2024届广东省东莞市高三上学期期末数学试题及答案

2023-2024学年度第一学期教学质量检查高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．12izz，则（）1.已知复数AiB.iC.D.Axx4kkBxx4kkZðAB（）2.已知集合，，则Zxx4k,kZxx4kkA.C.B.D.xx2k,kZxx2kk3.已知由小到大排列的4个数据1、3、5、，若这个数据的极差是它们中位数的倍，则这个数据a424的第75百分位数是（）A.9C.5B.7D.31fxax4.函数的图象不可能是（）xA.B.D.C.11111中，，，则（）a1a23a4511345.在等比数列n123453131B.A.3232第1页/共5页1116C.D.B.π242costan6.已知，则的值为（）435A.C.54535D.-7.以抛物线C的顶点O为圆心的单位圆与C的一个交点记为点A，与C的准线的一个交点记为点B，当点A，B在抛物线C的对称轴的同侧时，OA⊥OB，则抛物线C的焦点到准线的距离为（）233255A.C.B.D.888.如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱3锥．已知每个直三棱柱的体积为，每个四棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（）1A36C.B.32D.24二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．fxx是的导函数，则下列结论正确的是（），0，gx9.已知函数fxA.与fx对称轴相同gxB.与gx周期相同fx的最大值是fxgx不可能是奇函数fxgxC.D.210.已知圆1：(x+)2+y22=1Cy24，P，Q分别是C，上的动点，则下列结论1C，圆：x322正确的是（）第2页/共5页CP//CQCC12A.当B.当时，四边形时，四边形的面积可能为7CC的面积可能为81212CP//CQ12C.当直线PQ与C和都相切时，CPQ的长可能为26PQ的长可能为412D.当直线PQ与C和都相切时，C1211.已知函数，的定义域均为R，且，．若fxgxfxg2x5gxfx472是x的对称轴，且，则下列结论正确的是（）gxg24是奇函数fxB.gx6是对称中心的A.C.2是的周期D.gk130fxk112.如图几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90得到的，已知点G是圆弧的中点，点H是圆弧）A.存在点H，使得CH平面B.不存在点H，使得平面AHE//平面7C.存在点H，使得直线与平面的所成角的余弦值为D.不存在点H，使得平面与平面CEH的夹角的余弦值为313三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．x22y22ey2x，则其离心率0）的渐近线方程为1（a0，b13.双曲线C：ab______________．，b，则使abab0成立的一个充分不必要条件是14.已知向量a1,2______________．第3页/共5页abbba15.用试剂检验并诊断疾病，A表示被检验者患疾病，B表示判断被检验者患疾病．用试剂检验0.9，PBA0.8b并诊断疾病的结论有误差，已知PBAb，且人群中患疾病的概率PA0.01．若有一人被此法诊断为患疾病，则此人确实患疾病的概率PABbb______________．axbfx__________，的最小fxx16.若函数22xx2的图象关于x2对称，则ab值为______________．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．117.数列的前n项积为，且满足anTnTnn1n2．2（1）求数列的通项公式；an1a，求数列nn的前2n项和．bS（2）记bnn2n18.如图，在四棱锥P中，四边形ABCD是边长为2的正方形，．（1）证明：平面PAC平面；（2）若2，PBBD，点E，F分别为PB，PD的中点，求点E到平面ACF的距离．19.中，角,B,C的对边分别为a,b,c，且2acbC．（1）求B；（2）若b3，且D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求2的取值范围．x22y2220.已知椭圆C：1（ab0C的四个顶点所得四边形的面积为22，且离心率ab2为．2（1）求椭圆的方程；C（2）经过椭圆的右焦点且斜率不为零的直线与椭圆交于，B两点，试问轴上是否存在定点CFlCAx第4页/共5页T，使得的内心也在x轴上？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．