重难点22 解三角形大题十四大题型汇总（解析版）-决战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题22解三角形大题十四大题型汇总（解析版）

题型1正余弦定理的应用..........................................................1

题型2余弦定理求最值与取值范围..................................................7

题型3正弦定理求最值与取值范围.................................................12

题型4不对称结构的最值取值范围问题............................................19

题型5三角形中线问题...........................................................29

题型6三角形角平分线问题.......................................................35

题型7三角形高线垂线问题......................................................41

题型8普通多三角形问题........................................................48

题型9四边形问题...............................................................55

题型10面积最值取值范围问题...................................................61

题型11与三角函数结合..........................................................65

题型12三角形个数问题..........................................................72

题型13证明问题................................................................77

题型14实际应用题..............................................................86

II

题型1正余弦定理的应用

中卜划重点

1.若式子含有a,b,c的2次齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边"

2.面积和a,b,c2次齐次式，可构造余弦定理

【例题11(2022秋•新疆伊犁•高三校考阶段练习)已知a、b、c分别为△ABC三个内角人

B、C的对边，acosC+V3asinC-b—c=0.

⑴求A；

(2)若a=2,△ABC的面积为g,求b、c.

【答案】(l)4=g

(2)b=c=2

【分析】(1)在^ABC中，由acosC+V3asinC-b-c=0及正弦定理得到sin(4-匀=］

得出角A;

(2)由三角形面积公式结合余弦定理可得b=c=2.

【详解】(1)根据正弦定理，acosC+V3asinC-h-c=0

变为sin4cosc+V3sin?lsinC-sinB-sinf=0，即sinAcosC+V3sin/lsinC=sinB+sinC,

也艮［Isin4cosc4-V3sin/lsinC=sin(/+C)+sinC,

所以sin4cosc+x/3sin/lsinC=sin4cosc+cosAsinC+sinC.

整理，得V5sin力一cosA=1,即苧sin4-gcosH=|,所以sin(4—9=］力w(O,TT),

所以4一：二三，则4=弓.

oo3

(2)由A=JS^ABC=\bcs\v\A=V3,得be=4.

由余弦定理，得〃=除+定一IbeCOSA=(b+c)2-2bc-2bcC0SA,

则(b+c)2=a24-3Z)c=4+12=16,所以b+c=4.则b=c=2.

【变式1-1】1.(2023・全国•高三专题练习)已知在△48C中，角48(的对边分别为。也。，

向量沆=(sin4,sinB),元=(cosB,cos/),m-n=sin2c.

Q）求角C的大小;

(2)若sinA,sin&sinB成等差数歹Ij,且石？•(荏-彳？)=18,求C.

【答案】⑴三

(2)6

【分析】(1)由数量积的运算结合三角函数恒等变换公式可求出角C的大小；

(2)由已知条件结合正弦定理可得2c=a+b,由方■(AB-AC)=18,^CACB=18,

得防=36,然后利用余弦定理可求得结果.

【详解】(1)因为沆=(sinA,sinB),元=(cosB,cosA),

所以沅-n=sin?lcosB+sinBcosA=sin(A+B),

因为在△ABC中，A+B=IT-C,

所以sin(A+8)=sinC；所以沆•n=sinC,

因为沅-n=sin2C,所以sin2c=sinCt

所以2sinCcosC=sinC,

因为sinC00,所以cosC=j,

因为C6(O,TT),所以C=5,

(2)由sinA,sinC,sin8成等差数列，

可得2sinC=sinA+sinB,

由正弦定理得2c=a+b,

因为方•(AB-AC)=18,所以方-CB=18,

所以abcosC=18，得ab=36,

由余弦定理得=a2+b2—2abcosC=(a+b)2—3ab,

所以=4c2—3x36,/=36,

所以c=6.

【变式1-1]2.（2023秋•上海嘉定•高三上海市育才中学校考阶段练习）在△4BC中，内

角A,B,C所对的边分别为a,b,C，若b=V2，内角A,B（满足sinA:sinB:sinC=2:1:V2.

⑴求a的值；

（2）求sin（2C-g）的值.

【答案】（1）2鱼

⑵3同一1

I»16

【分析】（1）由正弦定理直接求解；

（2）先根据正弦定理求出边长，然后由余弦定理求解cosC,从而利用二倍角公式和两角差

的正弦公式求解即可.

