（人教A版2019必修第二册）数学《考点题型 技巧》精讲与精练高分突破 6.2.4 向量的数量积【附答案详解】

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册)6.2.4向量的数量积【考点梳理】考点一两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.2.垂直：如果a与b的夹角是eq\f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b.考点二向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.考点三投影向量在平面内任取一点O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq\o(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.考点四平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则(1)a·e＝e·a＝|a|·cosθ. (2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a∥b时，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.考点五平面向量数量积的运算律1.a·b＝b·a(交换律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).【题型归纳】题型一：向量的数量积的定义和几何意义1．（2023·江西·九江一中高一期中）向量在向量上的射影为（）A． B． C． D．2．（2023·江西·宜春九中高一阶段练习）已知，且，则在方向上的投影为（）A． B．1 C． D．3．（2023·广东汕尾·高一期末）在三角形中，已知，，点满足，则向量在向量方向上的投影向量为（）A． B． C． D．题型二：数量积的运算4．（2023·北京市西城区教委高一阶段练习）设为平面向量，则“存在实数，使”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2023·全国·高一课时练习）已知、、不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（）．A． B．C． D．6．（2023·江西·九江一中高一阶段练习）已知向量、满足，与的夹角为，则（）A． B． C． D．、题型三：数量积和模关系问题7．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（）．A．1 B． C． D．8．（2023·全国·高一课时练习）若向量与的夹角为60°，，，则（）A．2 B．4 C．6 D．129．（2023·河北·正定中学高一阶段练习）已知平面向量，则的最大值（）A． B． C． D．题型四：向量夹角的计算10．（2023·全国·高一课时练习）若向量，满足，且，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．11．（2023·河北·张家口市第一中学高一阶段练习）已知非零向量，满足，，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．12．（2023·云南省南涧县第一中学高一阶段练习）已知单位向量，满足，则与的夹角为（）A． B． C． D．题型五：垂直关系的向量表示13．（2023·江西·九江一中高一阶段练习）已知非零向量满足，与夹角的余弦值为，若，则实数（）A． B． C． D．14．（2023·云南·昆明市外国语学校高一阶段练习）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形15．（2023·江苏·南京市中华中学高一期中）已知平面向量，满足，，，的夹角为120°，且，则实数的值为（）A． B． C．2 D．3题型六：已知模求参数问题16．（2023·全国·高一课时练习）已知平面向量，，且，则（）A．1 B．2 C． D．417．（2023·江苏·高一期中）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．18．（2023·浙江浙江·高一期末）设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数，无最小值，则以下说法正确的是（）A．若和确定，则唯一确定B．若和确定，则有最大值C．若确定，则D．若不确定，则与的大小关系不确定【双基达标】一、单选题19．（2023·全国·高一课时练习）命题：“向量与向量的夹角为锐角”是命题：“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件20．（2023·全国·高一课时练习）若，，，的夹角为135°，则（）A． B． C． D．1221．（2023·全国·高一课时练习）已知，，且，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．22．（2023·全国·高一课时练习）两个非零向量、互相垂直的充要条件是（）．A． B．C． D．23．（2023·上海·高一课时练习）设是两个非零向量，则下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则存在实数λ，使得 D．若存在实数λ，使得，则24．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，BE＝EC，AF＝2FC，则||＝（）

