A)相交但不垂直(B)重合

(C.)平行但不重合(D.)垂直

x-2y+4z-7=0

33.过点(2,0,-3)且与直线［3"+5'—2z+l=°垂直的平面方程是(4)

⑷-16(x-2)+14()；-0)+ll(z+3)=0

(B)(x—2)—2(y—0)+4(z+3)=0

©3(x-2)+5(y-0)-2(z+3)=0

(D)-16(%+2)+14(y+0)+H(z—3)=0

34.向量。=.仇H与三坐标轴的夹角分别为,则a的方向余弦中的

cos夕=(A

(A)+人2+02(B)J〃+。+c(c)J〃+。+c⑴)飞a+/?+c

22

35.已知曲面方程z=-二+勺(马鞍面)，这曲面与平面z=h相截，其截痕是空间

a2b2

中的(B)

A.抛物线；B.双曲线；C.椭圆；D.直线。

36.点(3,1,2)关于XOZ平面的对称点是(B)

(A)(-3,1,2)(B)(3)-1,2)

(0(3,1,-2)(D)(-3,-1,2)

4%2-9y2=36

绕X轴旋转一周，形成的曲面方程是(C

422222-22

(A)(x+z)-9y=36⑻4(x+z)9(y+z)=36

2222

(C)4X-9(/+Z)=36⑻4x-9y=36

38.准线为XOY平面上以原点为圆心、半径为2的圆周，母线平行于Z轴的圆柱面方程是

(B)

222y-=4

x+y=o(B)x+

(C)X2+y2+4=0⑻x2+y2+z2=4

39.球面d+J+与％+z=a的交线在XOY平面上的投影曲线方程是(

D)

](a-zp+J+z2f2

(A)—zRK葭2(b)|z=0

2222

2＜x+y+(a-x)=k

(C)，+y2+(a—x)2*⑻V=0

40.向量a={4,4,4}、B={3x，历，3z}垂直的充分必要条件是(A)

(A)a・B=0(B)aX0=0

4_Ay_Az_

(C)BxByBz⑻a-3=0

二、填空题

1.同=3网=4,卜+,=7,则口_6=1

22

2.有曲面方程乙+二=2z,当pq〈0时，方程表示的曲面称为双曲抛物面

PQ

3.母线平行于X轴且通过曲线＜2x；+丁；+Z；=：6的柱面方程是3y2z2=16

一一一一3

4.已知五，BE都是单位向量，且满足万+6+亍=0,则之++=——

2

5、XOZ平面内曲线/=2绕*轴旋转，所得曲面方程为x4=y2+z2

6.已知向量04=(1,2,3),向量08=(2,3,4),那么三角形。43的面积是-y

7、已知平面"]:x+2y+z+3=0与〃2：-3x+y-z+l=0,则其夹角为arccos

522

8.点(―1,2,0)在平面上x+2y—z+l=0的投影为

9.设有直线小.=空x-y=67T

与右：＜则乙与4的夹角为工

12y+z=3123

10.己知|a|=2,\b\=2,(a,b)=f,则u=2a—3b的模|u|=2币

11.已知向量a=3i+2j+k与b=2i-3j,则(2a)-(3&)=0；3x3=

3i+2j-l3k

12、平面x+2y-z+3=0和空间直线±」=1里=三2的位置关系是直线在平面上

3-11

13.过点(2,-3,6)且与Y轴垂直的平面为3,此点关于XOY平

面的对称点是(2「3「6),它与原点的距离为—7

三：计算与证明

L求过点M(3,1-2)且通过直线二心=)土^=三的平面方程

521

解：设N(4,-3,0),s=(5,2,1),由已知，

MN=(1-4,2)是所求平面内的向量

又设所求平面的法向量是为，取元=MN义^,

Jk

即：n=1-42=—8:+9]+22l

521

故，所求平面的方程为：-8(x-3)+9(yT)+22(z+2)=0

即：-8x+9y+22z+59=0

2.求与直线％：9=)二9=4相交且与直线乙2：土卫=)士工=三相交，与直线

231541

—

x+22y1z—3,irt

L3：----=-=-----平行的直线方程

871

解：将4,Q分别化为参数方程：

x=2t—3x=52+10

<y=31+5,<y=4A—7

z=tz=%

对于某个t及；l值，各得人,〃上的一点，分别记为〃/，Mx

则向量MtMA=[(2t-3)-(52+10)]i+[(3t+5)-(42-7)]j+(t-2)k

=(2t_5A_13)i+(3t_4A+12)j+(t-A)k

令向量平行于上，即有

2t-52-133t-42+12t-2

871

解得t=----，于是Af/(-28,------,----)

222

6525

coyH----ZH--------

故所求直线为：------=——幺=——二

871

y—2z—6

3.直线L过点M(2,6,3),平行于平面万：x-2y+3z-5=0且与直线4:

