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文档简介
《二次函数》(五)
考查内容:主要涉及二次函数(二次不等式)的恒成立问题
选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若不等式式―2x-12a对任意xeR恒成立,则实数。的取值范围是()
A.〃<—2B.d>—2C.a<—2D.Q>—2
2.已知函数/(》)=坨(奴2一x+a)定义域为R,则实数。的取值范围是()
/11,11、
A.B.(-oo,--)^-(不+0°)
2222
C.(*8)D.(-8,-二)、l、
一I匕r,+00)
222
3.已知函数/(x)=-+4x+a,若对于任意xe[l,+8),/(x)>0恒成立,则实数
X
的取值范围为()
A.[5,+oo)B.(—5,+oo)C.(—5,5)D.[—5,5]
4.当xc[0,5],%2一2%+〃20恒成立,则〃的范围为()
1
A.[1,+8)B.—,+00C.(°0,1]D.
2
5.若关于x的不等式2x2—8x—4—介0在上后4内有解,则实数〃的取值范围是
()
A.—4B.a>—4
C.a>—12D.a<—12
6.若关于x的不等式(a-2)f—(a—2)x-1<0的解为一切实数,则实数a的取值范
围是()
A.a<2B.a<2C.—2<a<2D.-2<a<2
7.若不等式依2—"*+1<0的解集为空集,则实数。的取值范围是()
A.0<a<4B.0<a<4C.0<a<4D.0<a<4
8.对任意的实数x,不等式Q(X-1)<1恒成立,则实数。的取值范围是().
A.(-co,0)B.[TO)C.(TO]D.(-co,-4]
9.不等式X2—2改+2-420,在上恒成立,则a的取值范围是
A.13,1]B.[—2,1]C.[—3,+co)D.[—3,—2]
10.已知函数/(x)=*—依+420对一切%e(0/恒成立,则实数。的取值范围为
()
A.(0,1]B.(0,5)C.[L+OO)D.(f,5]
11.函数/(x)=x|x|.若存在xe[l,+oo),使得/(x—2Q—左<0,则左的取值范
围是().
A.(2,+CO)B.C.D.
12.已知函数/'(x)=x2+(l_m)x_m,若/'(/(x))..。恒成立,则实数机的范围
是()
A.3+2^2JB.[-1,-3+2V^]
C.[-3,1]D.[-3+2A/2,1]
填空题
13.若不等式(片+。)必-ax+l>0对任意实数x都成立,则实数。的取值范围是一
14.已知关于》的不等式108„,[g2一%+3]>。在[1,2]上恒成立,则实数机的取值
范围为___________
15.若对xe(-8,-1]时,不等式(加2一时4。2'—1<0恒成立,则实数用的取值
范围是.
16.若不等式f—k―2a|Wa—3在上恒成立,则正实数。的取值范围是一
三.解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知函数/(%)=r—2x—5,xe[-l,4].
(1)求函数7'(x)的值域;
(2)若I/(X)|<根2-加恒成立,求机的取值范围.
18.已知:f(x)=x2+bx+c,不等式/(x)<0的解集是(0,4).
(1)求/(%)的解析式;
(2)若对于任意的1,3],则不等式/(%)—Y2恒成立,求/的取值范围.
19.已知函数/(x)=X?+6x+5.
(1)若对于任意的xe(l,2),/(x)>0恒成立,求实数6的取值范围;
(2)记/(>)在[1,2]内的最大值为M,最小值为加,若〃之M一机有解,求〃的取
值范围.
20.设函数/(X)=(加_1)%2_(机_1)无_1.
(1)若对于一切实数x,/(x)<0恒成立,求机的取值范围;
(2)若对于加40,2],/(%)<—加+3恒成立,求x的取值范围.
21.已知函数/(尤)=兆+3—2)x—3.
(1)若函数“尤)在[-2,4]上是单调函数,求实数”的取值范围;
(2)当。=5,时,不等式/(%)>m+2%-4恒成立,求实数加的范围.
22.函数于(x)=是R上的奇函数,m、〃是常数.
2x+1+n
⑴求m,n的值;
(2)判断f(x)的单调性并证明;
(3)不等式/(公3,)+/(3,—歹―2)<0对任意xeR恒成立,求实数上的取值范
围.
《二次函数》(五)解析
1.【解析】由题意可知,不等式式—2%—1—“20对任意xeR恒成立,则
A=4-4x(-l-a)=8+4a<0,解得aW—2.故选:A.
2.【解析】已知〃x)=lg(依2—x+幻的定义域为我,
即依2一%+1>0恒成立,当。=0时,—x+l>0不恒成立
a>011
\,“2c,解得:。〉一,所以实数0的取值范围是Q,+8)・
AA=l-4a"<022
故选:C.
3.【解析】若对于任意xe[l,+oo),/(x)>。恒成立,等价于%2+4%+々>0恒成
立,即a〉—%?—4x,(x»l)在[1,+c。)上恒成立,
所以y=-尤2-4x=-(x+2)2+4V-5,故。〉一5.故选:B.
