计算机电路基础 第3版 课件 第2章 正弦稳态电路的相量分析法

第2章正弦稳态电路的相量分析法2.1正弦电路的基本概念2.2正弦量的相量表示2.3R、L、C伏安关系的相量形式2.4复阻抗与复导纳及正弦电路的相量分析法

2.5正弦交流电路的功率2.6RLC串联谐振电路2.7三相电路

2.8互感耦合电路

2.1.1正弦量的三要素

正弦量的瞬时值：一个周期内，正弦量在不同瞬间具有不同的值，将此称为正弦量的瞬时值，一般用小写字母如i（tk

）、u（tk

）或i、u来表示时刻正弦电流、电压的瞬时值。

解析式：表示正弦量的瞬时值随时间变化规律的数学式叫做正弦量的瞬时值表达式，也叫解析式，用i（t），u（t）或i、u表示。正弦曲线：表示正弦量的瞬时值随时间变化规律的图像叫正弦量的波形。右图所示为一个正弦电压的波形。正弦电压、电流的解析式可写为

2.1正弦交流电路的基本概念正弦电压的波形

一个正弦量是由振幅、角频率和初相来确定的，称为正弦量的三要素。它们分别反映了正弦量的大小、变化的快慢及初始值三方面的特征。

1、振幅Um（或Im）正弦量瞬时值中的最大值叫振幅，也叫峰值，振幅用来反映正弦量的幅度大小。有时提及的峰-峰值是指电压正负变化的最大范围，即等于2Um。必须注意，振幅总是取绝对值，即正值。

2、角频率ω

角频率ω是正弦量在每秒钟内变化的电角度，单位是弧度/秒（rad/s）。正弦量每变化一个周期T的电角度相当于2π电弧度，因此角频率ω与周期T及频率f的关系如下：

周期和频率：周期是交流电完成一个循环所需要的时间，用字母T表示，电位为秒（s）。单位时间内交流电循环的次数称为频率，用f表示，频率与周期互为倒数关系。频率的单位为1/秒，又称赫兹（Hz），工程实际中常用的单位还有kHz、MHz及GHz，等，相邻两个单位之间是103进制。

工程实际中，常以频率区分电路，如高频电路、低频电路。我国和世界上大多数国家，“工频”都是f=50Hz，其周期为0.02s，少数国家（如美国、日本）的工频为60Hz。在其他技术领域中也用到各种不同的频率，如声音信号的频率为20～20000Hz，广播中频段载波频率为535～1605Hz，电视用的频率以MHz计，高频炉的频率为200～300kHz，目前无线电波中频率最高的是激光，其频率可达106MHz（即1GHz）以上。角频率ω、周期T、频率f都可用来反映正弦量随时间变化得快慢。

3、相位和初相

(1)相位在正弦量的解析式中的（ωt+θ）是随时间变化的电角度，它决定了正弦量每一瞬间的状态，称为正弦量的相位，单位是弧度（rad）或度（o）。

(2)初相初相是正弦量在t=0时刻的相位，用θ表示，规定|θ|≤π。初相反映了正弦量在t=0时的状态。需要注意，初相的大小、正负与计时起点（即t=0时刻）的选择有关，选择不同，初相则不同，正弦量的初始值也随之不同。

初相的确定方法：下图给出了几种不同计时起点的正弦电流的波形。由波形可以看出在一个周期内正弦量的瞬时值两次为零。现规定：靠近计时起点最近的，并且由负值向正值变化所经过的那个零值叫做正弦量的零值，简称正弦零值。正弦量初相的绝对值就是正弦零值到计时起点（坐标原点）之间的电角度。初相的正负这样判断：看正弦零值与计时起点的位置，若正弦零值在计时起点之左，则初相为正，如图（a）所示；若在右边，则为负值，如图（b）所示；若正弦零值与计时起点重合，则初相为零，如图（c）所示。正弦量的初相与波形的对应关系2.1.2相位差

