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文档简介
湖北省恩施州达标名校2024年中考数学四模试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.一个圆锥的底面半径为,母线长为6,则此圆锥的侧面展开图的圆心角是()A.180° B.150° C.120° D.90°2.已知关于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是().A.m>-1且m≠0 B.m<1且m≠0 C.m<-1 D.m>13.对于数据:6,3,4,7,6,0,1.下列判断中正确的是()A.这组数据的平均数是6,中位数是6 B.这组数据的平均数是6,中位数是7C.这组数据的平均数是5,中位数是6 D.这组数据的平均数是5,中位数是74.如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的俯视图是()A.B.C.D.5.若一个正比例函数的图象经过A(3,﹣6),B(m,﹣4)两点,则m的值为()A.2 B.8 C.﹣2 D.﹣86.如图,已知函数与的图象在第二象限交于点,点在的图象上,且点B在以O点为圆心,OA为半径的上,则k的值为A. B. C. D.7.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x=1.对于下列说法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m为实数);⑤当﹣1<x<3时,y>0,其中正确的是()A.①②④ B.①②⑤ C.②③④ D.③④⑤8.如图,分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,得到的封闭图形是莱洛三角形,若AB=2,则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为()A. B. C.2 D.29.某小组7名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示,关于“劳动时间”的这组数据,以下说法正确的是()劳动时间(小时)33.544.5人数1132A.中位数是4,众数是4 B.中位数是3.5,众数是4C.平均数是3.5,众数是4 D.平均数是4,众数是3.510.图1和图2中所有的正方形都全等,将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置,所组成的图形不能围成正方体的位置是()A.① B.② C.③ D.④二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.抛物线y=2x2+4向左平移2个单位长度,得到新抛物线的表达式为_____.12.如图,点P的坐标为(2,2),点A,B分别在x轴,y轴的正半轴上运动,且∠APB=90°.下列结论:①PA=PB;②当OA=OB时四边形OAPB是正方形;③四边形OAPB的面积和周长都是定值;④连接OP,AB,则AB>OP.其中正确的结论是_____.(把你认为正确结论的序号都填上)13.某种商品两次降价后,每件售价从原来100元降到81元,平均每次降价的百分率是__________.14.如图,是用三角形摆成的图案,摆第一层图需要1个三角形,摆第二层图需要3个三角形,摆第三层图需要7个三角形,摆第四层图需要13个三角形,摆第五层图需要21个三角形,…,摆第n层图需要_____个三角形.15.如图,四边形OABC是矩形,四边形ADEF是正方形,点A,D在x轴的负半轴上,点C在y轴的正半轴上,点F在AB上,点B,E在反比例函数y=kx(k为常数,k≠0)的图像上,正方形ADEF的面积为4,且BF=2AF,则16.已知平面直角坐标系中的点A(2,﹣4)与点B关于原点中心对称,则点B的坐标为_____三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)如图,AB、AD是⊙O的弦,△ABC是等腰直角三角形,△ADC≌△AEB,请仅用无刻度直尺作图:在图1中作出圆心O;在图2中过点B作BF∥AC.18.(8分)某市飞翔航模小队,计划购进一批无人机.已知3台A型无人机和4台B型无人机共需6400元,4台A型无人机和3台B型无人机共需6200元.(1)求一台A型无人机和一台B型无人机的售价各是多少元?(2)该航模小队一次购进两种型号的无人机共50台,并且B型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍.设购进A型无人机x台,总费用为y元.①求y与x的关系式;②购进A型、B型无人机各多少台,才能使总费用最少?19.(8分)如图,以O为圆心,4为半径的圆与x轴交于点A,C在⊙O上,∠OAC=60°.