整式的乘法与因式分解小结与复习

整式的乘法与因式分解小结与复习知识梳理1.有关法那么⑴幂的四个运算性质：性质名称语言表达表达式推广运算级别同底数幂的乘法同底数幂相乘，不变，相加am·an＝(m,n都是正整数).am·an·ap＝由乘法运算降为加法运算.幂的乘方幂的乘方，不变，指数.〔am〕n=(m,n都是正整数).[〔am〕n]p=由乘方运算降为乘法运算.积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别，再把所得的幂.(ab)n=(n为正整数).(ambncp)k=.由乘方运算降为乘法运算.⑵单项式与单项式相乘的法那么：把它们的、分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，那么连同一起作为积的一个因式.⑶单项式与多项式相乘的法那么：单项式与多项式相乘，就是根据律用单项式去多项式的每一项，再把所得的相.⑷多项式与多项式相乘的法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项另一个多项式的每一项，再把所得的积相.⑸单项式除以单项式的法那么：把、分别相除后，作为商的；对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的一起作为商的一个．⑹多项式除以单项式法那么：先把这个多项式的除以这个单项式，再把所得的商．2.有关公式：⑴平方差公式：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的，即用字母表示为：(a+b)(a－b)=.⑵完全平方公式：两个数和〔或差〕的平方，等于它们的再加上〔或减去〕这两数的，即：(a±b)2=.3.有关概念⑴因式分解：把一个多项式化为的形式，叫做多项式的因式分解.⑵提公因式法：把多项式各项的提出来，这种分解因式的方法叫做提公因式法，即.提公因式法的实质是逆用律.⑶公式法：把乘法公式、逆用，就得到分解因式的公式，，这种运用公式分解因式的方法叫做公式法.考点呈现考点1幂的运算性质例1以下运算正确的选项是〔〕A.〔-a〕6·〔-a3〕=a18B.〔-b3〕5=-3b8C.〔a2b〕4=a10b3D.〔ab〕12÷〔ab〕10=a2b2分析：根据幂的运算性质可知〔-a〕6·〔-a3〕=a6·〔-a3〕=-a6+3=-a9，〔-b3〕5=〔-1〕5〔b3〕5=-b3×5=-b15，〔a2b〕4=〔a2〕4b4=a8b4，〔ab〕12÷〔ab〕10=〔ab〕12-10=〔ab〕2=a2b2，所以选项D正确.解：选D.温馨提示：对于幂的各种运算性质，一定要分清指数的变化特征，防止混淆.另外，在计算选项D时，把ab看做一个整体，也就是看做底数，因此，它实际上是进行同底数幂的除法运算.考点2整式的乘法例2先化简，再求值：〔-2x2〕2-〔x2+1〕〔4x2-5〕-x〔x+11〕，其中x=-2.分析：根据整式的乘法法那么对原式进行化简，再代入求值即可.解：原式=4x4-〔4x4+4x2-5x2-5〕-x2-11x=4x4-4x4-4x2+5x2+5-x2-11x=-11x+5.当x=-2时，原式=-11×〔-2〕+5=22+5=27.温馨提示：在解决单项式与多项式相乘以及多项式与多项式相乘的运算时，要防止出现漏乘，并且要细心处理每项的符号.考点3乘法公式例5计算：〔x+3y〕2-2〔x+3y〕〔x-3y〕+〔x-3y〕2的结果为＿＿＿＿.分析：此题可以利用两数和乘以这两数差的乘法公式和两数和〔差〕的平方公式展开后化简，也可逆用两数和〔差〕的平方公式化简.解：方法1：原式=x2+6xy+9y2-2〔x2-9y2〕+x2-6xy+9y2=x2+6xy+9y2-2x2+18y2+x2-6xy+9y2=36y2.方法2：原式=[〔x+3y〕-〔x-3y〕]2=〔6y〕2=36y2.温馨提示：解这类题时，一是要注意乘法公式的正确使用，确保化简的结果正确；二是注意公式的逆向运用，此题显然逆用公式计算比拟简便.考点4整式的除法例4先化简〔4ab3+8a2b2〕÷〔-4ab〕-〔2a+b〕〔2a-b〕，然后再选取你喜欢的一对a，b的值代入求值.分析：化简此题时，主要分两局部：对于〔4ab3+8a2b2〕÷〔-4ab〕采用多项式除以单项式的方法计算；对于〔2a+b〕〔2a-b〕采用两数和乘以这两数差的乘法公式计算，最后合并同类项即可.