21.某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中nN*次试验中的种数iA1nEXDX和方差进行X目为随机变量（i,nXX，利用X的期望iini1估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立．，证明：DXXDXDXijEXXEXEX（1）已知，ijijij1EXEXDXDX，；11nXxi,ni（2）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为（ii10.5（i,n）的平均值x和方差s2，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据s2．nMDX（ⅰ）请用x和s2分别代替EX和，估算和x；NXX1k对应的随机变量的取值．（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求的分布列中概率值最大的随机事件1ax122.已知函数fxa0．x1e（1）讨论的单调性；fx120，求实数的值．fxx10xx2x1a（2）若方程有、两个根，且e1第5页/共5页2023-2024学年度第一学期教学质量检查高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．12i，则zz1.已知复数（）A.iB.iC.D.【答案】A【解析】z.【分析】利用复数的除法可化简复数2i2i112i2i【详解】zi.5故选：A.Axx4kkBxx4kkZðAB（2.已知集合，，则）Zxx4k,kZxx4kkA.C.B.D.xx2k,kZxx2kk【答案】C【解析】【分析】根据并集和补集的定义即可得出答案.Axx4kkBxx4kkZ，【详解】因为，，ABxx2kkZ所以所以ðABxx2k,kZ.Z故选：C.3.已知由小到大排列的4个数据1、3、5、，若这个数据的极差是它们中位数的倍，则这个数据a424的第75百分位数是（）A.9C.5B.7D.3第1页/共25页【答案】B【解析】a【分析】求出这四个数的极差与中位数，根据已知条件求出的值，然后利用百分位数的定义可求得结果.35aa5【详解】由小到大排列的4个数据1、、、，则，35这四个数为极差为a1，中位数为4，2因为这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则a124，解得a9，所以，这四个数由小到大依次为1、、、，35959因为40.75375百分位数是7.，故这个数据的第42故选：B.1fxax4.函数的图象不可能是（）xA.B.D.C.【答案】D【解析】【分析】分a0，a0和0三种情况讨论，结合函数的单调性及函数的零点即可得出答案.1【详解】①当a0时，fx，此时A选项符合；x1ax,x01x，②当a0时，fxaxx1ax,x0x1axfx当x0时，，x1yax,y,0因为函数在上都是减函数，x所以函数在在上是减函数，fx,0第2页/共25页1yax,y上的图象，,0如图，作出函数在x1yax,y上有一个交点，,0由图可知，函数的图象在x即函数在在上有一个零点，fx,0fxax11ax1ax1fx2当x0时，，则，xxx21由，由，fx0，得xfx0，得0xaa1a1a所以函数在,fx上单调递减，在上单调递增，1a1当a1时，faa1，故B选项符合；a1ax,x01x③当0时，fxax，x1ax,x0x1fxax当x0时，，x1因为函数yax,y在上都是减函数，x所以函数在上是减函数，fx1如图，作出函数yax,y在上的图象，x第3页/共25页1由图可知，函数yax,y的图象在上有一个交点，x即函数在在上有一个零点，fx1ax1ax1axfxfx2当x0时，，则，xxx211由0，得，由fx0，得，fxxx0aa1a1a所以函数在,fx,0上单调递减，在上单调递增，1a1a当a1时，faa1，故C选项符合，D选项不可能.故选：D.11111中，4，则（）a1a23a4511，35.在等比数列n123453131A.C.B.D.32321116【答案】C【解析】【分析】设出公比后整体求值即可.q，公比为，易知【详解】设首项为aa1a23a4511，34，可得11111114(1qq2)111qq2，解得qq4，q2q2第4页/共25页111111111116(1qq2)而123454q，2q故选：Cπ246.已知2，则cos的值为（）tan435A.C.B.54535D.-【答案】A【解析】【分析】由两角和的正切公式、二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算即可得.