-8~~2~

相交，求L的方程

解：过点M平行于n的平面方程为(x-2)-2(y-6)+3(z-3)=0

即:x-2y+3z=0

再求它与直线4的交点，将〃写成参数方程:

x=2-5t,y=2-8t,z=6+2t

代入上述平面方程得：t=-l

所以交点为P(7,10,4),又L过M,P两点

x-2y-6z-3

故：L的方程为

7-210-6-4^3

x-2y-6z-3

5―丁一丁

4.求过直线三口=2=之，且平行于直线2=2=四的平面方程。

21-121-2

2a+b-c-Q

解：设平面法向量(Q量,C),则有方程《

2a+b-2c=0

。二0

解得,，于是可取法向量(-1,2,0)

2a+b=Q

所以平面方程为-(％-1)+2y=0

5、设。力是平面上两个不共线的非零向量，c=+为已知非零向量，求％〃

解：方程两边同与。涉作数量积得解此两元一次方程组，得

b・c=九+/ub

acaba2ac

beb2abbe

N=F

a2aba~~ab7

abb2abb2

2x+y+z+l—0

6.求直线/:<7在平面3x—y—z+3=0上的投影

x-2y-2z+2=0

解：设平面束方程为2(2%+y+z+1)+队x-2y-2z+2)=0

其法向量为(22+〃"——2〃)，于是由题意有

3(22+//)-(2-2ju)-(2-2//)=0,即44+7〃=0

3x-y-z+3=0

取4=—7,〃=4。直线方程为<

-10x-15y-15z+l=0

x+2y+3z+4=0

7.求原点到直线/:<的垂线与垂足，垂线要求参数方程。

2x+3y+4z+5=0

解：设)为过原点且垂直于/的平面，则》的一个法向量与/的方向一致。

233112

/的方向：%3)=(-1,2,-1)。

4'42'2

n的方程一x+2y-z=0

214

将其与/方程联立，解得垂足坐标

2

x=一t

3

1

于是垂线参数方程4y=——t

3

4

z=——t

3

2x-3y-z+4=0

8.已知直线一般方程为求其点向式方程。

4x-6y+5z-l=0

解：两平面法向量分别为(2,—3,—1),(4,—6,5),故直线方向为

-3-1-122-3

)=(-21,-14,0)

-65'54'4-6

-3y-z+4=0199

令x=0,<7，得直线上一点(0,二,三)

—6y+5z—1=0217

199

y-----z-------

故点向式方程为▲=——1

-21-140

x+y—z=1

9.在直线7上求一点A,使得它与原点所决定的直线与/的夹角为

x-z=0

瓜

arccos——

3

解:直线/方向(1,1,-1)X(1,0,-1)=(-1,0,-1)

设直线上一点A(x,l,x),则。4=(x,l,x),据题意有」^——=显

,解

V2.A/2X2+13

此方程得*=±1。

故A点坐标为(1,1,1)或(—1,1,—1)。

K).证明：直线，：平-巴一0卜+2尸1共面。

及直线4：＜

-26y+z=-2

证明：的方向向量n2={l,2,0}x{0,l/}={2,-M}(2分)，的方向向量

叫={3,-2,6}(2分)。点4=Q,—L3)e/i，B=(L0,—2)e/2，N5={—LL—5},由于这三

个向量两两不平行，且

3-26

(Hjxn2)-AB=2-11=0(4分)，

-11-5

所以与4共面(因为由上式知啊,A3三向量共面)。

证法2：4与4有交点：M(-l,l,-3),故与6共面。

x+2y=1

11.求通过直线/］：5=止2=及直线I:\的平面方程。

解：4的方向向量为n2={L2,0}x{0,Ll}={2,-M}〃n1,所以乙与。平行(3分)。

点/1=(—1,—2,1)e心且易知(1,0,—2)6/2，不在直线4上Q分)。故所求

平面就是两相交直线4与Mi"?确定的平面。它的法向量可取为

ijk

n=nxn=21

iM1M,-1=i+8j+6k(3分).

22-3

又A/1=(-1,-2,1)为已知平面上的点，所求平面的点法式方程为

(x+l)+8(y+2)+6(z—1)=0,即x+8y+6z+ll=0(2分)。

12.已知A4BC的两边构成的向量A5=2i+j—k,5c=3i+2j+k,求A4BC的面积。

解：5小因=；1.><80]=^|45><30|（2分），

ijk

而A3x3C=21一1=3i—5j+k（2分），

321

所以|A5x3C|=庖，从而庄Q分）•

13.求直线\在平面x+y-z=O上的投影方程。

y=2z—4

x=z+2

解：过直线4的平面束方程为

y=2z-4

n4:x-