勾股定理（题型归纳）

专题12勾股定理

题型分析

题型演练

题型一用勾股定理解直角三角形

1.如图，将RtZVlBC绕点A按顺时针旋转一定角度得到点B的对应点。恰好

落在BC边上.若AC=2√3,/8=60,则CO的长为（）

【答案】B

【分析】由旋转的性质可知AB=4）,又因为NB=60，可得右ADB为等边三角形，又因为

RfaABC中有NC=30,所以AB:BUAC=I:2:6,

故由已知AC=2√L算出8C,AB相减即可.

【详解】Zfi=60,AB=AD,

；•4）8为等边三角形，

AB=BD,

又一在RfABC中，/8=60，则NC=30,

•••BC=2AB,AC=6AB,

，已知AC=2j^,所以A8=2,BC=A,

CD=BC-BD=4-2=2,

故选:B.

2.如图，.ABC中，AB=AC=375>SC=6,分别以点8、C为圆心，大于;BC的长为

半径作弧，两弧交于点E,作射线AE,在射线AE上任取一点。，连接。C.若Cr）=5,则

Az）的长为（）

【答案】A

【分析】连接的、CE（图见详解），由AB=AC可得AE为线段BC的垂直平分线，再利

用勾股定理求出AO、OD,即可求得AO的长.

【详解】如图，连接跖、CE,设AD交8C于点。

由作图步骤可知：BE=CE

E点在线段8C的垂直平分线上

AB=AC=3>∕5

`-A点在线段BC的垂直平分线上

AE垂直平分线段BC

.∙.βO=CO=-BC=3,ZAoB=ZAoC=NCo£>=90。

2

在HABO中，由勾股定理得

AO=√AB2-OB2=^（3√5）2-32=6

在RtZ∖Cf>O中，CD=5,由勾股定理，得

DO=y∣CDr-OC1=√52-32=4

AD=Ao+00=6+4=10

故选：A

3.小明钉了一个长与宽分别为30厘米和20厘米的长方形木框，为了增加其稳定性，他准

备沿长方形的对角线钉上一根木条，这根木条的长应为（）厘米.（结果用最简二次根式

表示）

A.13√100B.Jl300C.10√13D.5√13

【答案】C

【分析】由于长方形木框的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，故可利用勾股定理

解答.

【详解】解：设这条木板的长度为X厘米，

由勾股定理得：X2=302+202,

解得X=Io«3Cm.

故选：C.

4.如图I是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的

直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC.若OC=逐，BC=X,

ZAOB=30°,则。4的值为（）

图1图2

L3~

A.1/3B.-C.>/r2D.1

【答案】A

【分析】根据勾股定理和含30。角的直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：1NO8C=90。，OC=√5,BC=I,

：.OB=y∣OC2-BC2=^（√5）2-l2=2

NA=90°,NAQ8=30°,

.∙.AB=-OB=∖

2f

.∖OA=y∣OB2-AB2=√22-l2=√3,

故选：A.

5.如图，在ΛBC中，AB=AC=5,BC=8,点D是边BC上一息（点D不与息B,C重

合），将-ACD沿AQ翻折，点C的对应点为点E,AE交BC于点F,若DE〃AB,则点B

到线段AO的距离为（）

A.—∖∣5B.—∖∕ΓθC.—ʌ/sD.—VlO

5222

【答案】B

【分析】过A作AGJ.BC于G,过B作BH」AD于H,依据等腰三角形的性质，平行线的

性质以及折叠的性质，即可得到8。的长，再根据勾股定理即可得到AO的长，最后依据面

积法即可得出BH的长，进而得到点B到线段A。的距离.

【详解】解：如图，过A作AG_LBC于G,过8作BHqAD于H,

∙.∙AB=AC=5,

工NABC=NCBG=；BC=4，AG=JAB2-BG?=3,

*.∙DE//AB,

,ZBAF=ZE,ZABC=ZEDFf由折叠的性质得：ZE=ZC,AE=AC=5,

，ZABC=/BAF=ZE=ZEDF,

：.AF=BF,EF=DF,

BD=AE=AC=5,

：・DG=BD-BG=5-4=↑,

RtVADG中，AD=y∣AG2+DG2=√K)>

•：-AD×BH=-BD×AG,

22

.BD×AG5×33√10

•∙nBrtH=---------=-1—■=--------.