πtantantan1π241324π2【详解】tan2，即tan，21tantan1tan24282sinsin221tan1tan2245222910由cos2sin2，2222229故选：A.7.以抛物线C的顶点O为圆心的单位圆与C的一个交点记为点A，与C的准线的一个交点记为点B，当点A，B在抛物线C的对称轴的同侧时，OA⊥OB，则抛物线C的焦点到准线的距离为（）233255A.C.B.D.88【答案】D【解析】ppp82BMONB,2817程，求出p，得到答案.1722pxp0，y【详解】设抛物线方程为第5页/共25页p由题意得1，ON，2过点B作⊥轴于点Mx，因为OA⊥OB，所以90°，又90，所以，则OAN≌OBM，，pBMON故2pp2p令y得，2px，解得x，248pp8222ppB,1，故，由勾股定理得82817解得p，178故抛物线C的焦点到准线的距离为故选：D.8.如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱3锥．已知每个直三棱柱的体积为，每个四棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（1）A.36B.32C.D.24【答案】C第6页/共25页【解析】a【分析】设每个直三棱柱高为，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为，设正四b1321棱台的高为h，可得出，求出ah的值，即可求得该正四棱台的体积.2b2h13a【详解】设每个直三棱柱高为，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为，b设正四棱台的高为h，因为每个直三棱柱的体积为，每个四棱锥的体积为，311321，可得a2b2h2a2hb2ha2h336，可得ah12，2则2bh13所以，该正四棱台的体积为V故选：C.a2h4341121628.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．fxx是的导函数，则下列结论正确的是（，0，gx9.已知函数fx）A.与fx对称轴相同gxB.与gx周期相同fx的最大值是fxgx不可能是奇函数fxgxC.D.2【答案】BC【解析】【分析】求导得出，利用三角函数性质直接判断AB；结合二倍角公式判断C；结合二倍角公式及正gx弦函数性质判断Dfxx，所以gxfxx，【详解】由题意知sinπfxx对A：的对称轴为xπ，kZ，解得x，kZ；πππ的对称轴为x，kZ，gxsinx22π，kZ，解得x所以与的对称轴不相同，故A错误；gxfx第7页/共25页2π2πfxx的周期为T对B：gxsin，的周期为Tx，所以与的周期相同，故B正确；gxfxsin2x2fxgxxsinx对C：，222sin2x2，所以fxgxsinx,因为，故C正确；2对D：当2π，kZ，fxgxsin2x2sinx，22sin2xfxgx，此时为奇函数，故D错fxgxsin2xfxgx所以误；22故选：BC.10.已知圆1：(x+)2+y22=1，圆Cy24，P，Q分别是C，C上的动点，则下列结论2：x321正确的是（）CP//CQCC12A.当B.当时，四边形时，四边形的面积可能为7CC的面积可能为81212CP//CQ12C.当直线PQ与1和都相切时，CPQ的长可能为26PQ的长可能为42D.当直线PQ与1和都相切时，C2【答案】ACD【解析】152PCCπ，可得梯形CCsin，进而分析判断；对于【分析】对于AB：设的面积为1212CD：根据切线性质结合对称性分析求解.【详解】圆1：(x+)2+y0，半径11；=1的圆心12，半径2；圆C2：x3y24的圆心C3,0r221CC53rr，可知两圆外离，2可知121PCCπ，对于选项AB：设12第8页/共25页CP//CQC1CCsin5sin的高为，12因为，可知梯形122115215212sinCC5sin所以四边形可知四边形的面积为，122CC的面积可能为7，不可能为8，故A正确，B错误；12对于选项CD：设直线与轴的交点为，根据对称性可知：xMPCPM,，可知1//如图，因为，122111CC5则2，可知，MC2QC211212126；2所以PQPMPCPM,，可知1//如图，因为，12211113532C1则2，可知，MC2QC21214；2所以PQ3PM故CD正确；故选：ACD.第9页/共25页11.已知函数，的定义域均为R，且，．