高中数学一轮复习 因式分解

第1.1章数与式

1.1.3因式分解

色课程要求了《»!求心中有数

能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数

初中要求

是正整数).

高中要求掌握因式分解的方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等.

基础知识夯实基■,■立完整知炽体系

1乘.法公式

平方差公式a2—b2=(a+b)(a—6)；

完全平方公式(a±b)2—a2±2ab+/；

立方和公式a3+b3—(a+b')(a2-ab+b2)；

立方差公式a3—b3=(a-b)(a2+ab+b2)；

三数和平方公式Qa+b+c)2—a2+b2+c2+2(ab+be+ac).

2因.式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式分解因式.

因式分解的常用方法：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，待定系数法和因式

定理法.

无特殊说明，一般只要求在有理数的范围内分解到不能再分解为止.

比如，久4_4在有理数范围内因式分解的结果是(/+2)(好一2),

若在实数范围内因式分解的结果是(/+2)(x+V2)(x-V2).

腌经典例题从典例中见解修法力

【题型1】提公因式法和公式法

解题技巧提炼

因式分解，先确定每项是否存在公因式，若有先提公因式；公式法，指的是利用平方差公式、完全平方

公式、立方和差公式等进行因式分解.

【典题1】分解因式：2/y+4xy+2y；

解析原式=2y(，+2久+1)=2y。+1)2；

变式练习

1.分解因式：2nm4-162m

答案2n1(律2+9)(n+3)(?i—3)

解析原式=2m(n4—81)=2m(n2+9)(n2—9)=27n(n2+9)(n+3)(n—3).

【题型2】十字相乘法

【典题1】把下列各式因式分解：

(1)12x2—5%—2；(2)5久2—8y2+6xy；(3)x2+98y2-21xy+x—7y.

解析(1)将12/分解为2"6x写在左列，将-2分解为1x(-2)写在右列，交叉相乘、相

加，得到2x,不是一次项不适合；再将12/分解为3x■4x写在左列，将-2分解为(-2)x1

写在右列，交叉相乘、相加，得到-5万，等于一次项，适合，即十字相乘因式分解成功.

2%K13%.-2

6xz\—24x/\1

—4x+6x—2x3x—B久-5x

不合适合适

即12x2-5x—2=(3x—2)(4%+1)；

⑵将原式按x的降幕排列5/一8y2+6xy=5x2+6xy-8y2,视其为关于x的二次三项式,

视y为常数.将5/分解为写在左列，将-8y2分解为4yx(-2y)写在右列，交叉相乘、

相加，得到18xy,不是一次项不适合；再将5/分解为x.5%写在左列，将-8y2分解为2yx

(-4y)写在右列，交叉相乘、相加，得到6xy,等于一次项，适合，即十字相乘因式分解成

功.

5x7\~2y

—2xy十zOxy=IQxy—4xy十10xy=6xy

不合适合适

即5x2-8y2+6xy=(x+2y)(5汽—4y).

(3)将原式按第的降幕排列，视其为关于汽的二次三项式，视y为常数，再十字相乘.

x2+98y2—21xy+%—7y

=x2+x—21xy+98y2—7y

=x2—(21—ly)x+7y(14y—1)

=(x-7y)[x-(14y-1)]

=(x-7y)(%—14y+1).

变式练习

1.利用十字相乘法因式分解下列各式：

(1)%2—2%—15(2)x2—5x+6(3)3x2—7xy+4y2

答案(1)X2-2X-15=(X-5)(X+3)；(2)x2-5x+6=(x-2)(x-3)；

(3)3x2-7xy+4y2=(%—y)(3x—4y)；

【题型3】分组分解法

把多项式分成几组分别因式分解，若每组有一相同因式，便可提公因式达到因式分解，这种

方式叫做分组分解法.

【典题1】分解因式：(l)%y-1+%—y；(2)2ax—Way+5by—bx；(3)4x2-2%+6xy—

3y.

解析(l)xy-1+x—y=xy+x—y—1=x(y+1)—(y+1)=(%—l)(y+1)；

(2)2ax—lOay+5by—bx=(2ax—bx)—(10ay—5by)

=x(2a-b)—5y(2Q—6)=(%—5y)(2。—b)；

(3)4%2—2%+6xy-3y=(4x2—2%)+(6xy—3y)

=2x(2%-1)+3y(2x-1)=(2x-l)(2x+3y).

变式练习

1.因式分解久2—2xy+yz-2%+2y+1

答案(％-y-1)2

解析x2—2xy+yz-2%+2y+1

=(x2-2xy+y2)+(—2%+2y)+1

=(x——2(%—y)+l=(x—y—l)2；

2.如果△23c的三边a,满足吊—a2b+ab2—ac2+be2—b3=0,试判断△2BC的

形状.

答案等腰三角形或直角三角形

解析因为苏—a2b+ab2—ac2+be2—b3=0,

所以/—ft3+(—a2b+ab2)+(—ac2+he2)=0,

BP(a—6)(a2+ab+b2)—ab(a—6)—c2(a—6)=0,

(a—b)(a2+/?2—c2)=0,

所以a=b或/+川=c2,

因此△4BC是等腰三角形或直角三角形.

【题型4】添项与拆项法

因式分解中，用公式法有时总感觉缺一项或数字不对，分组分解时或少一项或多一项分不出

来，这些烦恼有时可用添项与拆项法处理.