AD√102

故选:B.

6.在.ABC中，NAeB=90。，AC=BC,G是48边上一点，过点G作射线CP,过点A作

A"_LCP于点M,过点B作BN_LCP于点N.

(1)证明：AM=CN;

(2)取AB中点。，连接。M、ON,猜想线段BN、AM>QM的数量关系，并证明.

【答案】(1)见解析

(2)AM=BN+&OM，理由见解析

【分析】(1)证明Z∖ACM丝ACBN即可证得结论；

(2)连接OC,先根据等腰直角三角形的判定与性质以及全等三角形的性质得到Nl=/2,

进而证明dOCM'OBN(SAS)求得OM=ON,NMoN=90。，利用勾股定理和线段和与差

计算即可得出结论.

【详解】(1)证明：如图，YAMLCP.BNJ.CP,

：.NCMA=NBNC=90。,

，ZCAM+ZACM=90°,

"：NACB=90。，

ZACM+ABCN=90°,

.,.ZCAM=ABCN,

,/AC=BC,

：..ACM^CBN(AAS),

：.AM=CN.

(2)解：结论：AM=BN+OOM.

证明：如图，连接。C,

VZACB=90o,AC=BC,。是A3中点，

：.OC=OB,Z3=Z4=45o,CO±AB,

'：AACM沿ACBN,

.,.AM=CN,CM=BN,Z1+Z3=Z4+Z2,

.*.Z1=Z2,

：._OCM乌OBN(SAS),

：.OM=ON,N5=N6,

•/Z5+Z7=90o,

.∙.N6+N7=90。，即ZMON=90°,

∙"∙MN=OM2+OM-=√2OΛ∕,

,/CN=CM+MN,

AM=BN+∙JiθM-

1.如图：已知在；ΛBC中，N8=45°,ZC=30°.

(1)尺规作图：

①作一ABC的高AO；

②作NCAD的平分线AE,交BC于点E(保留作图痕迹，不写作法)

(2)若AC=8,求AB的长.

【答案】⑴见解析

(2)4√2

【分析】(1)①先以4为圆心，大于A到BC的距离为半径画弧，得与BC的两个交点，

再分别以这两个交点为圆心,大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧,得两弧的交点,

过A与两弧的交点画线段，交BC于D,则可得答案；

②先以A为圆心，任意长为半径画弧，得与NCm的两边相交的两个交点，再分别以这两

个交点为圆心，大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，过4与两

弧的交点画线段AE,交JBC于E,则可得答案；

(2)利用含30。的直角三角形的性质求解AD,再证明A£>=%>=4,再利用勾股定理可得

答案.

【详解】(1)解：①如图，则AO为所作；

②如图，则AE为所作.

(2)在RtAACD中，

,/ZC=30°,

.,.AD」AC」x8=4,

22

在RtZXABD中，

,.∙4=45。，

ZBAD=90°-ZB=45°,

ZB=ZBAD,

∙*∙BD=AD=4，

为等腰直角三角形，

∙,∙AB=yjAD1+BD23=√42+42=4√2•

8.在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.

(1)ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且4E=1,小亮以BE为边作等

边三角形BEF,如图①，求CF的长；

(2).ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角

形BEF,如图②，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；

(3).ABC是边长为3的等边三角形，M是高8上的一个动点，小亮以为边作等边三角

形BMN,如图③，在点M从点C到点。的运动过程中，求点N所经过的路径长.

【答案】(I)CF=1；

(2)点尸所经过的路径长为3；

(3)点N所经过的路径的长为IG.

【分析】(1)根据等边三角形的性质可得AABEWACBF(SAS),根据全等三角形的性质即

可求出AF的长；

(2)连接CF,易证AABEgZXCBF(SAS),根据全等三角形的性质可得C/〃AB,当点E

在C处时，CF=AC,当点E在A处时，点f与ClI合，进一步即可求出点F运动的路径

的长；

(3)取BC中点，，连接易证名AWBN(SAS),根据全等三角形的性质可得

HN=DM,NHIBC,当点M在C处时，HN=CD=炉,当点M在。处时，点N与H

重合，从而可求出点N所经过的路径长.