若fxgxfxg2x5gxfx472是x的对称轴，且，则下列结论正确的是（）gxg24是奇函数B.D.fxgx6是的对称中心A.C.2是的周期gk130fxk1【答案】BD【解析】fxfx【分析】根据对称性和已知条件得到，判断A；结合已知条件变形得到g(2x)g(x4)12，判断B；利用赋值法求得f2，判断C；根据条件得到的周期f0gx为4，对称中心为3,6，从而得到函数值即可求解，判断D.g(2x)g(x2)，【详解】对于A，因为x2是的对称轴，所以gx5，所以fxg2x5，故fxfx，fxg2x又因为即为偶函数，故A错误；fx对于B，因为g(x)f(x4)7，所以g(x4)f(x)7，又因为f(x)g(2x)5，联立得g(2x)g(x4)12，所以yg(x)的图像关于点中心对称，故B正确；，g24fxg2f045，即f01；对于C，因为x5，则gxfx47，则4因为f27，即f23，则f2f23；f2f0显然，所以2不是的周期，故C错误；fxg(6x)g(x2)对于D，因为x2是的对称轴，所以gx，又因为g(2x)g(x4)12，即gxg6x12，gxgx212则gx2gx12，，所以gx2gx2，即gxgx4，所以周期为4，所以gx因为周期为4，对称中心为6，所以gxg36，第10页/共25页gxfx47g4f07g48当x4时，代入，即，所以，g4g08所以，又x2是的对称轴，所以，gxg1g36gk5646864130，故D正确，所以k1故选：BD.12.如图几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90得到的，已知点G是圆弧的中点，点H是圆弧）A.存在点H，使得CH平面B.不存在点H，使得平面AHE//平面7C.存在点H，使得直线与平面的所成角的余弦值为D.不存在点H，使得平面与平面CEH的夹角的余弦值为313【答案】ACD【解析】【分析】将图形补全为一个正方体BCNE，设AD2，以点A为坐标原点，AD、、AB所在的直线分别为x、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.yz【详解】由题意可将图形补全为一个正方体BCNE，如图所示：AD、、ABxyz所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐不妨设AD2，以点A为坐标原点，第11页/共25页标系，2,2,2，则、B2、C2,0,2、、，GF2,0、A0,0,0D0E0,2,2π设点H2,2sin,0，其中0，2对于A选项，假设存在点H，使得CH平面CH，2cos2sin,2，2,2,0，2,0,2，CH44cos40sin1则，可得，CHBG2222sin0cos0ππ因为0，则，即当点H与点F重合时，CH平面，A对；222,2，对于B选项，由A选项可知，平面的一个法向量为FC假设存点H，使得平面AHE//平面，则CF，CFAE，FCAH4cos4sin0ππ0则，可得tan1，又因为，解得，FCAE44024即当点H为的中点时，面AHE//平面，B错；7对于C选项，若存在点H，使得直线与平面的所成角的余弦值为，3272则直线与平面的所成角的正弦值为1，33EH2cos,2sin2且，EHFC44sinEH,FC所以，EHFC2424sin423cossin2，整理可得3sin4sin30，π332sin3因为函数f3sin4sin3在时的图象是连续的，2π2且f030f4310，，第12页/共25页π2f00，所以，存在，使得07所以，存在点H，使得直线与平面的所成角的余弦值为，C对；3对于D选项，设平面CEH的法向量为nx,y,z，2,0，2cos2sin,2，CEnCE2x2y0则，2ysin2z0nCH2x取x1，可得nsin，13假设存在点H，使得平面与平面CEH的夹角的余弦值为，n,FCnFC2sin113，则nFCsincos2232可得sincos21，即sincos11，可得sincos0或sincos2，πππ3π2π1，4因为，则，则sin24442π4，sincos2sin2所以，π时，方程sin故当cos0和sin2均无解，21综上所述，不存在点H，平面与平面CEH的夹角的余弦值为，D对.3故选：ACD.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h，从而不必作出线面角，则线面h角满足sin（ll第13页/共25页（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l的方向向量，n为平面的法向量，则线面角sina,n的正弦值为.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．x22y22ey2x，则其离心率0）的渐近线方程为1（a0，b13.双曲线C：ab______________．【答案】3【解析】【分析】结合渐近线的定义与离心率定义即可得.bacc2a2b2b22【详解】由题意可得2，则e1a123.aa2a2故答案为：3.，b，则使abab0成立的一个充分不必要条件是14.