高三数学一轮复习月考试题

高三数学一轮复习月考试题

阶段性测试题三（导数及其应用）

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。满分15。

分。考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）

一'选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。）

1.（2011・烟台调研）三次函数八%%在（―8,+8）上是减

函数，则相的取值范围是（）

A.m<0B.m<\

C.mW。D.wiWl

［答案］A

［解析］/（%）=3加i,由条件知了‘（X）wo在（-8,+8）上

恒成立，

m<0

/.］.［C—c,故选A.

〔A=12/nW0

2.（文）（2011.山东淄博一中期末）曲线）=京+%在点（1,自处的

切线与坐标轴围成的三角形面积为（）

A.1B、

y

egD.o

［答案］B

［解析］=f+l,

14、

・二曲线》二寸+工在点（1,1）处的切线斜率Z=y'|户1=1+1=2,

4

'.k—2,切线方程为y—g=2（%—1）,即6%—3y—2=0,

211121

令％=0得y=一§,令y=0得%=§,-S=2X3X3^9'

（理）（2理1•辽宁沈阳二中检测）由曲线孙=1,直线y=x,y=3所

围成的平面图形的面积为（）

32

A.-TyTB.2—ln3

C.4+ln3D.4-In3

［答案］D

［解析］如图，平面图形的面积为三⑦二七/—lny］H=4—

ln3.

［点评］本题考查定积分求曲边形的面积，关键是根据定积分的

几何意义把求解的面积归结为函数在区间上的定积分，再根据微积分

基本定理求解.在把曲边形面积转化为定积分时，可以以工为积分变

量、也可以以y为积分变量，如果是以工为积分变量，则被积函数是

以X为自变量的函数，如果是以y为积分变量，则被积函数是以y为

自变量的函数.本题如果是以％为积分变量，则曲边形48c的面积

是。（3-»Lv+j：（37）k不如以丁为积分变量简明.

3.（文）（2011・陕西咸阳模拟）已知函数应x）=o?—1的图像在点

A（l,八1））处的切线I与直线8x—y+2=0平行，若数歹《焉卜勺前n

项和为5”，则S2010的值为（）

2010B.罂

A-2O11

40202010

C-4O21D&021

［答案］D

［解析］:/(%)=2ta,.\/U)在点A处的切线斜率为(1)=2。,

由条件知2a=8,.,.<7=4,.7/(x)=4%2—1,

.J1111(1_1、

*—4n2—1-2n—12n+l_2<2n—12〃+l,

,,数列'丽:的刖n项和'=而+西^^而

_1］__n__2010

于2〃+l厂2〃+l'..”(MO-402「

（理）（2011•辽宁丹东四校联考）设函数八%）=以2+仅4/0）,若［

/(^)dx=浜尤0)，则%o=()

A.±1B.啦

C.±V3D.2

［答案］C

［解析］"x）dx=「（加+份口

JoJo

=\^ax3-\~hx\\()=9a+3h.

由//(%)dx=3«xo)得,9。+3b=3渥+3/?,

，%8=3,：.xo=±\f^.

4.（文）（2011.山西太原调研）曲线丁=/一31?+1在点（-1,-3）

处的切线与坐标轴所围成的封闭图形的面积为（）

A.2B.3

C.4D.5

［答案］A

［解析］y'|X=T=(3X2—6X)|X=T=9,切线方程为y+3=9(%+

2,

1),即9%—>+6=0,令％=0得y=6,令y=0得％=—g,...所求面

1?

积5=5*6义大=2,故选A.

（理X2011•宁夏银川一中检测）求曲线尸必与尸工所围成图形的

面积，其中正确的是（）

A.S=/（%2_%）d_xB.S=「(%一%2加

J。

C.S=p（y2-y）dyD.S=/(y-6dy

［答案］B

［分析］根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数.

［解析］两函数图象的交点坐标是（0,0）,（1,1）,故积分上限是1,

下限是0,由于在［0,1］上，％故函数y=X2与y=%所围成图形的

面积S=/（%—/）也.