【详解】(1)解：,IABC.ABEF是等边三角形,

：.BA=BC9BE=BF,ZABC=NEBF=60。.

：,ZABE=/CBF，

・・・AABE^∆CBF(SAS),

JCF=AE,

YAE=I,

.・.CF=I;

(2)解：连接C尸，如图所示：

V.ABC.A3EF是等边三角形，

：,BA=BC,BE=BF,ZABC=/EBF=60。,ZΛ=60o,

JZABE=NCBF,

：.AAB^ACSF(SAS),

：.CF=AEtNBeF=ZA=60。，

∙/ZABe=60。，

・•・NBCF=ZABC,

.'.CF∕∕ABf

YABC是边长为3的等边三角形，

Ae=3,

当点E在C处时，CF=AC,

当点E在A处时，点尸与C重合，

∙,∙,⅛F运动的路径的长=AC=3；

(3)解：取BC中点“，连接如图所示:

BH=LBC,

2

IJLBC是等边三角形,

ΛBC=AB=AC,ZABC=60。，

・・.BH==AB,

2

VCDlAB,

/.BD=-AB,

2

・•・BH=BD,

•；LBMN是等边三角形,

：・：.BM=BN,ZMBN=W,

：・；.ADBM=AHBN,

・・・ADBM当公HBN(S网,

：・HN=DM,/BHN=4BDM=骄,

：.NH±BC,

,•二ABC是边长为3的等边三角形，

3

ΛBC=3,BD=-,

2

根据勾股定理，得CO=∣G,

当点M在C处时，HN=CD=-yf3,

2

当点M在。处时，点N与H量合，

点N所经过的路价的长=CD=I6.

9.如图，ABC和AEC尸都是等腰直角三角形，^ACB=ZECF=90,AC=BC,EC=FC

连接AE并延长与CB交与点O,连接BF.

CCC

Ft

图1图2图3

(1)如图1,求证：AE=BF

(2)如图2,AECF绕着顶点、C旋转,当A、E、F三点共线时，取新的中点G,连接CG,

求证：AE2+EF2=4CG2;

(3)如图3,若AC=BC=3仆,ZBAD=\5°,连接。尸，当E运动到使得NAeE=30时，求

QEF的面积.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

⑶①

4

【分析】(1)根据题意得出NBB+/BCE=/BCE+/AC&BC=AC,CF=CE,再由

全等三角形的判定和性质即可证明；

(2)延长CG至点，使CG=G”,连接AH,FH,BE，根据全等三角形的性质得出

AE-+EF2=EF2+FB-=EB2•利用平行四边形的判定和性质得出AC=CBACLCB,

CB=FH,FHYCB,最后利用全等三角形的判定和性质及勾股定理即可证明；

(3)作R平行于A。交CE于点J,连接必，根据平行线的性质得出S.=S.皿，

ZCJF=ZCED,再由等腰三角形及等边三角形的判定得出.ACE是等腰三角形，即

AE=CE,*ECO是等边三角形，过./作EO的垂线交EO于点K,再利用含30度角的三角

形的性质及勾股定理求解即可.

【详解】⑴证明：：,ΛBC和AECF都是等腰直角三角形，ΛACB=ZECF=90,

：.ZBCF+ZBCE=ZBCE+ZACE,BC=AC,CF=CE,

：.NBCF=NACE,

：.♦BCFMACE(SAS),

BF=AE;

(2)由(1)得*3Cfg*ACE,

.,.ZAEC=/CFB=180o-NCEF=135°,AE=FB,

ZDFB=135o-ZCFE=90°,

即AE-+EF2=EF-+FB1=EB2，

延长CG至点”使CG=G”,连接4"，FH,BE,

C

・・・四边形ACFH是平行四边形，即AC〃"/,AC=FH,

VAC=CB9ACl.CB,

：.CB=FH9FHLCB,

Y*BCFdACE,

：・NACE=NBCF,

∙/ZECB=90。一NACENHFC=90°-NBCF,

JNECB=NHFC,

在*ECB与*CFH中,

CB=FH

,NECB=ZHFC,

CE=FC

：.♦ECBdCFH,

ICH=EB,

：・AE2+EF2=EB1+CH2=4CG2，

即AE2+EF2=4CG2;

(3)作E/平行于4)交CE于点连接〃)，

C

:∙S.DEF=S.EDJ,NCJF=NCED,

Vz×BΛD=15o,∠TC4B=45o,

"40=30。，

,/ACE=NCAD=30。，

:.♦ACE是等腰三角形，即AE=CE,

Y/ECD=NCED=ZEDC=60°,

•••♦ECD是等边」.角形，

ZCAD=3Q0,AC=3√3,

.∙.CD=CE=ED=CF=3,

•.NFC/=%。，/C/E=60。，CF=3,

∙∙.CJ=√5,BP7E=3-√3.

