四类立体几何题型-2023年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项练习（解析版）

专题03四类立体几何题型-2023年高考数学大题秒

杀技巧及专项练习（解析版）

立体几何问题一般分为四类：

类型1：线面平行问题；

类型2：线面垂直问题；

类型3：点面距离问题；

类型4：线面及面面夹角问题；

下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.

技巧：法向量的求算

待定系数法：步骤如下：

①设出平面的法向量为“=（x,y,z）.

②找出（求出）平面内的两个不共线的向量％=（q,"9）,3=（的为2，。2）.

③根据法向量的定义建立关于羽y,z的方程组4一-

n-b=O

④解方程组，取其中的一个解，即得法向量.

[na=O

注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组-有无数多个解，只需给

n-b=0

x,y,z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法

向量就不同，但它们是共线向量.

秒杀：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）

向量a=（Xi，X，zJ,人=（%2，%，22）是平面a内的两个不共线向量，则向量

n=（y1z2-y2zl,x2z}一为z?,X】%-七y）是平面a的一个法向量.

特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.

类型1：线面平行问题

方法一：中位线型：

如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P-A6CD中，点E是的中点.求证：〃平

面AEC.

分析:

如图⑴

方法二：构造平行四边形

如图⑵，平行四边形ABCD和梯形3EEC所在平面相交，BE//CF,求证：AE〃平面

DCF.

分析：过点E作石G〃4。交/C于G,DG就是平面AEG。

与平面的交线，那么只要证明AE//DG即可。

方法三：作辅助面使两个平面是平行

如图⑶，在四棱锥O—ABC。中，底面A3CD为菱形，M为Q4的中点，N为的中

点，证明：直线"N〃平面OCD

分析:：取08中点E,连接ME,NE,只需证平面MEN〃平面08。

方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。

已知公共边为46的两个全等的矩形263和力婀不在同一平面内，P,0分别是对角线/反

物上的点，且加』20（如图）.求证：国〃平面鹿.

如图⑸，已知三棱锥尸一ABC,A、B\C'是AP5C,APCZ,APAB的重心.⑴求证:

AB'〃面ABC；

“17

N1

如图⑹

方法五：(向量法)所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系(或找空间

一组基底)及平面的法向量。

线面平行问题专项训练

1.如图,在正三棱柱ABC-AiBiCi中,44/_L平面ABC,D、E分别为AC、A4/的中点,AC=AAi=2.

⑴求证：DE〃平面A/8C；

(2)求QE与平面8CGB/夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵巫

4

【详解】(1)证明：：点。、E分别为AC、44/的中点,

...DE为三角形AC4/的中位线，即DE〃C4,

平面ABC,CAu平面ABC,

...DE〃平面AiBC

(2)过点4作8/G的垂线，垂足为孔连结CF,

因为平面44G，平面BCG瓦，且平面AAGc平面BCC禺=B,C,,

\F14G,所以4尸JL平面BCCA,所以CF为CA在平面BCC向的射影,

乙41cp即为所求角，CF=jF+22=&，AF=BAC=,22+22=20

CF回

所以COSNAC「=——

qc2立一4

2.如图，在多面体ABCDEFG中，已知ADGC是正方形，GD//EF,GF//BC,FGJ_平面

4£>3(?,知,"分别是47,8尸的中点，MBC=EF=1CG=1FG.

(1)求证："N〃平面AFG；

(2)求直线MN与平面3EF所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

0、4屈

85

M为AC的中点，:.PM//AG.

又PMt平面AGF,AGu平面AGF,

.•.尸Af〃平面AGV.

同理可得，PN〃平面AGV.

PMcPN=P,PM,PNu平面PMN,

/.平面PMN〃平面AGF.

RG_L平面ADGC,CG,DGu平面ADGC,

:.FG±CG,FG±DG.