已知向量a1,2______________．【答案】0【解析】（答案不唯一）【分析】根据向量坐标运算公式将原问题转化为11的一个充分不必要条件进而求解.a1,2，2,1，b【详解】因为2，ab2ab所以所以，44abab22150，2解得11，abab0成立的一个充分不必要条件是0.所以使故答案为：0（答案不唯一）abbba15.用试剂检验并诊断疾病，A表示被检验者患疾病，B表示判断被检验者患疾病．用试剂检验0.9，PBA0.8b并诊断疾病的结论有误差，已知PBAb，且人群中患疾病的概率PA0.01．若有一人被此法诊断为患疾病，则此人确实患疾病的概率bbPAB第14页/共25页______________．1【答案】【解析】23【分析】利用条件概率公式求出、PBPB的值，可得出的值，再利用条件概率公式可求得PAB的值.PABPABPAPBA0.010.90.009，【详解】由条件概率公式可得PBA1PBA10.80.2，PABPAPBA0.990.20.198由条件概率公式可得，PBPPB0.0090.1980.207，所以，PPB0.0091所以，.PAB0.207231故答案为：.23axbfx__________，的最小fxx16.若函数22xx2的图象关于x2对称，则ab值为______________．【答案】【解析】①.34②.【分析】由函数的对称性可知，方程x2axb0的两根分别为x4、x6，利用韦达定理可求得，令ab、的值，可得出ab的值，变形可得出fxx24xx4x122x24x4，利用t二次函数的基本性质求出httt12在t4时的最小值，即可得出函数的最小值.fxaxbfxx【详解】因为函数22xx2的图象关于x2对称，令fx0，可得x22x0，可得x0或x2，由对称性可知，方程x2axb0的两根分别为x4、x6，46aa，可得由韦达定理可得b，46b10x24xx2x4x6fxxx2x所以，2，第15页/共25页f4xx4x6xx2xx2x4x6fx，则fxxx2x4x6所以，函数的图象关于直线x2对称，则ab34，4x124xxfxx因为22，令tx24xx2h636.244，令httt12t2tt636，2所以，ht故答案为：34；.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到方程xaxb0有对应的两个根，从而求得a,b，由此得解.的对称性求得fx2x0有两个根，利用2x2四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．1前项积为．an，且满足nn1n217.数列的nn2（1）求数列的通项公式；an1a，求数列nn的前2n项和bS2n（2）记b．nnn2an【答案】（1）nn1S2n（2）2n1【解析】1）分n1和n2两种情况，结合T与之间的关系分析求解；annn21n（2）由（1）可得b，结合分组求和法运算求解.nn【小问1详解】1n1n2，因为Tn2若n1，则1T13；1n1n2nn2an2若n2，则；1Tnnn1n1n2第16页/共25页n2a31an且符合，nn2综上所述：数列的通项公式.aannn【小问2详解】n21n由（1）可知：b，nnSbbbbbbbbb可得2n122n132n1242n352n12n1n1462n22n13242n1n1，2n1n1S2n所以.2n118.如图，在四棱锥P中，四边形ABCD是边长为2的正方形，．（1）证明：平面PAC平面；（2）若2，PBBD，点E，F分别为PB，PD的中点，求点E到平面ACF的距离．【答案】（1）证明见解析23（2）3【解析】BD，O为AC和BD的中点，，得平面，可证得平面1）由ACPAC平面；（2）证明PA【小问1详解】AB，PAAD，以A为原点，建立空间直角坐标系，向量法求点到平面的距离.连接AC,BD，AC与BD相交于点O，连接PO，四边形ABCD是边长为2的正方形，则ACBD，O为AC和BD的中点，第17页/共25页，则，PO,AC平面，POACO，平面，BD平面，所以平面PAC【小问2详解】平面四边形ABCD是边长为2的正方形，PBPDBD22，2，PA2AB2PB2，PA2AD2PD2，则有PAAB，PAAD，以A为原点，AP,AB,ADxy分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，z则，C2,2，，，F0,1A0,0,0E02，0,1，设平面的一个法向量为x,y,z，ACACFnAC2y2z0，令x1，得y=z=-1n1则有，即.nAFxz0nAE2233AE0，点E到平面ACF的距离d.n319.中，角,B,C的对边分别为a,b,c，且2acbC．