过J作Ef）的垂线交ED『点K,

•：NJEK=#0,JE=3-√3,

：.JK=亚,

2

・c_o_36-3a1-9√3-9

•∙S.DEF-S.EDJ_2X3X5--

10.（1）问题发现：如图1,∆ACB和AOCE均为等边三角形，当旋转至点AD,E

在同一直线上时，连接BE.

①求NAEB的大小；

②求证：AE=BE+CE.

（2）拓展研究：如图2,AACB和aOCE均为等腰直角三角形，NACB=NDCE=90。，点

【答案】（1）①60°,②见解析；（2）√10

【分析】（1）由条件易证AACO丝ABCE,从而得到：AD=BE,ZADC=ZBEC.由点

A,D,E在同一直线上可求出N4DC,从而可以求出NAEB的度数；

（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；

（3）由“SAS”可证△ACOgABCE,可得BE=ADZADC=ZBEC,由勾股定理可求解.

【详解】（1）①解：∙..4AC8和均为等边三角形，

ΛCA=CB,CD=CE,ZACB=NDCE=60。,

：.ZACD=NBCE,

在，AC£）和一BCE中，

AC=BC

"NACD=NBCE,

CD=CE

ACD^BCE(SAS).

：.NADC=NBEC,

VADCE为等边三角形,

・•・/CDE=ZCED=6。。,

・・・点A,D,E在同一直线上，

・•・ZADC=120°,

・・・NBEC=I20。，

.∙.ZAEB=ZBEC-NC££>=60。：

②证明：♦：AACD且ABCE,

・•・AD=BE,

∙∙∙,CDE是等边三角形，

：・CE=DE,

：.AE=AD+DE=BE+CE;

^AE=BE+CE↑

(2)解：・・・△/)已为等腰直角三角形，CD=CE=G,

JDE=√CD2+CE2=√2CE2=√2CE=2,NCDE=ZCED=45°，

VAC=BC9DC=EC,NACr>=90。-NOCBNBCE=90。-NDCB,

：•ZACD=ZBCEf

在,.ACD和48Cε中，

AC=BC

<ZACD=ZCEf

DC=EC

JiACD^BCE(SAS),

/.AD=BE=2,

：.AE=AD-i-DE=4,

/CEB=ZACD=180o-ZCDE=135°,

ZAEB=ZCEB-ZCED=90°,

∙"∙AB=y∣AE2+BE2=2√5，

・；ZACB=90。,CA=CB,

+CB2=AB2,

・•・2CB2=20,

.∙.CB=M.

题型二勾股定理与网格问题

II

11.如图，在4x4的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，BDVAC

于点。，则BO的长为()

【答案】D

【分析】根据面积相等的方法，即可求出答案.

【详解】解：由题意可得，A43C的面积是：3×4-l×3×l-→3×4=∣,

'∙'BD是AABC的高，AC=∖∣32+42=5，

I9

-×BD×5=-,

22

解得，BD=]Q,

故选：D.

12.如图，矩形ABC。由6个边长为1的小正方形组成，连接小正方形的顶点£C及。、

F交于点0,则tanN">C的值为().

A.√5D.√2

【答案】B

【分析】以点F为原点，以FC所在直线为X轴，建立如图平面直角坐标系n(0,0),£(-1,1),

£)(2,2),C(2,0),求出FO∙EC=2χ3-1x2=4,再根据0<NOOCV灯，求出tanZDOC的值.