以G为坐标原点，G£>,G/,GC的方向分别为x轴，，轴，z轴正方向，建立如图所示的空间

直角坐标系Gxyz.不妨设8c=1,则G(0,0,0),M(l,0,2),

N(0,：,1),5(0,1,2),E(l,2,0)/(0,2,0),=j,BE=(l,l,-2),BF=(0,1,-2),

设平面班户的一个法向量为“=(x,y,z).

n-BE=0,fx+y—2z=0,

由〈.得《c

n-BF=0[y~2z=0.

令z=l,得"=(0,2,1),

设MN与平面所成角为6,

.....\n-MN\24屈

rn,.sin0=cos<〃,MN>\=---------=—7=--------=--------

则叵%亚85.

~rx

A直线MN与平面BEF所成角的正弦值为不

85

3.如图，在四棱锥S-ABCD中，ABCD为直角梯形，ADUBC,BC1CD,平面SCO,平

面ABCD.SCO是以8为斜边的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=2,E为BS上一点、,

且BE=2ES.

B

(1)证明：直线必//平面ACE；

(2)求二面角S-AE-C的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

【详解】(1)连接交AC于点F,连接E尸.

因为AD//BC,所以△AFD与△3CF相似.

所以需箫

BFRF

又方=而=2,所以EF〃SD.

因为防u平面ACE,SDC平面ACE,所以直线SD〃平面ACE.

(2)平面SCD_L平面ABCD,平面SCO1平面ABCD=CD,BCu平面ABCD,

BCVCD,所以3c人平面SCO.

以c为坐标原点，co,CB所在的方向分别为y轴、z轴的正方向，

与CD,C8均垂直的方向作为X轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-孙z.

则C(0,0,0),5(1,1,0),A(0,2,2),

CA=(0,2,2),AS=一2),A£1=[|•，-CE=(：K).

设平面SAE的一个法向量为戊=(x,y,z),

m•AS=x-y-2z=0

则，242，令x=l，得机=(3,1,1),

m•AE=—x——y——z=0

I333

设平面E4C的一个法向量为"=(x,y,Z),

n-CA=2y+2z=0

则224，令z=l,得"=(T,-1,1).

n•CE=—x+—y+—z=0

333

设二面角S-AE-C的平面角的大小为6,

।|m-n|3A/33

贝Ucos8=-------=-；=―产=-----.

\m\­\n\73-71111

所以二面角S-AE-C的余弦值为画.

11

4.如图，四边形AB4a是圆柱。a的轴截面，点/是母线CG的中点，圆柱底面半径

R=41,AA,=2.

⑴求证：〃平面ABM；

（2）当三棱锥A-ABC的体积最大时，求平面A3M与平面CBM夹角的余弦值.

【答案】（1）见解析

⑵哙

6

【详解】（1）证明：连接。。.OOqAB=N,则OQ//C6，且。O]=CC],MC=MC1,

连接MN,\O,O{B,由圆柱的性质可得

4。1//。尻4。1=08,

所以四边形是平行四边形，.•.qN=NO,所以N为。。1中点,

所以易知QG〃MN,0G0平面ABM,MNU平面ABM，

所以0G〃平面ABM；

（2）设AC=a,BC=Z?,则°2+》2=8,

匕,-小=。5""=96《-吗贮=3,当且仅当AC=3C=2时取等,

如图所示，建立空间直角坐标系C-乎，A（2,0,2）,fi（0,2,0）,M（0,0,l）,

Affi=(0,2-l),M<=(2,0,l),设平面A0M的法向量为〃=(x,y,z),

MBfi=G2y-z=0

所以___n令z=2,y=l,x=-l,所以w=(-1,1,2),

2x+z=0

MAcn=Q

取平面CBM的法向量为m=（1,0,0）,

\m-n\_遍

所以平面ABM与平面CBM夹角的余弦值|cos机，司=

M•同6

所以平面ABM与平面CBM夹角的余弦值为逅

6

5.在直三棱柱A4G-ABC中，aA=42=BC=CA=2,加、N分别为棱BC和CC,的中点,

(1)若C/〃平面AMN,试求点P的轨迹，并证明；

(2)若P是线段A耳的中点，求二面角尸-MN-A的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵孚

【详解】(1)取AA的中点为。，连G。，QB,QB,则点P的轨迹为线段30.