【详解】（1）由号=号得当=3所以5=2,解得a=2V2.

s\nAsinBsmBby/2

（2）由=—^―=—■及sinAsinB:sinC=2:1:&得a:b:c=2:1：V2,

sin/4sinBsinC

所以c=岳=2,由余弦定理得cose=修=表涯=:,

所以sinC=V1—cos2C=J1—（J=¥,所以sin2c=2sinCcosC=2x，x：=学，

cos2C=2cos2C-1=2x2—1=L所以sin（2C--）=sin2Ccos--cos2Csin-

168k6,66

3\[7V3113同一1

=-----X------------X-=-------------.

828216

【变式1-1]3.（2023秋•广东揭阳•高三普宁市第二中学校考阶段练习）在4ABC中，设A,

B,C所对的边分别为a,b,C,且满足bcosA-acosB=a+c.

Q）求角B；

（2）若b=5,AABC的内切圆半径r=f,求^ABC的面积.

【答案】（1）8=g

【分析】（1）由余弦定理得到a?+c2-b2=-ac,进而求出cosB=-1,求出B=詈；

(2)由余弦定理和三角形面积公式求出ac=弓,从而得到答案.

【详解】(1)因为bcosA—acosB=Q+c,

rhA•法•一•工田4日入b2+c2-a2a2+c2-Z?2

由余弦XE理得b--------a--------=a+c,

2bc2ac

22

即Q2+c—b=—ac,

又BE(0,Tl),

所以B=g

2

(2)由余弦定理得：a?+产-25=-ac,则M+c=25-acf

由三角形面积公式，1(a+b+c)-r=^acsinB,BPa+c=2ac-5,

22

贝(JQ24-c4-2ac=4(ac)—20ac+25z

所以25—ac+2ac=4(ac)2—20ac+25,解得ac=—,

4

所以SA48C=1XTXT=4T-

【变式1-1]4.(2023秋•湖北武汉•高三武汉市第六中学校联考阶段练习)设^ABC的内角

4,B,C所对的边分别为a,0c,且2acosB=2c-b.

Q)求角4；

(2)若a=7,且44BC的内切圆半径r=遍，求4ABC的面积S.

【答案】⑴/

(2)1073.

【分析】(D利用正弦定理和三角恒等变换求出cos4,即可求力；

(2)利用余弦定理和三角形的面积公式求出反，即可求面积.

【详解】(1)由正弦定理得：2sinAcosB=2sinC—sinB,

即2sinAcosB=2sinQ4+B)—sinB,

即2sinAcosB=2sin4cosB+2cosAsinB-sinB,

即2cos4sinB=sinB.

因为BE(0,n),所以sinB中0,所以cos4=

因为4G(0,Tt),

所以A=]

(2)△48c面积S=^bcsinA=：(Q+b+c)rr

代入Q=7,r=和A=,整理得：be=2(b+c)+14①,

由余弦定理：M=炉+c2-2bccosA，得：h2+c2-be=49,

即(b+c)2—3bc=49②，

①②联立可得：(三)2-3bc=49,解得：be=40或儿=0(舍去)，

所以S=|besinA=|X40Xy=10>/3.

【变式1-1]5.(2021秋•北京•高三景山学校校考期中)在△ABC中，内角4B,C所对的边

分别为a,瓦c,若(b+c—a)(sinZ+sinB—sinC)=csin力且b=2.

(1)求角B的大小；

(2)在①西，历，6成等差数列，②a,b,c成等差数列，③。2/2,02成等差数列，这三个条件中

任选一个作为已知条件，求4ABC的面积S.(如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答

计分)

【答案】⑴三

⑵百

【分析】(1)根据题意，利用正弦定理和余弦定理，化简得到cos8=i,即可求得B的值；

22

(2)对于条件①：利用等差中项结合基本不等式可得b<等，再根据a?+c-b=ac,

可得a=c，利用面积公式即可得结果；对于条件②③:利用等差中项，根据a2+c2-=砒，

求得△ABC为边长为2的等边三角形，结合三角形面积公式的应用求出结果.