4.【解析】由2x+aN0得aN—f+Zx,令/=—f+2x=—(%—1丫+1,当
xe[0,l],f单调递增,当xe[l,5],£单调递减,
•♦•要使:当xe[0,5],%2一2%+“20恒成立,则需aNl,;.。的范围为[L+8),
故选:A.
5.【解析】因为关于x的不等式2A2—8x—4一色0在1W店4内有解,
所以a<2/—8%—4在工4]内有解,/(%)=2x2-8%-4(%e[1,4]),
1+4
则aW^ax。),因为/(x)=2(x—2)2—12的对称轴x=2<《一,其图像是开口向
上的抛物线,所以尤=4时,/(x)取得最大值为T,所以aWT,故选:A
6.【解析】当a—2=0即a=2时,—1<0恒成立,满足题意;
当a—2/0时,不等式(a—2)/—(a—2)x—1<0的解为一切实数,
tz—2<0
所以解得一2<。<2,
=(a-2)2+4(a-2)<0
综上可得实数a的取值范围是-2<aW2,故选:C.
7.【解析】当a=0时,不等式为1W0,所以满足题意;
a>0
当时,2综合得0V〃v4.故选:D
A=a-4〃<0
8.【解析】当。=0时,ax2—ax—l=—l<Q^不等式成立;
设/(1)=加-ax-l,
当〃。0时.函数/(%)为二次函数,/(%)要恒小于0,抛物线开口向下且与工轴没
有交点,即〈2,八,解得-4VQV0,综上:实数〃£(T,0.故选:C
©二优+4〃<0'」
9.【解析】由题意,设/(%)=%2—2ox+2—a,则/(%)的对称轴为X=a,开口向
上的二次函数,
当1时,八%)在区间[Ta]递减,在[a,转)递增,
所以/(xj疝n=/(。)=2—。一。2»0,解得一2WaWl,即一iWaWl
当a<-l时,/(%)在区间[―L”)递增,则/(4而=/(-1)=3+。20,
所以。之一3,即一3Wa<—1,
综上,实数。的取值范围是[-3,1].故选:A.
“〜,4
10.【解析】原不等式幕价于:ox<x+4,aVx^—,
X
结合恒成立的条件可得:«<X+-(0<%<1)
\X/min
4
由对勾函数的性质可知函数y=x+—在定义域内单调递减,
x
4
则函数的最小值为:1+1=5,
据此可得:实数a的取值范围为(-8,5].本题选择。选项.
11.【解析】当左V,时,x-2k>0,因此/(%—2左)一左<0,可化为
2
(x-2k)2-k〈0,即存在xe[l,+oo),使g(x)=炉一4履+4左?一左<0成立,由于
g(x)=x2-4kx+4k2-k的对称轴为x=2左41,所以g(x)=x2-4kx+4k2-k,
当xe[l,+co)单调递增,因此只要g⑴<。,即1—4左+4左2—左<0,解得
上<k<l,又因左<工,所以工(左<!,当上〉工时,g(x)=f(x-2k)-k,
42422
g(2k)=-k<Q,满足题意,综上,k>-.故选:D.
4
12.【解析】/(x)=%2+(l-m)x-m=(%-m)(x+l),
(1)771>-b/(/(%))20恒成立等价于〃同2机或/(同4—1恒成立,
即/(%)=d+(1—相)%一加力加或/(%)=Y+(]一相)无一mV—1(不合题意,舍
A<0/
去)恒成立;即〈,解得加£—1,—3+2J2,
(2)加二—1恒成立,符合题意;
(3)恒成立等价于/(%)4小(不合题意,舍去)或
/、fA<0、
“x"-1恒成立,等价于根<_],解得mer[—3,—1).
综上所述,me[-3,-3+272],故选:A.
ci~+a>0
13.【解析】当。=0时,不等式成立,否则应有:〈/、,,2\,
A=(-«)--4(«2+«)>0
4
解得:a>0或耳,
综上可得实数。的取值范围是1-8,-g[。[0,+8).
14.【解析】①当0(加<1时,函数/(司=108„,(如2一%+;|外层单调递减,
内层二次函数:
当---<1,即一<相<1时,二次函数在区间内单调递增,函数单调递减,
2m2
〃x)mm=/(2)=logj47n-|10,解得:
当」一二1,即加」■时,f(1)无意义;
2m2
当<2,,即‘0根<工时,二次函数在区间内先递减后递增,函数先递增后递
2m42
减,则需/(1)<0,/(2)<0,无解;
当上22,即0<根〈工时,二次函数在区间内单调递减,函数单调递增,
2m4
/(X)mm="l)=l°gjm—£|〉°,无解•
②当加>1时,函数/(》)=108„,|"«2—》+3]夕卜层单调递增,
—二次函数单调递增,函数单调递增,
2m2
所以'("min=/(1)=1°8加[加—g)>0,解得:m>|-
153
综上所述:一<加<一或相>一.