证明：因为M,N分别为BC和CC的中点，所以

又因为BC】O平面ANN,MNu平面

所以BG〃平面AMN

又因为。是AA的中点，所以AQ=：AA=：GC=GN

而GC〃AA,所以QA〃GC且QA=GC

所以四边形GM4Q为平行四边形

所以C©〃AN

又因为GQC平面ANN,ANu平面AMN

所以GQ〃平面AMN

因为GQcGB=G，所以平面GBQ〃平面AMN

因为点P在侧面A瓦上，且GP〃平面AM2V

所以在平面G3Q内，所以点尸在线段8。上，所以点P的轨迹为线段8。.

(2)依题设可知直三棱柱A4G-A3C为正三棱柱，AM±BC

以M为原点，建立空间直角坐标系，如图所示

则M（0,0,0）,A（道,0,0）,3（0,1,0）,C（0,-l,0）,N（0,-l,l）,P与g,l

设平面AAW的法向量为a=（x,y,z）,则

a-MA=0Jyfix=01x=0

a-MN=0]-y+z=01y=z

取z=l,得a=（0,1,1）

设平面尸肱V的法向量为b=(%,y,z),则

1

bMP=0——x+—y+z=0X=-A/3Z

22

b-MN=0y=z

_y+z=0n

取z=l,得6=b/l,l）

/7\a-b2V10

=

,,,COS\'4Z,/P/耶1~~|n~r=V-2T-=V---5--尸=-5----

所以，二面角尸-MN-A的余弦值为亚.

5

类型2：线面垂直问题

必记结论：①特殊的平行四边形n边长之比1:2,夹角为60°,则对角线与边垂直

②特殊的直角梯形n边长之比1：1：2,对角线与腰垂直

③等腰三角形三线合一，三线与底垂直

④直径所对的圆周角为直角⑤菱形和正方形：对角线互相垂直

⑥特殊的矩形：边长之比1:2或1：、历有明显的直角关系

线面垂直问题专项训练

6.如图，在三棱柱ABC-A耳G中，平面ABC,D,E分别为AC,AG的中点,

AB=BC=5AC=AAi=2.

B

⑴求证：AC_L平面瓦出；

⑵求点D到平面ABE的距离.

【答案】（1）证明见解析；

⑵当

【详解】（1）证明：=D,E分别为AC,AG的中点，

/.ACLDB,且DE//AA1,

又"_L平面ABC,小工平面ABC,

又ACu平面ABC,/.ACLDE,

又AC_L£>3,且DEcDB=D,u平面比）£,

，AC_L平面fiDE.

（2）VAC1DB,AB=-45,AC=2AD=2,

BD=VAS2-AD2=2,

BE=^DE2+BD2=272-AE=dDE2+AD2=5S“"=gxlx2=l.

在中，AB=AE=y/5,BE=272,

.1•BE边上的高为J（灼2一=V3.

••.5AAB£=|X2V2X73=A/6.

设点D到平面ABE的距离为d,

根据七加=/僻，得;x&xd=；xlx2,解得d=巫,

333

所以点。到平面ABE的距离为".

3

7.如图，四边形ABCD为菱形，ED_L平面ABC。，FBED,BD=>/iED=2@FB.

（1）证明：平面E4C_L平面E4c；

⑵若N3AD=60。，求二面角产-C的大小.

【答案】（1）证明见解析

⑵：

【详解】（1）设2。交AC于点。，连接EO,FO,

因为四边形ABCD为菱形，所以AC130.

因为EO_L平面ABCQ,ACu平面ABC。，所以AC_LED.

又EDBD=D,ED,BDu平面BDEF,所以ACJL平面BDEP；

又EOu平面BDEF,所以AC_LEO.

设FB=1,由题意得£D=2,BD=2y[2,DO=BO=>/2.

因为FBHED,S.ED±^ABCD,贝ljFBI平面ABC。，

而08,0。u平面ABC。，故OBLFB,OD1ED,

所以OF={OB2+BF2=6,EO=yjED2+DO2=46^

EF=^BD2+（££>-BF）2=-Js+l=3.