【详解】

解：以点F为原点，以尸C所在直线为X轴，建立如图平面直角坐标系,

则F(0,0),£(-1,1),C(2,2),C(2,0)

FD=J4+4=2近,∣^C∣=√9+T=√iθ,

FO∙EC=2x3-lx2=4,

FDEC4√5

’8SNDOC=网同=定而=T，

,.∙0<ZDOC<乃，.∙.SinZDOC=√1-cos2ZDOC=半，

SinZDOC

.*.tanZDOC==2.

cosZDOC

故选：B.

13.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1,点A、B、O都在格点上，则NAo5的

D.正

2

【答案】A

【分析】根据勾股定理解得A8,AO,80的长，再由SW=1AB∙∕z=gAO∙BO∙sinNAO8

即可解答.

【详解】解：由图可知，AB=2,AO=√42+22=2√5,BC>=√22+22=2√2-

.S历。」AB/」AoBOsinNAOB

Atify22

.Jχ2x2」x2石χ2√∑∙sinZAOB

22

...si.nN，A…OB一=-M----

10

故选：A.

14.如图，在3x3的正方形网格中，若小正方形的边长是I,则任意两个格点间的距离不可

就是（）

A.√7B.√8D.√10

【答案】A

【分析】利用直角三角形的勾股定理即可求出答案.

【详解】解：在3x3的正方形网格中，若小正方形的边长是1,

22

；・任意两个格点间的距离为在方=√ξ,√3+l=√iθ,囱，1,2,3,

√32+32=3√2'√22+32=√13'√l2+22=√5-

；・任意两个格点间的距离不可能是近，

故选：A.

15.如图所示的2x4的正方形网格中，AABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角

形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（）

【答案】C

【分析】过点A作4D1∙8C于，由网格特征和勾股定理可得，BC的长，再利

*^ΔΛβC=5BCXAD=SMKCF-S&ABM-SABEC—S3AFC即Uj求解.

【详解】解：如图：过点A作AQLBC于〃,

由网格特征和勾股定理可得，BC2=12÷32=1O,

.∙.BC=M

'∙"*^ΔABC=SMECF—SAABM一^Δ,BEC-^∆AFC

=2x3-LXIXI-Lχlx3--5-x2x2

222

=2

SΔABC=^BC∙AD1

.-.-BC-AD=2,

2

；"。=卡，

故选：C

16.图①、图②分别是10*8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1,A、B两点在小正

方形的格点上，请在图①、图②中各取一点（点C必须在小正方形的格点上），使以A、RC

为顶点的三角形分别满足下列要求.

图②

⑴在图①中画一个二A8C,使ZACB=90。，面积为5；

⑵在图②中画一个C,使B4=BC,/4BC为钝角，并求.ABC的周长.

【答案】⑴见解析

（2）作图见解析，10+4石

【分析】（1）根据题意可知/3=5,要使AABC面积为5,则只需要过点C作垂直AB的直

线且长度为2即可；

（2）要使JlBC为钝角等腰三角形，则必须找到和A6相等的边BC且C点必须在小正方形

的顶点上.

【详解】（1）如图①中，ΛBC即为所求；

(2)如图②中，ΛβC即为所求.

QAB=BC=5,

AC=√42+82=4√5，

ABC的周长为10+4退.

17.如图是由小正方形组成的8x8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺

在给定的网格中完成画图，并保留必要的作图痕迹.

图1图2图3

(1)在图1中，在直线BC的下方作格点。使AD=BC,连接AD,垂足为H.

(2)在图2中找出所有可能的格点F,使ABb是以BC为直角边的等腰直角三角形，并画出

∕∖BCF.

(3)在图3中的线段BC上画出点G,使NAGC=45.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

⑶见解析

【分析】(1)利用数形结合的思想画出图形即可；

(2)根据等腰直角三角形的定义画出图形即可；

（3）构造等腰宜角ATQ,AT交BC于点G,点G即为所求.

【详解】（1）解：如图1中，线段AD,点”即为所求；

图1

（2）解：如图2中，点F,点F'即为所求;

图2

（3）解：如图3中，点G即为所求.

18.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1,每个小正方形的顶点叫格点，图中

已给出了两个格点4,B,

R

I

L

_

Γ

I

(1)在格点上取一点C,画一个ABC,使NBAC=45。，且SABC=6.

