六年级奥数知识试题「分解质因数」

第第页六年级奥数知识试题「分解质因数」

质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不肯定是质数，例如，15，33，.

例1○+(□+△)=209.

在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.

解：209可以写成两个质数的乘积，即

209=1119.

不论○中填11或19，□+△肯定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定△内填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17.

这个算式是11(17+2)=209，

11(2+17)=209.

解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成假设干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲解并描述的主要内容.

一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数.

任何一个合数，假如不考虑因数的顺次，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如

360=222335.

还可以写成360=23325.

这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方.

例2有四个同学，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的'年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少?

解：我们先把5040分解质因数

5040=243257.

再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：

243257=78910.

所以，这四名同学的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.

利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数(包括1和它本身).为寻求一般方法，先看一个简约的例子.

我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，假如一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.

由于24=233，所以24的约数是23的约数(1，2，22，23)与3的约数(1，3)之间的两两乘积.

11，13，21，23，221，223，231，233.

这里有42=8个，即(3+1)(1+1)个，即对于24=233中的23，有(3+1)种选择：1，2，22，23，对于3有(1+1)种选择.因此共有(3+1)(1+1)种选择.

这个方法，可以运用到一般情形，例如，

144=2432.

因此144的约数个数是(4+1)(2+1)=15(个).

例3在100至150之间，找出约数个数是8的全部整数.

解：有8=7+1;8=(3+1)(1+1)两种状况.

(1)27=128，符合要求，

37150，所以不再有其他7次方的数符合要求.

(2)23=8，

813=104，817=136，符合要求.

33=27;

只有275=135符合要求.

53=135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：128，104，135，136.

利用质因数的分解可以求出假设干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如

720=24325，168=2337.

那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是23，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是

233=24.

在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请留意720中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是

243257=5040.

例4两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少?

解：180=22325，

30=235.

对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2;从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是

90=2325.

就知道另一数是

2235=60.

还有一种解法：

另一数肯定是最大公约数30的整数倍，也就是在