【详解】(1)因为(b+c—Q)(sin4+sinB—sinC)=csinA,

22

由正弦定理的(b+c-a)(a+b-c)=acz整理得Q24-c-h=ac,

所以8$8=吆萨=黑=]

又因为B6(O,TT),所以8=*

(2)选择条件①:因为亚倔五成等差数列，所以2萌=依+代，

由基本不等式(胃)2<等,当且仅当a=c时，等号成立，

所以2①=V«+Vc<J2(a+c),所以b<等,

又由a?+c2-b2=ac,即炉=a2c2-ac,可得a?+c2—ac<(^)2,

整理得3a2+3c2—6ac<0,即(a—c)2<0,所以a=c,

又因为8=g,且8=2,所以△ABC为边长为2的等边三角形，

所以SAABC=jacsinB=|x2x2Xy=V3.

选条件②：由a,b,c成等差数列，所以2b=a+c,

又由a?+c2-b2=ac,整理得(等/=a2+c2-ac,可得(a-c)2=0,即a=c,

因为B=；，且b=2,所以△ABC为边长为2的等边三角形，

所以SAA8c=IacsinB=|x2x2Xy=V3.

选条件③：由a?,b2,c2成等差数列，所以2b2=a2+c2,

又由a?+c2-b2=ac,整理得a?+—a；c=ac,可得(a—c)2=0,即a=c,

因为B=T,且b=2,所以△ABC为边长为2的等边三角形，

所以SM8C=jacsinB=|x2x2Xy=V3.

题型2余弦定理求最值与取值范围

C，*

!划重点

”齐次对称结构"余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

【例题2](2023秋•湖北•高三孝感高中校联考开学考试)已知a,b,c为^ABC的三个内

角A,B,C的对边，且满足：aCOSB+V3asinB-b-c=0

Q)求角力；

⑵若△ABC的外接圆半径为竽，求△4BC的周长的最大值.

【答案】(1乂=5

(2)6

【分析】(1)利用正弦定理、三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得4

(2)利用正弦定理求得a，利用余弦定理和基本不等式求得匕+c的最大值，进而求得△4BC

的周长的最大值.

【详解】(1)由已知可得：sinAcosB+V5sinAsinB=sinB+sinf

=sinB+sin(Z+B)=sinB+sim4cos8+sin8cos4,

由于sin8>0,则有1=V3sin/1一cosA=2sin(4一]=sin(4-=J

又0<4<IT,则有一]V力一]<?，所以有4-7=7=>^=7.

OOOOOo

(2)由正弦定理可知：-、=2R=畔，则由4=三na=2,

sinX33

又有余弦定理可知：M=炉+/-2bcCOSA=>4=b24-c2-be,

由于匕2+c2>2bc,则有4=b2c2—be>2bc-be=be,即儿<4,

2222

又4=b+c-he=(64-c)—3bc,即(b+c)=4+3bc<4+3x4=16z

从而b+c<4(当b=c=2等号成立)，

则a+b+cW6,故^ABC的周长的最大值为6.

【变式2-1]1.(2024•陕西宝鸡・校考一模)在△ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,

c,已知2acos4-cosB+bcos2A=V3c—b.

⑴求角A;

(2)若小ABC的面积为1,求a的最小值.

【答案】(1)4=g

O

(2)76-V2

【分析】(1)由题设恒等式利用正弦定理将边化为正弦，再逆用和角公式合并化简，即可

求得角A.

(2)先根据面积公式求出be=4,再代入余弦定理公式，结合基本不等式求得Q的最小值.

【详解](1)由已知2acosA-cosB+&(1+cos2X)=V3c,2acosA-cosB+2bcos2A=V3c,

由正弦定理2sin4cos4•cosB+2sin^cos2y4=V3sinC,

所以2cos4(sinA•cosB+sinBeosA)=V3sinC,即2cos4sin(A+B)=V3sinC,

又C6(0,7T),所以COSi4=4,解得/=E

(2)由题gbesinA=1，得be=4,

又a?=b2+c2—2bccosA=h24-c2—4V3>2bc—4V3=8—4国(b=c时取)

所以，a>V8-4V3=V6-V2

即a的最小值是瓶-V2,b=c=2时取等号.

【变式2-1]2.(2023秋•河北•高三校联考期末)在△ABC中，角人B、C所对的边长分

别为a、b、c,且2aCOSC-V3feCOSC=V3cCOSB.

Q)求C的值.

⑵若△ABC的面积为1,求△ABC的周长的最小值.