(2)在格点上取一点£),画一个4ABZ),且AQ=5,BD=后,并利用网格画出ND48的平

分线.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)取格点C,使得析∙R4C=45°,C到AB的距离为3,AB的长为4,则SMC=6；

(2)根据网格的特点，根据勾股定理求得4"5,确定点。的位置，然后根据网格的特点

作出ND48的平分线即可求解.

【详解】(1)如图所示；取格点C，使得/BAC=45。，C到AB的距离为3,A8的长为4,

则SABC=6

r-τ-π—I-1-----r--1-I—1

理由：∖,AE=EC=3,ZA£C=90°,

.∙._AEC是等腰直角三角形，

NCAE=45。，

∙.∙AB=4,CE=3,

,∙SABC=6,

点C即为所求；

(2)如图所示；根据勾股定理求得4D=5,确定点。的位置，然后根据网格的特点作出ND48

的平分线

理由：取格点。，则A/=3,。尸=4

/.AE>=5,

BF=1,DF=4,

BD=历,

'：NH=FG=2,MH=DF=4,NDFG=ZMHN=90°,

：..MNHm,.DGF,

：.ZNMH=ZGDF,

设AN交。尸于点K，则ADKN=ZAKF,

ANMH+ZDKN=ZGDF+ZAKF=90°,

：.DGLAN,

"：AD=AG=5,

∙∙.AN是NΩ43的角平分线.

19.图①、图②、图③均是6x6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形

的顶点称为格点，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中各画一个三角形，要求同时满

足以下三个条件：

+T-

—

卜+

十一

IT-+一

(I)三角形的顶点在格点上：

(2)三角形是腰长为无理数的等腰三角形;

(3)三角形的面积为6.

【答案】见解析

【分析】结合网格特点利用勾股定理构造腰为无理数的等腰三角形，画图即可.

【详解】如图所示：

图①图②图③

由图可知三角形的三个顶点均在格点上，根据勾股定理有：

图①三角形的两条腰长为：√2Γ73Γ≈√13.

图②三角形的两条腰长为：后导=屈，

图③三角形的两条腰长为：庐方^=历，

根据网格图形可知图①三角形的底为4,高为3,故面积为4x3xg=6,

图②三角形的底为6,高为2,故面积为6x2xg=6,

图③三角形的底为2,高为6,故面积为2x6x∕=6,

故所画三角形即为所求；

题型三勾股定理与折叠问题

"_____________________________I

20.如图，在矩形ABC。中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点B落在点*处，则重

叠部分△人a7的面积为()

A.12B.10C.8D.6

【答案】B

【分析】己知A。为FC边上的高，要求AAFC的面积，求得FC即可，求证AAFZ注,

得BT=Z)尸，设DF=X,则在Rf2∖AFD中，根据勾股定理求x,于是得到CV=CD-。尸，

即可得到答案.

【详解】解：由翻折变换的性质可知：AABC四Z∖AS'C,

.,.AB=AB'.BC=B'C,NB=NB'=90°,

；四边形45Co为矩形，Aδ=8,BCH,

：.AD=BC=4,/0=4=90°,CD=AB,=AB^8,

：.AD=B'C,ZD=NB1,

在Z∖AFD和ACFB'中，

ZD=ZB'

■AFD=ZCFB',

DA=B1C

1

：.iAFD^..CFB(AAS),

ʌDF=B,F,AF=CF,

设Z)R=X,则AR=CF=C£>—Dk=8—x,

在RfzλAFf>中，AF2=DF1+AD->

Λ(8-X)2=X2+42,

解得：x=3,

CF=8-3=5,

S=—CF-AD=—×5×4=10.

ΛAFΓ22

故选：B.

21.如图，长方形ABCO中，AB=3cm,AO=9cm,将此长方形折叠，使点2与点。重合

折痕为EF,则AABE的面积为()

A.3cm2D.12cm2

【答案】C

【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE,在直角AABE中，利用勾股定理就可以求解.

【详解】解：将此长方形折叠，使点8与点。重合,

：.BE=ED.

AD=AE+DE=AE+BE=9cm,

BE=9-AE,根据勾股定理可知：AB2+AE2=BE2-

BP32+AE2=(9-AF)2

解得：AE=4,

∕∖ABE的面积为一x4*6Cm2.

2

故选C.