（1）求B；（2）若b3，且D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求2的取值范围．【答案】（1）π3第18页/共25页（2）6)【解析】12ac，得到B1）根据题意，由余弦定理化简得a2c2b2，即可求解；ππ（2）设ACD，得到CAD，得到AD23sin,CD23sin()，得出3326，进而求得2的取值范围.【小问1详解】a2b2c2解：因为2acbC，由余弦定理得2acb，2aba2c2b212整理得a2c2b2ac，可得B，2acπBπ)B，可得又因为.3【小问2详解】2ππ解：由圆内接四边形性质，可得D，设ACD，则CAD，33ACADCD323在中，由正弦定理得sinDsinsin(60)3，2πAD23sin,CD23sin()所以，3πAD223sin43sin()6所以，3π1因为0，可得cos(，可得66)，32所以2的取值范围为(3,6).x22y2220.已知椭圆C：1（ab0C的四个顶点所得四边形的面积为22，且离心率ab第19页/共25页2为．2（1）求椭圆C的方程；（2）经过椭圆C的右焦点F且斜率不为零的直线l与椭圆C交于A，B两点，试问轴上是否存在定点xT，使得的内心也在x轴上？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．x2y12【答案】（1）2（2）存在；T0【解析】1）根据题意中几何关系及离心率可以求出a,b的值，从而求解.（2）设出直线l方程x1，然后与椭圆联立，根据的内心在轴上，可得kkBT0并结xAT合根与系数的关系，从而求解.【小问1详解】ab2222c2a由题意得，解得，a2b1a2b2c2x2所以椭圆C的方程为y1.22【小问2详解】因为直线l过右焦点且斜率不为零，设直线l的方程为x1，Ax,y，，Bx,y2F1,0112xmy12，得m22y2210，2m4m2218m80恒成立，22联立xy1222m1yyyy12所以，，12m2m222使得Tt,0x设轴上存在定点x的内心在轴上，则直线TA和TB关于x轴对称，所以直线TA和TB的倾斜角互补，1y2所以kkBT0，即kATkBT0，AT1t2t第20页/共25页所以yxtyxt0，即，y1ty1t01221112212mt22y1tyy02，即2m2m0，1t整理得121m2m2m22222mt20对所有mR恒成立，所以t2即，所以存在定点符合题意.T2,0TB的倾斜角互补，即kATkBT0，再由TA和【点睛】方法点睛：根据的内心在轴上得到直线x直线与椭圆联立后利用根与系数关系得到相应的等式，从而求解.21.某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中nN*次试验中的种数iA1nEXDX和方差进行目为随机变量Xi（i,nXX，利用X的期望ini1估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立．，证明：DXXDXDXijEXXEXEX（1）已知，ijijij1DXDX；1EXEX，1n（2）该小组完成所有试验后，得到Xi的实际取值分别为i（i,ni10.5（i,n）的平均值x和方差s2，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据s2．nMDX，估算（ⅰ）请用x和s2分别代替EX和和x；N（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求X1的分布列中概率值最大的随机事件X1k对应的随机变量的取值．【答案】（1）证明见解析MN37（2ⅰ），x15ⅱ）15【解析】第21页/共25页1）根据题意结合期望、方差的性质分析证明；（2ⅰ1ⅱ算求解即可.【小问1详解】由题可知X（i1，2，…，n）均近似服从完全相同的二项分布，iEXEXEX则，，DX1DXDX2n12n1n1n1n1EXEXEXEXnEXEX，iii11nnnni1i1i11n1n2n1n2n1n21DXDXDXDXnDXDX，iii11nni1i1i11.1EXEXDXDX所以，1n【小问2详解】MX~B（ⅰ）由（1）可知，N1M50MMN则X的均值EX1，X1的方差DX150，1MNMNMN50n(MN)10.5MN37MN73所以D(X)，解得或，2nM由题意可知：0MN，则01，NMN3750MxEXEX，15；所以1NMMMN，0.3，则X:B0.3（ⅱ）由（ⅰ）可知：1m50m10.350m,m,50PX1mC则，5050kk49kCk10.3k50CCk150k110.3由题意可知：，k50k10.3k150k110.3kC解得14.3k15.3，且kN，则k15，*所以X的分布列中概率值最大的随机事件X1k对应的随机变量的取值为15.1【点睛】关键点睛：