【答案】Q)C=,

O

(2)4+V6-V2

【分析】(1)由正弦定理及诱导公式求出结果；

(2)由三角形面积公式、余弦定理及基本不等式求得结果.

【详解】(1)由已知2acosC-V3bcosC=V3ccosB

得2sinAcosC=V3sinBcosC+V3sinCcos^,

即2sinAcosC==V5sin(B+C),

因为4+B+C=TT,所以sin(B+C)=sin(TT-4)=sin4,

所以2sinAcosC=V3sirii4,

•.71为△ABC内角，

「.sin4h0,

/.cosC=—0<C<n,

2z

・r11

..C=-6.

(2)-SAABC=iabsinC=1,C屋，

则ab=4.

且=。2+坟_2abcOSC=Q2+坟—4A/3>2ab-4A/3=8—4>/3,

当且仅当a=b时，即a=b=2时，等号成立.

.'.a+b+cN2y]ab+y/8—4>/3=4+>JB-4V3=4+V6-V2

当且仅当a=b=2时，取等号.

「.△ABC周长最小值为44-V6—V2.

【变式2-1]3.(2023秋•黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨市第一二二中学校校考开学考试)在

△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(2a-b)cosC=ccosB,求

(1)求角C；

(2)若c=2,求4ABC的面积的最大值.

【答案】(DC=j

(2)73

【分析】(1)根据正弦定理边角互化，即可求解，

(2)由余弦定理结合不等式即可求解ab的最值，由面积公式即可求解.

【详解】(1)因为(2a—b)cosC=ccosB，由正弦定理可得(2sinA—sinB)cosC=sinCcosB,

所以2sin4cosC=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinX

因为Ae(0,n),所以sinA*0,

所以cosC=i,因为Ce(0,n),所以C=g；

(2)因为c?=a2+b2—2abcosC,所以4=a2+b2—ab>ab,当且仅当a=b=2时取

等号，

所以“ABC=Ia^sinC=^-ab<V3,

当a=b时SMBC取最大值为6•

【变式2-1]4.(2023•江西景德镇•统考三模)在^ABC中，内角4,B,C的对边分别是a,

b，。•已知tanB+tanC=鬻・

Q)求角B；

⑵若^ABC是钝角三角形，且a=c+2,求边c的取值范围.

【答案】⑴三

⑵(0,2)

【分析】(1)由商数关系及和角正弦公式、三角形内角关系化简整理得cosB=i,即可确定

角的大小；

(2)根据已知有4为钝角，应用余弦定理及已知条件求c的范围即可.

八¥41/r\4c,4c2sirM|isinficosC+cosBsinC2sin4

【详解】(1)tanB+tanC=后则m—

cosBcosCcosC

又sinBcosC+cosFsinf=sin4,则一—=且sin4>0,可得cos8=-,

'cosBcosCcosC21

由86(O,TT),故8=2

(2)由a>c,即4>C,又4/BC是钝角三角形且B=T,故/为钝角，

a2>b24-c2

则/=Q2+〃—QC=>0<c<2,故cE(0,2).

a=c+2

题型3正弦定理求最值与取值范围

印我重点

采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通

常采用这种方法；

【例题31(2023秋•河南洛阳•高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习)在△ABC中，内角

A,B,C所对的边分别是a,b,c且si/B+sin2c-siMA=sinBsinC.

(1)求角A；

(2)若a=473,求^ABC周长的范围.

【答案】Q)A=T

(2)(873,12>/3]

【分析】(1)利用正弦定理的边角互化，然后用余弦定理求解；

(2)用正弦定理将三角形的周长用三角函数值来表示，利用三角函数的性质求解.

【详解】(1)-.-sin2B+sin2c—sin2/!=sinBsinC,由正弦定理得/+c2—a2=be,

由余弦定理得cosA=|."：AG(0.n),

2bc2

：.A=-；

3，

(2)由(1)知A=/又已知Q=4V3,由正弦定理得：

•「，­==，­=8,

sin4sinBsinC

=8sinB,c=8sinC,

b+c=8sinB+8sinC=8[sinB+sin—8)]=8V3QcosB+当sin3)=8V3sin(B+

9-

由0<8<?02<8+?<自，于悬<5访(8+941,

36662\6/

故4百<b+c<873,于是88<Q+b+cW12A/3,

ABC周长的范围是(88,12V3].