5.（2011.福州市期末、河北冀州期末）已知实数。、b、c、d成等

比数列，且函数y=ln（x+2）-x当时取到极大值c,则等于

()

A.-1B.0

C.1D.2

［答案IA

［分析］利用导数可求从c,由以b、c、d成等比数列可得ad

—he.

［解析］<=我一1，令<=0得％=—1,当一2<%<一1时，

y'>0,当X>-1时，y'<0,：,h=-l,c=ln(-l+2)-(-l)=l,

ad=bc=—\,故选A.

6.(2011•黄冈市期末)设a£R,函数凡x)=^+0e"的导函数是

f(x),且/，⑴是奇函数，若曲线尸危)的一条切线的斜率是右则

切点的横坐标为()

ln2

A.一三B.-ln2

eln2

C.In2D.彳

［答案］C

［解析］a)=e"—a/x为奇函数，...a=l,设切点为P(xo,

3...

yo),则/'(%o)=e%o-e一％o=/,..exo=2,..%o=ln2.

7.(2011•日照调研)下列图象中，有一个是函数|功=/3+。/+

(次一l)x+l(a£R,aWO)的导数，(》)的图象，则|一1)的值为()

Aj

C.1

［答案1B

［解析］/'(%)=/+2奴+/-1,其图象为开口向上的抛物线，

故不是第一个图；第二个图中，。=0,/'(%)=%2—1,但已知qWO,

故/(%)的图象为第三个图，(0)=0,，a=±l,又其对称轴在y

轴右边，.,.a=—l,

.\/(%)=科一/+1,1)=一；,故选B.

8.(2011・潍坊一中期末)设/(%)是函数式］)的导函数，将y=/(%)

和y=/'(%)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()

［答案］D

［解析］A中，当＞U)为二次函数时，/(%)为一次函数，由单调

性和导数值的符号关系知A可以是正确的，同理B、C都可以是正确

的，但D中;(%)的单调性为增、减、增，故/(%)的值应为正负正，

因此D一定是错误的.

9.(2011•北京学普教育中心)若函数＜%)=2_?—lax在其定义域内

的一个子区间(%—1,%+1)内不号单调函数，则实数人的取值范围是

()

A.［1,+8)B.［1,|)

3

C.［1,2)D.［5,2)

［答案］B

［解析］因为_/(%)定义域为(0,+°°),/'(%)=4%—由/'(%)

1MIk—1<7<左+1

=0,得1=］.据题思，J2,

口一120

3

解得选B.

10.(2011•江西吉安质检)已知曲线方程於尸sir)2%+20r(q£R),

若对任意实数相，直线/：x+y+〃2=0都不是曲线y=/(%)的切线，则

。的取值范围是()

A.(—8,-1)U(-1,O)B.(一8,-1)U(O,+8)

C.(-l,0)U(0,+«=>)D.q£R且a#0,a^~\

［答案］B

［解析］若存在实数相，使直线/是曲线y=/(x)的切线，

=2sinxcos%+2a=sin2x+2a,方程sin2x+2a=—1有解，—

iWaWO,故所求。的取值范围是(-8,-1)U(O,+<«),选B.

11.(2011•彭州中学月考)若关于％的不等式x3—3%2—9%+22加

对任意工£［—2,2］恒成立，则机的取值范围是()

A.(—8,7］B.(—8,-20］

C.(一8,0］D.［-12,7］

［答案］B

［解析］令兀0=如一3%2—9x+2,则(%)=3f—6%—9,令/'(%)

=0得%=—1或%=3(舍去).

..工-1)=7,八-2)=0,犬2)=-20.

二3%）的最小值为式2）=—20,

故mW—20,综上可知应选B.

12.（2011•蚌埠二中质检）定义在R上的函数凡x）满足式4）=1,/（%）

为“x）的导函数，已知函数）=/。）的图象如图所示.若两正数a,b

j।o

满足汽2。+3<1,则洞工的

取值范围是（）

尸/'（X）

X7.