两个同频率正弦量的相位之差，称为相位差，用

表示。同样规定|

|≤π。现有两个同频率的正弦电流

它们的相位差为

【表明】:两个同频率正弦量的相位之差等于它们的初相之差。相位差不随时间变化，与计时起点也没有关系。通常用相位差

的量值来反映两同频率正弦量在时间上的“超前”和“滞后”关系。用相位差判断相位关系的方法：①若

=θ1

-θ2

＞0，表明i1（t）超前i2（t），超前的角度为

；②若

=θ1

-θ2

＜0，表明i1（t）滞后i2（t），滞后的角度为|

|。

同频率正弦量的相位差有3种特殊的情况。（1）

=θ1

-θ2

=0，称电流i1（t）与i2（t）同相；（2）

=θ1

-θ2

=±π/2，称电流i1（t）与i2（t）正交；（3）

=θ1

-θ2

=±π，称电流i1（t）与i2（t）反相。

【补充例题】已知正弦电压、电流的解析式为

u（t）=311sin（70t-180o

）V

i1（t）=5sin（70t-45o

）A

i2（t）=10sin（70t+60o

）A试求电压u（t）与电流i1（t）和i2（t）的相位差并确定其超前滞后关系。

图2-1同频率正弦电流的相位差

解：电压u（t）与电流i1（t）的相位差为

=（-180o）-（-45o

）=

-135o＜0所以u（t）滞后i1（t）135o。电压u（t）与电流i2（t）的相位差为

=-180o-60o=

-240o由于规定|

|≤π，所以u（t）与i2（t）的相位差应为

=

-240o+360o=120o＞0，因此u（t）超前i2（t）120o

。

参考正弦量：同频率正弦量的相位差不随时间变化，即与计时起点的选择无关。在同一电路中有多个同频率正弦量时，彼此间有一定的相位差。为了分析方便起见，通常将计时起点选得使其中一个正弦量的初相为零，这个被选初相为零的正弦量称为参考正弦量。其它正弦量的初相就等于它们与参考正弦量的相位差。同一电路中的正弦量必须以同一瞬间为计时起点才能比较相位差，因此一个电路中只能选一个正弦量为参考正弦量。这与在电路中只能选一点为电位参考点是同一道理。*有效值

正弦量的有效值是根据它的热效应确定的。以正弦电压u（t）为例，它加在电阻R两端，如果在一个周期T内产生的热量与一个直流电压U加在同一电阻上产生的热量相同，则定义该直流电压值为正弦电压u（t）的有效值。据此定义有：

如果正弦电压u（t）的解析式为u（t）=Umsin（ωt+θu

），则其有效值U为：

同理，正弦电流i（t）=Imsin（ωt+θi）的有效值I为:

正弦量的有效值为其振幅值的=0.707倍。应该注意，此关系只适用于正弦量。非正弦周期量的有效值与最大值之间不存在这个关系，要按有效值的定义进行计算。通常习惯上用正弦量的有效值表示正弦量大小即幅度，因此有效值可代替振幅作为正弦量的一个要素。有效值的广泛应用：常用的交流仪表所指示的数字均为有效值。交流电机和交流电器铭牌上标的电压或电流也都是有效值。当交流电压表测量出电网电压的读数值（有效值）为220V时，用峰值电压表测出的读数值应为Um=311V。交流电路中使用电容器、二极管或交流电器设备时，电容器的耐压、二极管的反向击穿电压、交流设备的绝缘耐压等级等，都要根据交流电压的最大值来考虑。

【补充例题】一个正弦电流的初相为，在

时电流的值为8.66A，试求该电流的有效值。

解：设此正弦电流的解析式为

i（t）=Imsin（ωt+θi）A已知θi

=，时，i=8.66A，所以可得

求得电流振幅为所以此正弦电流的有效值为

相量表示法的引入：解析式和正弦曲线，这两种表示方法都能反映正弦量的瞬时值随时间变化的关系，但是用这两种方法去分析和计算正弦电路就比较繁琐。为了便于正弦量之间的计算，引入了正弦量的第三种表示方法——相量表示法。相量表示法，实际上采用的是复数表示形式，因此，为了更好地掌握相量表示法，首先复习复数的有关知识。2.2.1复数的表示形式及运算规则

复数与复平面上的点一一对应，此时复数可用点的横纵坐标，即复数的实部、虚部来描述；复数与复平面上有向线段（复矢量）也具有一一对应关系，此时复数可用该线段的长度和方向角，即复数的模和辐角来描述。图2-2所示直角坐标系中，实轴（+1）和虚轴（+j）组成一个复平面，该复平面内，点A的坐标为（a，b），复矢量的长度、方向角分别为r、θ，则它们之间的关系为：2.2正弦量的相量表示图2-2复平面1.复数的表示形式（1）代数形式其中j叫做虚数单位，且

j2

=-1，。（2）三角函数形式（3）指数形式

指数形式是根据欧拉公式“”得到的。（4）极坐标形式

2．复数的运算规则

复数相加或相减时，一般采用代数形式，实部、虚部分别相加减。复数相加或相减后，与复数相对应的矢量也相加或相减。在复平面上进行加减时，其矢量满足“平行四边形”或“三角形”法则。复数相乘或相除时，以指数形式和极坐标形式进行较为方便。两复数相乘时，模相乘，辐角相加；复数相除时，模相除，辐角相减。2.2.2正弦量的相量表示及相量图