【典题11因式分解%3+2x2-5%-6.

解析方法1

x3+2%2—5%—6

=(%3+%2)+(x2-5%-6)(将二次项2/拆项)

=x2(x+1)4-(%—6)(%+1)(分组分解)

=(x+l)(x2+x—6)=(%+1)(%—2)(%+3)；

方法2

x3+2%2—5%—6

=(%3+2x2-8x)+(3%-6)(将一次项一5%拆项)

=%(%2+2%—8)+3(%—2)(分组分解)

=x(x-2)(%+4)+3(%—2)

=(%—2)(/+4%+3)=(%—2)(x+1)(%+3)；

方法3

x3+2%2—5%—6

=(x3+1)+(2/-5%-7)(将常数项拆项)

=(%+1)(%2—x+1)+(%4-l)(2x—7)(分组分解)

=(%+l)(x2+x—6)

=(%+1)(%—2)(%+3).

变式练习

1.因式分解%4+%2y2+y4

答案(A2—xy—y2)(x2+xy-y2)

解析%4+x2y2+y4

=X4+2%2y2+y4_%2y2

=(%2—y2)2—(xy)2

=(%2—xy-y2)(x2+xy—y2).

【题型5】待定系数法

【典题1】因式分解2x2+xy-3y2+%+14y-15

解析方法1因为2x2+xy-3y2=(%-y)(2x+3y),

所以可设2x24-xy-3y2+%+14y—15=(%—y+m)(2x+3y+n),

则2%2+—3y2+%+14y—15=2x2+xy-3y2+(2m+n)x+(3m—n)y+mn

'2m+n=1

比较系数可得3血一九=14,解得m=3,九=-5,满足整个方程组,

mn=15

所以2/+%y—3y2+%+14y-15=(x—y+3)(2x+3y—5).

方法2因为2x2+xy-3y2=(%-y)(2x+3y),

所以可设2%2+xy-3y2+%+14y—15=(%—y+m)(2x+3y+n),

由于恒等式，式,y可取任何实数值，

令久=0,y=0,得mn=-15；令％=0,y=1得nm+3m—n+1=0；

解得TH=3,n=-5,

所以2/+_3y2+x+14y-15=(%—y+3)(2%+3y—5).

变式练习

1.因式分解%4—%3+4x2+3%+5

答案(/+%+1)(/—2%+5)

解析设/—第3+4%2+3%+5=(x2+ax+l)(x2+b%+5)

所以第4—%3+4x2+3%+5=%,+(0+b)%3_|,(就+b)x2+(5a+b)x+5

'a+b=-1①

比较系数得Jab+6=4②，由①②解得a==-2,且它满足③，

、5a+b=3③

(所求a,b必须满足整个方程组)

所以——%3+4%2+3%+5=(%2+%+l)(x2—2%+5).

⑥轻松训练

习，讯国修力

1.若第2—ax—15=(%4-1)(%—15)则a=.

答案14

2.%2+()%+2=(%+2)(%+)

答案3,1.

3.分解因式:(l)a56—ab；(2)a4(m+n)—b4(m+n).

答案ab(a—l)(a+l)(a2+1)；(m+n)(a—6)(a+h)(a2+按)

解析(l)a5b—ab=ab(a4-1)=ab(a2—l)(a2+1)=abQa—l)(a+l)(a2+1)；

(2)a4(m+n)—fe4(m+n)=(m+n)(a4—d4)

=(m+n)(a2—Z?2)(a2+&2)=(m+n)(a—h)(a+6)(a2+62).

4.因式分解%2+3y-xy-3%

答案(%-y)(%-3)

解析x2+3y—xy—3x

=(%2—xy)+(3y—3%)—（分组）

=x(x—y)+3(y—x)--（组内因式分解）

=(x—y)(x—3).--（提公因式）

5.因式分解%3-9%+8

答案(%—1)(无?+%—8)

解析原式=x3—%—8x4-8=(%3—x)+(―8x+8)

=x(x+1)(%—1)—8(%—1)=(%—1)(/+%—8)；

6.因式分解2x2—3xy—2y2+3%+4y—2

答案(%—2y+2)(2%+y—l)

解析因为2x2—3xy—2y2=(%—2y)(2x+y)

设2/—3%y—2y2+3%+4y_2=(%—2y+n)(2x4-y+m)

即2/—3xy—2y2+3%+4y-2=2x2—3xy—2y2+(m+2n)x+(n-2m)y+mn

m+2n=3__1

比较多项式两边同类项的系数可得n-2m=4,解得［爪

mn=—2

故2/—3xy—2y2+3%+4y—2=(%—2y+2)(2%+y—1).

7.因式分解第3-2%2+5%-4

答案(X-1)(X2-%+4)

解析%3-2x2+5x-4=(%—1)(/—%+4).

8.分解因式：%3-3x2+4

答案(%+l)(x-2)2

解析x3-3x2+4=(%+1)(/—4x+4)=(%+1)(%—2>.

9.△ABC三边a,b,c满足/+公+c2=ab+be+ca,试判定△4BC的形状.

答案等边三角形

解析a2+b2+c2=ab+be+ca,

••・2(a2+b2+c2)=2(ab+be+ca)

=>(a2+b2—2a/?)+(a2+c2-2ac)+(b2+c2-2bc)=0

=(a—b)2+(a—c)2+(6—c)2=0

：.a=b=c,即三角形是等边三角形.

10.已知％—