/Ox

A.$I）B.（-8,加⑶+oo）

C.g3）D.（-8,-3）

［答案］C

［解析］由。）的图象知,％>0时,/（x）〉0,x<0时,/（%）<0,

•••y=/Q）在（一8，0）上单调递减，在（0,+8）上单调递增，•.•两正数

b।2

a,b满足;（24十力<1且旭）=1,，2a+b<4,如图，衣|表示点A（一

2,-2）与线段8c上的点连线的斜率，其中3（2,0）,C（0,4）,

.j_:+2

'：kAB=3,左AC=3,。>0,h>0,<3.

第U卷(非选择题共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确

答案填在题中横线上)

13.(2011.四川广元诊断)曲线y=%d+2%+l在点(0,1)处的切线

方程为.

［答案］y=3x+\

［解析］y'="+x"+2,<|户0=3,...切线方程为y—1=3。

—0),即y=3%+l.

14.(文X2011•广东省高州长坡中学期末)函数於)=l+logM，段)

的反函数为g(x),贝!Jg'(2)=.

［答案］21n2

［解析］由y=l+log>得％=2厂I的反函数为g(%)=2xr,

：.g'(x)=2x-1ln2,：.g'(2)=21n2.

(理)(2011•辽宁沈阳二中检测)如图，函数的图象在点P处

的切线方程是y=—x+8,则人5)+/(5)=.

［答案］2

［解析］x5)+/(5)=(—5+8)+(—1)=2.

15.(文)函数y=*—2。在R上不是单调函数，，则a

的取值范围是.

［答案］(-8,-1)U(1,+8)

［解析］<=f-26+1,若函数在R上单调，应有V20恒

成立，:.4/一4<0,.../Wl,-因此所求。的取值范围

是(一8,-1)U(1,+OO).

(理)(2011•安徽巢湖质检淀积分［13—2冰lx=

［答案］1

［解析］J2|3—2^|dr=2pl.5(2A：—3)dx=2(^2—3^)|?.5=2X^=1.

16.(2011・湖南长沙一中期末)对于三次函数/U)=ox3+b/+c%

+d(4W0),定义:设/"(%)是函数y=/(%)的导数y=/'(%)的导数，若

方程((%)=0有实数解如则称点(如人均))为函数y=/U)的“拐点”.

有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点'；任何一个三次函

数都有对称中心；且‘拐点'就是对称中心.”请你将这一发现为条

件，求

⑴函数段)=•?-3/+3%对称中心为.

(2)若函数g(%)=$—$+3%—卷+'p则g(W+g%

g^nM品+…+g翳)=--------

［答案］(1)(1,1)(2)2010

［解析］(1)/(%)=3/―6%+3,/〃(%)=6%—6,令6%—6=0得%

=1,AD=1,，於)的对称中心为(1,1).

(2)令//(%)=京一%+3%—得，k(x)=—，，h'(x)=%21%+3,

h"(x)=2x—1,由2xT=0得％=；,/z(3=g义陟_；X吩+3*；一

一

121'

.•/(%)的对称中心为g1

22010

h(l-x)=2,%=20]],2OTT,20ir

又女(%)的对称中心为g0

22010

=

..%(x)+A(l-x)=0,x2QJ।,20n,，20ir

二•gUrd+g丽J+…+gUrd=人丽J+"Urd+…+

12010、,1V/2A「但0101

%01J+4.2OTTJ+\2OTTJ+，，，+\2O1J=2O10,

三'解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，

证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分X文)(2011•山西太原调研)已知函数八%)=；

—ax2-^(a2—b(a,0£R),其图象在点(1,/U))处的切线方程为

%+厂3=0.

(1)求a,。的值；

(2)求函数/(%)的单调区间，并求出/(%)在区间［—2,4］上的最大值.