【变式3-1]1.(2023秋•山西运城•高三统考阶段练习)在①/+02-a?=誓acsinB;

②sir？B+sin2c-si/a=sinBsinC这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.

在44BC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,.

Q)求角A;

(2)若a=4A/3,求^ABC周长的范围.

【答案】(1)4=5

(2)873<a+b+c<12V5

【分析】(1)正弦定理结合余弦定理求解即可；

(2)先根据正弦定理把边转化为角表示，结合辅助角公式计算值域即可得出周长范围.

【详解】(1)选择①：因为炉+c2-a2=醇csinB,

由余弦定理可得2bccos/l=+acsinB,

所以结合正弦定理可得百sinBcosA=sinAsinB.

因为Be(O,TT),则sinB>0,

所以75cosA=sinA,即tanA=V3,

因为Ae(O,TT),所以A=~;

选择②:因为sin’B+sin2c-sin，=sinFsinC,

由正弦定理得块+/-M=736c,

由余弦定理得COS4=号W=i.

2bc2

因为4G(0刀)，所以力=三；

(2)由(1)知4=*又已知。=4百，由正弦定理得：

•号■==&

sm4sinBsmC

：.b=8sinB,c=8sinC,

.・b+c=8sinB+8sinC=8[sinB+sin(学-B)]=8[sinB+|sinB+ycosfi]

r-flV3,\

=8V31-cosB+—sinB1

=8&sin(8+»

-.0<B<—,

3

.'g<sin(8+')w1,

.1.4V3<b+c<8V3,

.,.8V3<a+b+c<12V3.

【变式3-1]2.(2023・全国•高三专题练习)在锐角△力BC中，角4B,C的对边分别为a,b,

c,已知a=2百且COSC+(COSB-V3sinB)COS4=0.

Q)求角A的大小；

(2)若b=2或,求^ABC的面积；

(3)求b+c的取值范围.

【答案】(1乂=5

(2)V3+3

(3)(6,473]

【分析】(1)根据题意结合三角恒等变换运算求解；

(2)先利用余弦定理求得c=V2+V6,进而可求面积；

(3)利用正弦定理边化角,结合三角恒等变换可得6+c=4V3sin(B+习，结合正弦函数

的有界性运算求解.

【详解】(1)因为cosC+(cosB-V3sinB)cosyl=一cos(A+3)+(cosB-V3sinB)cos?l=

sinB(sin/—V5cosA)=0,

且48E(。()，贝(JsinB工0,可得sinA—V3coSi4=0,

整理得tan。=V3,所以A=去

(2)由余弦定理a2=&24-c2—2bccosA,即12=84-c2—2x2y/2cx；,

解得c=V2+乃或c=V2-V6(舍去)，

所以△ABC的面积SMBC=jbcsinA=|x2A/2X(A/2+A/6)x=V3+3.

(3)由正弦定理号=4=三=等=4,可得b=4sinF,c=4sinC,

sm4s\nBsinC受

2

则b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin(4+8)=4sinB+2sinB+2A/3COSB

=6sin8+2V3cosF=4V3sin(8+：),

0<B<-„"

因为△4BC为锐角三角形，且4=],贝！J0<2"B<n，解得&<B<2,

32

则g<~,可得当<sin(B+

贝!|b+c=4V3sin(B+媒6(6,4g],

所以b+c的取值范围为(6,4网.

【变式3-1]3.(2023秋广东•高三统考阶段练习)在44BC中，角4,B,C所对的边分

别为a，b，c，tanc=鬻鬻.

Q)求角c的大小;

(2)若仆ABC是锐角三角形，且其面积为百，求边c的取值范围.

【答案】(l)c=2

(2)[2,V6)

【分析】（1）根据同角三角函数关系，结合正余弦函数和差角公式化简即可；

（2）由（1）知4+8=日，又△4BC是锐角三角形，可得]<4<,根据且其面积为小可

得。2=焉靛，再设y=siMsinB，根据角度关系化简可得y=]sin（24-]+：,再根据

?<4<；求解即可.

oZ

siM+sinBsinA+sinB

【详解】（1）因为tanC=，则森=

COSA+COSBCOSi4+COSB

所以sinCcos力+sinCcos^=cosCsinA+cosCsinB,

即sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,

彳导sin(C—A)=sin(B-C).