(1)求∠AOC的度数;(2)P为x轴正半轴上一点,且PA=OA,连接PC,试判断PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(3)有一动点M从A点出发,在⊙O上按顺时针方向运动一周,当S△MAO=S△CAO时,求动点M所经过的弧长,并写出此时M点的坐标.20.(8分)正方形ABCD中,点P为直线AB上一个动点(不与点A,B重合),连接DP,将DP绕点P旋转90°得到EP,连接DE,过点E作CD的垂线,交射线DC于M,交射线AB于N.问题出现:(1)当点P在线段AB上时,如图1,线段AD,AP,DM之间的数量关系为;题探究:(2)①当点P在线段BA的延长线上时,如图2,线段AD,AP,DM之间的数量关系为;②当点P在线段AB的延长线上时,如图3,请写出线段AD,AP,DM之间的数量关系并证明;问题拓展:(3)在(1)(2)的条件下,若AP=,∠DEM=15°,则DM=.21.(8分)化简求值:,其中.22.(10分)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE,求证:CE=CF;如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD;运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.23.(12分)如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在OA,OC上.(1)给出以下条件;①OB=OD,②∠1=∠2,③OE=OF,请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO;(2)在(1)条件中你所选条件的前提下,添加AE=CF,求证:四边形ABCD是平行四边形.24.如图,在△ABC中,AB=AC,若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC,连接AF、BE.(1)求证:四边形ABEF是平行四边形;(2)当∠ABC为多少度时,四边形ABEF为矩形?请说明理由.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、B【解析】
解:,解得n=150°.故选B.考点:弧长的计算.2、A【解析】
∵一元二次方程mx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,∴m≠0,且22-4×m×(﹣1)>0,解得:m>﹣1且m≠0.故选A.【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式:(1)当△=b2﹣4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当△=b2﹣4ac=0时,方程有有两个相等的实数根;(3)当△=b2﹣4ac<0时,方程没有实数根.3、C【解析】
根据题目中的数据可以按照从小到大的顺序排列,从而可以求得这组数据的平均数和中位数.【详解】对于数据:6,3,4,7,6,0,1,这组数据按照从小到大排列是:0,3,4,6,6,7,1,这组数据的平均数是:中位数是6,故选C.【点睛】本题考查了平均数、中位数的求法,解决本题的关键是明确它们的意义才会计算,求平均数是用一组数据的和除以这组数据的个数;中位数的求法分两种情况:把一组数据从小到大排成一列,正中间如果是一个数,这个数就是中位数,如果正中间是两个数,那中位数是这两个数的平均数.4、D【解析】试题分析:俯视图是从上面看到的图形.从上面看,左边和中间都是2个正方形,右上角是1个正方形,故选D.考点:简单组合体的三视图5、A【解析】试题分析:设正比例函数解析式为:y=kx,将点A(3,﹣6)代入可得:3k=﹣6,解得:k=﹣2,∴函数解析式为:y=﹣2x,将B(m,﹣4)代入可得:﹣2m=﹣4,解得m=2,故选A.考点:一次函数图象上点的坐标特征.6、A【解析】
由题意,因为与反比例函数都是关于直线对称,推出A与B关于直线对称,推出,可得,求出m即可解决问题;【详解】函数与的图象在第二象限交于点,点与反比例函数都是关于直线对称,与B关于直线对称,,,点故选:A.【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题,反比例函数的图像与性质,圆的对称性及轴对称的性质.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,本题的突破点是发现A,B关于直线对称.7、A【解析】