［解析］(iy'(功=好—2办+屋一1,

•.•(1,八1))在％+y—3=0上，.\/(1)=2,

•.,(1,2)在丁=«¥)上，.'.2=1—tz+tz2—1+/7,

又，(D=—1，「.42-24+1=0,

Q

解得1=1,b=y

|Q

(2)V/(x)=2^3—'-f(x)=x2~2x,

由/'(%)=0可知％=0和％=2是4r)的极值点，所以有

X(—8,0)0(0,2)2(2,+8)

/(%)+0—0+

极大极小

於)/7

值值

所以/(%)的单调递增区间是(一8,0)和(2,+8),单调递减区间

是(0,2).

84

••求0)=孕*2)=？/-2)=-4,-4)=8,

二.在区间[—2,4]上的最大值为8.

(理X2011・淄博期末)定义在R上的函数人%)="3+。/+以+3同

时满足以下条件：①/U)在(0,1)上是减函数，在(1，+8)上是增函数;

②/(%)是偶函数；③/(%)在％=0处的切线与直线y=%+2垂直.

(1)求函数y=/U)的解析式；

(2)设g(x)=ln%一不，若存在实数工£[1,e]，使g(%)勺7(%)，求头

数机的取值范围.

[解析](1)/(%)=3办2+2bx+c,..7U)在(0,1)上是减函数，在(1,

+8)上是增函数，

：.f(l)=3a+2b+c=0①

由，(%)是偶函数得：6=0②

又4%)在％=0处的切线与直线y=%+2垂直，(0)=c=­l③

由①②③得：Q=g,b=0,c=—1,即於)=*—1+3.

(2)由已知得：存在实数e],使hu—

即存在x£[l,e],使m>%hrr—R+x

设M(%)=%lru：一始+%%£[1,e],贝|A/'(%)=lar—3%2+2

|1—6工2

设"(%)=kix—3/+2,则//'(%)=(—6光=―-—

VxG［l,e］,：.H'(x)<0,即H(x)在［1,e］上递减

于是，“a)W//(l),即H(%)W-l<0,即M'(x)<0

，用(%)在［1,e］上递减，：.M(x)^M(e)=2e~e3

于是有机>2e—/为所求.

18.(本小题满分12分)(2011・四川资阳模拟)函数八%)=奴3—6"2

-\-3hx-\-b,其图象在％=2处的切线方程为3%+y—11=0.

(1)求函数八%)的解析式；

(2)若函数y=/(%)的图象与y=''(%)+5%+m的图象有三个不同

的交点，求实数机的取值范围；

(3)是否存在点P,使得过点P的直线若能与曲线y=/(x)围成两

个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等？若存在，求出尸点的坐

标；若不存在，说明理由.

［解析］(1)由题意得/(%)=3废2—12办+3乩

•••/(2)=—3且式2)=5,

—24。+38=—3,

•<12a4a~b=l,

ir._解得a=l,b=

〔8Q—24Q+6/?+Z?=5,—I6a+7b=5,

3,・\/(工)=13—6%2+9X+3.

(2)由人%)=%3—61+9%+3可得，/(%)=3«—12%+9,(%)

+5x+机ugG%2-12x+9)+5%+m=_x2+%+3+机，

则由题意可得7一6%2+9%+3=/+%+3+m有三个不相等的实

根，

即—7%2+8X—〃2的图象与％轴有三个不同的交点,

g'(%)=3%2—14x+8=(3x—2)(x—4),则g(%),g'(%)的变化情况

如下表.

2(4,+

I，|)4

4)

3修OO

g'(%)+0—0+

极大极小

g(x)/

值值

则函数於)的极大值为g俘68

极小值为—九

27m,g(4)=—16

y=/(x)的图象与(%)+5%+m的图象有三个不同交点，则

有

XD=群心0，解得—165嗡

、g(4)=—16一m<0,

(3)存在点尸满足条件.