22.如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边4C沿直

线4。折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则B。的长为()

A

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

【答案】A

【分析】根据折叠的性质可得AC=AE=6cm,CD=DE,ZACD=ZAED=ZDEB=90o,利用勾

股定理列式求出AB,从而求出BE,设CD=DE'=xcm,表示出BD,然后在RtAOEB中，利

用勾股定理列式计算即可得解.

【详解】解：∙.∙A4CQ与AAEC关于AO成轴对称，

：.AC=AE=6cm,CD=DE,NACD=NAED=NDEB=9()。,

在Rt∆ABC中，AB2=AC2+BC2=62+S2=102,

ΛAB=IOcin,

/.BE=AB-AE=10-6=4(cm),

设CD=OE=XCm,PI∣JDB=BC-CD=(8-x)cm,

在Rt△。班中，由勾股定理，得f+42=(8-X)2,

解得x=3,

.*.CD=3cm.

BD=S-x=8-3=5(Cm),

故选:A.

23.如图，三角形纸片A8C中，ZBAC=90o,AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片折

叠，使点B落在边BC上的点。处；再折叠纸片，使点C与点。重合，若折痕与4C的交

点为E,则AE的长是()

B

【答案】A

【分析】根据题意可得AO=AB=2,ZB=ZADB,CE=DE,∕C=∕CDE,可得NADE

=90°,继而设4E=x,!JIlJCE=DE=3^χf根据勾股定理即可求解.

【详解】解：:沿过点A的直线将纸片折叠，使点8落在边BC上的点。处，

ΛAD=AB=2,NB=NADB,

・・・折叠纸片，使点C与点。重合，

：.CE=DE.ZC=ZCDEf

VZBAC=90°,

ΛZB+ZC=90°,

NADB+NCDE=90。,

.β.NAoE=90。，

222

/.AD+DE=AEf

AE=x,则CE=OE=3-小

Β2,22

..2+(3-A)=xt

13

解得χ=9

0

13

即AE=-

6

故选A

24.如图，三角形纸片ABC,点。是3C边上一点，连接AD,把AABQ沿着AO翻折，得

≡∣J∆AED,OE与AC交于点G,连接BE交AD于点F.若DG=GE,AF=6,BF=4,ΔADG

的面积为8,则点F到BC的距离为()

A

【答案】C

【分析】先求出AABO的面积，根据三角形的面积公式求出QR设点尸到8。的距离为儿

根据g∙B∕>∕7=g∙8F∙f)F,求出84即可解决问题.

【详解】解：YDG=GE,

ΛS∆AOG=SAAEG=8,

ΛS∆AoE=I6,

由翻折可知，AADB也zλACE,BELAD,

.∙.SAABO=S△A。E=I6,NBFD=90。,

.∙.∣∙(AF+DF)∙BF=16,

Λy∙(6+DF)×4=16,

DF=2,

DB=√BF2+DF2=√42+22，

设点F到BD的距离为6,则有T∙BO∙∕z=ɪ∙BF∙DF,

••2>/5h=4x2,

仁喧

5

，点尸到BC的距离为拽.

5

故选：C

Ml■■■■■■Ml■IMMiI■■Mi■J

题型四勾股定理的证明方法

_______________________________I

25.根据图形(图1,图2)的面积关系，下列说法正确的是()

A.图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式

B.图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理

C.图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式

D.图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理

【答案】B

【分析】结合图形分别表示出图1与图2的面积等式，即可得出结果.

【详解】解：图1的面积关系表示为：

(a+b)(a-b)=a2-b2,为平方差公式；

图2的面积表示为：

(i7+⅛)2-∙ɪ×4Λ⅛=C2,

化筒得：a2+b2=c2,为勾股定理;

故选：B.

26.如图，将正方形ABCD剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分)，得到边长为

的四边形EFGH.下列等式成立的是()

A.a+b=c

B.c2=(a+h)2-4ah

C.c2=[a+b)(a-b)

D.a2+b2=C2

【答案】D

【分析】用两种方法表示剩下正方形的面积，列出等式，化简即可得到答案.

2

【详解】解：由图可得剩下的正方形的面积为：(α+⅛)-4×la⅛,

根据正方形面积公式，剩卜的正方形面积也可以表示为：Cz,

ʌ1

222

.∙.(a+⅛)^-4×-ab=c,化简得储+b=c,

故选：D.