因为£7户=0^2+0尸\所以E0J.R9.

因为。尸cAC=O,OfACu平面ACR所以EO_L平面ACE

又EOu平面EAC,所以平面EAC_L平面型C.

(2)取所中点G,连接OG,所以。G//E。，OGl^ABCD.

以。为原点，以OA,OB,OG分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系,

因为/BAD=60。，由⑴中所设知，AB=AD=1y[2,

所以，OA=OC=yj6,

所以A(A/6,O,0),F(0,&),E(0,-在2),C(-A/6,0,0).

所以K4=(«,-点,-1),EA=(A/6,A/2,-2),£C=(-A/6,V2,-2),

设平面曲E的一个法向量为〃z=(x,y,z),

m-FA=0J6x-j2y-z=0x=6y

则=>=>

m•EA=0yJ6x+V2y-2z=0z=2及y

所以沆=(石,1,20)；

平面AEC的一个法向量为"=(。,瓦c),

n-EC=0[-a+岳-2c=0[a=0

则«=，厂r.nz

nEA=0[y/6a+>j2b-2c=0[b=y/2c

所以〃=(0,0,1)；

3忘返

所以cos〈/〃,〃)

国4+1+(2伪22

由图形可知二面角厂-AE-C的平面角为锐角,

TT

所以二面角尸-钻-。的大小为“

8.如图，△ADM是等腰直角三角形，AD±DM,四边形ABCM是直角梯形，ABJ.BC,

MCLBC,且AB=2BC=2CM=2,平面ADM_L平面A5cM.

⑴求证：AD±BM；

⑵若点£是线段£>8上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥ADE的体积为变？

18

【答案】(1)证明见解析

(2)£为线段3。上靠近点D的三等分点

【详解】(1)四边形是直角梯形，ABJ.BC,MCYBC,AB=2BC=2MC=2,

BM=>/1+1=^2,AM=^(2-1)2+12=72,

则AAfZ+B”=.,AM1MB,

:平面平面ABCM,平面1平面ABCM=4",

BMu平面ABCM,

BA/工平面TMM,

又。Au平面D4"，AD±BM；

(2)由(1)可知由平面ADM,BM=■>/!，

DE

设==几，则E到平面ADM的距离为B到平面ADM的距离的％倍，

BD

即E到平面ADM的距离d=722,

△ADM是等腰直角三角形，ADLDM,AM=®，AD=DM=1,

VM-ADE=VE-ADM=15AADM'd=~^~,即:XgX1X1X应2=,

31oJZio

A=—,

3

■■E为线段BO上靠近点D的三等分点.

9.如图，在直三棱柱ABC-ABG中，ZBAC=9Q°,AB=AC=^AA,=2,AE=^A\,

。为棱CG的中点，尸为棱BC的中点.

⑴求证：BE，平面明C；

（2）求三棱锥B-DEF的体积.

【答案】（1）证明见解析

⑵！

【详解】（1）；=；⑨，AB=AC=~AAX,AA,=BBl,

11AEAB

••・AE=”，AB=-BBl,则益=函-

■：ABC-A再G为直三棱柱，故侧面AB耳A为矩形,

/.ZA.AB=/ABB[=90°,

综上，AEBBABi，ZBABt=ZAEB,又NE2A+ZAEB=90°,

；.NEBA+/BAB1=90°,则BE±AB},

'：M1平面ABC,ACu平面ABC,

±AC,XAC.LAB,AB=A,A4]U平面ABB]A，ABu平面ABB|A，

二AC_L平面ABBJA,又u平面ABB】A,则ACBE.

•/ABjAC=A,AB]U平面AB。，ACu平面AB。，

，3E_L平面MC.

连接AF,AAJIBB、,A41a平面BCC|A，5月u平面BCC1瓦,

招〃平面BC£耳,

V

三棱锥氏。跖的体积/-DEF=E-BDF=VA-BDF=%一ABF~gS^ABF'CD.