正弦量的相量表示：一个正弦电压u（t），电流i（t）的解析式与其对应的相量形式有以下关系：

关于正弦量的相量表示，需注意以下几点：（1）正弦量的相量形式一般采用的是复数的极坐标表示形式，正弦量与其相量形式是“相互对应”关系（即符号“”的含义），不是相等关系。（2）若已知一个正弦量的解析式，可以由有效值及初相写出其相量形式，这时角频率ω是一个已知的要素，但ω不直接出现在相量表达式中。（3）后面关于正弦电路的分析均采用相量分析法。所谓相量分析法，就是把正弦电路中的电压、电流先表示成相量形式，然后用相量形式进行运算的方法。由前面分析可知，相量分析法实际上利用了复数的四则运算。

相量图：和复数一样，正弦量的相量也可以用复平面上一条带方向的线段（复矢量）来表示。我们把画在同一复平面上表示正弦量相量的图称为相量图。只有同频率的正弦量，其相量图才能画在同一复平面上。在相量图上，能够非常直观地表示出各相量对应的正弦量的大小及相互之间的相位关系。为使图面清晰，有时画相量图时，可以不画出复平面的坐标轴，但相位的幅角应以逆时针方向的角度为正，顺时针方向的角度为负。

【例2-1】写出下列各正弦量的相量形式，并画出相量图。

u1（t）=10sin（100πt+60o

）V

u2（t）=-6sin（100πt+135o

）V

u3（t）=5cos（100πt+60o

）V

解：因为

u2（t）=-6sin（100πt+135o

）=6sin（100πt+135o

–180o）=6sin（100πt-45o

）V

u3（t）=5cos（100πt+60o

）=5sin（100πt+60o+90o

）=5sin（100πt+150o

）V所以其相量图如图2-3所示。图2-3例2-1图2.3.1电阻元件2.3R、L、C各元件伏安关系的相量形式

图2-4电阻元件正弦电路

图2-4（a）所示为一纯电阻电路，选取电阻元件的电压、电流为关联方向，根据欧姆定律不难推出电阻元件电压u与电流i的关系如下：（1）电压与电流的频率关系：同频率。（2）电压与电流的大小关系：U = RI。（3）电压与电流的相位关系：（电压与电流同相）。由以上结论可以推出电阻元件电压与电流的相量关系式为2.3.2电感元件图2-5电感元件正弦电路1.电压、电流关系（1）电压与电流的频率关系：同频率。（2）电压与电流的大小关系：。（3）电压与电流的相位关系：（电压超前电流90°或电流滞后电压90°）。2．感抗

电感元件上电压与电流的有效值之比为ωL，ωL称为电感元件的感抗，用XL表示。感抗的表达式为

感抗的单位是欧姆（Ω），用来表征电感元件对正弦电流阻碍作用的大小。在L确定的条件下，XL与ω成正比，由此可知，电感具有“通低频、阻高频”的特点。3．电压、电流的相量关系式根据正弦电路中电感元件电压与电流的关系（大小和相位关系），可以推出电感元件电压与电流的相量关系式： 2.3.3电容元件1．电压、电流关系图2-6（a）选取电容元件的电压、电流为关联方向，根据电容元件电压、电流的瞬时值关系式，不难推出电容元件u与i之间存在如下关系：（1）电压与电流的频率关系：同频率。（2）电压与电流的大小关系：。（3）电压与电流的相位关系：（电压滞后电流90°或电流超前电压90°）。图2-6电容元件正弦电路2．容抗

电容元件上电压与电流的有效值之比称为电容元件的容抗，用XC表示。容抗的表达式为

容抗的单位是欧姆（Ω），用来表征电容元件对正弦电流阻碍作用的大小。在电容C确定的条件下，XC与ω成反比，据此可知电容具有“通高频、阻低频”以及“通交隔直”的特点。3．电压、电流的相量关系式据正弦电路中电容元件电压、电流的关系（大小和相位关系），可以推出电容元件电压与电流相量关系式： 2.4.1复阻抗