A． B． C． D．25．（2023·全国·高一单元测试）已知向量，，若，则＝（）A．2 B．3 C．4 D．526．（2023·吉林·延边二中高一阶段练习）给出下列命题，其中错误的命题的个数是（）①若，则是钝角②若且，则③若，则可知④若是等边三角形，则与的夹角为A．4 B．3 C．2 D．1【高分突破】一：单选题27．（2023·全国·高一课时练习）在平行四边形中，已知，则（）A． B． C． D．28．（2023·全国·高一课时练习）若，且，则与所在直线的夹角为（）A． B． C． D．29．（2023·全国·高一课时练习）若向量，，均为单位向量，且，则的最小值为（）A． B．1 C． D．30．（2023·广东·东莞市光明中学高一阶段练习）下列命题中，不正确的是（）A． B．C． D．与共线31．（2023·广东白云·高一期末）已知，，与的夹角为，则（）A． B．72 C．84 D．32．（2023·安徽·合肥艺术中学高一阶段练习）如图，是边长为4的正方形，若，且为的中点，则（）A．3 B．4 C．5 D．633．（2023·黑龙江·哈尔滨市教育局高一阶段练习）已知平面向量与满足，，，则与的夹角等于（）A． B． C． D．34．（2023·全国·高一课时练习）在中，点M是的中点，，点P在上，且满足，则等于（）A． B． C． D．二、多选题35．（2023·广东广州·高一期末）已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法正确的是（）A．若，则O是外心 B．若，则P是垂心C．若，则N是重心 D．若，则I是内心36．（2023·广东·仲元中学高一期中）已知､是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（）A．､的夹角是 B．､的夹角是C． D．37．（2023·广东高州·高一期末）已知向量，，满足，且，，向量与，与，与的夹角都是，则的值可能为（）A． B． C． D．138．（2023·全国·高一课时练习）在中，，P为线段上任意一点，则的可能值有（）A． B． C．2 D．339．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）是的重心，，，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A．B．在方向上的投影向量等于C．D．的最小值为-140．（2023·广东·忠信中学高一阶段练习）给出下列命题，其中正确的选项有A．非零向量、满足，则与的夹角为B．若，则为等腰三角形C．若单位向量的、的夹角为，则当取最小值时，D．若，，，为锐角，则实数的取值范围是三、填空题41．（2023·北京·日坛中学高一期中）设向量满足，则___________.42．（2023·全国·高一课时练习）已知，与的夹角大小为，则______．43．（2023·全国·高一课时练习）已知向量与满足，，与的夹角大小为60°，则______．44．（2023·云南·昆明八中高一阶段练习）已知菱形的边长为2，，点､分别在直线､上，，若，则实数的值为___________.45．（2023·全国·高一课时练习）在正三角形ABC中，下列各等式成立的是________．（填序号）①；②；③；④．四、解答题46．（2023·全国·高一课时练习）（l）求证：；（2）已知向量、满足：，，，求的值．47．（2023·全国·高一课时练习）在等腰三角形ABC中，，，D为BC的中点．（1）求在上的投影向量；（2）求在上的投影向量．48．（2023·湖南·嘉禾县第一中学高一阶段练习）已知，与的夹角为，设．（1）求的值；（2）若与的夹角是锐角，求实数t的取值范围．49．（2023·全国·高一课时练习）（1）在中，，，，求，，的值.（2）已知，两个向量，，，，求在方向上的投影与数量投影．50．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，的夹角为，且，，（其中）．当取最小值时，求与的夹角的大小．【答案详解】1．D【详解】向量在向量上的射影为，故选：D2．A【详解】由题意，，所以在方向上的投影．故选：A．3．B【详解】由可得：，即，可得，所以，如图设的中点为，则，由可得，所以，所以，所以向量在向量方向上的投影向量为：，因为，所以，所以向量在向量方向上的投影向量为，故选：B.4．C【详解】若存在实数，使，则，，即，故充分性成立；若，则，即，即，即同向，故存在实数，使，故必要性成立.所以“存在实数，使”是“”的充分必要条件.故选：C.5．B【详解】A：，A正确；B：设，则，设，则，因为与非零不共线，所以一般情况下，故B错误；C：向量数乘的数量积满足结合律，C正确；D：数量积满足交换律，D正确；故选：B6．C【详解】因为，与的夹角为，所以，故选：C7．D【分析】根据已知条件和算出答案即可.【详解】因为，，与的夹角为，所以，即故选：D8．C【分析】由平面向量的数量积的性质求解即可【详解】因为向量与的夹角为60°，，，所以，即，所以，解得或（舍），故选：C9．A【分析】根据数量积公式，转化为，再利用求根公式求的最大值.【详解】，所以，是向量和的夹角，所以，当时，.故选：A10．B【分析】由已知条件结合数量积公式化简即可求解.【详解】因为，，即，，求得，所以向量与的夹角为.故选：B11．A【分析】利用向量的夹角公式即可求解.【详解】因为，所以，即.设与的夹角为，因为，，所以，解得：.因为，所以.故选：A.12．D【分析】根据平面向量数量积的定义将化简，进而求出与的夹角，然后再求出和，最后通过夹角公式求得答案.【详解】设与的夹角为，由，所以，即，且，解得，.所以，，所以，故与的夹角为.故选：D.13．A【分析】根据向量垂直关系和数量积运算公式，可得关于x的方程，解得x.【详解】由可设，则.因为，所以，又，所以.故选：A.14．A【分析】首先在中，取的中点，连接，根据得到，从而得到，即可得到答案.【详解】在中，取的中点，连接，如图所示：因为，所以，所以，即，即.又因为中是否有直角不确定，和是否相等也无法确定，所以为等腰三角形.故选：A15．D【分析】根据，，，的夹角为120°，求得，再根据得，从而即可得出答案.