27.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四

幅图中不能证明勾股定理的是()

【答案】D

【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为C的等腰直角三角形面积和

等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A,

利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和

为边正方形面积推导勾股定理可判断B,

利用以a与(a+b)为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以C

为边正方形面积推导勾股定理可判断C,

利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D.

【详解】解:A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为C的等腰直角三角形面

积和等于上底为&下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故gα6+gab+∕c2=g(α+32,整理得：

a1+b2=c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和

为边正方形面积，故4xg而+c∙2=(α+b)2,整理得：a2+b2=c2,即能证明勾股定理，故

本选项不符合题意；

C、以a与(a+b)为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以C

为边正方形面积，4×^a(a+b)+b2=c2,整理得：a2+b2=c∖即能证明勾股定理，故本

选项不符合题意；

D、四个小图形面积和等于大正方形面积，2妨+/+6=(4+6)2,根据图形证明完全平方

公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意;

故选：D.

28.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种

根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验

证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是()

(1

A.统计思想B.分类思想C.数形结合思想D.函数思想

【答案】C

【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可.

【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，

如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，

由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想，

故选：C.

29.观察“赵爽弦图”(如图)，若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为α,b,a>b,

根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式()

A.a{a-b)=a1-abB.[a+b)[a-b)=a1-b^

C.(α-⅛)2=a2-2ah+h2D.(a+b)2=a1+2ah+b2

【答案】C

【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积可得问题的答

案.

【详解】标记如下：

:方彩WN一°正方形AZ)Co2R∣ABN>

.,.(4-b)2=a2+b2-4×-ab

2

=a2-2ab+b2.

故选：C.

题型五勾股定理的实际应用

30.一架长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为6米，如果梯子的

顶端沿墙壁下滑1米,那么梯子的底端向后滑动的距离（）

A.等于1米D.不能确定

【答案】C

【详解】如图，在AABC中，ZACB=90o,AB=IO米，AC=6米,

由勾股定理得BC=8米，

△A∣BC∣中，ZC=90o,AlBl=IO米，A∣C=5米，由勾股定理得B∣C=5√^米，

ʌBBι=BιC-BC=5-8≈0.66（米），

故选C.

31.我国古代数学著作《九章算术》中记载这样一个问题，原文是：“今有立木，系索其末,

委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何?''译文为；"现在有一根直立的木柱，

用一根绳索绑住木柱的顶端，另一端自由下垂，则绳索比木柱多三尺；将绳索的另一端靠地

拉直，此时距离木柱的底端八尺，问这条绳索的长度是多少?”根据题意，求得绳索的长度是

()

A.9^尺B.9尺C.12尺D.12,尺

66

【答案】D

【分析】设木柱长度为X尺，则绳索长度为（Λ+3）尺，根据题意利用勾股列方程即可求解.

【详解】解：设木柱长度为X尺，则绳索长度为（x+3）尺，

根据题意可得:X2+82=（X+3）2,

解得：户学.

O

.*.x+3=I2-^∙,

6

故绳索长度为12二尺.

O

故选：D.

32.如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折

高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=十尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好

抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度.设竹子折断处离地面X尺，根据

题意，可列方程为()

A.X2+62=102B.So-X)2+62≈√

C.X2+(Io-X)2=62D.x2+62=(IO-Jt)2

【答案】D

【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面X尺，则斜边为(10-x)

尺，利用勾股定理解题即可.

【详解】解：设竹子折断处离地面X尺，则斜边为(IO-x)尺，

根据勾股定理得：√+62=(10-x)2.

故选D

33.小颖的妈妈用如图的口杯喝花茶，由于吸管有点短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的内

径6cm,口杯内部高度9cm,要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要()cm.

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【分析】根据勾股定理即可求得.

【详解】解：如图：连接AC

a，

/

c<_九

故要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要的长度是线段AC的长度

由题意可知：BC-6cm,48=9Cm

在Rt∕∖ABC中，AC=JAB2+BC2=√92+62=3√13(cw)

,∖∕l3≈3.6

:.3√13≈3×3.6=10.8

，要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要IICm

故选：C

34.如图，一艘海轮位于灯塔尸的北偏东30。方向，距离灯