由抛物线的开口方向判断a与2的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与2的关系,然后根据对称轴判定b与2的关系以及2a+b=2;当x=﹣1时,y=a﹣b+c;然后由图象确定当x取何值时,y>2.【详解】①∵对称轴在y轴右侧,∴a、b异号,∴ab<2,故正确;②∵对称轴∴2a+b=2;故正确;③∵2a+b=2,∴b=﹣2a,∵当x=﹣1时,y=a﹣b+c<2,∴a﹣(﹣2a)+c=3a+c<2,故错误;④根据图示知,当m=1时,有最大值;当m≠1时,有am2+bm+c≤a+b+c,所以a+b≥m(am+b)(m为实数).故正确.⑤如图,当﹣1<x<3时,y不只是大于2.故错误.故选A.【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系,关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向,当a>2时,抛物线向上开口;当a<2时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>2),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<2),对称轴在y轴右.(简称:左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点,抛物线与y轴交于(2,c).8、D【解析】【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成,其面积=三块扇形的面积相加,再减去两个等边三角形的面积,分别求出即可.【详解】过A作AD⊥BC于D,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC=2,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,∵AD⊥BC,∴BD=CD=1,AD=BD=,∴△ABC的面积为BC•AD==,S扇形BAC==,∴莱洛三角形的面积S=3×﹣2×=2π﹣2,故选D.【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算,能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键.9、A【解析】
根据众数和中位数的概念求解.【详解】这组数据中4出现的次数最多,众数为4,∵共有7个人,∴第4个人的劳动时间为中位数,所以中位数为4,故选A.【点睛】本题考查众数与中位数的意义,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错.10、A【解析】
由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题.【详解】将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面,所以不能围成正方体,故选A.【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体,解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形.注意:只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、y=2(x+2)2+1【解析】试题解析:∵二次函数解析式为y=2x2+1,∴顶点坐标(0,1)向左平移2个单位得到的点是(-2,1),可设新函数的解析式为y=2(x-h)2+k,代入顶点坐标得y=2(x+2)2+1,故答案为y=2(x+2)2+1.点睛:函数图象的平移,用平移规律“左加右减,上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.12、①②【解析】
过P作PM⊥y轴于M,PN⊥x轴于N,得出四边形PMON是正方形,推出OM=OM=ON=PN=1,证△APM≌△BPN,可对①进行判断,推出AM=BN,求出OA+OB=ON+OM=2,当当OA=OB时,OA=OB=1,然后可对②作出判断,由△APM≌△BPN可对四边形OAPB的面积作出判断,由OA+OB=2,然后依据AP和PB的长度变化情况可对四边形OAPB的周长作出判断,求得AB的最大值以及OP的长度可对④作出判断.【详解】过P作PM⊥y轴于M,PN⊥x轴于N
∵P(1,1),
∴PN=PM=1.
∵x轴⊥y轴,
∴∠MON=∠PNO=∠PMO=90°,
∴∠MPN=360°-90°-90°-90°=90°,则四边形MONP是正方形,
∴OM=ON=PN=PM=1,
∵∠MPA=∠APB=90°,
∴∠MPA=∠NPB.
∵∠MPA=∠NPB,PM=PN,∠PMA=∠PNB,
∴△MPA≌△NPB,
∴PA=PB,故①正确.
∵△MPA≌△NPB,
∴AM=BN,
∴OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=1+1=2.
当OA=OB时,OA=OB=1,则点A、B分别与点M、N重合,此时四边形OAPB是正方形,故②正确.
∵△MPA≌△NPB,
∴四边形OAPB的面积=四边形AONP的面积+△PNB的面积=四边形AONP的面积+△PMA的面积=正方形PMON的面积=2.
∵OA+OB=2,PA=PB,且PA和PB的长度会不断的变化,故周长不是定值,故③错误.
,∵∠AOB+∠APB=180°,
∴点A、O、B、P共圆,且AB为直径,所以
AB≥OP,故④错误.