【详解】解：因为，，，的夹角为120°，所以，又因为，所以，即，解得.故选：D.16．C【分析】由题意，先求出两向量与的坐标，再由模长公式建立方程，即可解得的值.【详解】因为，，所以，，又，可得，即，整理得：，解得：.故选：C17．A【分析】根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为恒成立，然后结合函数的恒成立，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，非零向量的夹角为，且，则，不等式对任意恒成立，所以，即，整理得恒成立，因为，所以，即，可得，即实数的取值范围为.故选：A.【点睛】求平面向量的模的两种方法：1、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算；2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.18．B【分析】令，其对称轴为，结合题意要使得无最小值，则对称轴不在，从而可得或，进而可选出正确答案.【详解】由题意知，，令，则函数的图象的对称轴为，因为无最小值，所以或，所以或，所以和确定，则有最大值故选：B．【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用二次函数的性质，分析对称轴的位置，从而得出和确定，则有最大值.19．A【分析】由充分条件和必要条件的定义结合数量积运算分析判断【详解】若向量与向量的夹角为锐角，则，当时，向量与向量的夹角可能为，所以命题是命题的充分不必要条件，故选：A20．B【分析】利用平面向量数量积的定义求解.【详解】因为，，且，的夹角为135°，所以，故选：B21．C【分析】由先求出，先表示出在上的投影，再结合投影向量概念即可求解.【详解】因为，所以，即，又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：，所以在上的投影向量为.故选：C22．C【分析】根据题意，结合和垂直时，以及向量的数量积公式，一一判断即可.【详解】对于选项A，若和垂直，则，故A错误；对于选项B，由，得，即，无法得到和垂直，故B错误；对于选项C，由，得，即，因此和垂直，故C正确；对于选项D，由，得，即和的夹角为，不满足题意，故D错误.故选：C.23．C【分析】利用向量的数量积的运算法则，数量积的定义，向量共线定理即可判断.【详解】对于A，若，则，得，∴不垂直，故A错误；对于B，由A解析可知，故B错误；对于C，若，则，得，则，则与反向，因此存在实数λ，使得，故C正确；对于D，若存在实数λ，使得，则，，若，则，故D错误.故选：C24．C【分析】利用已知条件把转化为与，然后利用向量模的运算法则，化简求解即可．【详解】∵，∴.故选：C．25．A【分析】由题意可求出，根据可得到并化简，结合和即可求出.【详解】故选：A．26．B【分析】根据向量夹角，向量基本定理，数量积的运算律，即可判断选项.【详解】①当时，，故①不正确；②若，当时，或，故②不正确；③，即，故③正确；④若是等边三角形，则与的夹角为，故④不正确.故选：B27．B【分析】根据给定条件可得，再借助数量积即可求出.【详解】在平行四边形中，，因，于是得，所以.故选：B28．A【分析】设,则,,由可得,则是等边三角形,进而求解即可.【详解】设,以为邻边作平行四边形,如图所示,则,,∵，∴，∴是等边三角形，∴,在菱形中,对角线平分，∴与所在直线的夹角为.故选：A.29．A【分析】对进行平方，根据题意可得，当最小时，取得最小值.【详解】因为，所以∴则当与反向时最小，最小，此时=，所以=，所以的最小值为，故选：A.30．D【分析】利用向量的数量积公式可判断A；利用向量的数量积运算律可判断BC；利用向量共线可判断D【详解】对于A，利用数量积公式知，即，故A正确；对于B，满足向量的数乘结合律，故B正确；对于C，满足向量的分配律，故C正确；对于D，与共线，则与同向或反向，当与同向时，；当与反向时，，故D错误；故选：D31．A【分析】由向量数量积的定义计算即可求解.【详解】因为，，与的夹角为，所以，则，故选：A.32．C【分析】利用基底法，即可求解.【详解】解：,,,故选：C33．B【分析】由得进一步化简即得解.【详解】因为，所以所以.所以，因为.故选：B34．A【分析】由，，可得，由点M是的中点，可得，代入中计算可得答案【详解】因为，点P在上，且满足，所以，因为点M是的中点，所以，所以，故选：A35．ABC【分析】根据三角形外心、垂心、重心和内心的定义，结合平面向量的运算即可求得答案.【详解】根据外心的定义，易知A正确；对B，，同理可得：，所以P是垂心，故B正确；对C，记AB、BC、CA的中点为D、E、F，由题意，则，同理可得：，则N是重心，故C正确；对D，由题意，，则I是垂心，故D错误.故选：ABC.36．ABD【分析】根据条件知，的最小值为，结合二次函数与方程的特点可求出的夹角为或，从而求出的值．【详解】，是两个单位向量，且的最小值为，的最小值为，的最小值为，即在上有唯一一个解，所以，所以与的夹角为或，所以正确，或3，或，所以正确，故选：．37．AD【分析】设与的夹角为，由，解得，由数量积夹角公式计算即可求得结果.【详解】设与的夹角为，则，得，解得．又与的夹角都是，而，，，所以，解得或，故选：AD．38．CD【详解】设，则，因为,所以因为，所以，所以的取值范围为，故选：CD39．AC【详解】A：当点为的重心时，如图所示：四边形为平行四边形，根据重心性质可得.则，∴A正确，B：∵在方向上的投影为，∴在方向上的投影向量为，∴B错误，C：∵是的重心，∴，，∴，∴C正确，D：当与重合时，∵，与的最小值为矛盾∴D错误，故选：AC．40．ABC【分析】直接利用向量的线性运算，向量的夹角的运算，向量的模，向量的夹角运算判断、、、的结论．【详解】解：对于：非零向量、满足，令：，，则，，由于，如图所示：所以四边形为菱形，且为等边三角形；所以，，则与的夹角为，故正确．对于：由于，所以，所以为等腰三角形，故正确．对于：