2.4复阻抗与复导纳及正弦电路的相量分析法

图2-7正弦电路（1）复阻抗的定义式：R、L、C各元件的复阻抗分别为：，

（2）复阻抗的代数式：（3）复阻抗的极坐标形式：

阻抗：∣Z∣为复数阻抗Z的模，也称电路的阻抗。它反映了正弦电路对电流的阻碍作用大小。∣Z∣只与元件参数及频率有关，与电压、电流无关。阻抗角：

为复阻抗的辐角，又称电路的阻抗角。它是在关联参考方向下，端电压与端电流的相位差，即

=θu-θi。当XL＞XC即X＞0时，

＞0，端电压超前端电流

的电角度，此时电路呈干感性；当XL＜XC即X＜0时，

＜0，端电压滞后端电流∣

∣的电角度，此时电路呈容性；当XL

=XC即X=0时，

=0，端电压与端电流同相，此时电路呈电阻性。阻抗：阻抗角：2.4.2复导纳

复阻抗Z的倒数称为复导纳，用字母Y表示，单位是西门子（S）。有以下关系式：

对于有多个（两个以上）复阻抗并联的电路，用复导纳分析较为方便。根据复导纳与复阻抗的关系，可以得到得到关于复导纳的相关结论，此处不再赘述。

相量法分析正弦电路的具体步骤如下：

（1）画出与电路的时域模型相对应的相量模型。在电路的时域模型中，电路元件一般用R、L、C等参数来表征，u、i是正弦时间函数。而相量模型中，各元件要用其复阻抗（或复导纳）表示；电路中u、i用相量表示，参考方向不变；电路的拓扑结构不变。（2）写出已知正弦电压、电流对应的相量。（3）根据画出的相量模型，利用分析直流电阻电路方法，列出电路复数代数方程进行求解。最后，根据题目的需要，将求出的电压、电流相量转换成对应随时间变化的解析式。

【说明】：直流电阻电路的分析方法同样适用于正弦稳态电路，其公式在形式上是相同的。不同之处在于，直流电阻电路的分析是纯实数的运算，相对比较简单；而正弦电路的分析采用的是相量分析法，是相量的运算，要用到复数的运算规则，相对比较繁琐。

2.4.3正弦电路的相量分析法

【例2-2】图2-9（a）RLC串联电路中，已知电源电压uS（t）=10sin（2t）V，R=2Ω，L=2H，C=0.25F。试用相量法计算电路的等效复阻抗Z、电流i（t）和电压uR（t）、uL（t）、uC（t），作出相量图，并讨论该电路的性质。

解：作出与图（a）所示时域模型相对应的相量模型，如图（b）所示。写出已知正弦电压源uS的相量为：图2-9计算电路的等效复阻抗

求得端电流

由R、L、C各元件电压、电流的相量关系式得

根据以上电压、电流的相量得到相应的解析式

作出相量图如图2-8（c）所示。由于本例题中复阻抗的阻抗角

＞0，故电路的性质为感性。

【例2-3】图2-10（a）所示为正弦电源作用的有源二端网络，求其戴维南等效电路。图2-10

解：首先将

、-j1Ω、1Ω的并联组合等效变换为电压源模型，如图2-10（b）所示。可求得

由图2-10（b）求ab端开路电压为

求等效复阻抗Zeq，图（a）中电流源均用开路代替，如图（c）所示。则

求得戴维南等效电路如图2-10（d）所示。【补充例题】电路如下图（a）所示，已知uS（t）=4sin（3t+45o）V，R1=R2=2Ω，L=1/3H，C=1/6F。试求电路中的电流i（t）、iC（t）和iL（t），并作出相量图。

解：作出与图（a）所示时域模型相对应的相量模型，如图（b）所示。写出已知正弦电压源uS的相量为等效复阻抗为：则端电流为利用分流公式可得将求出的各电流相量写成解析式的形式为作出相量图如图2-9（c）所示。【补充例题】电路如图所示，端口电压为，试求各支路电流及电压。

解：图中注明的各段电路的复阻抗为电路的等效复阻抗为电路的总电流为

各支路电流为

各支路电压

2.5正弦交流电路的功率2.5.1瞬时功率和平均功率图2-11正弦二端网络

如图2-11所示二端网络的端电压、端电流为同频率正弦量，其解析式为

当u、i为关联方向时，可推出该二端网络的瞬时功率

其中是二端网络端电压与端电流的相位差。

平均功率是指周期性变化的瞬时功率在一个周期内的平均值，用P表示，单位瓦特（W），其表达式为

平均功率（又称有功功率）是一个重要的概念，实际中得到广泛使用。通常所说某个家用电器消耗多少瓦的功率，就是指它的平均功率，简称功率。根据平均功率表达式，，可求得电阻、电感、电容元件的平均功率分别为