在选取a，b的值时，要注意ab≠0，即a，b都不能为0.解：原式=-b2-2ab-〔4a2-b2〕=-b2-2ab-4a2+b2=-4a2-2ab.当a=2，b=1时，原式=-4×22-2×2×1=-16-4=-20.温馨提示：在进行多项式除以单项式时，要特别注意多项式每项的符号与除式的符号.此题是开放性试题，答案并不唯一，在选取a，b的值时，一定要注意a，b的取值范围.考点5定义新运算型例5先规定一种新运算“§”，a§b=a2+ab+〔b-1〕2，根据这个新运算，可得〔2x-1〕§〔x+3〕=＿＿＿＿.分析：根据规定的新运算a§b=a2+ab+〔b-1〕2，把它转化成我们熟悉的四那么运算〔2x-1〕2+〔2x-1〕〔x+3〕+〔x+3-1〕2，然后进行计算即可.解：〔2x-1〕§〔x+3〕=〔2x-1〕2+〔2x-1〕〔x+3〕+〔x+3-1〕2=4x2-4x+1+2x2+6x-x-3+x2+4x+4=7x2+5x+2.温馨提示：解决这类问题其关键是根据规定的新运算法那么把待求式转化为我们学过的运算.考点6分解因式的方法例6分解因式：a2b2−a2b+ab2.分析：当多项式的系数是分数时，应把各项中分数系数的最小公分母作为公因式系数的分母，使余下的因式中各项系数都化成整数.解：原式＝ab(2ab−9a+6b).例7分解因式：〔1〕；〔2〕．分析：〔1〕观察可知多项式两项都有公因式a+b，提公因式a+b后，余下的多项式能利用两数和乘以两数差的乘法公式继续分解；〔2〕各项都有公因式x，提公因式x后，余下的多项式可以利用两数和的平方公式继续分解．解：〔1〕原式．〔2〕原式．考点8分解因式的相关计算例8实数a，b满足，，求代数式的值．分析：观察算式特点可知，两项都有公因式，为此可将其因式分解，再将，a+b=2代入求值．解：当，时，原式．误区点拨易错点1混淆幂的运算性质例1以下计算：①x3·x9=x27；②〔-2m2n〕3=-2m6n；③〔a-b〕9÷〔a-b〕3=〔a-b〕3.其中正确的个数为〔〕A.0个B.1个C.2个D.3个错解：选D.剖析：①是幂的乘法运算，应是底数不变，指数相加，即x3·x9=x12，而错解是把指数运算弄成指数相乘了；②是积的乘方运算，应该是〔-2m2n〕3=〔-2〕3m6n3=-8m6n3，而错解是忘记把2和n分别乘方了；③幂的除法运算，应是底数不变，指数相减，即〔a-b〕9÷〔a-b〕3=〔a-b〕6，错解却弄成指数相除了，以上错误的原因是对幂的运算性质混淆不清造成的.正解：A.易错点2进行整式的乘法运算时出现漏乘例2计算：⑴ab〔b+b2〕-b2〔ab-a+1〕=＿＿＿＿＿.⑵〔a-b〕〔a+5b〕的结果为＿＿＿＿＿.错解：⑴原式=ab2+ab3-ab3+ab2=2ab2；⑵原式=a2-5b2.剖析：⑴单项式与多项式相乘时，要注意单项式和多项式的每一项都要相乘，错解中，单项式-b2与多项式ab-a+1相乘时，只是-b2与ab、-a分别相乘，却漏掉了-b2与1相乘；⑵同样多项式与多项式相乘时，要求是先用其中一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，而错解中只是两个多项式的首项与首项相乘，末项与末项相乘，即a与a相乘，-b与5b相乘，漏掉了a与5b相乘和-b与a相乘.以上两个小题出现错误的原因是由于漏乘造成错误.正解：⑴原式=ab2+ab3-ab3+ab2-b2=2ab2-b2.⑵原式=a2-ab+5ab-5b2=a2+4ab-5b2.易错点3乘法公式的结构掌握不牢例3计算：⑴〔2x+3y〕〔3y-2x〕=＿＿＿＿＿.⑵〔4x-5y〕2=＿＿＿＿＿.错解：⑴原式=〔2x〕2-〔3y〕2=4x2-9y2.⑵错解1：〔4x-5y〕2=〔4x〕2-4x·5y+〔5y〕2=16x2-20xy+25y2.错解2：〔4x-5y〕2=〔4x〕2-〔5y〕2=16x2-25y2.剖析：⑴两数和乘以这两数差的乘法公式是〔a+b〕〔a-b〕=a2-b2，此题出现错误的原因是没能很好地把握两数和乘以这两数差的乘法公式的结构特征，顺序颠倒；⑵两数和〔差〕的平方公式是〔a-b〕2=a2-2ab+b2，错解1把中间项的2漏掉了，错解2干脆把中间项都漏掉了，错误的原因是未能把握两数和〔差〕的平方公式的特征.正解：⑴原式=〔3y+2x〕〔3y-2x〕=〔3y〕2-〔2x〕2=9y2-4x2.