VAB=AC=2,ZBAC=90°,尸为BC的中点，

BC=2A/2,AFIBC,:.AF=BF=旧

•••5AABF=1-BF-AF=1-V2-V2=1,

112

三棱锥B-DEF的体积VB_DEF=VD_ABF=-SAABF-CD=-X1X2=-.

10.如图，在直三棱柱ABC-A与G中，AQ=B{C1,AGiB,q,〃为棱A4

的中点.

⑴求证：4〃/平面86〃；

⑵若AC=2,求三棱锥A-BGM的体积.

【答案】(1)证明见解析

⑵羊

【详解】(1)因为ABC-AAG为直三棱柱，所以平面ABC-

又G〃u平面4瓦£,所以

因为"为棱A片的中点，AG=B|G，所以片.

因为AAu平面A|A3B1,A"u平面A,B,=,所以GM,平面

又AMu平面443片，所以

因为〃为棱4片的中点，所以44=(4月=4”.

又所以NAM4=45,同理/4〃5=45,所以

因为C|Mu平面BC|M,BMu平面BCM,GMBM=M,

所以AMI平面BC]M.

(2)因为AG=36=2,AC_LB]G,=与，

所以A4=20,AA=；Ag=AM=GM=0,

所以AM=BM=JAT+AM2=2.

由(1)知G〃~L平面AAB与，

1111Q

所以匕―5G“="G-ABM=§SAABMxC[M=—x—xAMxBMxCXM=彳x2x2xA/2=,

即三棱锥A-BGM的体积为逑.

3

类型3：点面距离问题

结论1：《点线距离》n《异面直线求距离问题》

11.如图，在底面是矩形的四棱雉尸-ABCD中，上4,平面ABC。，PA^AB=2,BC=4,

E是尸。的中点.

(1)求证：平面PCD_L平面融。

(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值;

(3)求8点到平面EAC的距离.

*【答案】(1)证明见解析

呜

【详解】（1）由题可知，以A为原点，建立空间直角坐标系A-孙z,如图所示

则A(0,0,0),BQ,0,0),C(2,4,0),0(0,4,0),£(0,2,1),尸(0,0,2).

所以AB=(2,0,0),AD=(0,4,0),AP=(0,0,2),CD=(-2,0,0),AE=(0,2,1),AC=(2,4,0),

所以Cr>-Ar>=(—2)x0+0x4+0x0=0,BPCD±AD,

所以CZ>AP=(-2)x0+0x0+0x2=0,CDYAP,

又ADAP=A,AD,APu平面融。，所以CD_L平面用D,

又CDu平面尸CD,所以平面尸CD_L平面E4D

(2)设平面AEC的法向量为〃=(尤,y,z),则

n.AE=0\2y+z=0

\，即1,

n.AC=0[2x+4y=0

令％=2,贝！J%=T,z=2,所以〃=(2,-1,2),

由题意知，24,平面ABCQ,平面ACZ）的法向量为A尸=（0,0,2）,

设平面E4c与平面AC。夹角的8,则

।।4_2

cos0=cos<n,AP>\=---------L

11|n||AP|3^2~3

7

所以平面EAC与平面ACD夹角的余弦值为-.

（3）由（2）知，平面AEC的法向量为〃=（2,-1,2）,AB=（2,0,0）

设B点到平面EAC的距离为h,则

\n-AB\|2x2+（-l）x0+2x0|4

kH6（7）2+223,

4

所以3点到平面EAC的距离为7.

7T

12.如图，直四棱柱ABC。-AAG。的底面ABCD为平行四边形，ZDAB=~,

3AD=2C£»=2£»2=6,点p,M分别为AB,上靠近A，2的三等分点.

⑴求点M到直线PR的距离；

(2)求直线PD与平面PCD,所成角的正弦值.

【答案】(1)立

2

(2)手

【详解】(1)由题可得AD=2,CD=DR=3,

又点尸为48上靠近A的三等分点，所以AP=1.