故答案为:①②.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,坐标与图形性质,正方形的性质的应用,关键是推出AM=BN和推出OA+OB=OM+ON13、10%【解析】
设降价的百分率为x,则第一次降价后的单价是原来的(1−x),第二次降价后的单价是原来的(1−x)2,根据题意列方程解答即可.【详解】解:设降价的百分率为x,根据题意列方程得:100×(1−x)2=81解得x1=0.1,x2=1.9(不符合题意,舍去).所以降价的百分率为0.1,即10%.故答案为:10%.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用.找到关键描述语,根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.还要判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.14、n2﹣n+1【解析】
观察可得,第1层三角形的个数为1,第2层三角形的个数为3,比第1层多2个;第3层三角形的个数为7,比第2层多4个;…可得,每一层比上一层多的个数依次为2,4,6,…据此作答.【详解】观察可得,第1层三角形的个数为1,第2层三角形的个数为22−2+1=3,第3层三角形的个数为32−3+1=7,第四层图需要42−4+1=13个三角形摆第五层图需要52−5+1=21.那么摆第n层图需要n2−n+1个三角形。故答案为:n2−n+1.【点睛】本题考查了规律型:图形的变化类,解题的关键是由图形得到一般规律.15、-1【解析】试题分析:∵正方形ADEF的面积为4,∴正方形ADEF的边长为2,∴BF=2AF=4,AB=AF+BF=2+4=1.设B点坐标为(t,1),则E点坐标(t-2,2),∵点B、E在反比例函数y=的图象上,∴k=1t=2(t-2),解得t=-1,k=-1.考点:反比例函数系数k的几何意义.16、(﹣2,4)【解析】
根据点P(x,y)关于原点对称的点为(-x,-y)即可得解.【详解】解:∵点A(2,-4)与点B关于原点中心对称,
∴点B的坐标为:(-2,4).
故答案为:(-2,4).【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质,正确掌握横纵坐标的关系是解题关键.三、解答题(共8题,共72分)17、见解析.【解析】
(1)画出⊙O的两条直径,交点即为圆心O.(2)作直线AO交⊙O于F,直线BF即为所求.【详解】解:作图如下:(1);(2).【点睛】本题考查作图−复杂作图,圆周角定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.18、(1)一台A型无人机售价800元,一台B型无人机的售价1000元;(2)①y=﹣200x+50000;②购进A型、B型无人机各16台、34台时,才能使总费用最少.【解析】
(1)根据3台A型无人机和4台B型无人机共需6400元,4台A型无人机和3台B型无人机共需6200元,可以列出相应的方程组,从而可以解答本题;(2)①根据题意可以得到y与x的函数关系式;②根据①中的函数关系式和B型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍,可以求得购进A型、B型无人机各多少台,才能使总费用最少.【详解】解:(1)设一台型无人机售价元,一台型无人机的售价元,,解得,,答:一台型无人机售价元,一台型无人机的售价元;(2)①由题意可得,即y与x的函数关系式为;②∵B型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍,,解得,,,∴当时,y取得最小值,此时,答:购进型、型无人机各台、台时,才能使总费用最少.【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和方程的知识解答.19、(1)60°;(2)见解析;(3)对应的M点坐标分别为:M1(2,﹣2)、M2(﹣2,﹣2)、M3(﹣2,2)、M4(2,2).【解析】
(1)由于∠OAC=60°,易证得△OAC是等边三角形,即可得∠AOC=60°.
(2)由(1)的结论知:OA=AC,因此OA=AC=AP,即OP边上的中线等于OP的一半,由此可证得△OCP是直角三角形,且∠OCP=90°,由此可判断出PC与⊙O的位置关系.