⑵〔4x-5y〕2=〔4x〕2-2·4x·5y+〔5y〕2=16x2-40xy+25y2.易错点4在整式的乘除混合运算中，运算顺序混乱例4计算：x2y2÷x·xy的结果为＿＿＿＿＿.错解：原式=x2y2÷x2y=y.剖析：在进行整式的乘除混合运算时，应按照从左到右的顺序进行，即先做除法〔x2y2÷x=xy2〕再做乘法〔xy2·xy=x2y3〕，错解的原因是违背了这一混合运算的顺序，造成了运算顺序的混乱而出现错误.正解：原式=xy2·xy=x2y3.易错点5提公因式后漏项致错例5分解因式：．错解：原式．剖析：当各项的公因式恰与某一项相同〔或互为相反数〕时，提取公因式后，该项的位置应为〔或〕，而错解却无视了这一点，漏掉了第三项“”．正解：原式．易错点6用公式不恰当致错例6分解因式．错解：原式．剖析：错解错在对两数和〔差〕的平方公式的特点掌握不牢，误认为是完全平方式．正解：原式．易错点7式分解不彻底致错例7分解因式．错解：原式．剖析：错解错在因式分解不彻底．因为结果中的两个因式都是完全平方式，还可以继续分解．正解：原式．方法点击1.逆用幂的运算性质求值例1am=2，an=4，求a3m-n的值.分析：a3m-n的指数是3m与n的差，它是同底数幂的除法的结果的形式，于是就有a3m-n=a3m÷an，再逆用幂的乘方法那么化成〔am〕3÷an，代入求出结果.解：因为am=2，an=4，所以，a3m-n=a3m÷an=〔am〕3÷an=23÷4=2.点评：逆用幂的运算法那么是解相关问题的技巧性方法.例2计算：〔-0.125〕115×〔2115〕3+〔的结果为＿＿＿＿＿.分析：按常规计算比拟繁琐，经观察发现，假设把〔2115〕3转化为〔23〕115，〔，可逆用积的乘方法那么计算.解：原式=〔-0.125〕115×〔23〕115+〔=〔-0.125〕115×8115+=〔-0.125×8〕115+=〔-1〕115+=-1+=.点评：对于这类特殊问题，逆用幂的运算性质，可简化运算过程.3.利用整式的乘法确定积中不含某项字母系数的值例3假设关于多项式〔x-1〕〔-kx+1〕的乘积中不含一次项，那么k的值为＿＿＿＿＿.分析：因题中要求不含x的项，即该项系数的和为0.解：〔x-1〕〔-kx+1〕=-kx2+kx+x-1=-kx2+〔k+1〕x-1，因为积中不含x的项，所以k+1=0，所以k=-1.点评：解此题的关键是理解不含某项的意义，即相乘后合并同类项使其系数为0.4.巧用乘法公式求值例4计算：20132-2012×2014-10012的结果为＿＿＿＿＿.分析：此题是有理数的混合运算，假设按混合运算的顺序：先算乘方，再算乘法，最后算减法，会使运算过程很繁琐，注意到假设把20132-2012×2014化为20132-〔2013-1〕〔2013+1〕，10012化为〔1000+1〕2，然后利用乘法公式，可使运算大大的简化.解：20132-2012×2014-10012=20132-〔2013-1〕〔2013+1〕-〔1000+1〕2=20132-〔20132-12〕-〔10002+2×1000×1+12〕==20132-20132+1-10002-2000-1=-1002000.点评：解决这类问题的关键是抓住式子的特点，把它转化为易于利用乘法公式求解的形式.5.巧用“被除式=除式×商式+余式”求解例5多项式2x3-4x2-1除以多项式A，得商式为2x，余式为2x-1，那么多项式A=＿＿＿＿＿.分析：由“被除式=除式×商式+余式”可得“除式=〔被除式-余式〕÷商式，将除式2x3-4x2-1、商式2x、余式2x-1，代入即可求出除式A的值.解：根据题意得，A=[2x3-4x2-1-〔2x-1〕]÷2x=〔2x3-4x2-1-2x+1〕÷2x=〔2x3-4x2-2x〕÷2x=x2点评：明确“除式=〔被除式-余式〕÷商式“是解决此题的关键.跟踪训练1.(-2x3y4)3的运算结果是()A.-6x6y7B.-8x27y64C.-6x9y12D.-8x9y2.用激光测距仪测量两座山峰之间的距离，从一座山峰发出的激光经过4×103秒到达另一座山峰，光在空气中的速度约为3×108A.1.2×1010米B.12×1011米C.1.2×103.假设x2-ax-1可以分解为(x-2)(x+b)，那么a+b的值为〔〕A.-1 B.1 C.-2 D.24.把多项式x3-2x2+x分解因式结