上两式表明，在正弦稳态中，储能元件电感或电容的平均功率等于零，不消耗能量，与电源之间只是存在能量的交换作用，即在前半个周期吸收电源的功率并储存起来，后半个周期又将其全部释放，这种能量交换的速率用另外一种功率——无功功率来描述（见2.5.2节）。

2.5.2复功率、视在功率和无功功率二端网络吸收的复功率为电压相量与电流相量共轭复数的乘积.假设正弦电压、电流的相量表达式分别为：

复功率的实部正是有功功率，复功率的虚部称为无功功率，它反映了电源与单口网络内储能元件之间能量交换的速率，为与平均功率相区别，单位为乏（Var）。复功率的模||=UI称为视在功率，用S表示，即它表征一个电气设备的功率容量，为与其他功率相区别，用伏安（V • A）作为单位。例如，我们说某个发电机的容量为100kV • A，而不说其容量为100kW。显然，视在功率是二端网络所吸收平均功率的最大值。则电流相量的共轭复数为：则复功率为;2.5.3功率因数的提高

在交流电路中，负载多为感性负载，如常用的感应电动机、日光灯等。感性负载在工作时，接上电源后，要建立磁场，所以除了需要从电源取得有功功率外，还要从电源取得建立磁场的能量，并与电源做周期性的能量交换，这从前面的理论分析中可以得知。在二端网络电压、电流有效值乘积UI一定的情况下，二端网络吸收的平均功率P与的大小密切相关，表示功率的利用程度，称为功率因数，记为

，其表达式为

功率因数介于0和1之间，当功率因数不等于1时，电路中发生能量交换，出现无功功率，

角越大，功率因数越低，发电机发出的有功功率就越小，而无功功率就越大。无功功率越大，即电路中能量交换的规模越大，发电机发出的能量就不能充分为负载所吸收，其中一部分，在发电机与负载之间进行交换，这样，发电设备的容量就不能充分利用。例如，一台容量为100kVA的变压器，若负载的功率因数

=0.9，变压器能输出90kW的有功功率（即平均功率）；若功率因数

=0.6，变压器就只能输出60kW的有功功率。可见负载的功率因数低，电源设备的容量就不能得到充分利用。因此提高功率因数有很大的经济意义。常用的交流感应电动机在额定负载时，功率因数约在0.8～0.85，轻载时只有0.4～0.5，而在空载时仅为0.2～0.3，因此选择与机械配套的电机容量时，不宜选得过大，并且应在额定情况下工作，避免或尽量减少电机的轻载或空载。不装电容器的日光灯，功率因数约为0.45～0.6。提高电路的功率因数的方法：常用的方法是用电容器与感性负载并联，这样可使电感的磁场能量与电容的电场能量进行部分交换，从而减少了电源与负载间能量的交换，即减少了电源提供给负载的无功功率，进而提高功率因数。但是用电容来提高功率因数时，一般补偿到

=0.9左右，而不能补偿到更高，因为补偿到功率因数接近1时，所需的电容量大，反而不经济了。2.6.1谐振的概念及谐振条件

图2-11电路中，R、L和C组成串联电路，电路的等效阻抗为：

由上式可知，当正弦电压的频率ω变化时，电路的等效复阻抗Z随之变化。当时，复阻抗Z=R，串联电路的等效复阻抗变成了纯电阻，端电压与端电流同相，这时就称电路发生了串联谐振。可见，串联电路的谐振条件是：

或

2.6RLC串联谐振电路图2-11RLC串联谐振电路2.6.2串联谐振的基本特征根据谐振条件可得：谐振角频率：谐振频率：特性阻抗：（1）谐振时，复阻抗Z = R，呈现纯电阻，阻抗∣Z∣达到最小值。（2）谐振时，电路中电流最大，且与电压源电压同相。谐振时的电流为

（3）谐振时，电感和电容上的电压大小相等，相位相反，其大小都等于电源电压的Q倍，即其中：

品质因数：Q称为串联谐振电路的品质因数，它是衡量电路特性的一个重要物理量，它取决于电路的参数。谐振电路的Q值一般在50～200之间，因此外加电源电压即使不很高，谐振时电感和电容上的电压仍可能很大。

在无线电技术方面，正是利用串联谐振的这一特点，将微弱的信号电压输入到串联谐振回路后，在电感或电容两端可以得到一个比输入信号电压大许多倍的电压，这是十分有利的。但在电力系统中，由于电源电压比较高，如果电路在接近串联谐振的情况下工作，在电感或电容两端将出现过电压，引起电气设备的损坏。所以在电力系统中必须适当选择电路参数L和C，以避免发生谐振现象。