282
15.【解析】不等式(机2一〃2工一1<0转化为〃冽<?。,
9119
化简为加2—加<=+(7r)2,
22
令"百,又xe(-oo,-1],则te[2,+co),
即加2一根<产+/恒成立,令/⑺=产+/,又•,G[2,~KO),
当/=2时,/⑺取最小值/⑺mm=/(2)=6,
所以,恒成立,化简得加2—〃?—6<0,解不等式得—2<相<3.
故答案为:—2(加<3
16•【解析】设〃力=*—卜—2同,其中
①当2a21时,即当时,/(%)=x2+x-2a,
则函数y=/(x)在区间-L-g]上单调递减,在区间g,l上单调递增,
/(l)=2-2a,/(-l)=-2a,则/(%)阻=2—2aWa—3,解得此时
5
a>—\
3
_t1”\%+x-2a.-\<x<2a
②当0<2〃<1时,即当。〈”不时,〃%)二<9
2[x-x+2a.2a<x<\
(i)若0<2a<;时,即当0<a<;时,函数y=/(x)在区间—1,—g上单调递
减,在区间-g,2a]单调递增,在区间2a,;]上单调递减,在区间上单调递
增.
/(-l)=-2a,/(2a)=4a2,/(1)=2«,/(2a)</(l),所以,
/(XL=2a<a-3,解得aW—3,不合题意;
(ii)当2a<1时,函数y=/(x)在区间—1,一:上单调递减,在区间[一;,1
2L2」V2
上单调递增,
/(-l)=-2«,〃l)=2a,1),
则/(x)1mx=2。43,解得aW—3,不合题意.
综上所述,正实数。的取值范围是
17•【解析】(1)因为/(%)=/—2x—5=(x—Ip—6,
而/(—1)=—2,"4)=3,41)=—6,
所以函数/(%)的值域为[-6,3].
(2)由⑴知,函数“X)的值域为[—6,3],
所以l/(x)I的最大值为6,
所以由I/(x)I〈病一加得m2—m>6,
解得加<一2或加>3,故实数m的取值范围为用<一2或加>3.
18.【解析】⑴f(x)=x2+bx+c,不等式/(x)<0的解集是(0,4),
可得。和4是方程X2+Z?x+c=0的两根,即有0+4=—b,0x4=c,
解得b=T,c=0,所以/(%)=兀2-4%.
(2)对于任意的xw[—1,3],则不等式/(%)—Y2恒成立,
即为2+才2〃力在[—1,3]的最大值,由/(x)的对称轴x=2,
且/(—1)=1+4=5,/(3)=9—12=—3,可得/(%)的最大值为5,
即有2+d5,解得d3,则/的取值范围为[3,+«)).
19.【解析】(1)•••/(x)>0在区间(L2)上恒成立,
二">—5—必在%e(1,2)上恒成立,即7<(』+x)1nm.
设g(x)=』+x,该函数在xe(0,J?)时是单调递减函数,
x
所以g(x)在xe(1,2)时也是单调递减函数,
5999
因此g(x)1mli=g(2)=5+2=5,所以有一人<5=人>—Q
(2)•〃2M一机有解,二〃»("一加)..
\/min
①当一。22,即6W-4时,M-m=f(X)-/(2)--3-Z,>l..
b
②当——<1,即62—2时,M-m=/(2)-/(l)=3+Z?>l..
2
/?/?1
③当1<—,<2,即Y<b<—2时,所以根=/(—5)=—
当2—(―工力之―工6―1时,即—3Wb<—2时,
22
M=/(2)=9+2b,所以Af_7〃=9+2b_(-L2+5)」3+4)22J_;
444
当时,即Y<6<—3时,
22
M=/⑴=6+b,所以M—%=6+b—(―工/+5)=!3+2)2»工,
444
综上所述:(M—所以“2;.
20.【解析】⑴当机=1时,/(%)=—1<0显然成立,所以"2=1符合题意;
当机wl时,由对于一切实数X,/(x)<0恒成立可得:
m—l<0
</、2/、,解得:一3<加<1,综上,一3〈根41;
A=(m-1)+4(m-l)<0
(2)因为对于加£[0,2],/(X)(一加+3恒成立,
即(加一1卜2一(加_1)%_]<_加+3在根«0,2]上恒成立;
BP(m-l)x2-(m-l)x+m-4<04£mG[0,2]上恒成立;
令g(m)=(m-l)x2-(m-l)x+m-4=^2-x+l^m-(x2—x+4),
显然gO)是关于用的一次函数;
g(0)=-(x2-x+4)<0
因此只需<解得:—1<%<2,
g(2)=x—2<0
即X的取值范围是(—1,2).
2
21.【解析】(1)函数/(尤)的对称轴为x=—与一,
又函数/(九)在[—2,4]上是单调函数,;.一丁之4或一向一4一2,解得aW—6
或a2
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