在△ADP中，由余弦定理可得，

DP2=AD2+AP3-2AD-AP-cosZDAP=4+l-2x2xlx~=3,

2

故AD?=4=A?2+DP2，

所以△4DP为直角三角形，故。尸，48.

因为底面ABC。为平行四边形，所以r>P，C£).

由直四棱柱性质可知-LDP,DD1±CD,

即。尸，CD,DR两两垂直.

故以。为坐标原点，分别以OP,DC,所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系Dxyz.

则0(0,0,0),尸(6,0,0),£)/0,0,3),M(0,l,2).

因为尸鼻=卜6,0,3),过点M作ME，尸2,(点到直线的距离即为通过该点向直线做垂线,

点到垂足的距离）

令==卜后,0,3彳），所以故ME=（百-&,一1,32-2）.

3（Ji-

由"£-尸_0]=-3+3九+92-6=0,解得/1=一，所以加£=--,-1,-，故点M到直线尸2的

4I44）

距离为麻卜舟吃=§

（2）因为。尸=（6,0,0）,"”=（0,1,-1）,PD1=（-73,0,3）,

为.府=0,Jj-z=0,

设平面PCR的法向量为〃=（尤,y,z）,

n-PDt=0,—y/3x+3z=0,

令x=G，得y=i,z=l,故〃=

设直线PD与平面PCD、所成角为6,

n•DPV15

则sin0=|cos(n,DP)|=

\nV\DP\5

所以直线尸。与平面pen所成角的正弦值为姮.

5

13.如图，在四棱锥S-MCD中，四边形ABC。是菱形，AB=1,SC=正,三棱锥S-3CD

3

是正三棱锥，E,尸分别为&LSC的中点.

（1）求二面角E—BF—。的余弦值；

（2）判断直线SA与平面8OF的位置关系.如果平行，求出直线SA与平面8。尸的距离；如果

不平行，说明理由.

【答案】⑴恒

⑵平行，距离为短

14

【详解】（1）连接AC,交于点O,连接S。，因为四边形42C。是菱形，所以。为AC,

的中点，且BDLAC,

因为三棱锥S-BCD是正三棱锥，SB=SD,。为8。的中点，所以B£>_LSO,SOu平面SAC,

ACu平面SAC,

又SOAC=O,所以BD2平面SAC

作阳，平面BCD于X,则X为正三角形BCD的中点，X在线段OC上，MOC=—

2

OH=-OC=-^—=—,CH=-OC=—,SH=^SC--CH-=

HS的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空

间直角坐标系,、、

则A(0，-g,0),BQ,O,OI,C.0,，

走,0,D[WO,O1,S0,,1,E0,-

6

~T7\

FL百1]

、

所以二

5E一，一§；,BF=，，,BD=(-1,0,0),

I262J~2^~2

7

设加=(占,％,Z])是平面EBF的法向量,

RF16」10

则

n}-BF=-^xl+-y1+^zi=0

则勺=(1,0,1),设%=(&,%,Z2)是平面08尸的法向量,

n2•BD=—x2=0

取&(一

则]\/3]=0,6,21

“2•BF=——%2~%+,“2=0

所以EG淌=会7=一半,

又因为二面角E-3尸-。是锐二面角，所以二面角E-斯-。的余弦值为恒.

(2)直线SA与平面2£)/平行.

法1：连接。品由（1）知。为AC的中点，又尸为SC的中点，所以0尸〃&4,

又因为0平面9加，OFu平面2£）F，所以直线SA//平面出加.

法2:由（1）知“=（0,也,-2）是平面瓦加的一个法向量，

又小一生],s[o,%i],所以SA=0,-乎-1,

所以SA%=0x0+A,毕J+（_2）x（T）=0,

所以又因为S4U平面由加，所以直线&1〃平面

设点A与平面BDF的距离为h,则%即为直线SA与平面BDF的距离,

因为。4=[o,-q,o],%=（0,石,-2）是平面尸的一个法向量，

2

I）

II0x0+百x-9+0x（一2）

所以104HL__________12J1|=36，

同一77-R

所以点A与平面BDF的距离为迈，

14

所以直线与平面BDF的距离为短.