【补充例题】电路如图所示。已知uS（t）=10sin（w

t）V。求：（1）频率ω为何值时，电路发生谐振。（2）电路谐振时，UL和UC为何值。解：（1）电压源的角频率应为（2）电路的品质因数为

则

UL=UC=QUS=100×10=1000V

关于相制：每个正弦电源只有两个输出端子，输出一个电流或电压，习惯上称这种电路为单相交流电路。工农业生产中常会遇到“多相制”的交流电路，多相制电路是由多相电源供电的电路。多相电路以相的数目来分，可分为两相、三相、六相等。在多相制中，三相制有很多优点，所以它的应用最为广泛。目前世界上工农业和民用电力系统的电能几乎都是由三相电源提供的，日常生活中所用的单相交流电，也是取自三相交流电的一相。2.7.1三相电源三相发电机：概括地说，三相交流电源是三个单相交流电源按一定方式进行的组合。三相供电系统的三相电源是三相发电机。图2-12所示是三相发电机的结构示意图，它有定子和转子两大部分。定子铁心的内圆周的槽中对称地安放着三个绕组（线圈）AX、BY和CZ。A、B、C为始端；X、Y、Z为末端。三绕组在空间上彼此间隔120o。2.7三相电路图2-12三相发电机

转子是旋转的电磁铁。当转子恒速旋转时，AX、BY、CZ三绕组的两端将分别感应出振幅相等、频率相同的三个正弦电压uA（t）、uB（t）、uC（t）。如果指定它们的参考方向都由首端指向末端，则它们的初相彼此相差120o。若以作为参考相量，这三个电压相量为：

图2-13对称三相电源的相量图和波形图

对称三相电源：像这样由三个振幅相等、频率相同、相位彼此相差120o的三个单相正弦电源组合而成的电源称为对称三相正弦电源，简称对称三相电源。其中的每个单相正弦电源分别称为A相电、B相电和C相电，在工厂，通常在发电机的三相引出线及变、配电所中的三相母线上涂以黄、绿、红三种颜色，分别表示A、B、C三相。相序：三相电源的各相电压经过正峰值的先后次序，称为三相电压的相序。若上述三相电压的顺序是A-B-C-A时，称为正序，若为A-C-B-A时，称为负序。式（3.66）就是正序时三相电压的相量表达式。工程上通用的相序是正序，如果不加说明，都是指的这种相序。用户可以改变三相电源与三相电动机的连接方式来改变相序，从而改变三相电动机的旋转方向。2.7.2三相电源的连接

三相发电机的绕组共有6个端子，在实际应用中并不是分别引出和负载相连接的，而是连接成两种最基本的形式，即星形联接和三角形联接。1.星形联接将三相电源的每一个绕组的末端X、Y、Z连在一起，组成一个公共点N，对外形成A、B、C、N四个端子，这种联接形式称为三相电源的星形联接（也叫Y形联接），如图2-14（a）所示。图2-14三相电源的星形连接

端线：从三相电源的始端A、B、C引出的导线称为端线或火线。

中线：从中点N引出的导线称为中线或零线。

线电流：流出端线的电流称为线电流，表示为：。

相电流：每一相绕组中的电流称为相电流，表示为：。

线电压：端线与端线间的电压称为线电压，表示为：。

相电压：每相绕组两端的电压称为相电压，表示为：。星形联接时，线电流与相电流相等，线电压是相电压的倍，相位超前对应的相电压30o。

【应用】：因为三相电源的相电压对称，所以在三相四线制的低压配电系统中，可以得到两种不同数值的电压，即相电压220V与线电压380V。一般家用电器及电子仪器用220V，动力及三相负载用380V。

【注意】：由于发电机每组绕组本身的阻抗较小，所以当三相电源接成三角形时，其闭合回路内的阻抗并不大。通常因回路内uA+uB+uC=0，所以在负载断开时电源绕组内并无电流。如果三相电压不对称，或者虽然对称，但有一相接反，则uA+uB+uC≠0，即使外部没有负载，闭合回路内仍有很大的电流，这将使绕组过热，甚至烧毁。所以三相电源作三角形连接时必须严格按照每一相的末端与次一相的始端连接。2.三角形连接