(3)此题应考虑多种情况,若△MAO、△OAC的面积相等,那么它们的高必相等,因此有四个符合条件的M点,即:C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点,可据此进行求解.【详解】(1)∵OA=OC,∠OAC=60°,∴△OAC是等边三角形,故∠AOC=60°.(2)由(1)知:AC=OA,已知PA=OA,即OA=PA=AC;∴AC=OP,因此△OCP是直角三角形,且∠OCP=90°,而OC是⊙O的半径,故PC与⊙O的位置关系是相切.(3)如图;有三种情况:①取C点关于x轴的对称点,则此点符合M点的要求,此时M点的坐标为:M1(2,﹣2);劣弧MA的长为:;②取C点关于原点的对称点,此点也符合M点的要求,此时M点的坐标为:M2(﹣2,﹣2);劣弧MA的长为:;③取C点关于y轴的对称点,此点也符合M点的要求,此时M点的坐标为:M3(﹣2,2);优弧MA的长为:;④当C、M重合时,C点符合M点的要求,此时M4(2,2);优弧MA的长为:;综上可知:当S△MAO=S△CAO时,动点M所经过的弧长为对应的M点坐标分别为:M1(2,﹣2)、M2(﹣2,﹣2)、M3(﹣2,2)、M4(2,2).【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法,注意分类讨论思想的运用,不要漏解.20、(1)DM=AD+AP;(2)①DM=AD﹣AP;②DM=AP﹣AD;(3)3﹣或﹣1.【解析】
(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP≌△PFN,进而解答即可;(2)①根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP≌△PFN,进而解答即可;②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP≌△PFN,进而解答即可;(3)分两种情况利用勾股定理和三角函数解答即可.【详解】(1)DM=AD+AP,理由如下:∵正方形ABCD,∴DC=AB,∠DAP=90°,∵将DP绕点P旋转90°得到EP,连接DE,过点E作CD的垂线,交射线DC于M,交射线AB于N,∴DP=PE,∠PNE=90°,∠DPE=90°,∵∠ADP+∠DPA=90°,∠DPA+∠EPN=90°,∴∠DAP=∠EPN,在△ADP与△NPE中,,∴△ADP≌△NPE(AAS),∴AD=PN,AP=EN,∴AN=DM=AP+PN=AD+AP;(2)①DM=AD﹣AP,理由如下:∵正方形ABCD,∴DC=AB,∠DAP=90°,∵将DP绕点P旋转90°得到EP,连接DE,过点E作CD的垂线,交射线DC于M,交射线AB于N,∴DP=PE,∠PNE=90°,∠DPE=90°,∵∠ADP+∠DPA=90°,∠DPA+∠EPN=90°,∴∠DAP=∠EPN,在△ADP与△NPE中,,∴△ADP≌△NPE(AAS),∴AD=PN,AP=EN,∴AN=DM=PN﹣AP=AD﹣AP;②DM=AP﹣AD,理由如下:∵∠DAP+∠EPN=90°,∠EPN+∠PEN=90°,∴∠DAP=∠PEN,又∵∠A=∠PNE=90°,DP=PE,∴△DAP≌△PEN,∴AD=PN,∴DM=AN=AP﹣PN=AP﹣AD;(3)有两种情况,如图2,DM=3﹣,如图3,DM=﹣1;①如图2:∵∠DEM=15°,∴∠PDA=∠PDE﹣∠ADE=45°﹣15°=30°,在Rt△PAD中AP=,AD==3,∴DM=AD﹣AP=3﹣;②如图3:∵∠DEM=15°,∴∠PDA=∠PDE﹣∠ADE=45°﹣15°=30°,在Rt△PAD中AP=,AD=AP•tan30°==1,∴DM=AP﹣AD=﹣1.故答案为;DM=AD+AP;DM=AD﹣AP;3﹣或﹣1.【点睛】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质全等三角形的判定和性质,分类讨论的数学思想解决问题,判断出△ADP≌△PFN是解本题的关键.21、【解析】分析:先把小括号内的通分,按照分式的减法和分式除法法则进行化简,再把字母的值代入运算即可.详解:原式当时,点睛:考查分式的混合运算,掌握运算顺序是解题的关键.22、(1)、(2)证明见解析(3)28【解析】试题分析:(1)根据正方形的性质,可直接证明△CBE≌△CDF,从而得出CE=CF;(2)延长AD至F,使DF=BE,连接CF,根据(1)知∠BCE=∠DCF,即可证明∠ECF=∠BCD=90°,根据∠GCE=45°,得∠GCF=∠GCE=45°,利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG,即GE=GF,即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD;(3)过C作CF⊥AD的延长线于点F.则四边形ABCF是正方形,设DF=x,则AD=12-x,根据(2)可得:DE=BE+DF=4+x,在直角△ADE中利用勾股定理即可求解;试题解析:(1)如图1,在正方形ABCD中,∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,∴△CBE≌△CDF,∴CE=CF;(2)如图2,延长AD至F,使
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