14

14.四棱锥P-A5CD的底面是边长为2的菱形，ZDAB=^°,对角线AC与2。相交于点

O,尸。工底面ABC。，与底面ABC。所成的角为60。，E是的中点.

⑴求异面直线。E与出所成角的大小（结果用反三角函数值表示）;

（2）证明：OE〃平面力。，并求点E到平面南。的距离.

【答案】（l）arccos^-

4

（2）证明见解析，孚

【详解】（1）由题意，PO,OCOB两两互相垂直，以。为坐标原点，射线08、OC、OP分

别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，

z

菱形ABCD中，ZDAB=GO0,所以3D=2O3=2,

在RtAAOB中=^AB2-OB2=拒，

因为PO1底面ABC。，所以尸3与底面ABC。所成的角为NRBO=60。，

所以尸O=O2-tan60°=6,

则点A、B、D、尸的坐标分别是A(0,-百,0),8(1,0,0),£>(-1,0,0),尸(0,0,g),

1uumQUUUll

E是尸5的中点，则E《,O,苧)，于是。£=(1,o,学)，AP=(0,V3,A/3).

3

ULUULIL1U八0V2

设DE,”的夹角为仇则有cos<9=_一二丁,

/73；g4

V44

故6=arccos—，

4

・,・异面直线DE与B4所成角的大小是arccosY2.

4

(2)连接OE,

及。分别是尸民助的中点，

:.EOHPD,

石O(Z平面B4O,尸Du平面B4D,

平面PAD.

UL1U厂L->

因为AP=(0,后否)，AD=(-l,60)，

设平面PAD的法向量:=(x,y,z)，

n•AD=-x+Gy=0

令X=5则产1,2=1,

n•AP="y+A/3Z=0

uum3

所以w=(g,l,-l)，又DE=10,

2

-|亚_四匚「

则点E到平面PAD的距离d=IDEfl=22_=工也.

।；।J'3+1+14s5

15.斜三棱柱ABC-的各棱长都为2,/448=60。，点4在下底面A8C的投影为AB

的中点O.

⑴在棱2片（含端点）上是否存在一点。使a。LAG?若存在，求出8。的长；若不存在,

请说明理由；

（2）求点A到平面BCCA的距离.

2

【答案】（1）存在，BD=-

⑵平

【详解】（1）连接0C,因为AC=BC,。为A3的中点，所以OCLAB,

由题意知A。，平面A8C,

又A4,=2,ZAiAO=60°,所以4。=6，

以。点为原点，如图建立空间直角坐标系，

则A（0,0,君），A（l,0,0）,B（-l,0,0）,C（0,V3,0）,

由AB=得4b2,0,,同理得C]（―1,,

设3D="gJe[0,1],得。卜1一,0,"），

又AC、=〈-2,上，有）,A[D=1—z,0,A/3?—A/3j,

由AC1.4Z）=0,得-2（-1-1）+6-百）=Q,

17

得，=《，又BB、=2,：.BD=M，

2

存在点。且8。=,满足条件；

⑵设平面8CC#的法向量为。=（x,y,z）,BC=（1,^,0）,页=（-1*0词,

n-BC=x+A/3y=0(r\

则有■r，可取几=后-M

7

nCCx=-x+y/3z=0'

又疏=(1,。，❷,

•••点A到平面BCQBi的距离为d=|班|卜05(3,“=|班|V3+0+V32A/15

X画卜石5

・•・所求距离为雪

类型4：线面及面面夹角问题

结论1：异面直线所成角cose=ETe/o,、

71

同WI

7

①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解

a-b上.

②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式cos,力=求出

\a\]b\

关键是求出及同与

ibBW、

结论2：线面角cosa=sine=

1国T洞目(4

7

%.匕

结论3：二面角的平面角cos。二2(0e(0,»))

线面及面面夹角问题专项训练

16.如图，在四边形ABC。中，AB=BC^2CD,AB±BC,AC±CD9以AC为折痕将二ACO

折起，使点。到达点P的位置，且PB=.

p

（1）证明：AB人平面BBC；

⑵若〃为上4的中点，求直线尸3与平面MBC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）|.