二”)=^一6必+9%+3,:(%)=3_?—12%+9=3(%—1)(%—3),

由/(%)=0,得%I=1,%2=3.当％<1时,/(%)>0；当l<x<3时/(x)<0;

当心>3时，/'(x)>0.可知极值点为A(l,7),8(3,3),线段AB中点P(2,5)

在曲线y=«x)上，且该曲线关于点尸(2,5)成中心对称.证明如下：

,.,«x)=x3-+9x+3,-%)=(41%)3—6(4—%)2+9(4-%)

+3

=—x3+6/—9%+7,•-fix)+八4—X)—10,

上式表明，若点A(x,y)为曲线y=7(x)上任一点，其关于尸(2,5)

的对称点44一%10—》)也在曲线丁=/2上，曲线y=/U)关于点尸(2,5)

对称.故存在点尸(2,5),使得过该点的直线若能与曲线y=/a)围成两

个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等.

19.(本小题满分12分X2011•烟台调研)已知函数兀¥)=0?+灰2

的图象经过点颇1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线％+9y=0垂

直，

(1)求实数。、。的值；

(2)若函数兀r)在区间［加，m+1］上单调递增，求机的取值范围.

［解析］(l)..7U)=ar3+"2的图象经过点

.,.Q+0=4.①

f'(x)=3ax1+2bx,则/⑴=3\+2b,

由条件/(1>(—3=-1，即3a+2b=9,②

由①②式解得Q=l,b=3.

(2加%)=2+3%2,f(%)=3炉+6%,

令/'(%)=312+6%2。得%20或2,

.•4工)的单调递增区间为(-8,—2］和［0,+8)由条件知根20

或m+1W-2,

/.m^O或mW—3.

20.(本小题满分12分)(2011•厦门期末)已知函数於)=中”，

(aGR).

(1)若函数/(%)在％=1处取得极值，求实数。的值；

(2)在(1)条件下，若直线丁="与函数y=/(%)的图象相切，求实

数2的值.

l1+alnr

［解析］⑴..7(%)=——,

,^-(1+dax)i一向

.•/⑴―x2—x2'

•.•函数/(%)在％=1处取得极值，.♦/(1)=4-1=0,

・・Q=:1

经检验，。=1时，函数八%)在％=1处取得极值.

,__.1+lnx,Inx

(2)由(1)可知，。=1,.,.兀x)=---,：.f(%)=—7，

设切点A%0,---,..k=f(Xo)=——r

\X。/xo

p1+lnxo.1+lnx()Inxo

乂仁炀=f—'~百

.i_1._1.,e

••inxo2，••X。e2，••K2・

21.(本小题满分12分)(2011・华安、连城、永安、漳平、龙海、

泉港六校联考)已知函数八%)=%3+公2+6的图象在点尸(1,0)处的切线

与直线3%+y=0平行.

(1)求常数小。的值；

(2)求函数人处在区间［0,刈上的最小值和最大值(，心0).

［解析］(1»'(%)=3/+2办

/(1)=3+2。=-3,：.a=~3

/U)=a+b+l=O,：.b=2.

(2)/(%)=9—3/+2,f(%)=3/—6%

令/(%)=0得，为=0,忿=2,当％<0或%>2时，fU)>0,当

0<x<2时，f(x)<0,

.\A%)增区间为(一8,0)和(2,4-0°),减区间为(0,2),

式0)=2,令氏x)=%3—3/+2=2得％=0或%=3.

...八0)=犬3)=2,

①当时

_/U)min=/(m)=m3—3m2+2

1A%）max=/（0）=2

②当2<mW3时

凡X）min=/（2）=-2

1/U）max=/（0）=2

③当m>3时

凡r）min=A2）=—2

/U）max=#加）=m3—3m2+2.

22.（本小题满分12分）（文）已知函数段）=七一3OX2—3层+

（1）求函数/U）的单调区间；

（2）若曲线y=/U）上有两点4（相，./（根））、B（〃，・购））处的切线都与y

轴垂直，且函数y=/U）在区间回，川上存在零点，求实数。的取值范

［解析］(ly7(%)=3/—6以=3%(%—2”).

令『(%)=0,得％i=0