所以。-4=8-。或。-4=口一伊一。）（不成立，舍去）,

从而2c=4+B,又4+B+C=n,所以C=去

0V4vU

(2)由(1)知4+B=李，又4ABC是锐角三角形，则2n2得?<a<5.

30<--A<-62

32

因为SMBC=\abs\x\C=y-s'；；：；，=SsinAsinB=V3,

所以c2=-2—.

sin/lsmB

设y=siMsinB,因为B=*—A,

所以y=sinAsin(4一A)=sinA(*osA+gsirvi)

=­sin2i4+---cos2A=-sin(2A

4442\6/4

因为擀<A<^,则？<2^4-<Y/所以ye

从而c2=[4,6),即ce[2,V6),

所以边c的取值范围是[2,萌).

【变式3-1]4.（2023秋•云南昆明•高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）MBC的

内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ccosA-acosB+c=0

⑴求A；

(2)若a=6,求4ABC周长的取值范围.

【答案】(1)4=5

(2)(12,6+6V2]

【分析】(1)利用正弦定理进行边换角结合两角和与差的正弦公式即可得到答案；

(2)利用正弦定理、诱导公式和辅助角公式得b+c=6V2sin(8+9,再利用正弦型函数

的值域即可得到周长范围.

【详解】(1)因为ccosA—acosB+c=0,

根据正弦定理得sinCcosA—sinAcosB+sinC=0.

又sin。=sin(A+B)=sinAcosB+cos/lsin^,

所以sinCcos4+cosAsinB=(sinC+sinB)cos4=0.

因为4B,Ce(0,n),

所以sinC+sinB>0,所以cos4=0.

所以A=今

(2)由(1)可知，=6,所以b+c=6sinB+6sinC.

sinA

由4=：,得B+C=],贝!JsinC=cosB,

则b+c=6sinB+6cosB=6>/2sin(B+：).

因为B6M)।所以B+詈),sin(B+《G(y.l],

则b+cG(6,6/],故^ABC周长的取值范围为(12,6+6V2].

【变式3-1]5.(2024秋・山东临沂•高三校联考开学考试)记△4BC的内角A,B,C的对

边分别为a,b,c,sinA=V2sinC.

（1）若B=2,求tanA;

（2）求C的最大值.

【答案】（l）tanA=V6+V3

（2）;

【分析】（1）根据三角形内角和利用三角恒等变换可得tana=V6+V3,

（2）利用正弦定理由大边对大角可限定C6（0.2）,再根据三角函数值域即可求得结果.

【详解】（1）根据题意可知，若AABC^B=,贝必+C=手，即C=与一4;

又sinA=V2sinC,所以sirU=&sin偿-4）,

即sirt4=Visingcos4—acosgsin4,整理可得号^sinA=彳cosA；

解得tanA==V6+V3

所以tan4=V6+V3

（2）由正弦定理可知a=42c,显然Q>c,所以c不是最大边，

即角C不是最大角，因此可知Ce（0,2）；

又sinA=V2sinC<1可得sinC<^=y,解得。<CS：；

所以C的最大值为去

4

【变式3-1]6.（2023秋•浙江•高三浙江省普陀中学校联考开学考试）在4ABC中，角4B、

。所对的边分别为a、b、c,且满足asinCcosB+bsiMcosC=ya.

Q）求角力；

（2）若△ABC为锐角三角形，求4SWB-4sinBsinC的取值范围.

【答案】（1）4=]或4=g

（2）（-1,2）

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合和差公式求解可得；

(2)利用三角恒等变换公式化简，根据锐角三角形性质求得B的范围，再由正弦函数性质

可得.

【详解】(1);asinCcosB+bsinAcosC=ya,

•••sinAsinecosB+sinBsin4cosc=^s\nA,

vAG(0,n),sin4>0,

V3

・•・sinCcosB+sinficosC=—

V3

・•・sin(B+C)=sin(n-A)=smA=—

•••4=普=5

(2)•••△ABC是锐角三角形A

!jy4sin2B-4sinBsinC

.2../2TI\

=4smB-4sm^sin―

=2sin2B_2V3sinBcos5=1-cos2B-V3sin2B=1-2sin(28+%),

・••△ABC是锐角三角形，-2,即BWG，

B<3K62)

3+9转),

•••sin(28+9

2

•1-4sinF-4sinBsinC的取值范围为(-1,2).

题型4不对称结构的最值取值范围问题

L

卦塾重点

巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.