对称三相电源可以采用三角形连接（又称△连接），它是将三相电源各相的始端和末端依次相连，再由A、B、C引出三根端线与负载相连，如图2-15所示。三相电源作三角形连接时，其线电压和相电压相等，线电流等于相电流的倍，相位滞后对应的相电流30o。图2-15三相电源的三角形连接2.7.3三相电源和负载的连接1.单相负载

单相负载主要包括照明负载、生活用电负载及一些单相设备。单相负载常采用三相中引出一相的供电方式。为保证各个单相负载电压稳定，各单相负载均以并联形式接入电路。在单相负荷较大时，如大型居民楼供电，可将所有单相负载平分为三组，分别接入A、B、C三相电路，如图2-16所示，以保证三相负载尽可能平衡，提高安全供电质量及供电效率。图2-16单相负载的连接2.三相负载三相负载主要是一些电力负载及工业负载。三相负载的联接方式有Y形联接和△形。当三相负载中各相负载都相同，即ZA=ZB=ZC=|Z|时，称为三相对称负载，否则，即为不对称负载。因为三相电源也有两种联接方式，所以它们可以组成以下几种三相电路，如下图所示。2.7.4三相电路的计算

【例2-4】今有三相对称负载作星形联接，设每相负载的电阻为R=12Ω，感抗为XL

=16Ω，电源线电压，试求各相电流。

解：由已知条件可以画出对称三相电路如图2-18所示，是三相四线制的Y-Y连接。根据Y形连接的对称三相电源的线、相电压关系可得相电压

为：所以由此可推出其余两相电流为：图2-18

【补充例题】三相四线制中的负载为纯电阻，RA=10Ω，RB=5Ω，RC=2Ω，负载的相电压为220V，中线阻抗ZN=0，试求各相负载上和中线上的电流。

解：设以相电压为参考正弦量，则各相电压为

则各相负载上的电流为

根据相量形式的KCL得中线电流为2.8互感耦合电路2.8.1互感现象及同名端1．互感现象

所谓互感现象，是指载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象，也叫磁耦合。如图2-18（a）所示为两个有互感的载流线圈，载流线圈中的电流i1和i2称为施感电流，线圈的匝数分别为N1和N2。

图2-18两个线圈的互感

图2-18两个线圈的互感线圈1中的电流i1产生的磁通设为Φ11，在穿越自身的线圈时，所产生的磁通链（简称磁链）设为Ψ11，称为自感磁链；Ψ11中的一部分或全部交链线圈2时产生的磁链设为Ψ21，称为互感磁链。同样，线圈2中的电流i2也产生自感磁链Ψ22和互感磁链Ψ12（图中未画出），这就是两线圈彼此耦合的情况。2．互感线圈的同名端互感线圈的同名端是这样规定的：当电流从两线圈各自的某端子同时流入（或流出）时，若两线圈产生的磁通方向相同而“相助”，则这两个端子称为互感线圈的同名端，并记为“·”或“*”。例如，图2-18（a）中端子1和端子2为一对同名端（同样端子和端子为另一对同名端）；反之，当电流从两线圈各自的某端子同时流入（或流出）时，若两线圈产生的磁通方向相反而“相消”，则这两个端子称为互感线圈的异名端。

图2-18两个线圈的互感2.互感线圈的同名端

（1）定义:互感线圈的同名端是这样规定的：当电流从两线圈各自的某端子同时流入（或流出）时，若两线圈产生的磁通方向相同而“相助”，则这两个端子称为互感线圈的同名端，并记为“·”或“*”。例如，图2-18（a）中端子1和端子2为一对同名端（同样端子和端子为另一对同名端）；反之，当电流从两线圈各自的某端子同时流入（或流出）时，若两线圈产生的磁通方向相反而“相消”，则这两个端子称为互感线圈的异名端。（2）同名端的判断:

（A）已知绕向：对于相对位置和线圈绕向确定的互感线圈的同名端，可以借助右手螺旋法则来判断，即假定给互感线圈同时通以电流。且电流与磁通的方向符合右手螺旋定则，当各电流产生的磁通是相互加强时（即方向相同时），则电流流进或流出的端子为同名端。举例说明：下图画出了几组实际绕向和相对位置不同的互感线圈。利用上述方法可以判断出各组互感线圈的同名端。

右图所示电路中，由于三个线圈没有一条磁感应线可以同时穿过它们，因此它们没有共同的一组同名端，只能每两个线圈之间具有同名端。利用上述定义可以得出，对线圈Ⅰ、Ⅱ来说，1、4端是同名端，线圈Ⅱ、Ⅲ的同名端为3端和5端，线圈Ⅰ、Ⅲ的同名端为1端和5端，分别用“·”、“△”和“*”标记。