【详解】（1）因为3C=2CD=2PC,又PB<CD,

所以PB?=5CD2=5PC2=BC2+PC2,所以PC_L8C,

由ACJ_CD,可知ACJ_PC,

因为4c,8Cu平面ABC,ACCBC=C,所以PC,平面ABC,

因为/Wu平面ABC,所以尸CJ_AB,

又AB_LBC,PCBC=C,PC,BCcPBC,

所以AB人平面PBC；

（2）取AC的中点O,连接OM,O3,

由（1）知，PC,平面ABC,CW为aP4c的中位线，OMI/PC,所以OM,平面ABC,

又AC,OBu平面ABC,所以OM_LAC,OAf_LO3,即OM,03,AC两两垂直，

如图，以。为原点，O8,OC,O河所在直线分别为苍％z轴，建立空间直角坐标系O-孙z,

设CD=2,则AB=_BC=4,AC=4A/2»OB=AC=2>/2,OM——PC—1,

则P（0,2^,2）,B（2^,0,0）,C（0,25/2,0）,M（0,0,1）,

所以尸B=（20,-2班,-2）,3C=（-2A/2,2A/2,0）,BM=（一2近,0,1）,

设平面MBC的一个法向量为〃=（x,y,z）,

n-BC-0,-2y=0,

则由Vn

nBM=0-+z—0,

令光=1,得y=l,z=2&，得〃=(1,1,2,

设直线网与平面所成角为6,

,"MI2V2-2V2-4V2I2

则sin0=cos<n,PB>

卜”2小义M5

2

所以直线PB与平面MBC所成角的正弦值为w.

17.在四棱锥P—ABCD中，面24^_1面488,PA=PC,AD±AB,AD//BC,AD=2BC=2,

AB=®E是线段A3上的靠近B点的三等分点.

⑴求证：CD_L面尸EC；

(2)若面BPC和面PEC的夹角为45,求线段3P的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)BP=1

【详解】(1)法一：由面R4S_L面ABCD,AT>u面ABCD,面面ABCD=钻,

所以AD_L面上4B,P4u面上4B,故ADJLP4,

由勾股定理得：CD=y(AB2+CAD-BO2=2,而AD=2,

又PA=PC,PD=PD,所以PCDMRAD,所以CDLPC,

_________Q/A

易得：EC=y/BE2+BC2=-区ED=1AE2+AD2=-y/3,

33

所以瓦>2=成72+。。2,故CD_LEC,

又PCcEC=C,PC,ECu面PEC,所以。£)_1面?£。.

法二：因为面八位,面抽。。，在平面内作Bz_L54,则3Z_L面ABCD,

以B点为原点建立空间直角坐标系，则A（0,五0）,D（2,"0）,EO,^,o|c（l,O,O）,

设尸（0.6）,因为丛=PC,所以（a-石）2+〃=1+1+〃，可得。=岑.

所以EP=（O,O,。），又0）=（1,6,0）,石。=|1,一4,0,

I3J

ikCDEP=Q,CDEC=O,所以CD，EP,CDLEC,

又PCcEC=C,PC,ECu面PEC,所以CD_L面PEC.

（2）法一：取AD的中点尸，连结所，交EC于点0,则3。〃尸。,3。=如，

所以BCDF为平行四边形，则麻V/CD,由（1）知：四，面PEC,

过。作OG，PC于点G,连结BG,NBG0就是二面角8-尸C—E的平面角，

即ZBGO=45,而8。=[,则BG=^,且3G_LPC,BC=1,故NBCP=45,

22

而上＞〃BC,由（1）知：AD_L面尸AB,则3c工面BAB，BPu面R4B,

所以3。，3尸，故在直角AB尸C中3P=1.

法二：因为8尸=，,今,1,8。=（1,0,0）,若平面3PC的法向量〃=（…），