【例题4】(2022•全国•高三专题练习)在①2sin4-sinB=2sinCcosB,②(a+c)(sirt4-

sinC)=sinB(a—b),③=^c^asinA+bsinB—csinC)这三个条件中任选一个，补充

到下面的问题中并作答.

问题：在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且—.

⑴求角C;

(2)若c=2,求2a-6的取值范围.

【答案】(*

⑵(-2,4)

【分析】(1)选①利用三角形内角和定理与两角和的正弦公式求出C==,选②利用正弦定

理和余弦定理求出C=/选③利用面积公式和余弦定理求出C=/

(2)利用正弦定理得a=sinAb=#sinB,再利用两角差的正弦公式以及角的范围计

算求得结果.

【详解】(1)若选①：2sin4—sinB=2sinCcosB,

则2sin(8+C)-sinB=2sinCcosB,

..2sinBcosC+2cosBsinC—sinB=2sinCcosB

/.2sinBcosC—sinB=0

<BG(0,n),sinBH0,

..cosC=1,'."CG(O,TC),/.C=

若选②：(a+c)(sin4—sinC)=sin£(a—b),

由正弦定理得(Q+c)(a-c)=b(a-b),

.'.a2+b2-c2=ab,

222

.「a+b-c1

.-COSC=--------------=-,

2ab2

E(O,TT)f.-.C=,

若选③：S“BC=gc(QsinA+bsinB—csinC),

贝《QbsinC=|c(czsirii4+bsinB-csinC)；

由正弦定理得gabc=1c(a2+62-c2),

/./.a2b2—c2=ab,

a2+b2_c21

..cosC--------------——

Zab2

.C6(0,n),..C=,

(2)由正弦定理得-、=白=£=竽，

sm4sinBsmC3

a=誓sinA,b=竽sinB,

贝！］2Q—b=竽sinZ—竽sinB=^?sini4一竽sin(A+1),

=2V3sin>4—2cosA=4sin(A—，

-Ae(°-T)，4一。nTT,sin(DW，l),

6'2.

「.2Q—bG(—2,4).

【变式4-1】1.(2023秋辽宁沈阳高三沈阳市第一二。中学校考阶段练习)在448。中，

amc分别是角48,C所对的边,已知a=lfm=(1,-73),n=(sinA,COSA),且沆1n.

(1)若4ABC的面积为乎,求b+c的值；

(2)求c-2b的取值范围.

【答案】(1)2

(2)(-2,1)

【分析】(1)根据垂直向量数量积为0求解可得4=/再根据三角形面积公式与余弦定理

求解即可；

(2)由正弦定理结合三角恒等变换可得c-2b=-2cosc，再根据三角函数取值范围求解即

可.

【详解】(1)由沆1元可得sin4-V3COS/1=0，故sin4=6cos4，显然4丰］，故tanA=V3.

又0<4<Tl,故A=1

由三角形面积公式可得S-BC=^bcsinA=2bc=号，故be=1.

由余弦定理可得M=b2+c2—2bccosA=(b+c)2—3bc=1，即(b+c)：=4,故b+c=2.

(2)由(1)4=2,故=——=--=-T=,故c=W^sinC,b=空^sinB.

11

\j\/3'入SingsinesinA\f333

+&,26.「4V3.2\[3./,n\4>/3.

故c—2nb=——sinC-------sinBn=——sin(Bn+-------sinBn

333k3/3

2V3/IV3\4V3

=—z--sinB+—cosB.......-sinF

3\22J3

>/34V3

=—sinF+cosB------sinB

33

=cosB—y/3smB=2cos(8+；)=2cos(8+4)=-2cosC.

因为4=g,故0<CV—,故——<cosC<1,-2<-2cosC<1.

故c-2b的取值范围为(-2,1)

【变式4-1]2.(2023秋广东深圳•高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习)已知△ABC

的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且gac•cosB=fe2-(a-c)2.

⑴求cosB的值；

(2)求心的最小值.

a4+c，

【答案】(l)cosB=q

⑵|.

【分析】(1)根据已知等式结合余弦定理可求出cosB的值；

(2)由(1)可得/=a2+C?-色c,代入白化简后利用基本不等式可求得其最小值.