（B）绕向不可知：这种情况下，可以采用实验的方法来测定两线圈的同名端。在图2-19电路中，直流电压源正负极通过开关S与线圈Ⅰ的1、2端连接，直流电压表（或电流表）接到线圈Ⅱ的3、4端。在开关S闭合瞬间，电流由电源正极流入线圈Ⅰ的1端且正在增大，即电流的变化率＞0，则与电源正极相连的1端为高电位端，2端为低电位端。此时若电压表指针正向偏转，则与电压表正接线端相连的线圈Ⅱ的3端为高电位端，4端为低电位端，因为同名端的感应电压的实际极性始终一致，由此可判断出，端钮1、3是同名端。如果电压表指针反偏，端钮1、4是同名端。

图2-19

【说明】：在绘电路图时，为了简便起见，常常不绘出线圈的绕向，而用电感元件的符号代替，同时在相应端钮上标出同名端的标记即可，如下图所示。

图中M称为互感系数，简称互感，单位为亨利（H）。M仅决定于两互感线圈的结构、几何尺寸、匝数和相互位置。3.耦合系数

两个耦合线圈的电流所产生的磁通，一般情况下，只有部分磁通相互交链，彼此不交链的那部分磁通称为漏磁通。两耦合线圈相互交链的磁通越大，说明两个线圈耦合得越紧密。为了表示两个线圈耦合得紧密程度，通常用耦合系数k来表示。耦合系数k表达式为：

由于漏磁通，耦合系数k总是小于1。k值大小取决于两个线圈的相对位置及磁介质的性质。k值越大，表明漏磁通越小，两线圈之间的耦合越紧密。k=1时，称为全耦合。

【说明】：在电力变压器中，为了有效地传输功率，采用紧密耦合，k值接近于1，而在无线电和通信方面，要求适当的、较松的耦合时，就需要调节两个线圈的相互位置。有的时候为了避免耦合作用，就应合理布置线圈的位置，使之远离，或使两线圈的轴线相互垂直，或采用磁屏蔽方法等。（0≤

k

≤1）2.8.2互感电压

符号判断：自感电压前的“+”、“-”号可直接根据自感电压与产生它的电流是否为关联方向确定，关联时取“+”号，非关联时取“-”号。互感电压前的“+”、“-”号的正确选取原则可简明地表述如下：如果互感电压的“+”极端子与产生它的电流流进的端子为一对同名端，则互感电压前取“+”号，反之取“-”号。请看下例：

【补充例题】下图（a）、（b）所示的电路中，同名端标记，端电压u1、u2及电流i1、i2的参考方向均已标在图上，试写出线圈端电压u1、u2的表达式。

解：图（a）中两线圈中均通有电流，所以端电压u1、u2各是由自感电压和互感电压组成。图中，电流i1、i2从同名端流入，选取u11、u22、u12、u21参考方向如图所示。则端电压为（a）（b）

同理，可写出图（b）中端电压表达式

2.8.3互感线圈的串联与并联1.互感线圈的串联

在两个互感线圈串联的电路中，因同名端位置不同可将电路分为顺接串联（简称顺接）和反接串联（简称反接）两种类型，顺接是两互感线圈的异名端相连，反接是同名端相连，分别如图（a）、（b）所示。

首先以图（a）顺接串联为例，依据图中各电压、电流参考方向和同名端位置，由KVL得端电压

图2-22互感线圈的串联【说明】：（1）（2）可知，顺接时的等效电感大于反接时的等效电感，当外加相同正弦电压时，顺接时的电流小于反接时的电流。这一结论可以帮助我们判断同名端。（3）

同理可以推得图（b）所示反接串联的等效电感为

L反

=L1+L2

-2M

【例2-5】图2-23所示互感电路中，已知R1=4Ω，R2=6Ω，自感抗ωL1=5Ω，ωL2=9Ω，互感抗ωM=3Ω，输入电压U=50V，求电路中电流I及输出电压U2。

解：选定电压电流参考方向如图所示。本题电路中为两个线圈的顺接串联电路，故

ωL顺

=ω（L1+L2+2M）=5+9+2×3=20Ω

R=R1+R2=4+6=10Ω

Z=R+j

ωL顺=10+j20=Ω

所以电路电流I及输出电压U2为

I=2.236AU

2=30V

图2-232.互感线圈的并联

两个有互感的线圈并联时，也有两种接法。一种是两线圈的同名端相连，如图2-24（a）所示。另一种是两线圈的异名端相连，如图2-24（b）所示。