【详解】(1)因为£c-cosB=b2-(a-c)2,

所以(QC-cosB=炉-Q2—+2ac,

由余弦定理得垓=a2+c2—2accosBb2—a2—c2=—2accosB,

所以[ac-cosB=­2accosB+lac,解得cosB=1.

(2)由(1)知cosB=1,所以炉=a2+c2-^ac,

所以u2=Q°Z++°C2一5*=1~CLC

rn^a2+c2a2+c2a2+c2

因为a2+c222ac今生4[当且仅当a=c时等号成立，

a-5

所以慈=1一晶21一I=I，当且仅当a=0时等号成立，

所以的最小值为|.

【变式4-1]3.(2022秋•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习)已知△力BC内

角A,B,C的对边为a,b,c,且c=2(a-bcosC).

Q)求角B的大小；

(2)若^ABC为锐角三角形，求学的取值范围.

【答案】Q)B=g

⑵加

【分析】(1)利用余弦定理化简得ac=a?-炉+,2,代入cosB=亨金即可求出角B的

2ac

大小；(2)通过正弦定理，用B表示出各个边，因为△4BC为锐角三角形，求出？<4<；,

0Z

根据三角函数值域的求法求出取值范围.

【详解】(1)由余弦定理cosC=贮=，所以3=。-bx吟声,

2ab22ab

化简得ac=a2-b2+c2,所以cosB=。二二"：=受="

2ac2ac2

又BG(o.n),所以B=*

(2)由(1)4+。=71-8=?,因为448。为锐角三角形，所以，？<4<15<。<3.

3OZbZ

由正弦定理可得：亭=辿2怨Me=9(sin2/1+sin2C)

b"s】n"B3

因为siMA4-sin2C=sin2/!+sin2得—/)=；(1-cos2X)+；(1—cos詈—24))

=1+|[cos(；—2/)—cos24]=1cos2A+ysin24—cos2/]=1+|sin(24—，)又

(<4<,所以汴24-*<谯<1+：sin(2A-加*

因此siMA+sin2c的取值范围是信|

所以展的取值范围是(I，2].

【变式4-1]4.(2023秋•河北保定•高三校联考开学考试)在4ABC中，角A,B,C的对

边分别为a,6,c,若叱=等写

csinA-sinB

Q)求角4的大小；

(2)若。为8c上一点,£BAD=LCAD,AD=3,求4b+c的最小值.

【答案】Q)A=g

⑵27

【分析】(1)利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理求得正确答案.

(2)利用三角形的面积公式列方程，结合基本不等式求得4b+c的最小值.

【详解】(1)依题意，拶=黑罂，

由正弦定理得妇=^-,a2-b2=bc+c2,

ca-b

c2+h2-a2=—be,所以cos/="二。=--<0,

2bc2

所以力是钝角，所以4=y.

(2)/.BAD=/.CAD=-A=-,

''23

S〉ABC=S&ABD+S'ACD，所以;besiny=-3-sin24--3-sin^,

即be=3(c+b),学=-4-1=1

becbf

所以4b+c=(4b+c)(|+目=15+产+B215+2J噜卷=27,

12b_3c

~=~^,c=2b=9时等号成立.

{be=3(c+b)

【变式4-1]5.(2023秋•河北秦皇岛•高三校联考开学考试)记aABC的内角4B,C的对边

分别为a,b,c,面积为S,已知炉=+abcosC.

(1)求2的值；

(2)若BC边上的中线|4D|=1,求△力BC周长的最小值.

【答案】⑴g

(2)273

【分析】(1)根据三角形面积公式及正弦定理化简〃=雪+abcosC,可得tan4=V3,

即可求出力的值；

(2)先根据4。为BC边上的中线得到2而=而+无，即/+°2+尻=4,根据不等式求

出0<bcW3,以及b+c=，4+be和a=V4-2bc,可得a+b+c=V4-2bc+

V4+6F(0<be<I),再根据函数关系即可求出最值.

【详解】(1)•,■△4BC面积为S,

S=-afasinC,且=—S+abcosC,

23

得=JabsinC+abcosC,

b=—asinC+acosC,

由正弦定理得：sinB=ysin/lsinC+sin4cosc,

sin(i4+C)=ysin/lsinC+sin4cosc,

sinAcosC=父sin/sinC+sirt4cosc,

3

V3

cosA=—sirii4(sinCw0)

:.tan/1=V3(cos/4H0),

ji

v0<4<7T,A=-.